تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: محصلة القُوى المستوية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد محصِّلة مجموعة قوًى تؤثِّر عند نقطة.

إذا أثَّرت عدَّة قوًى عند نقطة، فإن القوة المحصِّلة التي تؤثِّر عند هذه النقطة تساوي مجموع القُوى المؤثِّرة.

يُمكن جمع عدَّة قوًى بجمع المركِّبات المتعامِدة لهذه القُوى، وتحديد محصِّلة هذه المركِّبات، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

المركِّبتان العموديتان للقوة 𞹟 سنُسمِّيهما 𞹟١، 𞹟٢، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

مقدار القوة 𞹟١ يُعطَى بالعلاقة: 𞹟=𞹟(𝜃)=𞹟(𝜙)،١ حيث 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين 𞹟، 𞹟١، والزاوية 𝜙 هي الزاوية المحصورة بين 𞹟، 𞹟٢.

𞹟٢، وهي المركِّبة العمودية على 𞹟١ تُعطَى بالعلاقة: 𞹟=𞹟(𝜃)=𞹟(𝜙).٢

مقدار محصِّلة المركِّبتين المتعامِدتين للقوة يُعطَى بالعلاقة: 𞹟=󰋷𞹟+𞹟.٢١٢٢

دعونا نلقِ نظرةً على مثال لعدَّة قوًى تؤثِّر عند نقطة.

مثال ١: إيجاد مقدار واتجاه القوة المحصِّلة لثلاث قوًى تؤثِّر على جسم

جسم تؤثِّر عليه قوة مقدارها ١٠ نيوتن أفقيًّا، وتؤثِّر عليه قوة مقدارها ٢٥ نيوتن رأسيًّا لأعلى، وتؤثِّر عليه قوة مقدارها ٥ نيوتن بزاوية ٥٤ مع الأفقي، كما هو موضَّح في الشكل. ما مقدار القوة المحصِّلة المفردة التي تؤثِّر على الجسم، وبأيِّ زاوية مع الأفقي تؤثِّر هذه القوة المحصِّلة على الجسم؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.

الحل

يُمكن تحليل القوة التي مقدارها ٥ نيوتن إلى مركِّبتين متعامِدتين موازِيتين للمحورين 𞸎، 𞸑، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

القوة المحصِّلة التي تؤثِّر في اتجاه المحور 𞸎 تُعطَى بالعلاقة: 𞹟=٠١+٥(٥٤)=٠١+٥󰃭󰋴٢٢󰃬.𞸎

القوة المحصِّلة التي تؤثِّر في اتجاه المحور 𞸑 تُعطَى بالعلاقة: 𞹟=٥٢+٥(٥٤)=٥٢+٥󰃭󰋴٢٢󰃬.𞸑

󰄮󰄮𞹟𞸎، 󰄮󰄮𞹟𞸑 تناظِران أقصر ضلعين في مثلث قائم الزاوية، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

طول الوتر في هذا المثلث يساوي مقدار القوة المحصِّلة، وهو بذلك، يُعطَى بالعلاقة: 𞹟=󰃭٠١+٥󰃭󰋴٢٢󰃬󰃬+󰃭٥٢+٥󰃭󰋴٢٢󰃬󰃬𞹟=󰌁󰌀󰌀󰌂󰃭٠١+٥󰃭󰋴٢٢󰃬󰃬+󰃭٥٢+٥󰃭󰋴٢٢󰃬󰃬.٢𞸇٢٢𞸇٢٢

نستخدم فقط الجذر الموجب لـ 𞹟٢𞸇؛ لأن مقدار أيِّ قوةٍ يكون موجبًا بالضرورة.

بالتقريب لأقرب منزلة عشرية، هذا يساوي ٣١٫٦ نيوتن.

تؤثِّر هذه القوة المحصِّلة بزاوية 𝜃 مع الأفقي، ويُمكننا إيجاد قياسها باستخدام المعادلة: 𝜃=𞹟𞹟𝜃=󰃁٥٢+٥󰃁󰃀󰃀󰃁٠١+٥󰃁󰃀󰃀.𞸑𞸎󰋴٢٢󰋴٢٢

يُمكننا استخدام هذه الصيغة للحصول على 𝜃: 𝜃=󰃁٥٢+٥󰃁󰃀󰃀󰃁٠١+٥󰃁󰃀󰃀.١󰋴٢٢󰋴٢٢

بالتقريب لأقرب منزلة عشرية، هذا يساوي ٦٫٤٦.

لا يُوجَد حدٌّ لعدد القُوى التي يُمكن أن تؤثِّر عند نقطة. يُمكن تحليل كلِّ قوة تؤثِّر عند نقطة إلى مركِّبتين متعامِدتين. دعونا نلقِ نظرةً على مثال يضمُّ ستَّ قوًى تؤثِّر عند نقطة.

مثال ٢: إيجاد محصِّلة ستِّ قوًى تؤثِّر على شكل سداسي منتظم عند نقطة

يوضِّح الرسم الشكل السداسي المنتظِم 󰏡𞸁𞸢𞸃𞸤𞸅، الذي تتقاطع أقطاره عند النقطة 𞸌. القُوى الستُّ الموضَّحة التي تؤثِّر عند 𞸌 مقيسةٌ بوحدة نيوتن. أوجد مقدار المحصِّلة 𞸇 للقُوى، والزاوية المحصورة 𝜃، بين محصِّلة القُوى والاتجاه الموجب للمحور 𞸎. قرِّب قيمة 𝜃 لأقرب دقيقة، إذا لزم الأمر.

الحل

يتكوَّن الشكل السداسي من ٦ مثلثات متساوية الأضلاع؛ ومن ثَمَّ فإن الزاوية المحصورة بين أيِّ قوتين تُناظِران ضلعين في أيِّ مثلث من هذه المثلثات تساوي ٠٦.

بأخْذ الزوايا من المحور 𞸎 في اتجاه دوران عقارب الساعة، فإن القوة المحصِّلة التي تؤثِّر في اتجاه المحور 𞸎 تُعطَى بالعلاقة: 𞹟=٣٦+٧٢(٠٦)+٤٤(٠٢١)٥٦+٩٢(٠٤٢)+٠٦(٠٠٣)𞹟=٣٦+٧٢٢٢٢٥٦٩٢٢+٠٣=٥.𞸎𞸎

نتذكَّر أن: (٠٩)=(٠٧٢)=٠، القوة المحصِّلة التي تؤثِّر في اتجاه المحور 𞸑 تُعطَى بالعلاقة: 𞹟=٠٦(٠٣)+٧٢(٠٥١)+٤٤(٠١٢)+٩٢(٠٣٣)𞹟=٠٦󰃭󰋴٣٢󰃬٧٢󰃭󰋴٣٢󰃬٤٤󰃭󰋴٣٢󰃬+٩٢󰃭󰋴٣٢󰃬𞹟=(٠٦+٩٢٧٢٤٤)󰃭󰋴٣٢󰃬=٨١󰃭󰋴٣٢󰃬=٩󰋴٣.𞸑𞸑𞸑

󰄮󰄮𞹟𞸎، 󰄮󰄮𞹟𞸑 تُناظِران أقصر ضلعين في مثلث قائم الزاوية. طول الوتر في هذا المثلث يساوي مقدار القوة المحصِّلة، وهو بذلك، يُعطَى بالعلاقة: 𞹟=(٥)+󰂔٩󰋴٣󰂓𞹟=٥٢+٣٤٢=٨٦٢𞹟=󰋴٨٦٢=٢󰋺٨٦٢٢=٢󰋴٧٦.٢𞸇٢٢٢𞸇𞸇٢

نستخدم فقط الجذر الموجب لـ 𞹟٢𞸇؛ لأن مقدار أيِّ قوة يكون موجبًا بالضرورة.

تؤثِّر هذه القوة المحصِّلة بزاوية 𝜃 مع الأفقي ويُمكن إيجاد قياسها باستخدام المعادلة: 𝜃=󰃭٩󰋴٣٥󰃬.١

لأقرب دقيقة، هذا يساوي ٢٧٣١.

يُمكن التعبير عن أيِّ قوة بدلالة مركِّبتيها المتعامِدتين؛ حيث يُعبَّر عن كلِّ مركِّبة باعتبارها طول متجه وحدة في اتجاه عمودي على المركِّبة الأخرى. دعونا نلقِ نظرةً على مثال يُعبَّر فيه عن محصِّلة القُوى بهذه الطريقة المحدَّدة.

مثال ٣: إيجاد مقدار واتجاه محصِّلة ثلاثِ قوًى تؤثِّر عند نقطة

محصِّلة القُوى 󰄮󰄮𞹟=󰁓٤󰄮󰄮󰄮𞹎+٢󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒١، 󰄮󰄮𞹟=󰁓٥󰄮󰄮󰄮𞹎٧󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒٢، 󰄮󰄮𞹟=󰁓٢󰄮󰄮󰄮𞹎+٩󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒٣ تصنع زاوية 𝜃 مع الاتجاه الموجب للمحور 𞸎. أوجد مقدار المحصِّلة 𞸇، وقيمة 𝜃.

الحل

محصِّلة القوى 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢، 󰄮󰄮𞹟٣ في اتجاه المحور 𞸎، هي مجموع المركِّبات في اتجاه 󰄮󰄮󰄮𞹎 لهذه القُوى، والتي تُعطَى بالعلاقة: 𞹟=٤+٥+٢=٣.𞸎

محصِّلة القُوى 󰄮󰄮𞹟١، 󰄮󰄮𞹟٢، 󰄮󰄮𞹟٣ في اتجاه المحور 𞸑، هي مجموع المركِّبات في اتجاه 󰄮󰄮󰄮𞹑 لهذه القُوى، والتي تُعطَى بالعلاقة: 𞹟=٢٧+٩=٤.𞸑

مركِّبات 󰄮󰄮𞹟𞸎، 󰄮󰄮𞹟𞸑 المجمَّعة موضَّحة باعتبارها متجهات قوًى في الشكل الآتي. المستقيم الواصِل من ذيل المتجه 󰄮󰄮𞹟١𞸎 إلى رأس المتجه 󰄮󰄮𞹟٣𞸑 يمثِّل المحصِّلة 𞸇، للمركِّبات.

يُمكن إيجاد مقدار المحصِّلة 𞸇 باستخدام نظرية فيثاغورس: 𞸇=٣+٤=٩+٦١=٥٢𞸇=󰋴٥٢=٥.٢٢٢

يُمكن إيجاد ظلِّ الزاوية 𝜃 مع الأفقي التي تؤثِّر بها القوة المحصِّلة باستخدام الصيغة: 𝜃=𞹟𞹟=٤٣.𞸑𞸎

والآن، دعونا نلقِ نظرةً على مثال غير مُعطًى فيه مباشرة الزوايا التي تؤثِّر عندها القُوى.

مثال ٤: إيجاد محصِّلة أربع قوًى تؤثِّر عند نقطة في مثلث

󰏡𞸁𞸢 مثلث قائم الزاوية في 𞸁؛ حيث 󰏡𞸁=٢٣، 𞸁𞸢=٤٢، 𞸃󰏡𞸢، 𞸁𞸃=𞸃𞸢. تؤثِّر أربع قوًى مقاديرها ٢، ٣، ١٩، ١٤ نيوتن عند النقطة 𞸁 في اتجاه 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁، 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢، 󰄮󰄮󰄮𞸢󰏡، 󰄮󰄮󰄮𞸁𞸃، على الترتيب. أوجد مقدار محصِّلة هذه القُوى.

الحل

من المُفيد أن نرسم أولًا المثلث 󰏡𞸁𞸢 لإيجاد ما الذي يُمكن أن يكشفه عن الاتجاهات التي تؤثِّر فيها القوتان ١٩ نيوتن، ١٤ نيوتن. يوضِّح الشكل الآتي 󰏡𞸁𞸢.

ظلُّ الزاوية 𝜃 يُعطَى بالعلاقة: 𝜃=٤٢٢٣=٣٤.

باعتبار أن ضلعي المثلث 󰏡𞸁𞸢 المقابل والمجاور للزاوية 𝜃 طولهما ٣𞸋، ٤𞸋، على الترتيب، فإن طول وتر المثلث 󰏡𞸁𞸢 يُعطَى بالعلاقة: 𞸅=󰋴(٣𞸋)+(٤𞸋)=󰋴(٥٢𞸋)=٥𞸋.٢٢٢

ومن ثَمَّ، نجد أن: 𝜃=٣٥، 𝜃=٤٥.

الاتجاهات التي تؤثِّر فيها القُوى عند 𞸁 موضَّحة في الشكل الآتي.

ومن ذلك، نجد أن القوة المحصِّلة التي تؤثِّر في اتجاه المحور 𞸎، باعتبار 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 اتجاهًا موجبًا، تُعطَى بالعلاقة: 𞹟=٢٤١𝜃٩١𝜃𞹟=٢٣٣𝜃𞹟=٢٣٣󰂔٤٥󰂓=٤٫٤٢.𞸎𞸎𞸎

القوة المحصِّلة التي تؤثِّر في اتجاه المحور 𞸑، باعتبار 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢 اتجاهًا موجبًا، تُعطَى بالعلاقة: 𞹟=٣+٤١𝜃٩١𝜃𞹟=٣٥𝜃𞹟=٣٥󰂔٣٥󰂓=٣٣=٠.𞸑𞸑𞸑

مقدار القوة المحصِّلة يساوي مقدار القوة المحصِّلة في اتجاه المحور 𞸎، وهو يساوي ٢٤٫٤ نيوتن.

دعونا نلقِ نظرةً على مثال معلوم فيه محصِّلة مجموعة من القُوى، لكن بعض القُوى المساهِمة في المحصِّلة مجهول مقدارها.

مثال ٥: إيجاد مقدار قوتين مجهولتين ضمن مجموعة من القُوى بمعلومية مخطط الجسم الحر

تؤثِّر قوًى مقاديرها 𞹟، ١٦، 𞸊، ١٨، ٩󰋴٣ نيوتن عند نقطة في الاتجاهات الموضَّحة بالمخطط. مقدار محصِّلتها 𞸇 يساوي ٢٠ نيوتن. أوجد قيمة كلٍّ من 𞹟، 𞸊.

الحل

الزاوية المحصورة بين المحور الأفقي والقوة التي مقدارها ١٦ نيوتن تساوي: ٠٩٠٣=٠٦.

القوة المحصِّلة التي تؤثِّر في اتجاه المحور 𞸎 تُعطَى بالعلاقة: 𞹟=𞹟+٦١(٠٦)٨١=𞹟+٨٨١=𞹟٠١.𞸎

القوة المحصِّلة التي تؤثِّر في اتجاه المحور 𞸑 تُعطَى بالعلاقة: 𞹟=𞸊+٦١(٠٦)٩󰋴٣=𞸊+٨󰋴٣٩󰋴٣=𞸊󰋴٣.𞸑

المحصِّلة 𞸇 مقدارها ٢٠ نيوتن. 𞸇 لها مركِّبة أفقية تساوي 𞹟𞸎، ومركِّبة رأسية تساوي 𞹟𞸑. وبذلك نَجِد أن: 𞹟٠١=٠٢(٠٣)𞹟٠١=٠١󰋴٣𞹟=٠١+٠١󰋴٣.

كما نَجِد أن: 𞸊󰋴٣=٠٢(٠٣)𞸊󰋴٣=٠١𞸊=٠١+󰋴٣.

يُمكننا التأكُّد من أن هذه القِيَم لـ 𞹟، 𞸊 تكون صحيحة عن طريق التعويض بهذه القِيَم في المقادير التي تعبِّر عن 𞹟𞸎، 𞹟𞸑: 𞹟=٠١+٠١󰋴٣٠١=٠١󰋴٣،𞹟=٠١+󰋴٣󰋴٣=٠١.𞸎𞸑

ويُعطَى مقدار المحصِّلة بالعلاقة: 𞸇=󰋷𞹟+𞹟=󰋺󰂔٠١󰋴٣󰂓+٠١=󰋴٠٠١(٣)+٠٠١=󰋴٠٠٤=٠٢،٢𞸎٢𞸑٢٢ وهي قيمة 𞸇 المذكورة في السؤال.

دعونا نلخِّص ما تعلَّمناه في هذه الأمثلة.

النقاط الرئيسية

  • يُمكن جمع عدَّة قوًى عن طريق جمع المركِّبات المتعامِدة لهذه القُوى، وإيجاد محصِّلة المركِّبات.
  • إذا كان 𞹟١ هي إحدى المركِّبتين المتعامِدتين للقوة 󰄮󰄮𞹟، فإن مقدار 𞹟١ يُعطَى بالعلاقة: 𞹟=𞹟(𝜃)،١ حيث 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين 󰄮󰄮𞹟، 𞹟١، ومقدار 𞹟٢، وهي المركِّبة العمودية على القوة 𞹟١ يُعطَى بالعلاقة: 𞹟=𞹟(𝜃).٢
  • مقدار محصِّلة المركِّبتين المتعامِدتين للقوة يُعطَى بالعلاقة: 𞹟=󰋷𞹟+𞹟.٢١٢٢
  • إذا كانت القوة 󰄮󰄮𞹟󰏡 تُعطَى بالعلاقة: 󰄮󰄮𞹟=𞸎󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸑󰄮󰄮󰄮𞹑+𞸏󰄮󰄮𞹏󰏡󰏡󰏡󰏡 والقوة 󰄮󰄮𞹟𞸁 تُعطَى بالعلاقة: 󰄮󰄮𞹟=𞸎󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸑󰄮󰄮󰄮𞹑+𞸏󰄮󰄮𞹏،𞸁𞸁𞸁𞸁 فإن محصِّلة هاتين القوتين تُعطَى بالعلاقة: 󰄮󰄮𞹟+󰄮󰄮𞹟=󰁓𞸎+𞸎󰁒󰄮󰄮󰄮𞹎+󰁓𞸑+𞸑󰁒󰄮󰄮󰄮𞹑+󰁓𞸏+𞸏󰁒󰄮󰄮𞹏.󰏡𞸁󰏡𞸁󰏡𞸁󰏡𞸁

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.