شارح الدرس: القِطَع المستقيمة الخاصة في الدائرة الرياضيات • الصف الأول الثانوي

مثال ١: إيجاد طول وتر في دائرة

إذا كان ، ، ، فأوجد طول .

الحل

تذكَّر أن نظرية الأوتار المتقاطعة تخبرنا أنه إذا تقاطع الوتر والوتر في الدائرة نفسها عند النقطة ، فإن:

علمنا من السؤال أن ، ، ؛ لذا، يمكننا التعويض بهذه القيم في هذه الصيغة؛ حيث ، ، لنحصل على:

ومن ثَمَّ، فإن طول يساوي ١٠ وحدات.

مثال ٢: إيجاد طول قطعتين مستقيمتين مرسومتين في دائرة باستخدام النسبة بينهما

إذا كان ، ، ، فأوجد طول كلٍّ من ، .

الحل

أول ما يمكننا فعله هو الاستعانة بالمعلومات المُعطاة وكتابتها على الشكل.

بعد ذلك نتذكَّر ما نعرفه عن الأوتار المتقاطعة:

يمكننا استخدام هذا لتكوين معادلة بدلالة ، ؛ حيث ، :

في هذه المرحلة، لا يبدو أن لدينا معلومات كافية لحل المسألة.

لكننا نعرف أن:

ومن ثَمَّ:

يمكننا بعد ذلك التعويض بهذا في: لنحصل على:

ملاحظة: لا نحتاج إلى كتابة الجذر السالب لـ ٤٩؛ لأن عبارة عن طول.

لذا، يمكننا القول إن:

مثال ٣: إيجاد طول مجهول من تناسب ناتج من قاطعَي دائرة مرسومين من نفس النقطة الخارجية

إذا كان ، ، ، فأوجد طول .

الحل

عندما ننظر إلى الشكل الذي أمامنا، نلاحظ أن لدينا قاطعين يتقاطعان خارج الدائرة عند النقطة .

ويمكننا إضافة الأبعاد المُعطاة إلى الشكل.

لنتمكَّن من إيجاد ، دعونا نتذكَّر نظرية القواطع المتقاطعة:

بتطبيق هذه النظرية على السؤال، يمكننا القول إن:

والآن، إذا عوَّضنا بالقيم التي نعرفها، فسنحصل على:

ومن ثَمَّ، فإن طول هو ١٢ سم.

مثال ٤: إيجاد طول مماس لدائرة باستخدام تشابه المثلثات في الدوائر

في الشكل التالي، نصف قطر الدائرة ١٢ سم، ، . أوجد المسافة من إلى مركز الدائرة ، وطول ، لأقرب جزء من عشرة.

الحل

أول ما نفعله هو إضافة المعلومات المُعطاة وكتابتها على الشكل.

والطولان اللذان نحاول إيجادهما هما المسافة العمودية من إلى مركز الدائرة، ، .

لحل الجزء الأول من السؤال، نحسب المسافة من إلى .

هيا نتذكَّر بعض الحقائق عن المثلثات.

نحن نعرف طول ؛ فهذا هو نصف قطر الدائرة، وهو ما يعني أن المسافة من إلى تساوي أيضًا ١٢ سم.

نحصل من ذلك على مثلث متساوي الساقين يمكننا حساب الارتفاع فيه؛ وارتفاع المثلث المتساوي الساقين هو طول متوسطه، وهو القطعة المستقيمة التي تصل بين الرأس ونقطة منتصف الضلع المقابل. هذا يعني أنه يقسم القاعدة إلى قطعتين متساويتين في القياس.

بعد ذلك، يمكننا حساب طول قاعدة كل مثلث قائم الزاوية:

ومن ذلك، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد الطول الذي نريد إيجاده:

إذا قرَّبنا هذا بعد ذلك لأقرب جزء من عشرة، فسنحصل على ٣٫٤ سم.

بعد ذلك، نحسب طول .

بما أن مماس يقطع القاطع عند النقطة ، يمكننا القول إن:

بعد إيجاد ، نجد أننا ركَّزنا على الناتج الموجب فقط؛ لأننا نُوجِد مسافة، ولا يمكن أن تكون قيمة المسافة سالبة.

وبناءً على ذلك، فالمسافة من إلى مركز الدائرة، ، هي ٣٫٤ سم (لأقرب جزء من عشرة).

ومن ثَمَّ، فإن طول الضلع هو ٢٠٫٥ سم (لأقرب جزء من عشرة).

مثال ٥: إيجاد طول الأوتار في دائرة باستخدام خواص الأوتار

في الشكل الآتي، أوجد قيمة .

الحل

بالنظر إلى الشكل، نرى أنه يتكوَّن من دائرة ذات وترين هما: ، . يتقاطع الوتران عند النقطة داخل الدائرة. في السؤال، مطلوب منا إيجاد ، وهو مستخدم في التعبيرات الخاصة بأجزاء الوترين.

ومن ثَمَّ، لحل هذه المسألة، علينا تذكُّر نظرية الأوتار المتقاطعة.

إذا تقاطع الوتر والوتر عند النقطة ، فإن:

يمكننا استخدام هذه المعادلة لإيجاد معادلة في بالتعويض بالتعبيرات التي لدينا للأبعاد:

يمكن بعد ذلك حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة . بتوزيع الأقواس، ثم إعادة ترتيب المعادلة، لتكون كل الحدود في الطرف الأيمن، نحصل على:

مثال ٦: فهم نظرية الأوتار

إذا كان ، ، ، ، فهل النقاط ، ، ، ، تقع على دائرة؟

الحل

أولًا، نكتب الأطوال المُعطاة على الشكل.

لكي تقع هذه النقاط الأربع على دائرة، يجب أن تحقِّق نظرية تقاطع الأوتار.

من ثَمَّ، لحل هذه المسألة، علينا تذكُّر نظرية الأوتار المتقاطعة.

إذا تقاطع الوتر والوتر عند النقطة ، فإن:

دعونا الآن نرَ إذا ما كان هذا يتحقَّق باستخدام أطوال القطع المستقيمة في الشكل:

من كلتا العمليتين الحسابيتين، نستنتج أن: لأن ، يساويان ٣٩. بناءً على ذلك، يمكننا القول إن الإجابة هي نعم؛ فالنقاط ، ، ، تقع على دائرة.