في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد محصلة مجموعة قوًى تؤثِّر عند نقطة.
هيا نفترض أن عدة قوى تؤثِّر عند نقطة، مثلما هو الحال في الشكل الآتي.
نُطلِق على القوة الكلية التي يؤثِّر بها اتحاد جميع القوى اسم القوة المحصلة. ويمثِّلها، في هذه الحالة، المتجه الموضَّح في الشكل الآتي.
لحساب محصلة أي عدد من القوى، يمكننا جمع القوى معًا باستخدام طريقة الرأس للذيل. وهذا يعني أن نحرِّك نقطة بداية (أو ذيل) القوة إلى نقطة نهاية (أو رأس) القوة ، ونحرِّك ذيل القوة إلى رأس القوة ، وتكرار الأمر نفسه مع أي عدد من القوى لدينا. ويوضِّح الشكل الآتي ناتج عملية الجمع هذه.
نلاحظ أن عملية الجمع تُعطينا مضلعًا من القوى تكون فيه القوة المحصلة هي الضلع الذي تكوَّن عن طريق وَصْل نقطة البداية برأس القوة الأخيرة، .
توجد طريقة أخرى لإيجاد المحصلة، وهي جمع المركبات المتعامدة لكل قوة معًا. هيا نفترض أن لدينا القوة ، التي يمكن تحليلها إلى المركبتين الأفقية والرأسية ، ، وكذلك القوة التي يمكن تحليلها إلى ، . بعد ذلك، يمكننا إيجاد محصلة هاتين القوتين عن طريق جمع المركبات، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.
المركبتان المتعامدتان للقوة سنُسمِّيهما ، ، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.
ويُعطى مقدار القوة بالعلاقة: حيث هي الزاوية المحصورة بين ، ، والزاوية هي الزاوية المحصورة بين ، .
، وهي المركبة العمودية على ، تُعطى بالعلاقة:
ويُعطى مقدار محصلة المركبتين المتعامدتين لقوة ما بالعلاقة:
هيا نتناول مثالًا لعدة قوى تؤثِّر عند نقطة.
مثال ١: إيجاد مقدار واتجاه القوة المحصِّلة لثلاث قوًى تؤثِّر على جسم
جسم تؤثِّر عليه قوة مقدارها ١٠ نيوتن أفقيًّا، وتؤثِّر عليه قوة مقدارها ٢٥ نيوتن رأسيًّا لأعلى، وتؤثِّر عليه قوة مقدارها ٥ نيوتن بزاوية مع الأفقي، كما هو موضَّح في الشكل. ما مقدار القوة المحصلة المفردة التي تؤثِّر على الجسم، وبأيِّ زاوية مع الأفقي تؤثِّر هذه القوة المحصلة على الجسم؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.
الحل
يُمكن تحليل القوة التي مقدارها ٥ نيوتن إلى مركِّبتين متعامدتين موازيتين للمحورين ، ، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.
القوة المحصلة التي تؤثِّر في اتجاه المحور ، تُعطى بالعلاقة:
القوة المحصلة التي تؤثِّر في اتجاه المحور ، تُعطى بالعلاقة:
، تناظِران أقصر ضلعين في مثلث قائم الزاوية، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.
طول الوتر في هذا المثلث يساوي مقدار القوة المحصِّلة، وهو بذلك يُعطَى بالعلاقة:
نستخدم فقط الجذر الموجب لـ ؛ لأن مقدار أيِّ قوةٍ يكون موجبًا بالضرورة.
بالتقريب لأقرب منزلة عشرية، هذا يساوي ٣١٫٦ نيوتن.
تؤثِّر هذه القوة المحصِّلة بزاوية مع الأفقي، ويُمكننا إيجاد قياسها باستخدام المعادلة:
يُمكننا استخدام هذه الصيغة للحصول على :
بالتقريب لأقرب منزلة عشرية، هذا يساوي .
لا يُوجَد حدٌّ لعدد القُوى التي يُمكن أن تؤثِّر عند نقطة. ويُمكن تحليل كلِّ قوة تؤثِّر عند نقطة إلى مركِّبتين متعامدتين. هيا نُلقِ نظرةً على مثال يضمُّ ستَّ قوًى تؤثِّر عند نقطة.
مثال ٢: إيجاد محصِّلة ستِّ قوًى تؤثِّر على شكل سداسي منتظم عند نقطة
يوضِّح الرسمُ الشكلَ السداسي المنتظم الذي تتقاطع أقطاره عند النقطة . القوى الست الموضَّحة التي تؤثِّر عند مقيسة بالنيوتن. أوجد مقدار المحصلة للقوى، والزاوية المحصورة، ، بين محصلة القوى والاتجاه الموجب للمحور . قرِّب لأقرب دقيقة، إذا لزم الأمر.
الحل
يتكوَّن الشكل السداسي من ٦ مثلثات متساوية الأضلاع؛ ومن ثَمَّ، فإن الزاوية المحصورة بين أي قوتين تُناظِران ضلعين في أيِّ مثلث من هذه المثلثات تساوي .
بأخذ الزوايا من المحور في اتجاه دوران عقارب الساعة، فإن القوة المحصِّلة التي تؤثِّر في اتجاه المحور تُعطى بالعلاقة:
لعلنا نتذكَّر أن: القوة المحصِّلة التي تؤثِّر في اتجاه المحور تُعطى بالعلاقة:
، تُناظِران أقصر ضلعين في مثلث قائم الزاوية. وطول الوتر في هذا المثلث يساوي مقدار القوة المحصِّلة؛ ومن ثَمَّ، يُعطَى بالعلاقة:
نستخدم فقط الجذر الموجب لـ ؛ لأن مقدار أيِّ قوة يكون موجبًا بالضرورة.
تؤثِّر هذه القوة المحصِّلة بزاوية مع الأفقي، ويُمكن إيجاد قياسها باستخدام المعادلة:
ومن ثَمَّ، لأقرب دقيقة، هذا يساوي .
يُمكن التعبير عن أيِّ قوة بدلالة مركِّبتيها المتعامدتين؛ حيث يُعبَّر عن كلِّ مركِّبة باعتبارها طول متجه وحدة في اتجاه عمودي على المركِّبة الأخرى. هيا نتناول مثالًا يُعبَّر فيه عن محصِّلة القُوى بهذه الطريقة تحديدًا.
مثال ٣: إيجاد مقدار واتجاه محصِّلة ثلاثِ قوًى تؤثِّر عند نقطة
محصلة القوى ، ، ، تصنع زاوية مع الاتجاه الموجب للمحور . أوجد مقدار المحصلة ، وقيمة .
الحل
محصِّلة القوى ، ، ، في اتجاه المحور ، هي مجموع المركِّبات في اتجاه لهذه القُوى، التي تُعطَى بالعلاقة:
محصِّلة القوى ، ، ، في اتجاه المحور ، هي مجموع المركِّبات في اتجاه لهذه القُوى، التي تُعطَى بالعلاقة:
ومركِّبات ، المجمَّعة موضَّحة باعتبارها متجهات قوًى في الشكل الآتي. والمستقيم الواصِل من ذيل المتجه إلى رأس المتجه يمثِّل المحصلة ، للمركِّبات.
يُمكن إيجاد مقدار المحصِّلة باستخدام نظرية فيثاغورس:
ويُمكن إيجاد ظلِّ الزاوية مع الأفقي التي تؤثِّر بها القوة المحصِّلة باستخدام الصيغة:
والآن، هيا نتناول مثالًا ليس معطاة فيه الزوايا التي تؤثِّر عندها القُوى مباشرةً.
مثال ٤: إيجاد محصِّلة أربع قوًى تؤثِّر عند نقطة في مثلث
مثلث قائم الزاوية في ؛ حيث ، ، ، . تؤثِّر أربع قوى مقاديرها ٢، ٣، ١٩، ١٤ نيوتن عند النقطة في اتجاه ، ، ، ، على الترتيب. أوجد مقدار محصلة هذه القوى.
الحل
من المُفيد أن نرسم أولًا المثلث لإيجاد ما الذي يُمكن أن يكشفه عن الاتجاهات التي تؤثِّر فيها القوتان ١٩ نيوتن، ١٤ نيوتن. ويوضِّح الشكل الآتي المثلث .
يُعطى ظل الزاوية بالعلاقة:
وباعتبار أن ضلعَي المثلث المقابل والمجاور للزاوية طولهما.، ، على الترتيب، فإن طول وتر المثلث يُعطَى بالعلاقة:
ومن ثَمَّ، نجد أن: و:
الاتجاهات التي تؤثِّر فيها القُوى عند موضَّحة في الشكل الآتي.
ومن ذلك، نجد أن القوة المحصِّلة التي تؤثِّر في اتجاه المحور ، باعتبار اتجاهًا موجبًا، تُعطَى بالعلاقة:
والقوة المحصِّلة التي تؤثِّر في اتجاه المحور ، باعتبار اتجاهًا موجبًا، تُعطَى بالعلاقة:
إذن مقدار القوة المحصِّلة يساوي مقدار القوة المحصِّلة في اتجاه المحور ، وهو ما يساوي ٢٤٫٤ نيوتن.
هيا نتناول مثالًا تكون فيه محصِّلة مجموعة من القُوى معلومة، لكن مقادير بعض القُوى المساهِمة في المحصِّلة تكون مجهولة.
مثال ٥: إيجاد مقدارَي قوتين مجهولتين ضمن مجموعة من القُوى بمعلومية مخطط الجسم الحر
تؤثِّر قوى مقاديرها ، ١٦، ١٨، نيوتن عند نقطة في الاتجاهات الموضَّحة بالمُخطَّط. مقدار محصلتها يساوي ٢٠ نيوتن. أوجد قيمة كلٍّ من ، .
الحل
الزاوية المحصورة بين المحور الأفقي والقوة التي مقدارها ١٦ نيوتن تساوي:
القوة المحصِّلة التي تؤثِّر في اتجاه المحور تُعطَى بالعلاقة:
القوة المحصِّلة التي تؤثِّر في اتجاه المحور تُعطَى بالعلاقة:
والمحصِّلة مقدارها ٢٠ نيوتن. لها مركِّبة أفقية تساوي ، ومركِّبة رأسية تساوي . ومن ثَمَّ، نجد أن:
ونجد أيضًا أن:
ويُمكننا التأكُّد من أن قيمتَي ، هاتين صحيحتان من خلال التعويض بهاتين القيمتين في المقادير التي تعبِّر عن ، :
ويُعطَى مقدار المحصِّلة بالعلاقة: وهي قيمة المذكورة في السؤال.
هيا نلخِّص ما تعلَّمناه في هذه الأمثلة.
النقاط الرئيسية
- يُمكن جمع عدَّة قوًى عن طريق جمع المركِّبات المتعامِدة لهذه القُوى، وإيجاد محصِّلة المركِّبات.
- إذا كانت إحدى المركِّبتين المتعامدتين للقوة ، فإن مقدار يُعطى بالعلاقة: حيث هي الزاوية المحصورة بين ، . ومقدار ، وهي المركِّبة العمودية على القوة ، يُعطَى بالعلاقة:
- مقدار محصِّلة المركِّبتين المتعامِدتين لقوة يُعطَى بالعلاقة:
- إذا كانت القوة تُعطَى بالعلاقة: والقوة تُعطَى بالعلاقة: فإن محصِّلة هاتين القوتين تُعطَى بالعلاقة:
