في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد إحداثيات نقطة المنتصف بين نقطتين أو إحداثيات نقطة طرفية على المستوى الإحداثي.
في الهندسة، وفي العديد من مجالات الرياضيات الأخرى، عادة ما نحتاج إلى إيجاد مركز قطعة مستقيمة، وهي النقطة التي تقع على القطعة المستقيمة، وتبعُد مسافة متساوية عن كلا الطرفين. وتُسمَّى نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة. على سبيل المثال، مركز الدائرة هو نقطة المنتصف لأيِّ قطر في الدائرة. لدينا مثال آخَر على ذلك عند إيجاد متوسطات المثلثات بمعلومية إحداثيات الرءوس.
قبل أن نحدِّد كيفية إيجاد نقطة المنتصف لقطعة مستقيمة، سوف نُعرِّف نقطة المنتصف رياضيًّا.
تعريف: نقطة المنتصف لقطعة مستقيمة
نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة هي النقطة التي تقع على مسافة متساوية من طرفَيِ القطعة المستقيمة؛ أيْ تبعُد مسافة متساوية عن الطرفَيْن ، . بعبارة أخرى: ، .
على سبيل المثال، دعونا نحدِّد نقطة منتصف القطعة المستقيمة التي تقع بين النقطتين ، . نرسم هذه القطعة المستقيمة بالشكل الآتي.
نقطة المنتصف لهذه القطعة المستقيمة هي النقطة التي تقع عليها، وتبعُد مسافة متساوية عن الطرفَيْن؛ بعبارة أخرى: تقع في المنتصف بينهما. وبما أن هذا الخط رأسي، يُمكننا إيجاد طول القطعة المستقيمة بحساب الفرق بين إحداثيي ؛ طول الخط يساوي ٤. ونصف هذا العدد هو ٢، إذن ستقع نقطة المنتصف على بُعد وحدتين من كلا الطرفين.
النقطة هي ؛ حيث نلاحِظ أنها تقع على مسافة ٢ من الطرفين. هناك طريقة أخرى للتعبير عن ذلك، وهي أننا نأخذ متوسط إحداثيي ؛ ليصبح لدينا ، إذن هذه القيمة تقع في المنتصف بين هاتين القيمتين.
يُمكننا استخدام المنطق نفسه لإيجاد نقطة منتصف قطعة مستقيمة أفقية. على سبيل المثال، لإيجاد نقطة منتصف القطعة المستقيمة التي تقع بين ، ، سنأخذ متوسط إحداثيي ، لنَجِد أن نقطة المنتصف هي: .
يُمكننا طرح السؤال بوجهٍ أعمَّ، كيف يُمكننا إيجاد نقطة منتصف القطعة المستقيمة التي ليستْ رأسية ولا أفقية؟ للقيام بذلك، نفكِّر في القطعة المستقيمة التي تقع بين ، ، وهي ليست أفقية ولا رأسية. سنسمِّي نقطة منتصف هذه القطعة ، كما هو موضَّح.
نلاحِظ أنه بما أن هي نقطة منتصف القطعة المستقيمة، إذن يكون طولا نصفي القطعة المستقيمة متساويين. لتحديد إحداثيات النقطة ، سنكوِّن المثلثين القائمَيِ الزاوية الآتيين باستخدام الخطوط الرأسية والأفقية.
وبملاحَظة أن الخطوط الأفقية متوازية، والخطوط الرأسية أيضًا متوازية، يُمكننا استخدام القطعة المستقيمة قاطعًا يقطع هذه الخطوط المتوازية لإيجاد الزوايا المتناظِرة الموضَّحة على الشكل.
هذان المثلثان القائما الزاوية لهما الزوايا نفسها، وطولا وترَيْهما متساويان؛ ومن ثَمَّ وفقًا لمُسلَّمة التطابُق بزاويتين والضلع المحصور بينهما، لا بدَّ أن يكون المثلثان متطابقين. بما أن هذين المثلثين متطابقان، فإن قاعدتَيْهما متساويتان في الطول، وكذلك ارتفاعاتهما متساوية أيضًا. نُضيف الخطوط والنقاط الآتية.
نرى أن هي نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة الأفقية الواقعة بين ، ؛ ومن ثَمَّ يكون هو متوسط إحداثيي ، وهو ما يُعطينا:
وبالمثل، هي نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة الرأسية الواقعة بين النقطتين ، ؛ ومن ثَمَّ يكون هو متوسط إحداثيي ، وهو ما يُعطينا:
وبذلك نكون قد أوضحنا أن نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة الواقعة بين ، إحداثياها هما:
ومن الجدير بالذكر أن هذه الصيغة تكون صحيحة حتى إذا كانت القطعة المستقيمة رأسية أو أفقية. على سبيل المثال، بتطبيق الصيغة على المثال السابق للقطعة المستقيمة بين النقطتين ، ، يصبح لدينا ، ، ، ؛ لنحصل على نقطة المنتصف:
لاحِظ أنه بما أن إحداثيي متساويان، فإن أخذ المتوسط لا يغيِّر هذه القيمة؛ ومن ثَمَّ يُمكن تطبيق الصيغة على أيِّ قطعة مستقيمة. يُمكننا تلخيص هذه النتيجة على النحو الآتي.
نظرية: صيغة نقطة المنتصف لقطعة مستقيمة
إحداثيا نقطة منتصف القطعة المستقيمة الواقعة بين النقطتين ، هما:
من الجدير بالذكر أيضًا أننا عادة ما نُشير إلى نقطة منتصف القطعة المستقيمة التي تقع بين النقطتين ، بنقطة المنتصف بين ، . دعونا نرَ بعض الأمثلة على تطبيق هذه الصيغة لتحديد نقطة المنتصف بين نقطتين مُعطاتين.
مثال ١: إيجاد نقطة المنتصف بين إحداثيين
في التمثيل البياني الموضَّح، أيُّ نقطة تقع في منتصف المسافة بين ، ؟
الحل
نتذكَّر أن نقطة المنتصف بين نقطتين هي النقطة التي تقع على القطعة المستقيمة التي تَصِل بينهما، وتبعُد مسافةً متساويةً عن كلتا النقطتين. نقطة منتصف القطعة المستقيمة بين ، إحداثياها هما:
في هذا السؤال، نجعل ، ، ، ، وهو ما يُعطينا:
يُمكننا إضافة هذه النقطة إلى الشكل.
نلاحِظ أن النقطة تبعُد ثلاث وحدات لأعلى، ووحدتين إلى اليسار عن نقطة الطرف ، ونقطة الطرف الآخَر تبعُد أيضًا ثلاث وحدات لأعلى، ووحدتين إلى اليسار عن النقطة . وهذا يؤكِّد أن المسافة بين وأيٍّ من الطرفين واحدة.
ومن ثَمَّ، يكون إحداثيا نقطة المنتصف هما .
مثال ٢: إيجاد نقطة المنتصف بمعلومية نقطتَيِ الطرفين
إذا عُلِم أن ، ، فما إحداثيات نقطة منتصف ؟
الحل
نتذكَّر أن نقطة المنتصف لقطعة مستقيمة هي النقطة التي تقع على القطعة المستقيمة، وتبعُد مسافة متساوية عن الطرفين؛ ومن ثَمَّ يكون إحداثيا نقطة منتصف القطعة المستقيمة بين ، هما:
لإيجاد نقطة المنتصف بين ، ، نجعل ، ، ، :
إذن إحداثيا نقطة منتصف هما .
في المثال الآتي، سنستخدم نقطة المنتصف ونقطة أحد الطرفين لإيجاد إحداثيات الطرف الآخَر.
مثال ٣: إيجاد نقطة المنتصف بين نقطتين
إذا كان ، ، فما إحداثيات ، علمًا بأن نقطة منتصف ؟
الحل
نتذكَّر أن نقطة منتصف القطعة المستقيمة هي النقطة التي تقع على القطعة المستقيمة، وتبعُد مسافة متساوية عن كلا طرفَيْها. تُوجَد طريقتان يُمكننا استخدامهما لإيجاد إحداثيي . الطريقة الأولى: استخدام حقيقة أن كلًّا من المسافة الأفقية والرأسية من إلى يجب أن تساوي المسافة الأفقية والمسافة الرأسية من إلى .
المسافة الأفقية من إلى تساوي الفرق بين إحداثيي :
وهذا يجب أن يساوي المسافة الأفقية من إلى :
وبالمثل، فإن المسافة الرأسية من إلى تساوي:
وهذا يساوي المسافة الرأسية من إلى :
وهذا يُعطينا ، ويُمكننا ملاحَظة ذلك على الشكل الآتي.
بدلًا من ذلك، يُمكننا استخدام الصيغة الآتية لنقطة المنتصف بين ، :
لدينا إحداثيات نقطة طرف القطعة المستقيمة ونقطة المنتصف، وعلينا إيجاد إحداثيي نقطة الطرف الآخَر. سنجعل ، إذن ، ، ومن ثَمَّ، فإن . يُمكننا التعويض بهذه القِيَم في صيغة نقطة المنتصف، ونساويها بـ :
ليكون إحداثيا متساويين، لدينا:
وبضرب الطرفين في ٢، نحصل على:
وبإضافة ٨ إلى الطرفين، نحصل على:
وبالمثل، ليكون إحداثيا متساويين، نحصل على:
وبضرب الطرفين في ٢، نحصل على:
وبإضافة ٣ إلى الطرفين، نحصل على:
ومن ثَمَّ، فإن إحداثيي النقطة هما .
في المثال الآتي، سنستخدم صيغة نقطة المنتصف لإيجاد قِيَم مجهولة في إحداثيات نقطة المنتصف.
مثال ٤: إيجاد القِيَم المجهولة في إحداثيات نقطة باستخدام صيغة نقطة المنتصف
أوجد قِيَم ، التي تجعل نقطة منتصف القطعة المستقيمة التي تقع بين و.
الحل
نتذكَّر أن إحداثيي نقطة المنتصف بين ، هما:
إذا جعلنا ، ، يُمكننا التعويض بإحداثيات هاتين النقطتين في صيغة نقطة المنتصف، ومساواتها بـ ، ليصبح لدينا:
بمساواة إحداثيي ، يكون لدينا:
وبمساواة إحداثيي ، يكون لدينا:
ومن ثَمَّ، ، .
في المثال الآتي، سنطبِّق صيغة نقطة المنتصف على مسألة حياتية تتضمَّن المسافة بين نافورة ومنزل وطريق.
مثال ٥: إيجاد نقطة المنتصف في سياق مسألة حياتية
حديقة مستطيلة بجوار منزل بجانب طريق. في الحديقة شجرة برتقال تبعُد ٧ م عن المنزل، و٣ م عن الطريق. هناك أيضًا شجرة تفاح تبعُد ٥ م عن المنزل و٩ م عن الطريق. وُضِعت نافورة عند منتصف المسافة بين الشجرتين. ما المسافة بين النافورة والمنزل، وبينها وبين الطريق؟
الحل
دعونا نبدأ برسم المُعطيات. أولًا: نرسم الحديقة المستطيلة والطريق والمنزل.
تُخبرنا المسألة أن هناك شجرتين؛ شجرة برتقال على بُعد ٧ م من المنزل، و٣ م من الطريق، وشجرة تفاح على بُعد ٥ م من المنزل، و٩ م من الطريق، وتُخبرنا أنه تُوجَد نافورة في منتصف المسافة بين الشجرتين، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.
لكي نحدِّد المسافة التي تبعُدها النافورة عن المنزل والطريق، نكتب أيَّ نقطة في الحديقة على صورة زوج من الإحداثيات على الصورة: (المسافة من المنزل، المسافة من الطريق). على سبيل المثال، النقطة ستكون نقطة في الحديقة تمسُّ المنزل والطريق. إذن إحداثيا النقطة التي تمثِّل شجرة التفاح هما ، وإحداثيا نقطة شجرة البرتقال هما . وبما أن النافورة تقع في منتصف المسافة بين هاتين النقطتين، فستكون هي نقطة المنتصف، ونتذكَّر أن إحداثيي نقطة المنتصف بين ، هما:
بالتعويض بـ ، ، ، في صيغة نقطة المنتصف، نحصل على:
ومن ثَمَّ، تكون النافورة على بُعد ٦ م من المنزل، و٦ م من الطريق.
مثال ٦: إيجاد نقطة طرف بمعلومية نقطة المنتصف ونقطة الطرف الآخَر
نقطة الأصل تقع في منتصف القطعة المستقيمة . أوجد إحداثيات النقطة ، إذا كانت إحداثيات النقطة هي .
الحل
نتذكَّر أن نقطة منتصف القطعة المستقيمة هي نقطة تقع على القطعة المستقيمة، وتبعُد مسافة متساوية عن طرفَيْها. تُوجَد طريقتان يُمكننا استخدامهما لإيجاد إحداثيي . نستخدم في الطريقة الأولى حقيقة أن كلًّا من المسافة الأفقية والرأسية من إلى يجب أن تساوي المسافة الأفقية والمسافة الرأسية من إلى .
نرى أن المسافة الأفقية من إلى مُعطاة بالإحداثي للنقطة :
وبالمثل، المسافة الرأسية مُعطاة بالإحداثي للنقطة ، وتساوي ٤ وحدات. بما أن تقع على مسافة ٦ وحدات إلى اليسار من نقطة المنتصف ، وعلى مسافة ٤ وحدات إلى الأعلى من ، يجب أن تقع على مسافة ٦ وحدات إلى اليمين من ، وعلى مسافة ٤ وحدات إلى الأسفل من ، عند الإحداثيين . ويُمكننا ملاحَظة ذلك في الشكل الآتي.
بدلًا من ذلك، يُمكننا إيجاد إحداثيي باستخدام الصيغة الآتية لنقطة منتصف القطعة المستقيمة بين ، :
نعرف إحداثيات نقطة أحد طرفَيِ القطعة المستقيمة ونقطة المنتصف، وعلينا إيجاد إحداثيي الطرف الآخَر. نجعل ، إذن ، ، ومن ثَمَّ، فإن . يُمكننا التعويض بهذه القِيَم في صيغة نقطة المنتصف، ونساويها بنقطة الأصل :
لتكون إحداثيات متساوية، لدينا:
وبضرب الطرفين في ٢، نحصل على:
وبإضافة ٦ إلى الطرفين، يصبح لدينا:
وبالمثل، لتكون إحداثيات متساوية، لدينا:
وبضرب الطرفين في ٢، نحصل على:
وبطرح ٤ من الطرفين، يصبح لدينا:
إذن إحداثيا هما .
دعونا نختم هذا الشارح بتلخيص بعض النقاط المُهِمَّة التي وردت فيه.
النقاط الرئيسية
- نقطة منتصف القطعة المستقيمة هي النقطة التي تقع على القطعة المستقيمة، وتبعُد مسافة متساوية عن ، . بعبارة أخرى: ، . ويُشار إلى ذلك أيضًا بنقطة المنتصف بين ، .
- إحداثيا نقطة منتصف القطعة المستقيمة بين ، هما:
