شارح الدرس: الدوال الكثيرات الحدود الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُعرِّف دالة كثيرة الحدود ذات متغيِّر واحد، ونكتبها، ونُوجِد قيمتها، ونُحدِّد درجتها ومعاملها الرئيسي.

تظهر دوال كثيرات الحدود في جميع مجالات العلوم وفي العديد من التطبيقات الحياتية؛ ومنها الميكانيكا والشئون المالية. على سبيل المثال، يمكن حساب مساحات العديد من الأشكال وحجومها باستخدام دوال كثيرات الحدود. إذا افترضنا أن لدينا الدالة ، فإنه يمكننا استخدامها لحساب مساحة مربع طول ضلعه . وهنا تكون القيمة المُخرَجة للدالة هي مساحة مربع طول ضلعه .

لنفهم المقصود بكثيرات الحدود، علينا أن نبدأ بالعناصر الأساسية المكوِّنة لكثيرات الحدود، وتلك العناصر تُعرَف باسم وحيدات الحد.

على سبيل المثال، تعتبر وحيدة الحد؛ لأنها عبارة عن حدٍّ واحد كلُّ متغيِّر فيه له أس صحيح غير سالب. لفهم المقصود بوحيدة الحد فهمًا أفضل، هيا نُلقِ نظرة على مجموعة من المقادير ونُحدِّد أيٌّ منها وحيدات الحد.

4. ٠

يمكننا إعادة كتابة الخيار (أ) على الصورة ؛ أيْ بأُسٍّ صحيح موجب، إذن هذه وحيدة الحد.

يحتوي الخيار (ب) على المتغيِّر مرفوعًا لأس ثلاثة. لا يهم ما نُسمِّي به المتغيِّرات، إذن هذه أيضًا وحيدة الحد.

في الخيار (ج)، نتذكَّر أنه يمكننا إعادة كتابة الجذر التربيعي على صورة أس ، وهذا يسمح لنا بكتابة الخيار (ج) على الصورة . وبما أن هذا الأس ليس عددًا صحيحًا، إذن يمكننا القول إن هذا المقدار ليس وحيد الحد.

في الخيار (د)، نلاحظ أن الصفر مثال على وحيدة الحد؛ لأنه يمكننا كتابته على الصورة . وبالمثل، العدد ١ مثال على وحيدة الحد؛ حيث يمكن كتابته على الصورة . في الواقع، أيُّ قيمة ثابتة هي وحيدة الحد، حيث يمكن كتابتها على الصورة .

في الخيار (هـ)، يمكننا استنتاج أن ليست وحيدة الحد؛ لأن المقدار يحتوي على عدة حدود، بل هو مجموع لوحيدات الحد.

في الخيار (و)، نلاحظ أن يحتوي على أس سالب، إذن فهو ليس مقدار وحيد الحد.

وأخيرًا، في الخيار (ز) نلاحظ أن المقدار وحيد الحد؛ لأنه يتكوَّن من حدٍّ واحد، وكل متغيِّر مرفوع لأس صحيح. وحقيقة أن الثابت ليس عددًا صحيحًا لا تهمنا؛ لأننا نحتاج إلى أن تكون أسس المتغيِّرات فقط أعدادًا صحيحة.

نحن الآن جاهزون لتعريف كثيرات الحدود باستخدام فهمنا لوحيدات الحد.

على سبيل المثال، رأينا أن ليست وحيدة الحد، بل كثيرة الحدود؛ لأنها مجموع اثنتين من وحيدات الحد. كما يمكننا القول إن دالة كثيرة الحدود؛ وجدير بالذكر أننا غالبًا ما نتجاهل كلمة «دالة» ونقول إن كثيرة الحدود فقط. ونُطلِق على هذه الدالة أيضًا كثيرة الحدود ذات المتغيِّر الواحد؛ لأن هناك متغيِّرا واحدًا فقط يظهر في كثيرة الحدود. في بقية هذا الشارح، سنركِّز بالكامل على كثيرات الحدود ذات المتغيِّر الواحد؛ حيث يكون كل حدٍّ فيها هو حاصل ضرب قيم ثابتة في متغيِّر واحد، ويجب أن يكون لهذا المتغيِّر أس صحيح غير سالب.

من الجدير بالملاحظة أن أي دالة على الصورة ؛ حيث قيمة ثابتة، هي مثال لكثيرة حدود ذات متغيِّر واحد؛ حيث يمكننا كتابة هذه الدوال بدلالة متغيِّر واحد. على سبيل المثال، يمكن كتابة على الصورة:

ولمساعدتنا في استيعاب مفهوم كثيرات الحدود، هيا نُحدِّد أيٌّ من المقادير الآتية كثيرات الحدود:

3. ٢

في الخيارين (أ) و(ب)، كل حدٍّ هو وحيدة الحد؛ ومن ثَمَّ، فكلاهما كثيرات حدود. ومن الجدير بالملاحظة أن جميع وحيدات الحد هي كثيرات حدود تحتوي على حدٍّ واحد. في الخيار (ج)، نعرف أن ، إذن هذه أيضًا كثيرة الحدود.

في الخيار (د)، يمكننا كتابة الحد على الصورة . وبما أن الأس سالب، فإن هذا الحد ليس وحيدة حد؛ ومن ثَمَّ، فالمقدار ليس كثير الحدود. وأخيرًا، في الخيار (هـ)، هي دالة كثيرة الحدود ذات متغيِّر واحد في المتغيِّر .

هيا نتناول الآن مثالًا على تحديد أيٌّ من قائمة الدوال هي دالة كثيرة الحدود.

في المثال التالي، نكوِّن دالة كثيرة الحدود من معلومات مُعطاة في مسألة حياتية.

في المثال التالي، نُوجِد قيمة دالة كثيرة الحدود عند قيمة مُعطاة. ولفعل ذلك، نتذكَّر أنه يمكننا إيجاد قيمة أي دالة عند أي قيمة باستخدام التعويض. لأي دالة ، نُوجِد قيمة بالتعويض بـ في الدالة .

قبل الانتقال إلى المزيد من الأمثلة التي تتضمَّن دوال كثيرات الحدود، يمكننا مناقشة بعض المصطلحات المفيدة لتساعدنا على وصف نوع الدالة الكثيرة الحدود التي نتعامل معها.

على سبيل المثال، انظر الدالة الكثيرة الحدود:

بما أن هذه كثيرة حدود ذات متغيِّر واحد، إذن درجتها هي أكبر أس في أي حدٍّ غير صفري. يمكننا استخدام قوانين الأسس لكتابة كلِّ حدٍّ بدلالة أسس على الصورة:

أولًا، نلاحظ أن ؛ ومن ثَمَّ، فإن هذا الحد لا يدخل ضمن عملية حساب الدرجة. نُعيد كتابة الدالة على الصورة:

بعد ذلك، نرى أن أكبر هذه الأسس هو ٣؛ لذا، يمكننا القول إن هذه كثيرة الحدود من الدرجة ٣. ومن ثَمَّ، فإن الحد الذي يتضمَّن هو الحد الرئيسي؛ وهو . وأخيرًا، العامل الثابت لهذا الحد، ٥، هو المعامل الرئيسي.

في بعض أنواع كثيرات الحدود يصعب تحديد هذه القيم. على سبيل المثال، انظر الدالة الكثيرة الحدود:

يمكننا كتابة كثيرة الحدود هذه بدلالة المتغيِّر على الصورة:

ومن ثَمَّ، نجد أن أكبر أس لـ في حدٍّ غير صفري هو ٠، وبهذا تكون درجة كثيرة الحدود صفرًا. والحد الرئيسي هو الحد الوحيد، ، والمعامل الرئيسي هو أيضًا .

أخيرًا، علينا معرفة الحالة الخاصة لكثيرة الحدود الصفرية، التي يمكن كتابتها مثل الدالة الكثيرة الحدود ذات المتغيِّر الواحد على الصورة:

وتكون درجة كثيرة الحدود هذه هي أكبر أس لمتغيِّر في أي حدٍّ غير صفري. ولكن كل حدٍّ في هذه الدالة يساوي صفرًا؛ لذا، نترك درجة كثيرة الحدود هذه غير معرَّفة.

درجة كثيرة الحدود تخبرنا بمعلومات عن شكلها ومدى تعقيدها؛ ولذلك نُطلِق أسماءً على عائلات كثيرات الحدود بناءً على درجتها.

دوال كثيرات الحدود من الدرجة صفر تُسمَّى دوالَّ ثابتة؛ لأنها لا تتغيَّر بتغيُّر القيمة المُدخَلة؛ ففي كثيرات الحدود ذات المتغيِّر الواحد، تكون جميع الدوال على الصورة للثابت . وجدير بالملاحظة أيضًا أن هناك أسماء لكثيرات الحدود من الدرجات الأعلى، لكن بعد الدرجة ٥، تكون هذه الأسماء غير شائعة الاستخدام.

نتناول الآن مثالًا على استخدام هذه التعريفات لتحديد درجة دالة كثيرة الحدود مُعطاة ومعاملها الرئيسي.

في المثال الآتي، سنُحدِّد نوع دالة كثيرة الحدود مُعطاة.

في المثال الأخير، نُوجِد قيمة دالة كثيرة الحدود عند مقدار جبري.

هيا نُنهِ هذا الشارح بتلخيص بعض النقاط المهمة التي تناولناها.