شارح الدرس: القِطَع المستقيمة الخاصة في الدائرة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم نظرية الأوتار المتقاطعة، أو نظرية القواطع المتقاطعة، أو نظرية المماسات والقواطع المتقاطعة، لإيجاد الأطوال الناقصة في دائرة.

نبدأ بتذكُّر أسماء الأجزاء المختلفة في الدائرة.

يمكننا التركيز على بعض الأجزاء المحدَّدة. إذا تقاطعت قطعة مستقيمة مع محيط الدائرة، مرةً واحدة فقط؛ بحيث تكون متعامدة على نصف القطر عند هذه النقطة، وكانت لها نقطة نهاية على محيط الدائرة، فإنها تُسمَّى مماسًّا. وإذا كان لقطعة مستقيمة نقطة نهاية خارج الدائرة، ونقطة نهاية واحدة على الدائرة، ونقطة بين هاتين النقطتين تقطع الدائرة، فإنها تُسمَّى قاطعًا.

بعد أن عرفنا أسماء القطع المستقيمة المختلفة في الدائرة، وشرحنا كيف يمكن أن تساعدنا خواص هذه القطع المستقيمة في حل المسائل، نلقي نظرة على نظريتين مختلفتين ستساعداننا في حل المزيد من المسائل عن الدوائر.

نظرية: الأوتار المتقاطعة

عندما يتقاطع وتران في دائرة، ينقسم كل وتر إلى قطعتين مستقيمتين. هذه القطع المستقيمة الناتجة يُطلَق عليها أجزاء الوترين. في الدائرة الموضَّحة، هذه القطع هي 󰏡𞸤 ،𞸤𞸁، 𞸢𞸤، 𞸤𞸃.

إذا تقاطع الوتر 󰏡𞸁 مع الوتر 𞸢𞸃 عند النقطة 𞸤، فإن: 󰏡𞸤×𞸤𞸁=𞸢𞸤×𞸤𞸃.

بعبارة أخرى: 󰏡×𞸁=𞸢×𞸃،󰏡𞸢=𞸁𞸃.

هذا يعني أننا إذا عرفنا أيَّ ثلاث قيم من هذه القيم، يمكننا أن نُوجِد القيمة الرابعة. نتناول تطبيقًا بسيطًا لهذه النظرية.

مثال ١: إيجاد طول وتر في دائرة

إذا كان 𞸤𞸢=٤، 𞸤𞸃=٥١، 𞸤𞸁=٦، فأوجد طول 𞸤󰏡.

الحل

تذكَّر أن نظرية الأوتار المتقاطعة تخبرنا أنه إذا تقاطع الوتر 󰏡𞸁 والوتر 𞸢𞸃 في الدائرة نفسها عند النقطة 𞸤، فإن: 󰏡𞸤×𞸤𞸁=𞸢𞸤×𞸤𞸃.

علمنا من السؤال أن 𞸤𞸢=٤، 𞸤𞸃=٥١، 𞸤𞸁=٦؛ لذا، يمكننا التعويض بهذه القيم في هذه الصيغة؛ حيث 𞸢𞸤=𞸤𞸢، 󰏡𞸤=𞸤󰏡، لنحصل على: 𞸤󰏡×٦=٤×٥١٦𞸤󰏡=٠٦𞸤󰏡=٠١.

ومن ثَمَّ، فإن طول 𞸤󰏡 يساوي ١٠ وحدات.

في المثال التالي، نوضِّح كيفية تطبيق هذه النظرية عندما تُعطى لنا النسبة بين طولَي جزأين من الوترين.

مثال ٢: إيجاد طول قطعتين مستقيمتين مرسومتين في دائرة باستخدام النسبة بينهما

إذا كان 𞸤󰏡𞸤𞸁=٨٧، 𞸤𞸢=٧، 𞸤𞸃=٨، فأوجد طول كلٍّ من 𞸤𞸁، 𞸤󰏡.

الحل

أول ما يمكننا فعله هو الاستعانة بالمعلومات المُعطاة وكتابتها على الشكل.

بعد ذلك نتذكَّر ما نعرفه عن الأوتار المتقاطعة: 𞸤𞸢×𞸤𞸃=𞸤𞸁×𞸤󰏡.

يمكننا استخدام هذا لتكوين معادلة بدلالة 𞸤󰏡، 𞸤𞸁؛ حيث 𞸤𞸢=٧، 𞸤𞸃=٨:

٧×٨=𞸤𞸁×𞸤󰏡٦٥=𞸤𞸁×𞸤󰏡.

في هذه المرحلة، لا يبدو أن لدينا معلومات كافية لحل المسألة.

لكننا نعرف أن: 𞸤󰏡𞸤𞸁=٨٧.

ومن ثَمَّ: 𞸤󰏡=٨𞸤𞸁٧.

يمكننا بعد ذلك التعويض بهذا في: ٦٥=𞸤𞸁×𞸤󰏡 لنحصل على: ٦٥=𞸤𞸁×٨𞸤𞸁٧٢٩٣=٨𞸤𞸁٩٤=𞸤𞸁𞸤𞸁=٧.٢٢

ملاحظة: لا نحتاج إلى كتابة الجذر السالب لـ ٤٩؛ لأن 𞸤𞸁 عبارة عن طول.

لذا، يمكننا القول إن: 𞸤󰏡=٨𞸤𞸁=٧.،

بعد ذلك، نتناول نظريتين أخريين: نظرية القواطع المتقاطعة، ونظرية المماس والقاطع.

نظرية: نظرية القواطع المتقاطعة

إذا كان لدينا القاطعان 󰏡𞸤، 𞸢𞸤، فإن: 𞸁𞸤×󰏡𞸤=𞸃𞸤×𞸢𞸤.

بعبارة أخرى: 󰏡×𞸁=𞸢×𞸃.

نظرية: نظرية المماس والقاطع

هذه حالة خاصة من نظرية القواطع المتقاطعة، وتنطبق عندما تكون المستقيمات عبارة عن مماسات.

في الشكل، 𞸤𞸁=󰏡، 𞸤󰏡=𞸁، 𞸤𞸢=𞸢. أما في الحالة التي يكون فيها أحد المستقيمين قاطعًا، والآخر مماسًّا، فإن: 󰏡×𞸁=𞸢.٢

في المثال التالي، نستخدم إحدى هاتين النظريتين لحل مسألة تتضمَّن قاطعين يتقاطعان خارج الدائرة.

مثال ٣: إيجاد طول مجهول من تناسب ناتج من قاطعَي دائرة مرسومين من نفس النقطة الخارجية

إذا كان 𞸤𞸢=٠١، 𞸤𞸃=٦، 𞸤𞸁=٥، فأوجد طول 𞸤󰏡.

الحل

عندما ننظر إلى الشكل الذي أمامنا، نلاحظ أن لدينا قاطعين يتقاطعان خارج الدائرة عند النقطة 𞸤.

ويمكننا إضافة الأبعاد المُعطاة إلى الشكل.

لنتمكَّن من إيجاد 𞸤󰏡، دعونا نتذكَّر نظرية القواطع المتقاطعة:

󰏡×𞸁=𞸢×𞸃.

بتطبيق هذه النظرية على السؤال، يمكننا القول إن: 𞸤󰏡×𞸤𞸁=𞸤𞸃×𞸤𞸢.

والآن، إذا عوَّضنا بالقيم التي نعرفها، فسنحصل على: 𞸤󰏡×٥=٦×٠١٥𞸤󰏡=٠٦𞸤󰏡=٢١.

ومن ثَمَّ، فإن طول 𞸤󰏡 هو ١٢ سم.

في المثال التالي، لإيجاد طول ناقص، لا نستخدم المعلومات التي نعرفها عن القواطع والمماسات فحسب، بل نستخدم المعلومات التي نعرفها عن المثلثات أيضًا.

مثال ٤: إيجاد طول مماس لدائرة باستخدام تشابه المثلثات في الدوائر

في الشكل التالي، نصف قطر الدائرة ١٢ سم، 󰏡𞸁=٢١، 󰏡𞸢=٥٣. أوجد المسافة من 𞸁𞸢 إلى مركز الدائرة 𞸌، وطول 󰏡𞸃، لأقرب جزء من عشرة.

الحل

أول ما نفعله هو إضافة المعلومات المُعطاة وكتابتها على الشكل.

والطولان اللذان نحاول إيجادهما هما المسافة العمودية من 𞸁𞸢 إلى مركز الدائرة، 𞸌، 󰏡𞸃.

لحل الجزء الأول من السؤال، نحسب المسافة من 𞸁𞸢 إلى 𞸌.

هيا نتذكَّر بعض الحقائق عن المثلثات.

نحن نعرف طول 𞸌𞸢؛ فهذا هو نصف قطر الدائرة، وهو ما يعني أن المسافة من 𞸌 إلى 𞸁 تساوي أيضًا ١٢ سم.

نحصل من ذلك على مثلث متساوي الساقين يمكننا حساب الارتفاع فيه؛ وارتفاع المثلث المتساوي الساقين هو طول متوسطه، وهو القطعة المستقيمة التي تصل بين الرأس ونقطة منتصف الضلع المقابل. هذا يعني أنه يقسم القاعدة إلى قطعتين متساويتين في القياس.

بعد ذلك، يمكننا حساب طول قاعدة كل مثلث قائم الزاوية: ٣٢÷٢=٥٫١١.

ومن ذلك، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد الطول الذي نريد إيجاده:

𞸎=٢١٥٫١١𞸎=٤٤١٥٢٫٢٣١𞸎=٥٧٫١١𞸎=󰋴٥٧٫١١𞸎=٨٧٢٤٫٣.٢٢٢٢٢٢

إذا قرَّبنا هذا بعد ذلك لأقرب جزء من عشرة، فسنحصل على ٣٫٤ سم.

بعد ذلك، نحسب طول 󰏡𞸃.

بما أن 󰏡𞸃 مماس يقطع القاطع 󰏡𞸢 عند النقطة 󰏡، يمكننا القول إن: 󰏡𞸃=󰏡𞸁×󰏡𞸢󰏡𞸃=٢١×٥٣󰏡𞸃=٠٢٤󰏡𞸃=󰋴٠٢٤󰏡𞸃=٩٣٩٤٫٠٢󰏡𞸃=٥٫٠٢󰁓󰁒.٢٢٢بءة

بعد إيجاد 󰋴٠٢٤، نجد أننا ركَّزنا على الناتج الموجب فقط؛ لأننا نُوجِد مسافة، ولا يمكن أن تكون قيمة المسافة سالبة.

وبناءً على ذلك، فالمسافة من 𞸁𞸢 إلى مركز الدائرة، 𞸌، هي ٣٫٤ سم (لأقرب جزء من عشرة).

ومن ثَمَّ، فإن طول الضلع 󰏡𞸃 هو ٢٠٫٥ سم (لأقرب جزء من عشرة).

والآن، نحل مسألة تجمع بين العمليات الجبرية والمهارات التي أوضحناها في هذا الشارح.

مثال ٥: إيجاد طول الأوتار في دائرة باستخدام خواص الأوتار

في الشكل الآتي، أوجد قيمة 𞸎.

الحل

بالنظر إلى الشكل، نرى أنه يتكوَّن من دائرة ذات وترين هما: 󰏡𞸁، 𞸢𞸃. يتقاطع الوتران عند النقطة 𞸤 داخل الدائرة. في السؤال، مطلوب منا إيجاد 𞸎، وهو مستخدم في التعبيرات الخاصة بأجزاء الوترين.

ومن ثَمَّ، لحل هذه المسألة، علينا تذكُّر نظرية الأوتار المتقاطعة.

إذا تقاطع الوتر 󰏡𞸁 والوتر 𞸢𞸃 عند النقطة 𞸤، فإن: 󰏡𞸤×𞸤𞸁=𞸢𞸤×𞸤𞸃.

يمكننا استخدام هذه المعادلة لإيجاد معادلة في 𞸎 بالتعويض بالتعبيرات التي لدينا للأبعاد: (𞸎+٨)(𞸎+٣)=𞸎(𞸎+٢١).

يمكن بعد ذلك حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𞸎. بتوزيع الأقواس، ثم إعادة ترتيب المعادلة، لتكون كل الحدود في الطرف الأيمن، نحصل على: 𞸎+٨𞸎+٣𞸎+٤٢=𞸎+٢١𞸎𞸎+١١𞸎+٤٢𞸎٢١𞸎=٠𞸎+٤٢=٠𞸎=٤٢.٢٢٢٢

في المثال الأخير، سنحدِّد إذا ما كانت النقاط الأربع التي تُعرِّف قطعتين مستقيمتين متقاطعتين يمكن أن تكون نقاطًا على دائرة بمعلومية أطوال أجزائها.

مثال ٦: فهم نظرية الأوتار

إذا كان 𞸤󰏡=٢٫٥، 𞸤𞸢=٦، 𞸤𞸁=٥٫٧، 𞸤𞸃=٥٫٦، فهل النقاط 󰏡، 𞸁، 𞸢، 𞸃، تقع على دائرة؟

الحل

أولًا، نكتب الأطوال المُعطاة على الشكل.

لكي تقع هذه النقاط الأربع على دائرة، يجب أن تحقِّق نظرية تقاطع الأوتار.

من ثَمَّ، لحل هذه المسألة، علينا تذكُّر نظرية الأوتار المتقاطعة.

إذا تقاطع الوتر 󰏡𞸁 والوتر 𞸢𞸃 عند النقطة 𞸤، فإن: 󰏡𞸤×𞸤𞸁=𞸢𞸤×𞸤𞸃.

دعونا الآن نرَ إذا ما كان هذا يتحقَّق باستخدام أطوال القطع المستقيمة في الشكل: 󰏡𞸤×𞸤𞸁=٢٫٥×٥٫٧=٩٣،𞸢𞸤×𞸤𞸃=٦×٥٫٦=٩٣.

من كلتا العمليتين الحسابيتين، نستنتج أن: 󰏡𞸤×𞸤𞸁=𞸢𞸤×𞸤𞸃، لأن 󰏡𞸤×𞸤𞸁، 𞸢𞸤×𞸤𞸃 يساويان ٣٩. بناءً على ذلك، يمكننا القول إن الإجابة هي نعم؛ فالنقاط 󰏡، 𞸁، 𞸢، 𞸃 تقع على دائرة.

هيا ننهِ بتلخيص بعض النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • نظرية الأوتار المتقاطعة:
    󰏡𞸤×𞸤𞸁=𞸢𞸤×𞸤𞸃
  • نظرية القواطع المتقاطعة:
    󰏡𞸁×󰏡𞸢=󰏡𞸃×󰏡𞸤
  • نظرية المماس والقاطع:
    𞸤𞸁×𞸤󰏡=𞸤𞸢٢

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.