تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: الدوال الكثيرات الحدود الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُعرِّف دالة كثيرة الحدود ذات متغيِّر واحد، ونكتبها، ونُوجِد قيمتها، ونُحدِّد درجتها ومعاملها الرئيسي.

تظهر دوال كثيرات الحدود في جميع مجالات العلوم وفي العديد من التطبيقات الحياتية؛ ومنها الميكانيكا والشئون المالية. على سبيل المثال، يمكن حساب مساحات العديد من الأشكال وحجومها باستخدام دوال كثيرات الحدود. إذا افترضنا أن لدينا الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٢، فإنه يمكننا استخدامها لحساب مساحة مربع طول ضلعه 𞸎. وهنا تكون القيمة المُخرَجة للدالة 󰎨(𞸎) هي مساحة مربع طول ضلعه 𞸎.

لنفهم المقصود بكثيرات الحدود، علينا أن نبدأ بالعناصر الأساسية المكوِّنة لكثيرات الحدود، وتلك العناصر تُعرَف باسم وحيدات الحد.

تعريف: وحيدات الحد

وحيدة الحد هي حاصل ضرب قيمة ثابتة في متغيِّر، ويتضمَّن هذا المتغيِّر أسًّا صحيحًا غير سالب.

على سبيل المثال، 𞸎٢ تعتبر وحيدة الحد؛ لأنها عبارة عن حدٍّ واحد كلُّ متغيِّر فيه له أس صحيح غير سالب. لفهم المقصود بوحيدة الحد فهمًا أفضل، هيا نُلقِ نظرة على مجموعة من المقادير ونُحدِّد أيٌّ منها وحيدات الحد.

  1. 𞸎
  2. 𞸓٣
  3. 󰋴𞸎
  4. ٠
  5. 𞸎+١٢
  6. 𞸑٢
  7. ٣٢𞸎𞸑𞸏٢

يمكننا إعادة كتابة الخيار (أ) على الصورة 𞸎١؛ أيْ بأُسٍّ صحيح موجب، إذن هذه وحيدة الحد.

يحتوي الخيار (ب) على المتغيِّر 𞸓 مرفوعًا لأس ثلاثة. لا يهم ما نُسمِّي به المتغيِّرات، إذن هذه أيضًا وحيدة الحد.

في الخيار (ج)، نتذكَّر أنه يمكننا إعادة كتابة الجذر التربيعي على صورة أس ١٢، وهذا يسمح لنا بكتابة الخيار (ج) على الصورة 𞸎١٢. وبما أن هذا الأس ليس عددًا صحيحًا، إذن يمكننا القول إن هذا المقدار ليس وحيد الحد.

في الخيار (د)، نلاحظ أن الصفر مثال على وحيدة الحد؛ لأنه يمكننا كتابته على الصورة ٠𞸎. وبالمثل، العدد ١ مثال على وحيدة الحد؛ حيث يمكن كتابته على الصورة 𞸎٠. في الواقع، أيُّ قيمة ثابتة 𞸖 هي وحيدة الحد، حيث يمكن كتابتها على الصورة 𞸖𞸎٠.

في الخيار (هـ)، يمكننا استنتاج أن 𞸎+١٢ ليست وحيدة الحد؛ لأن المقدار يحتوي على عدة حدود، بل هو مجموع لوحيدات الحد.

في الخيار (و)، نلاحظ أن 𞸑٢ يحتوي على أس سالب، إذن فهو ليس مقدار وحيد الحد.

وأخيرًا، في الخيار (ز) نلاحظ أن المقدار ٣٢𞸎𞸑𞸏٢ وحيد الحد؛ لأنه يتكوَّن من حدٍّ واحد، وكل متغيِّر مرفوع لأس صحيح. وحقيقة أن الثابت ٣٢ ليس عددًا صحيحًا لا تهمنا؛ لأننا نحتاج إلى أن تكون أسس المتغيِّرات فقط أعدادًا صحيحة.

نحن الآن جاهزون لتعريف كثيرات الحدود باستخدام فهمنا لوحيدات الحد.

تعريف: دوال كثيرات الحدود

كثيرة الحدود هي مقدار مكوَّن من مجموع وحيدات الحد، ويُسمَّى كلُّ حد فيها وحيدة الحد. الدالة المكوَّنة من عدة حدود تُسمَّى «دالة كثيرة الحدود».

على سبيل المثال، رأينا أن 𞸎+١٢ ليست وحيدة الحد، بل كثيرة الحدود؛ لأنها مجموع اثنتين من وحيدات الحد. كما يمكننا القول إن 󰎨(𞸎)=𞸎+١٢ دالة كثيرة الحدود؛ وجدير بالذكر أننا غالبًا ما نتجاهل كلمة «دالة» ونقول إن 󰎨(𞸎) كثيرة الحدود فقط. ونُطلِق على هذه الدالة أيضًا كثيرة الحدود ذات المتغيِّر الواحد؛ لأن هناك متغيِّرا واحدًا فقط يظهر في كثيرة الحدود. في بقية هذا الشارح، سنركِّز بالكامل على كثيرات الحدود ذات المتغيِّر الواحد؛ حيث يكون كل حدٍّ فيها هو حاصل ضرب قيم ثابتة في متغيِّر واحد، ويجب أن يكون لهذا المتغيِّر أس صحيح غير سالب.

من الجدير بالملاحظة أن أي دالة على الصورة 󰎨(𞸎)=󰏡؛ حيث 󰏡 قيمة ثابتة، هي مثال لكثيرة حدود ذات متغيِّر واحد؛ حيث يمكننا كتابة هذه الدوال بدلالة متغيِّر واحد. على سبيل المثال، يمكن كتابة 󰎨(𞸎)=٣ على الصورة: 󰎨(𞸎)=٣𞸎.٠

ولمساعدتنا في استيعاب مفهوم كثيرات الحدود، هيا نُحدِّد أيٌّ من المقادير الآتية كثيرات الحدود:

  1. 𞸎+٣𞸎+١٢
  2. 𞸎٣
  3. ٢
  4. 𞸎+١𞸎
  5. 𞸒+𞸒٢

في الخيارين (أ) و(ب)، كل حدٍّ هو وحيدة الحد؛ ومن ثَمَّ، فكلاهما كثيرات حدود. ومن الجدير بالملاحظة أن جميع وحيدات الحد هي كثيرات حدود تحتوي على حدٍّ واحد. في الخيار (ج)، نعرف أن ٢=٢𞸎٠، إذن هذه أيضًا كثيرة الحدود.

في الخيار (د)، يمكننا كتابة الحد ١𞸎 على الصورة 𞸎١. وبما أن الأس سالب، فإن هذا الحد ليس وحيدة حد؛ ومن ثَمَّ، فالمقدار ليس كثير الحدود. وأخيرًا، في الخيار (هـ)، 𞸒+𞸒٢ هي دالة كثيرة الحدود ذات متغيِّر واحد في المتغيِّر 𞸒.

هيا نتناول الآن مثالًا على تحديد أيٌّ من قائمة الدوال هي دالة كثيرة الحدود.

مثال ١: تحديد دالة كثيرة الحدود

أيٌّ من الآتي يُمثِّل دالة كثيرة الحدود؟

  1. 󰎨(𞸎)=󰋴𞸎+٤
  2. 󰎨(𞸎)=𞸎+٢𞸎+٤٢
  3. 󰎨(𞸎)=١𞸎
  4. 󰎨(𞸎)=٢𞸎٢
  5. 󰎨(𞸎)=𞸎+٢𞸎+٤٢

الحل

نتذكَّر أن الدالة الكثيرة الحدود ذات المتغيِّر الواحد هي دالة فيها كلُّ حدٍّ هو حاصل ضرب قيم ثابتة في متغيِّر؛ وهذا المتغيِّر يجب أن تكون له أسس صحيحة غير سالبة.

نستعرض كل خيار على حدة. أولًا، نلاحظ أن الخيار (أ) يحتوي على الحد 󰋴𞸎. وباستخدام قوانين الأسس، يمكننا كتابة هذا على الصورة 󰋴𞸎=𞸎١٢. وهذا متغيِّر مرفوع لأس عدد غير صحيح، إذن هذه ليست دالة كثيرة الحدود.

ثانيًا، نلاحظ أن الخيارين (ب) و(د) يحتويان على المقدار 𞸎٢. وهذا متغيِّر مرفوع لأس سالب، إذن فهما ليسا من الدوال الكثيرة الحدود.

ثالثًا، الخيار (ج) هو الدالة 󰎨(𞸎)=١𞸎. باستخدام قوانين الأسس، يمكننا إعادة كتابة هذا على الصورة 󰎨(𞸎)=𞸎١. وهذا متغيِّر مرفوع لأس سالب أيضًا؛ إذن هذه ليست دالة كثيرة الحدود.

وأخيرًا، كلُّ حدٍّ في الخيار (هـ) هو حاصل ضرب قيم ثابتة في متغيِّر واحد؛ حيث يجب أن يكون لهذا المتغيِّر أسس صحيحة غير سالبة. على سبيل المثال، يمكننا كتابة ٢𞸎=٢𞸎١، إذن الخيار (هـ) هو كثيرة الحدود.

الخيار (هـ) فقط، 󰎨(𞸎)=𞸎+٢𞸎+٤٢، دالة كثيرة الحدود.

في المثال التالي، نكوِّن دالة كثيرة الحدود من معلومات مُعطاة في مسألة حياتية.

مثال ٢: كتابة دالة كثيرة الحدود

تتقاضى خدمة ركوب الحافلات رسومًا ثابتة مقدارها ٥ جنيهات مصرية، بالإضافة إلى جنيهيْن مصريين لكل محطة توقُّف. اكتب دالة كثيرة الحدود لتمثيل التكلفة الكلية للرحلة.

الحل

لتكوين دالة تمثِّل تكلفة الرحلة، علينا أولًا أن نُحدِّد كيفية حساب التكلفة بالضبط. يخبرنا السؤال أن هناك رسومًا ثابتة مقدارها ٥ جنيهات مصرية، وهناك تكلفة إضافية قدرها جنيهان مصريان لكل محطة توقُّف؛ لذا، هيا نُطلِق على عدد محطات التوقُّف 𞸎.

حسنًا، إذا مررنا بـ 𞸎 محطة توقُّف، فسيكون علينا دفع ٢𞸎ي زائد الرسم الثابت ٥ جنيهات مصرية، لتصبح التكلفة الكلية ٢𞸎+٥. بكتابة هذا بصيغة الدالة، يصبح لدينا: 󰎨(𞸎)=٢𞸎+٥، حيث تجدر الإشارة إلى أن قيمة 𞸎 يجب أن تكون عددًا صحيحًا موجبًا؛ لأنها تمثِّل عدد محطات التوقُّف. وهذا يعني أن مجال 󰎨 هو مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة.

من المهم التحقُّق من أن هذه دالة كثيرة الحدود؛ لأن السؤال يطلب كتابة دالة كثيرة الحدود. لنفعل ذلك، نتذكَّر أولًا أن الدالة الكثيرة الحدود ذات المتغيِّر الواحد هي دالة فيها كلُّ حدٍّ في صورة حاصل ضرب قيمة ثابتة في متغيِّر واحد؛ حيث يجب أن يكون لهذا المتغيِّر أس صحيح غير سالب. يمكننا استخدام قانون الأسس لإعادة كتابة الدالة على الصورة: 󰎨(𞸎)=٢𞸎+٥،١ حيث نرى أن الأس الوحيد للمتغيِّر هو ١، وهو عدد صحيح غير سالب. ومن ثَمَّ، تكون هذه دالة كثيرة الحدود، وتكلفة رحلة الحافلة؛ حيث 𞸎 هو عدد محطَّات التوقُّف، تُعطى بالعلاقة: 󰎨(𞸎)=٢𞸎+٥.

في المثال التالي، نُوجِد قيمة دالة كثيرة الحدود عند قيمة مُعطاة. ولفعل ذلك، نتذكَّر أنه يمكننا إيجاد قيمة أي دالة عند أي قيمة باستخدام التعويض. لأي دالة 󰎨(𞸎)، نُوجِد قيمة 󰎨(󰏡) بالتعويض بـ 𞸎=󰏡 في الدالة 󰎨(𞸎).

مثال ٣: إيجاد قيمة دالة كثيرة الحدود

إذا كانت 󰎨(𞸎)=٨𞸎٣𞸎+٤٢، فأوجد 󰎨(٣).

الحل

المطلوب منا هنا هو إيجاد قيمة 󰎨(٣). نتذكَّر أن هذه هي صيغة الدالة لقيمة 󰎨(𞸎) عند 𞸎=٣. ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد هذه القيمة بالتعويض بـ 𞸎=٣ في الدالة؛ ويُعطينا هذا: 󰎨(٣)=٨(٣)٣(٣)+٤=٨(٩)+٩+٤=٩٥.٢

إذن 󰎨(٣)=٩٥.

قبل الانتقال إلى المزيد من الأمثلة التي تتضمَّن دوال كثيرات الحدود، يمكننا مناقشة بعض المصطلحات المفيدة لتساعدنا على وصف نوع الدالة الكثيرة الحدود التي نتعامل معها.

تعريف: الدرجة والحد الرئيسي والمعامل الرئيسي لكثيرة حدود ذات متغيِّر واحد

لكثيرة حدود ذات متغيِّر واحد، نُعرِّف الآتي:

  • أكبر أس لمتغيِّر في أي حد غير صفري يُسمَّى درجتها.
  • الحد ذو أعلى درجة في كثيرة الحدود يُسمَّى الحد الرئيسي لها.
  • العامل الثابت للحد الرئيسي يُسمَّى بالمعامل الرئيسي.

على سبيل المثال، انظر الدالة الكثيرة الحدود: 󰎨(𞸎)=٠𞸎+٥𞸎+٣𞸎٢𞸎+١٢.٤٣٢

بما أن هذه كثيرة حدود ذات متغيِّر واحد، إذن درجتها هي أكبر أس في أي حدٍّ غير صفري. يمكننا استخدام قوانين الأسس لكتابة كلِّ حدٍّ بدلالة أسس 𞸎 على الصورة: 󰎨(𞸎)=٠𞸎+٥𞸎+٣𞸎٢𞸎+١٢𞸎.٤٣٢١٠

أولًا، نلاحظ أن ٠𞸎=٠٤؛ ومن ثَمَّ، فإن هذا الحد لا يدخل ضمن عملية حساب الدرجة. نُعيد كتابة الدالة على الصورة: 󰎨(𞸎)=٥𞸎+٣𞸎٢𞸎+١٢𞸎.٣٢١٠

بعد ذلك، نرى أن أكبر هذه الأسس هو ٣؛ لذا، يمكننا القول إن هذه كثيرة الحدود من الدرجة ٣. ومن ثَمَّ، فإن الحد الذي يتضمَّن 𞸎٣ هو الحد الرئيسي؛ وهو ٥𞸎٣. وأخيرًا، العامل الثابت لهذا الحد، ٥، هو المعامل الرئيسي.

في بعض أنواع كثيرات الحدود يصعب تحديد هذه القيم. على سبيل المثال، انظر الدالة الكثيرة الحدود: 󰎨(𞸎)=٥.

يمكننا كتابة كثيرة الحدود هذه بدلالة المتغيِّر على الصورة: 󰎨(𞸎)=٥𞸎.٠

ومن ثَمَّ، نجد أن أكبر أس لـ 𞸎 في حدٍّ غير صفري هو ٠، وبهذا تكون درجة كثيرة الحدود صفرًا. والحد الرئيسي هو الحد الوحيد، ٥، والمعامل الرئيسي هو أيضًا ٥.

أخيرًا، علينا معرفة الحالة الخاصة لكثيرة الحدود الصفرية، التي يمكن كتابتها مثل الدالة الكثيرة الحدود ذات المتغيِّر الواحد على الصورة: 󰎨(𞸎)=٠.

وتكون درجة كثيرة الحدود هذه هي أكبر أس لمتغيِّر في أي حدٍّ غير صفري. ولكن كل حدٍّ في هذه الدالة يساوي صفرًا؛ لذا، نترك درجة كثيرة الحدود هذه غير معرَّفة.

درجة كثيرة الحدود تخبرنا بمعلومات عن شكلها ومدى تعقيدها؛ ولذلك نُطلِق أسماءً على عائلات كثيرات الحدود بناءً على درجتها.

مصطلحات رئيسية: أسماء دوال كثيرات الحدود بناءً على درجاتها

للدوال الكثيرات الحدود ذات المتغيِّر الواحد، لدينا الآتي:

  • دالة كثيرة الحدود من الدرجة صفر تُسمَّى دالة ثابتة.
  • دالة كثيرة الحدود من الدرجة ١ تُسمَّى دالة خطية.
  • دالة كثيرة الحدود من الدرجة ٢ تُسمَّى دالة تربيعية.
  • دالة كثيرة الحدود من الدرجة ٣ تُسمَّى دالة تكعيبية.
  • دالة كثيرة الحدود من الدرجة ٤ تُسمَّى دالة من الدرجة الرابعة.
  • دالة كثيرة الحدود من الدرجة ٥ تُسمَّى دالة من الدرجة الخامسة.

دوال كثيرات الحدود من الدرجة صفر تُسمَّى دوالَّ ثابتة؛ لأنها لا تتغيَّر بتغيُّر القيمة المُدخَلة؛ ففي كثيرات الحدود ذات المتغيِّر الواحد، تكون جميع الدوال على الصورة 󰎨(𞸎)=󰏡 للثابت 󰏡. وجدير بالملاحظة أيضًا أن هناك أسماء لكثيرات الحدود من الدرجات الأعلى، لكن بعد الدرجة ٥، تكون هذه الأسماء غير شائعة الاستخدام.

نتناول الآن مثالًا على استخدام هذه التعريفات لتحديد درجة دالة كثيرة الحدود مُعطاة ومعاملها الرئيسي.

مثال ٤: تحديد الدرجة والمعامل الرئيسي لدالة كثيرة الحدود

أوجد الدرجة والمعامل الرئيسي للدالة الكثيرة الحدود 󰎨(𞸎)=٣𞸎+٢𞸎+٥𞸎+٧٤٣٢.

الحل

لعلنا نتذكَّر أنه في كثيرة الحدود ذات المتغيِّر الواحد، يُسمَّى الأس الأكبر لمتغيِّر في أي حدٍّ غير صفري «الدرجة»، ويُسمَّى الحد ذو أعلى درجة في كثيرة الحدود «الحد الرئيسي»، ويُسمَّى العامل الثابت للحد الرئيسي «المعامل الرئيسي».

بما أن المتغيِّر الوحيد في كثيرة الحدود هذه هو 𞸎، إذن علينا أن نُحدِّد أكبر أس لـ 𞸎 في حدٍّ غير صفري. باستخدام قوانين الأسس، يمكننا إعادة كتابة الدالة كالآتي: 󰎨(𞸎)=٣𞸎+٢𞸎+٥𞸎+٧𞸎.٤٣٢٠

نرى أن أكبر أس لـ 𞸎 يساوي ٤، إذن درجة هذه الدالة الكثيرة الحدود هي ٤. ومن ثَمَّ، فإن الحد الذي يتضمَّن 𞸎٤ يُسمَّى بالحد الرئيسي، وفي هذه الحالة، هو الحد ٣𞸎٤. وأخيرًا، العامل الثابت في الحد الرئيسي هو المعامل الرئيسي، والعامل الثابت في ٣𞸎٤ هو ٣.

إذن درجة 󰎨(𞸎) هي ٤، والمعامل الرئيسي هو ٣.

في المثال الآتي، سنُحدِّد نوع دالة كثيرة الحدود مُعطاة.

مثال ٥: تحديد نوع الدالة الكثيرة الحدود

حدِّد اسم الدالة الكثيرة الحدود 󰎨(𞸎)=٢𞸎+٤𞸎+٣𞸎+٥٢٣.

الحل

نتذكَّر أننا نُسمِّي الدوال الكثيرات الحدود بناءً على درجاتها، ونعلم أنه في حالة الكثيرة الحدود ذات المتغيِّر الواحد، يُسمَّى الأس الأكبر للمتغيِّر في أي حدٍّ غير صفري «الدرجة». يمكننا تحديد درجة كثيرة الحدود هذه باستخدام قوانين الأسس لإعادة كتابة الدالة كالآتي: 󰎨(𞸎)=٢𞸎+٤𞸎+٣𞸎+٥𞸎.٢٣١٠

أكبر أس لـ 𞸎 هو ٣؛ إذن هذه هي درجة كثيرة الحدود. وأخيرًا، نتذكَّر أننا نُطلِق على جميع الدوال الكثيرات الحدود ذات المتغيِّر الواحد من الدرجة الثالثة «دوالَّ تكعيبية».

ومن ثَمَّ، فإن 󰎨(𞸎) دالة تكعيبية.

في المثال الأخير، نُوجِد قيمة دالة كثيرة الحدود عند مقدار جبري.

مثال ٦: التعويض بمقدار تربيعي في دالة تكعيبية

لدينا الدالة الكثيرة الحدود 󰎨(𞸎)=٢𞸎+٥𞸎٧𞸎+٠١٣٢. أوجد قيمة 󰎨󰁓𞸎+١󰁒٢.

الحل

علينا هنا التعويض بمقدار تربيعي في دالة تكعيبية. ولفعل ذلك، علينا استبدال المتغيِّر 𞸎، في الدالة التكعيبية واستخدام المقدار 𞸎+١٢. وهو ما يُعطينا: 󰎨󰁓𞸎+١󰁒=٢󰁓𞸎+١󰁒+٥󰁓𞸎+١󰁒٧󰁓𞸎+١󰁒+٠١.٢٢٣٢٢٢

يمكننا أن نترك الإجابة على هذه الصورة؛ ولكن الأفضل دائمًا تبسيط أي دالة قدر الإمكان. نوزِّع الأسس على الأقواس، لنحصل على: 󰎨󰁓𞸎+١󰁒=٢󰁓𞸎+١󰁒+٥󰁓𞸎+١󰁒٧󰁓𞸎+١󰁒+٠١=٢󰁓𞸎+٣𞸎+٣𞸎+١󰁒+٥󰁓𞸎+٢𞸎+١󰁒٧󰁓𞸎+١󰁒+٠١.٢٢٣٢٢٢٦٤٢٤٢٢

وأخيرًا، نوزِّع المعاملات على الأقواس ونجمع الحدود المتشابهة، لنحصل على: 󰎨󰁓𞸎+١󰁒=٢𞸎+٦𞸎+٦𞸎+٢+٥𞸎+٠١𞸎+٥٧𞸎٧+٠١=٢𞸎+١١𞸎+٩𞸎+٠١.٢٦٤٢٤٢٢٦٤٢

ومن ثَمَّ، 󰎨󰁓𞸎+١󰁒=٢𞸎+١١𞸎+٩𞸎+٠١٢٦٤٢.

هيا نُنهِ هذا الشارح بتلخيص بعض النقاط المهمة التي تناولناها.

النقاط الرئيسية

  • وحيدة الحد هي حاصل ضرب قيمة ثابتة في متغيِّر، ويتضمَّن هذا المتغيِّر أسًّا صحيحًا غير سالب.
  • كثيرة الحدود هي مقدار مكوَّن من مجموع وحيدات الحد؛ حيث يُسمَّى كلُّ حدٍّ وحيدة الحد. كل حدٍّ هو حاصل ضرب قيمة ثابتة في متغيِّر، ويتضمَّن هذا المتغيِّر أسًّا صحيحًا غير سالب.
  • كثيرة الحدود ذات المتغيِّر الواحد هي كثيرة حدود تحتوي على متغيِّر واحد فقط.
  • أكبر أس في أي حدٍّ غير صفري في كثيرة الحدود ذات المتغيِّر الواحد يُسمَّى «الدرجة»، والحد ذو أعلى درجة في كثيرة الحدود يُسمَّى «الحد الرئيسي»، والعامل الثابت للحد الرئيسي يُسمَّى «المعامل الرئيسي».
  • الدوال الكثيرات الحدود لها أسماء مختلفة بناءً على درجتها. للدوال الكثيرات الحدود ذات المتغيِّر الواحد، يكون لدينا الآتي:
    • دالة كثيرة الحدود من الدرجة صفر تُسمَّى دالة ثابتة.
    • دالة كثيرة الحدود من الدرجة ١ تُسمَّى دالة خطية.
    • دالة كثيرة الحدود من الدرجة ٢ تُسمَّى دالة تربيعية.
    • دالة كثيرة الحدود من الدرجة ٣ تُسمَّى دالة تكعيبية.
    • دالة كثيرة الحدود من الدرجة ٤ تُسمَّى دالة من الدرجة الرابعة.
    • دالة كثيرة الحدود من الدرجة ٥ تُسمَّى دالة من الدرجة الخامسة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.