تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: النمو والتضاؤل الأُسِّي الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نكوِّن معادلات النمو الأسي والتضاؤل الأسي ونحلُّها، وكيف نفسِّر حلولها.

يستند كل من النمو الأسي والتضاؤل الأسي على الدوال الأسية، لكنَّهما يُظهِران سلوكًا مختلفًا في معدَّلات التغيُّر. فالنمو الأسي هو تغيُّر رياضي يزداد مقداره دون حدٍّ بمرور الزمن، ويستمر معدَّل التغيُّر في الزيادة؛ ومن ثَمَّ فإن نهايته تكون متباعدة. والتضاؤل الأسي هو تغيُّر رياضي يتضاءل مقداره بمرور الزمن، ويستمر معدَّل التغيُّر في التناقص؛ ومن ثَمَّ يقترب من نهاية محدَّدة. ويمكن أن تحدث هذه التغيُّرات في الاتجاه الموجب أو السالب بناءً على إشارة القيمة الابتدائية.

إن معادلات النمو الأسي والتضاؤل الأسي لها تطبيقات حياتية متعدِّدة؛ فعلى سبيل المثال: تُستخدَم في الفيزياء مع قانون نيوتن للتبريد أو فترة عمر النصف، أو التأريخ بالكربون المشع، أو تضاؤل المواد المشعة، وفي الإلكترونيات مع تفريغ شحنة المكثفات الكهربية عبر المقاومة، وفي الحوسبة مع قانون مور الذي يصف زيادة عدد الترنزستورات في دائرة متكاملة كثيفة، وقوة معالجة أجهزة الكمبيوتر، وفي إدارة الشئون المالية مع الفائدة المركَّبة؛ وذلك على سبيل المثال لا الحصر.

وتتضمَّن الأمثلة في علم الأحياء تمثيل تركيز العقاقير في الدم، أو الأمراض (مثل كوفيد-١٩)، أو نمو السرطان. كما أن نماذج نمو الورم وعلاجه يتم تمثيلها منذ أمد بعيد بواسطة معادلة النمو الأسي: 𞸏(𞸍)=𞸏(٠)×𞸤،𝜆𞸍 حيث 𝜆>٠، 𞸏(𞸍) هو عدد الخلايا المستنسخة في الورم عند الزمن 𞸍. ويمكن استخدام هذه النماذج الرياضية في فَهْم كيفية تطوُّر مرض السرطان ونموه. كما يمكن استخدامها لتحسين العلاج أو تخصيصه، والتنبؤ بفاعلية تركيبات مختلفة أو علاجات جديدة، وتقديم نظرة متعمقة حول تطور المقاومة للعلاج.

يمكننا أن نلاحظ الطبيعة المذهلة للنمو الأسي من خلال قصة عن حبات الأرز على رقعة شطرنج. بحسب الأسطورة، اخترع الوزير الأعظم صصه بن داهر لعبة الشطرنج، وأهدى الملك الهندي شهرام رقعة شطرنج. ولكي يعبِّر الملك عن امتنانه بسبب الهدية عرض على الوزير الأعظم الحصول على أيِّ مكافأة يطلبها ما دامت معقولة بالنسبة للملك. فقدَّم الوزير الأعظم طلبًا بدا متواضعًا في الظاهر بوضع بعض حبات الأرز على رقعة شطرنج. وطلب وضع حبة من الأرز في المربع الأول، ثم حبتين في المربع الثاني، ثم أربع حبات في المربع الثالث، وهكذا؛ بمضاعفة عدد حبات الأرز عن عددها في المربع السابق في كل مرة، وذلك حتى آخِر مربع في رقعة الشطرنج (التي تتكوَّن من ٦٤ مربعًا).

اندهش الملك من هذا الطلب المتواضع، والتزم به مطالبًا بإحضار الأرز في أكياس. في المربعات القليلة الأولى بدا أن كل شيء يسير على نحو جيد، ولكن في المربع رقم ٢١ كان هناك أكثر من مليون حبة من الأرز (١‎ ‎٠٤٨‎ ‎٥٧٦)؛ وتم إفراغ الكيس بالكامل، وكان لا بد من إحضار كيس آخَر، وهو الذي تم إفراغه مباشرةً في المربع التالي. في المربع رقم ٤١ كان هناك أكثر من تريليون (١١‎ ‎٠٩٩‎ ‎٥١١‎ ‎٦٢٧‎ ‎٧٧٦) حبة من الأرز، وباستمرار هذا العملية؛ أي المضاعفة في كل مرة، سيكون عدد حبات الأرز في المربعات الأخيرة أكثر من عدد الحبات الموجودة في العالم بأسره؛ حتى بدون عدِّ جميع حبات الأرز في المربعات السابقة. وسيتجاوز عدد الحبات في المربع الأخير فقط إنتاج العالم من الأرز لمدة تزيد عن ١‎ ‎٠٠٠ سنة.

تبيَّن أن هذا لم يكن طلبًا بسيطًا من الوزير الأعظم على الإطلاق، وهذا يسلِّط الضوء على مسألةِ صعوبة فَهْم البشر للنمو الأسي، مع الميل إلى عدم وضع تَزَايُدِ أعداده في الاعتبار.

والأمر كذلك أيضًا عند التفكير في نمو عدد الأرانب. فإذا كان عدد الأرانب يتضاعف كل شهر، وبافتراض أنه لا توجد أيُّ وفيات؛ فسيكون لدينا أرنبان في أول شهر، و٤ في الشهر الثاني، و٨ في الشهر الثالث، ثم ١٦، ٣٢، ٦٤، ١٢٨، وهكذا.

هذه الحالة مشابهة لحالة حبات الأرز على رقعة الشطرنج، وهو ما يعني أن المعادلتين اللتين تصفانهما ستكونان متشابهتين أيضًا.

لنستخدم الرمز 󰏡𞸎 ليشير إلى عدد حبات الأرز في المربع الذي رقمه 𞸎+١. وبما أن عدد حبات الأرز يتضاعف عن المربع السابق 󰏡𞸎١، وبدءًا بحبة واحدة من الأرز في المربع الأول؛ أي 󰏡=١٠، فستكون لدينا إذن العلاقة: 󰏡=١،󰏡=٢×󰏡،𞸎>٠.٠𞸎𞸎١

باستخدام هذه العلاقة يمكننا التعبير عن عدد حبات الأرز في المربع الذي رقمه 𞸎+١ باعتبارها صيغة مغلقة بدلالة 𞸎؛ حيث إن: 󰏡=٢×󰏡=٢،󰏡=٢×󰏡=٢×٢󰏡=٢×٢٢×٢󰄲󰄳󰄳󰄳󰄶󰄳󰄳󰄳󰄿،١٠٢١𞸎دساات وهو ما يعطينا النمو على الصورة: 󰏡=٢.𞸎𞸎

وبالمثل، بالإشارة إلى عدد الأرانب في الشهر رقم 𞸌 بالرمز: 󰏡𞸌١، بدءًا بأرنبين في أول شهر؛ 󰏡=٢٠، فإن: 󰏡=٢.𞸌𞸌+١

يمكننا أيضًا استخدام دالةٍ لوصف نمو الأرانب هكذا: 𞸑=٢،𞸍 حيث 𞸍=𞸎١ للمربع رقم 𞸎، أو 𞸍=𞸌 لكل شهر𞸌. هذه الدالة أعم من الصيغة التي حصلنا عليها لـ 󰏡𞸎 أو 󰏡𞸌 لأنها ستشمل القيم غير الصحيحة لـ 𞸍، وستنطبق أيضًا على القيم الصحيحة.

يكون العدد الابتدائي لحبات الأرز على رقعة الشطرنج في المربع الأول (𞸎=١)، أو العدد الابتدائي للأرانب في أول شهر(𞸌=١)؛ عندما يكون 𞸍=𞸎١=١١=٠، أو 𞸍=𞸌=١؛ ومن ثَمَّ 𞸑=١، 𞸑=٢ على الترتيب. تصف هذه الدالة الأسية كيف تزداد الكمية 𞸑 بعد فترة مقدارها 𞸍 من القياس الابتدائي.

وبصفة عامة، يمكن وصف النمو الأسي أو التضاؤل الأسي لكمية 𞸑 باستخدام الدالة الأسية؛ حيث يمكن أن تكون لبارامترات الدالة والقيمة المدخَلة لها والقيمة المخرَجة لها قيم غير صحيحة.

تعريف: النمو والتضاؤل الأسي

يمكن أن تُمثَّل الدالة الأسية التي تصف النمو والتضاؤل على الصورة: 𞸑(𞸍)=󰏡×𞸁،𞸁>٠𞸁١،𞸍، حيث 󰏡=𞸑(٠) هو القيمة الابتدائية للكمية 𞸑 في البداية، ويتحكَّم 𞸁 في سلوك الدالة الأسية؛ حيث يحدث النمو الأسي لكل 𞸁>١، ويحدث التضاؤل الأسي لكل ٠<𞸁<١.

على سبيل المثال، تصف المعادلة الأسية 𞸑=٤(٨٢٫١)𞸍 النمو الأسي لأن 𞸁=٨٢٫١>١، في حين تصف المعادلة الأسية 𞸑=٣(٤٧٫٠)𞸍 التضاؤل الأسي لأن 𞸁=٤٧٫٠<١. لاحظ أننا نستبعد 𞸁=١ لأننا سنحصل على 𞸑=󰏡 وهو دالة ثابتة لا تتغيَّر.

لنتناول مثالًا حيث سيكون علينا إيجاد النمو الأسي لموقف معطًى لتمثيل عدد البكتيريا في المعمل خلال الزمن 𞸍.

مثال ١: كتابة مقدار أسي لتمثيل نموذجٍ للنمو الأسي

يزداد عدد البكتيريا في معمل أربع مرات كلَّ ساعة. كانت هناك ٢٠٠ بكتيريا في البداية. اكتب مقدارًا يعبِّر عن 𞸁(𞸍)؛ وهو عدد البكتيريا بعد 𞸍 ساعة من القياس المبدئي.

الحل

في هذا المثال سنُوجِد مقدارًا يعبِّر عن عدد البكتيريا بعد 𞸍 ساعة من القياس المبدئي.

تذكَّر أن النمو الأسي يمكن تمثيله بواسطة الدالة: 𞸁(𞸍)=󰏡×𞸁،𞸁>١،𞸍 حيث 󰏡=𞸁(٠) هو القيمة الابتدائية لـ 𞸁، 𞸁>١ يمثِّل النمو.

بالنسبة إلى عدد البكتيريا نعلم أنه توجد ٢٠٠ بكتيريا في البداية، ويزداد عددها بمقدار أربع مرات كلَّ ساعة؛ ومن ثَمَّ فإن 󰏡=٠٠٢، 𞸁=٤. وعليه، فإن المقدار الذي يعبِّر عن عدد البكتيريا بعد 𞸍 ساعة من القياس المبدئي هو: 𞸁(𞸍)=٠٠٢×٤.𞸍

يكون التمثيل البياني لدالة النمو الأسي (𞸁>١) كما هو موضَّح في الشكل التالي:

ويكون التمثيل البياني لدالة التضاؤل الأسي (٠<𞸁<١) كما هو موضَّح في الشكل التالي:

يوضِّح التمثيلان البيانيان أيضًا القيم الابتدائية حيث 󰏡=𞸑(٠)>٠؛ حيث إننا نتعامل عادةً مع الدوال الأسية التي تكون فيها القيمة الابتدائية للكمية 𞸑 موجبة، خاصةً في التطبيقات الحياتية والأمثلة المقدَّمة في هذا الشارح، لكنَّ هذا ليس شرطًا للتعريف.

لاحظ أن السلوك المحدَّد للدالة الأسية سيختلف بناءً على ما إذا كان هناك نمو أو تضاؤل.

بالنسبة إلى النمو الأسي (𞸁>١) ستعتمد النهاية على القيمة الابتدائية 󰏡=𞸑(٠). وبوجه خاص؛ بافتراض أن 󰏡٠ فإن القيمة المطلَقة للدالة أو مقدارها |𞸑(𞸍)| سيتباعد عند اقتراب 𞸍 من ما لا نهاية. وهذا يعني أن الكمية 𞸑 تنمو دون حدٍّ مع قيم 𞸍 الكبيرة جدًّا؛ أي إن مقدارها يزداد بعد زمن طويل.

وبالنسبة إلى التضاؤل الأسي (٠<𞸁<١) فإن الدالة 𞸑(𞸍) تقترب من صفر كلما اقترب 𞸍 من ما لا نهاية. وهذا يعني أن الكمية 𞸑 تتضاءل إلى صفر مع قيم 𞸍 الكبيرة جدًّا؛ أي إنها تتضاءل بعد زمن طويل.

بشكل عام يمكن أن يكون الأس 𞸍𞸎: 𞸑(𞸍)=󰏡×𞸁،𞸍𞸎 وهو ما يعني أن الكمية تتضاعف بمقدار 𞸁 كل فترة 𞸎 من الزمن أو، بصورة مكافئة، يتضاعف العدد بمقدار 𞸁١𞸎 كل فترة 𞸍.

ومثالًا على ذلك، ينصُّ قانون مور على أن عدد الترنزستورات في دائرة متكاملة كثيفة يتضاعف كل سنتين تقريبًا، وهو ما يزيد من قوة معالجة الحاسوب.

باستخدام قانون مور يمكننا إيجاد صيغة واضحة لعدد الترنزستورات في دائرة واحدة في أي سنة 𞸑. وبافتراض أنه في عام ١٩٧١ كانت في الدائرة ٤‎ ‎٠٠٤ ترنزستورات إذن 󰏡=٤٠٠٤، وبما أن العدد يتضاعف كل سنتين إذن: 𞸏=٤٠٠٤×٢،𞸍٢ حيث 𞸍 هو عدد السنوات بعد عام ١٩٧١. لاحظ أن الأس هو 𞸍٢؛ وهو ما يعني أن عدد الترنزستورات يتضاعف كل سنتين أو، بصورة مكافئة، يتضاعف بمقدار ٢١٢ كل سنة. ويمكننا تمثيل هذا النمو في جدول يوضِّح عدد الترانزستورات كل سنتين.

الزمن (بالسنوات)عدد الترانزستورات
١٩٧١ ٤‎ ‎٠٠٤
١٩٧٣ ٨‎ ‎٠٠٨
١٩٧٥ ١٦‎ ‎٠١٦
١٩٧٧ ٣٢‎ ‎٠٣٢
١٩٧٩ ٦٤‎ ‎٠٦٤
١٩٨١ ١٢٨‎ ‎١٢٨

يمكن استخدام معادلة مماثلة باعتبارها نموذجًا بسيطًا للنمو السكاني المعروف باسم قانون مالتوس؛ حيث سيتم التعويض عن 𞸏 بـ 𞸏(𞸍)، أي التعداد عند الزمن 𞸍، وهو الذي يمكن أن يمثِّل نمو البكتيريا والفيروسات والنباتات والحيوانات والبشر أو انتشارها.

إضافة إلى ذلك، إذا كان 𞸑(𞸍) يصف كمية لا يمكنها أن تكون سوى عدد صحيح فإنه يمكننا إذن تقريب القيمة لأعلى أو لأسفل لأقرب عدد صحيح عند زمن محدَّد 𞸍 حيثما يكون ذلك مناسبًا لنموذج رياضي. على سبيل المثال، إذا وجدنا أن تعداد السكان في وقت معين 𞸑(٥)=٨٤٫٧٢ شخصًا فسيكون من المنطقي أن نقرِّب لأسفل إلى 𞸑=٧٢؛ حيث يستحيل أن يكون لدينا ٠٫٤٨ شخص.

دعونا نتناول مثالًا حيث يكون لدينا النمو السكاني للأرانب في صورة دالة أسية، وهو مثال مشابه للحالة التي ذكرناها بالأعلى، ومطلوب منا إيجاد عدد الأرانب بعد فترة معطاة.

مثال ٢: إيجاد قيمة دالة أسية تتضمَّن نموًّا أسيًّا

لدى ماجد ٧٣ أرنبًا. يعتقد أنه سيكون لديه 𞸏=٣٧×(٣٢٫٤)𞸎٣ من الأرانب بعد 𞸎 شهر. كم أرنبًا يُتوقَّع أن يكون لديه بعد مرور شهران من الآن؟

الحل

في هذا المثال سنُوجِد عدد الأرانب المتوقَّع بعد مرور شهران باستخدام المقدار المُعطَى لتمثيل عددها.

وفيما يلي تمثيل لهذه الدالة:

تذكَّر أن النمو الأسي يمكن تمثيله بواسطة الدالة: 𞸏(𞸍)=󰏡×𞸁𞸁>١،𞸍 حيث 󰏡=𞸏(٠) هو القيمة الابتدائية لـ 𞸏، 𞸁>٠ يمثِّل النمو الأسي.

بما أن 𞸁=٣٢٫٤ في المقدار المُعطَى فإن الكمية 𞸏 ستنمو نموًّا أسيًّا، وسيكون 󰏡=٣٧ هو العدد الابتدائي للأرانب التي يمتلكها ماجد.

بما أن 𞸍=𞸎٣ فهذا يعني أن العدد سيتضاعف بمقدار ٤٫٢٣ كل ٣ شهور أو، بصورة مكافئة، سيتضاعف بمقدار ٣٢٫٤=٢٧١٦٫١١٣ كل شهر.

وبما أن 𞸎 يمثِّل عدد الشهور فيمكن إيجاد عدد الأرانب بعد شهران بالتعويض بـ 𞸎=٢ في المقدار التالي: 𞸏=٣٧×(٣٢٫٤)=٩٣٣٩٫٠٩١.٢٣

لا يمكن أن يوجد ٠٫٩٣٣٩ أرنب؛ لذا علينا تقريب هذه الإجابة لأقرب عدد صحيح لأسفل إلى ١٩٠ أرنبًا.

ومن ثَمَّ، فإن عدد الأرانب المتوقَّع بعد شهران سيكون ١٩٠ أرنبًا.

يمكن أيضًا إعادة صياغة معادلات النمو الأسي والتضاؤل الأسي بصورة مكافئة بدلالة ثابت أويلر 𞸤=٢٨١٧٫٢ هكذا: 𞸑(𞸍)=󰏡×𞸁=󰏡×𞸤=󰏡×𞸤،𞸍𞸍𞸁𞸊𞸍𞸤 حيث 󰏡=𞸑(٠) القيمة الابتدائية، 𞸊=𞸁𞸤 هو المعدَّل الثابت للنمو عندما يكون 𞸊>٠، ويكافئ ذلك أن يكون 𞸁>١، أو هو المعدَّل الثابت للتضاؤل عندما يكون 𞸊<٠، ويكافئ ذلك أن يكون ٠<𞸁<١.

على سبيل المثال، إذا كان التعداد الابتدائي هو 󰏡=٠٠٢ بكتيريا، وثابت النمو هو 𞸊=٢٠٫٠؛ فيمكن تمثيل ذلك على صورة: 𞸏(𞸍)=٠٠٢×𞸤.٢٠٫٠𞸍

الزمن (بالدقائق)التعداد (عدد البكتيريا)
٠٢٠٠
١٠٢٤٤
٢٠٢٩٨
٣٠٣٦٤
٤٠٤٤٥
٥٠٥٤٤
٦٠٦٦٤

في العديد من المواقف الحياتية عادة ما يكون من المناسب التعويض عن البارامتر 𞸁 بـ ١+𞸓؛ حيث 𞸓 هو النسبة التي تتغيَّر بها الكمية بعد كل فترة زمنية 𞸍. فعلى سبيل المثال، إذا كانت الكمية تنمو أُسيًّا بنسبة ٥٢٪ فإن 𞸓=٥٢٫٠، أما بالنسبة للكمية التي تتضاءل أسيًّا بنسبة ٥٢٪ فإن 𞸓=٥٢٫٠.

تعريف: المعدَّل الأسي الثابت

يمكن التعبير عن المعادلة الأسية 𞸑=󰏡×𞸁𞸍 بدلالة المعدَّل الثابت للتغيُّر 𞸓؛ حيث 𞸁=١+𞸓: 𞸑(𞸍)=󰏡×(١+𞸓).𞸍

يتمُّ تحديد إشارة 𞸓 بناءً على ما إذا كانت الكمية 𞸑 تنمو (𞸓>٠) أو تتضاءل (𞸓<٠) بمرور الزمن، وعادةً ما يُمثَّل ذلك على صورة عدد عشري.

وفيما يلي مثال على ذلك، انظر إلى دالة التضاؤل: 𞸑=٩٩٢٧٢٤=٩٩٢٧٢×󰂔١٤󰂓،𞸍𞸍 حيث 󰏡=٩٩٢٧٢، 𞸁=١٤ في الصورة العامة. يمكننا إعادة كتابتها على الصورة: 𞸑=󰏡×(١+𞸓)𞸍؛ وذلك بإيجاد المعدَّل الثابت للتغيُّر 𞸓 كما يلي: 𞸓=𞸁١=١٤١=٣٤<٠.

وعليه، يمكن كتابة المعادلة الأسية على الصورة التالية: 𞸑=٩٩٢٧٢×󰂔١٣٤󰂓.𞸍

المعدَّل الثابت للتغيُّر هو: 𞸓=٣٤=٥٧٫٠<٠، ويُمثِّل معدَّل التضاؤل الذي يكافئ ٥٧٪ في صورة نسبة مئوية بعد كل فترة 𞸍.

هيا نتناول مثالًا من الحياة الواقعية حيث سنُوجِد النسبة المئوية التي يقلُّ بها تركيز عقار كل ساعة بإيجاد المعدَّل الثابت للتغيُّر 𞸓 باستخدام المقدار المُعطَى.

مثال ٣: تفسير البارامترات في دالة خطية أو أسية في إطار سياق

يوضِّح الشكل المُعطَى التركيز 𞸏 بوحدة ميكروجرام لكل لتر لعقار معين في بلازما دم الإنسان مقيسًا في أزمنة مختلفة. بافتراض أنه يمكن تمثيل التركيز بعد مرور 𞸎 ساعة بالدالة 𞸏=٨١×٥٧٫٠𞸎، ما النسبة المئوية التي يمكن أن ينخفض بها تركيز العقار في كل ساعة؟

الحل

في هذا المثال سنُوجِد النسبة المئوية التي ينخفض بها تركيز العقار كل ساعة باستخدام المقدار المُعطَى الذي يُمثِّل التركيز في بلازما دم الإنسان.

تذكَّر أنه يمكن تمثيل الانخفاض (أو التضاؤل) الأسي بواسطة الدالة: 𞸏=󰏡×𞸁،٠<𞸁<١،=󰏡×(١+𞸓)،𞸓<٠،𞸍𞸍 حيث 𞸁=١+𞸓، 𞸓 هو المعدَّل الثابت للتغيُّر في الكمية 𞸖. بالنسبة لتركيز العقار لدينا 󰏡=٨١، 𞸁=٥٧٫٠؛ ومن ثَمَّ فإن المعدَّل الثابت للتغيُّر هو: 𞸓=𞸁١=٥٧٫٠١=٥٢٫٠.

هذا يعني أن العقار ينخفض تركيزه بمعدَّل ٠٫٢٥ كل ساعة؛ أي ما يكافئ ٥٢٪ في صورة نسبة مئوية.

في معظم الأحيان سيكون المعدَّل معطًى لنا في صورة نسبة مئوية أو سيكون علينا إيجاده في صورة نسبة مئوية؛ حيث تنمو الكمية 𞸑، أو تتضاءل أسيًّا وفقًا له. بالنسبة إلى الكمية التي تنمو أسيًّا يمكننا تمثيل معدَّل التغيُّر بدلالة معدَّل النمو على صورة نسبة مئوية. وبما أن 𞸓>٠ في حالة النمو الأسي، فسيكون: 𞸓=𞸌٠٠١، حيث 𞸌٪ هو معدَّل النمو. ويمكن التعبير عن معادلة النمو الأسي على الصورة: 𞸑(𞸍)=󰏡×󰂔١+𞸌٠٠١󰂓.𞸍

ويمكن كتابة معدَّل النمو 𞸌 بدلالة 𞸁 على الصورة: 𞸌=٠٠١×𞸓=٠٠١×(𞸁١).

وبالمثل، بالنسبة للكمية التي تتضاءل أسيًّا فإنه يمكننا تمثيل معدَّل التغيُّر بدلالة معدَّل التضاؤل على صورة نسبة مئوية. وبما أن 𞸓<٠ في حالة التضاؤل الأسي فإن: 𞸓=𞸌٠٠١، حيث 𞸌٪ هو معدَّل التضاؤل. ويمكن التعبير عن معادلة التضاؤل الأسي على الصورة: 𞸑(𞸍)=󰏡×󰂔١𞸌٠٠١󰂓.𞸍

ويمكن كتابة معدَّل التضاؤل 𞸌 بدلالة 𞸁 على الصورة: 𞸌=٠٠١×𞸓=٠٠١×(𞸁١)=٠٠١×(١𞸁).

على سبيل المثال، إذا كانت المعادلة 𞸑=󰏡×𞸁𞸍 تُمثِّل زيادة بنسبة 𞸌=٥١٪ في كل فترة زمنية 𞸍 فإن قيمة 𞸁=١+𞸓=١+٥١٫٠=٥١٫١.

دعونا نتناول ذلك في مثال واقعي. لنفترض أن سوق العقارات ينخفض في مدينة ما، والقيمة المتوقَّعة للعقارات بعد عدد 𞸌 شهر تُعطَى بواسطة المقدار: 𞸏=𞸏×٧٨٫٠،٠𞸌 حيث 𞸏٠ هو القيمة الابتدائية. إذن، النسبة المئوية للانخفاض في قيمة العقارات كل شهر ستساوي: 𞸌=٠٠١×(١𞸁)=٠٠١×(١٧٨٫٠)=٠٠١×٣١٫٠=٣١٪.

والآن، لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة لنتدرَّب على معادلات النمو الأسي والتضاؤل الأسي، ونعمِّق فهمنا لها، ونشرح حلولها.

في المثال الأول سنفسِّر البارامترات في دالة أسية معطاة، ونُوجِد معدَّل التضاؤل 𞸌 على صورة نسبة مئوية.

مثال ٤: تفسير البارامترات في دالة خطية أو أسية في إطار سياق معطًى

تعداد الأفيال الآسيوية بعد 𞸍 سنة من عام ١٩٠٠ يُعطَى بواسطة 𞸏=٠٠٠٠٠١×٥٢٫٠𞸍٠٠١.

  1. ما تعداد الأفيال الآسيوية عام ١٩٠٠؟
  2. طبقًا لذلك النموذج، ما النسبة المئوية لتناقص تعداد الأفيال الآسيوية خلال قرن من الزمان؟

الحل

الجزء الأول

في هذا المثال سنشرح البارمترات الموجودة في دالة أسية، ونُوجِد تعداد الأفيال الآسيوية في وقت معين.

تذكَّر أنه يمكن تمثيل التضاؤل الأسي بواسطة الدالة: 𞸏(𞸍)=󰏡×𞸁٠<𞸁<١،𞸍 حيث 󰏡=𞸏(٠) هو القيمة الابتدائية لـ 𞸏، ٠<𞸁<١ هو التضاؤل الأسي.

بما أن 𞸁=٥٢٫٠ في المقدار الموضَّح فإن الكمية 𞸏، أي تعداد الأفيال الأسيوية، ستتناقص أسيًّا، وسيكون 󰏡=٠٠٠٠٠١ هو التعداد الابتدائي للأفيال في البداية؛ أي خلال عام سنة ١٩٠٠. يمكننا أيضًا التعويض بـ 𞸍=٠ في المقدار المُعطَى للحصول على القيمة نفسها.

ومن ثَمَّ، فإن تعداد الأفيال الآسيوية في عام ١٩٠٠ كان ١٠٠‎ ‎٠٠٠.

الجزء الثاني

سنُوجِد هنا المعدَّل الثابت للتغيُّر، ثم معدَّل التضاؤل على صورة نسبة مئوية.

يمكن أيضًا التعبير عن تعداد الأفيال على الصورة: 𞸏(𞸍)=٠٠٠٠٠١×(١+𞸓)،𞸍 حيث 𞸓<٠ هو معدَّل تضاؤل الكمية 𞸑، وهو الذي يمكن إيجاده من المعادلة ١+𞸓=٥٢٫٠ على النحو التالي: 𞸓=٥٢٫٠١=٥٧٫٠.

هذا يعني أن تعداد الأفيال يتناقص بمعدَّل ٠٫٧٥ كل سنة (بعد عام ١٩٠٠)، وهو ما يكافئ الانخفاض بنسبة ٥٧٪ كل سنة. ويمكننا معرفة ذلك أيضًا باستخدام معدَّل التضاؤل 𞸌 المُعطَى على صورة نسبة مئوية.

بما أن المعدَّل الثابت للتغيُّر 𞸓<٠، كما هو متوقَّع للتضاؤل الأسي، والكمية 𞸏 تتناقص؛ فيمكننا تمثيل المعدَّل الثابت للتغيُّر هذا باعتباره معدَّل انخفاض بدلالة نسبة مئوية بواسطة: 𞸓=𞸌٠٠١، حيث 𞸌٪ هو معدَّل الانخفاض. في هذه الحالة تُعطَى النسبة المئوية بواسطة: 𞸌=٠٠١×𞸓=٠٠١×٥٧٫٠=٥٧٪.

ومن ثَمَّ، فإن النسبة المئوية لتناقص تعداد الأفيال هي ٥٧٪.

والآن، لنلقِ نظرة على مثال حيث سيكون مطلوب منَّا إنشاء معادلة أسية للتضاؤل لأحد مصانع إنتاج الحبوب الغذائية الذي يقلِّل من كمية السكر في منتجاته. وسنُوجِد أيضًا معادلة يمكن استخدامها لإيجاد المعدَّل 𞸌.

مثال ٥: إنشاء معادلات أسية ذات متغيِّر واحد لحلِّ مسائل

قرَّر مصنع لإنتاج الحبوب الغذائية جعل المنتجات صحيةً أكثر بتقليل كمية السكر المستخدَمة في إنتاجها. يهدف المصنع إلى تقليل كمية السكر في المنتجات بنسبة ٠٢٪. وضع المصنع خطة لتحقيق الهدف خلال ٤ سنوات.

اكتب معادلة يمكن للمصنع استخدامها لإيجاد 𞸌؛ معدَّل الخفض المطلوب سنويًّا لتقليل كمية السكر لتحقيق الهدف.

الحل

في هذا المثال مطلوب منَّا إيجاد المعادلة الأسية لمصنع لإنتاج الحبوب الغذائية يقلِّل كمية السكر في منتجاته بهدف معين. سوف نُوجِد معادلة يمكنه استخدامها لإيجاد 𞸌؛ أي معدَّل الخفض اللازم لتحقيق الهدف.

نتذكَّر أنه يمكن تمثيل التناقص (التضاؤل) الأسي بواسطة الدالة: 𞸑(𞸍)=󰏡×𞸁٠<𞸁<١،=󰏡×(١+𞸓)𞸓<٠،𞸍𞸍 حيث 󰏡=𞸑(٠) هو القيمة الابتدائية للكمية 𞸑، 𞸁=١+𞸓، 𞸓<٠ هو المعدَّل الثابت للتغيُّر في الكمية 𞸑. وبما أننا نعلم أن الكمية تتناقص فيمكننا تمثيل معدَّل التضاؤل هذا على صورة نسبة مئوية هكذا: 𞸓=𞸌٠٠١، حيث 𞸌٪ هو معدَّل الخفض، ويمكن كتابة الدالة على الصورة التالية: 𞸑(𞸍)=󰏡×󰂔١𞸌٠٠١󰂓.𞸍

علمنا من السؤال أن مصنع إنتاج الحبوب الغذائية يريد تقليل كمية السكر في منتجاته بنسبة ٠٢٪ خلال ٤ سنوات؛ بعبارة أخرى ستكون كمية السكر ٠٨٪ من الكمية الابتدائية 󰏡. هذا يعني أن لدينا الشرط: 𞸑(٤)=٨٫٠×󰏡.

يمكننا أيضًا التعويض بـ 𞸍=٤ في الدالة أعلاه ليصبح لدينا: 𞸑(٤)=󰏡×󰂔١𞸌٠٠١󰂓.٤

وهكذا، لحساب معدَّل الخفض 𞸌 علينا حلُّ ما يلي: 󰏡×󰂔١𞸌٠٠١󰂓=٨٫٠×󰏡،󰂔٠٠١𞸌٠٠١󰂓=٨٫٠.٤٤

في المثال التالي سنُوجِد معادلة أسية لتمثيل الانخفاض في سعر سيارة باعتباره دالة في الزمن. وسنُوجِد أيضًا معدَّل التضاؤل 𞸌 لأقرب عدد صحيح باستخدام المعلومات التي توضِّح أن سعر السيارة سينخفض إلى النصف في فترة محدَّدة.

مثال ٦: كتابة الدوال الأسية وإيجاد قيمها لتمثيل التضاؤل الأسي في سياق واقعي

ينخفض سعر سيارة بمُعدَّل 𞸌٪ كل سنة. توجد سيارة جديدة يبلغ سعرها 𞸋دورأ.

  1. اكتب معادلة دالة يمكن استخدامها لحساب سعر السيارة 𞸏 بوحدة دولار أمريكي بعد 𞸍 سنة.
  2. ما قيمة 𞸌 التي تجعل سعر السيارة ينخفض إلى النصف في ٣ سنوات؟ قرِّب إجابتك لأقرب عدد كلِّي.

الحل

الجزء الأول

في هذا المثال سنُوجِد الدالة الأسية لحساب سعر السيارة بعد 𞸍 سنة، وهي التي ينخفض سعرها كل سنة.

نتذكَّر أن الانخفاض (أو التضاؤل) الأسي يمكن تمثيله بواسطة الدالة: 𞸏(𞸍)=󰏡×𞸁٠<𞸁<١=󰏡×(١+𞸓)𞸓<٠،𞸍𞸍 حيث 󰏡=𞸏(٠) المقدار الابتدائي للكمية 𞸏، 𞸁=١+𞸓، 𞸓<٠ هو المعدَّل الثابت للتغيُّر في الكمية 𞸏.

وبما أن سعر السيارة 𞸏 ينخفض بنسبة 𞸌٪ كل سنة فإنه يمكننا تمثيل معدَّل التضاؤل 𞸓 على صورة نسبة مئوية بدلالة 𞸌: 𞸓=𞸌٠٠١.

توجد سيارة جديدة يبلغ سعرها 𞸋دورأ، وهو القيمة الابتدائية لـ 𞸏، ومن ثَمَّ فإن 󰏡=𞸋. وعليه، فإن الدالة التي يمكن استخدامها لحساب سعر السيارة بوحدة دولار أمريكي بعد 𞸍 سنة تُعطَى بواسطة: 𞸏(𞸍)=𞸋󰂔١𞸌٠٠١󰂓.𞸍

الجزء الثاني

الآن، دعونا نُوجِد المعدَّل الثابت للتغيُّر 𞸌٪ تبعًا لحقيقة أن سعر السيارة سينخفض إلى النصف خلال ٣ سنوات.

إذا انخفض سعر السيارة إلى النصف بعد ٣ سنوات فسيكون 𞸏(٣)=١٢𞸋، وبالتعويض بـ 𞸍=٣ في الدالة نجد أن: 𞸏(٣)=𞸋󰂔١𞸌٠٠١󰂓.٣

لإيجاد النسبة المئوية 𞸌 علينا حلُّ: 𞸋󰂔١𞸌٠٠١󰂓=١٢𞸋،󰂔١𞸌٠٠١󰂓=١٢،١𞸌٠٠١=󰋺١٢،𞸌٠٠١=١󰋺١٢،𞸌=٠٠١×󰃭١󰋺١٢󰃬.٣٣٣٣٣

ومن ثَمَّ، نحصل على: 𞸌=٩٩٢٦٫٠٢، وبعد التقريب لأقرب عدد كلِّي تكون قيمة 𞸌 هي ١٢٪.

الآن، دعونا نتناول مثالًا حيث يكون مطلوب منَّا إنشاء المعادلة الأسية لكرة تفقد طاقة حركتها في كل مرة ترتدُّ فيها بعد الارتطام بالأرض. باستخدام المعطيات سنُوجِد أيضًا الارتفاع، لأقرب سنتيمتر، الذي يجب أن تسقط الكرة منه كي ترتدَّ إلى ارتفاع معين بعد مرة معينة من الارتداد.

مثال ٧: إنشاء معادلات أسية ذات متغيِّر واحد لحلِّ مسائل

طفل لديه كرة تفقد ٥١٪ من طاقتها في كل مرة ترتدُّ فيها بعد الارتطام بالأرض. باعتبار أن طاقة حركة الكرة تتناسب مع الارتفاع الذي سقطت منه هذه الكرة، أوجد لأقرب سنتيمتر الارتفاع الذي يجب أن تسقط منه الكرة حتى ترتدَّ لتصل إلى ارتفاع ٢٠ سم في المرة الخامسة من الارتداد.

الحل

في هذا المثال سنُوجِد الارتفاع الذي يجب أن تسقط منه الكرة حتى ترتدَّ لتصل إلى ارتفاع آخَر يساوي ٢٠ سم في المرة الخامسة من الارتداد باستخدام المعطيات في السؤال.

تذكَّر أن التناقص (أو التضاؤل) الأسي يمكن تمثيله بواسطة الدالة: 𞸊(𞸎)=󰏡×𞸁٠<𞸁<١=󰏡×(١+𞸓)𞸓<٠،𞸎𞸎 حيث 󰏡=𞸊(٠) هو المقدار الابتدائي للكمية 𞸊، 𞸁=١+𞸓، 𞸓<٠ هو المعدَّل الثابت للتغيُّر في الكمية 𞸊. وبما أننا نعلم أن الكمية تتناقص فيمكننا تمثيل معدَّل التضاؤل هذا على صورة نسبة مئوية: 𞸓=𞸌٠٠١، حيث 𞸌٪ هو معدَّل الانخفاض، ويمكن كتابة الدالة على الصورة: 𞸊(𞸎)=󰏡×󰂔١𞸌٠٠١󰂓.𞸎

بما أن كرة الطفل تفقد 𞸌=٥١٪ من طاقتها في كل مرة ترتد فيها فإن: 𞸊(𞸎)=󰏡×󰂔١٥١٠٠١󰂓=󰏡×(١٥١٫٠)=󰏡×٥٨٫٠.𞸎𞸎𞸎

وبما أننا قد علمنا من السؤال أن طاقة الحركة 󰏡=𞸊(٠) للكرة تتناسب مع الارتفاع 𞸎 الذي سقطت منه إذن: 𞸊(𞸎)=𝜆𞸏(𞸎)، لثابت ما (للتناسب) 𝜆𞹇+؛ حيث الارتفاع وطاقة الحركة موجبان دائمًا، 𞸏(𞸎) هو الارتفاع الذي ترتدُّ إليه الكرة في المرة 𞸎 من الارتداد. يمكننا أيضًا كتابة طاقة الحركة الابتدائية على الصورة: 󰏡=𞸊(٠)=𝜆𞸏(٠)، حيث 𞸏(٠) هو الارتفاع الابتدائي الذي سقطت منه الكرة.

يمكن كتابة الطاقة بعد عدد 𞸎 من مرات الارتداد بدلالة الارتفاع الابتدائي 𞸏(٠) على الصورة: 𞸊(𞸎)=𝜆𞸏(٠)×٥٨٫٠.𞸎

وباستخدام المقدار الذي يعبِّر عن 𞸊(𞸎) بدلالة 𞸏(𞸎) يمكن كتابة ذلك على الصورة: 𝜆𞸏(𞸎)=𝜆𞸎(٠)×٥٨٫٠𞸏(𞸎)=𞸎(٠)×٥٨٫٠.𞸎𞸎

علمنا من السؤال أن الكرة ترتدُّ لتصل إلى ارتفاع ٢٠ سم في المرة الخامسة من الارتداد، ومن ثَمَّ فإن 𞸏(٥)=٠٢. يمكننا التعويض بـ 𞸎=٥ لنحصل على المقدار التالي: 𞸏(٠)×٥٨٫٠=٠٢،𞸏(٠)=٠٢٥٨٫٠.٥٥

إذن، الارتفاع الابتدائي هو 𞸏(٠)=٩٤٧٠٫٥٤، وهو الذي يساوي لأقرب سنتيمتر٤٥ سم.

تناولنا حتى الآن الدوال الأسية التي على الصورة: 𞸑(𞸍)=󰏡×𞸁=󰏡×𞸤،𞸍𞸊𞸍 حيث 𞸊=𞸁𞸤. يمكننا أيضًا تحويل التمثيلات البيانية لهذه الدوال هندسيًّا بالانتقال بمقدار الثابت 𞸖 على الصورة: 𞸑(𞸍)=𞸖+󰏡×𞸤.𞸊𞸍

بالنسبة إلى التضاؤل الأسي (𞸊<٠)، كلما زادت قيمة 𞸍 بدرجة كبيرة جدًّا فإن الدالة 𞸑(𞸍) ستقترب من الثابت 𞸖؛ بما أن الحد الثاني سيتضاءل إلى الصفر. ويعني ذلك أنه بعد فترة زمنية طويلة ستزداد الكمية 𞸑 إلى حد ثابت 𞸖.

أخيرًا، لنتناول مثالًا نلقي فيه نظرة على دالة أسية أُجرِيَ عليها تحويل هندسي، ونُوجِد الدالة بمعلومية قيمتَي المجتمع الإحصائي الابتدائي والمجتمع الإحصائي الحدِّي.

مثال ٨: تحويلات التمثيلات البيانية للدوال الأسية

يمكن تمثيل مجتمع إحصائي ينمو على مرِّ الزمن 𞸍 إلى حد ثابت موجب بواسطة الدالة الأسية التي أُجرِيَ عليها تحويل هندسي التالية: 𞸏(𞸍)=𞸖+󰏡×𞸤𞸁𞸍 وذلك باعتبار القيم المناسبة لكلٍّ من: 󰏡، 𞸁، 𞸖. يوضِّح التمثيل البياني التالي ذلك.

إذا كان المجتمع الإحصائي الابتدائي والمجتمع الإحصائي الحدِّي هما 𞸃، 𞸇 على الترتيب، فأيُّ الدوال تكون مناسبة؟

  1. 𞸇+(𞸇+𞸃)𞸤(٥𞸍)
  2. 𞸇(𞸇𞸃)𞸤(٥𞸍)
  3. 𞸇+(𞸇𞸃)𞸤(٥𞸍)
  4. 𞸇(𞸇𞸃)𞸤(٥𞸍)
  5. 𞸇(𞸇+𞸃)𞸤(٥𞸍)

الحل

في هذا المثال سنتناول الدالة الأسية التي أُجرِيَ عليها تحويل هندسي، التي تصف مجتمعًا إحصائيًّا ينمو بمرور الوقت إلى حد ثابت موجب، وسنحدِّد القيم المناسبة لكلٍّ من: 󰏡، 𞸁، 𞸖 باستخدام المعطيات حول المجتمع الإحصائي الابتدائي والمجتمع الإحصائي الحدِّي.

تذكَّر أن التضاؤل الأسي يمكن تمثيله بواسطة الدالة: 𞸏(𞸍)=󰏡×𞸃=󰏡×𞸤=󰏡×𞸤،𞸍𞸍𞸃𞸁𞸍𞸤 حيث 󰏡=𞸏(٠) هو القيمة الابتدائية لـ 𞸏، 𞸃<١ يمثِّل التضاؤل. الدالة الأسية المعدَّلة 𞸏(𞸍)=𞸖+󰏡×𞸤𞸁𞸍 لها شكل الدالة الأسية المعتادة نفسه، ولكنَّها انتقلت بمقدار الثابت 𞸖.

بما أن المجتمع الإحصائي الابتدائي مشار إليه بالرمز 𞸃 فإن 𞸏(٠)=𞸃، ويمكننا التعويض بـ 𞸍=٠ في الدالة المعدَّلة للحصول على: 𞸏(٠)=𞸖+󰏡×𞸤=𞸖+󰏡.٠𞸍

وعليه، فإن 𞸃=𞸖+󰏡. المجتمع الإحصائي الحدِّي هو ما يحدث بعد مدة كبيرة من الزمن، أو يكون على الصورة: 𞸍، وهو الذي يكون معرَّفًا جيدًا فقط للدالة الأسية المحوَّلة، حيث 𞸁<٠؛ حيث إنه إذا كان 𞸁>٠ فستتباعد الدالة إلى ما لا نهاية.

بأخذ هذه النهاية؛ حيث 𞸁<٠، للدالة المعدَّلة يكون 𞸖=𞸇 بما أن الحد الثاني 󰏡×𞸤𞸁𞸍 سيقترب من صفر كلما زادت قيمة 𞸍 بدرجة كبيرة جدًّا (أي اقترابها من ما لا نهاية). وعليه، بجعل 󰏡=𞸃𞸖=𞸃𞸇 يمكن كتابة الدالة المعدَّلة على الصورة: 𞸏(𞸍)=𞸇+(𞸃𞸇)𞸤=𞸇(𞸇𞸃)𞸤.𞸁𞸍𞸁𞸍

وهذا يصلح لأيِّ قيمة مناسبة؛ حيث 𞸁<٠، وهكذا نجد أن هناك اختيارًا محدَّدًا واحدًا يمكن أن يكون فيه 𞸁=٥ وهو: 𞸇(𞸇𞸃)𞸤.(٥𞸍)

وهذا هو الخيار (د).

حتى الآن تناولنا المسائل التي يمكننا فيها إيجاد قيمة كمية ما في زمن معين، ولكن يمكننا أيضًا عكس العملية. وباستخدام معادلات النمو الأسي والتضاؤل الأسي يمكننا إيجاد الزمن الذي ستصل فيه كمية معينة إلى قيمة محدَّدة، وهو ما يفيد في العديد من التطبيقات الحياتية؛ مثل: حساب عمر النصف في الفيزياء، وخصوصًا للمواد المشعة التي يمكن وصفها على الصورة: 𞸏(𞸍)=𞸏×𞸤،٠𝜆𞸍 حيث 𝜆 هو عدد موجب يُسمَّى ثابت التضاؤل للكمية المشعة المتضائلة.

عمر النصف 𞸍١٢ هو الزمن المطلوب لتضاؤل نصف الكمية الابتدائية تمامًا 𞸏٠٠، ومن ثَمَّ يحقِّق المعادلة: 𞸏󰂔𞸍󰂓=١٢𞸏١٢٠.

يمكننا تحديد عمر النصف بالتعويض بـ 𞸍=𞸍١٢ في معادلة التضاؤل الإشعاعي كما يلي: 𞸏󰂔𞸍󰂓=𞸏𞸤=١٢𞸏.١٢١٢٠𝜆𞸍٠

بما أن 𞸏٠٠ فيمكننا القسمة على 𞸏٠ للحصول على المقدار التالي: 𞸤=١٢.𝜆𞸍١٢

لحلِّ هذه المعادلة لإيجاد 𞸍١٢ علينا تطبيق اللوغاريتم. لكن، هذا خارج نطاق هذا الشارح وسيتمُّ تناوله في شارح آخَر.

النقاط الرئيسية

  • يمكن تمثيل الدالة الأسية التي تصف النمو والتضاؤل على الصورة: 𞸑(𞸍)=󰏡×𞸁،𞸁>٠𞸁١،𞸍، حيث 𞸁>١ يمثِّل النمو الأسي، ويمثِّل ٠<𞸁<١ التضاؤل الأسي، أو يمكن التعبير عن هذه الدالة بصورة مكافئة كما يلي: 𞸑(𞸍)=󰏡×𞸤،𞸊𞸊٠،𞸊𞸍، حيث 𞸊=𞸁𞸤، 𞸊>٠ يمثِّل النمو الأسي، 𞸊<٠ يمثِّل التضاؤل الأسي.
  • يمكن أيضًا التعبير عن الدالة الأسية بدلالة المعدَّل الثابت للتغيُّر 𞸓؛ حيث 𞸁=١+𞸓 على الصورة: 𞸑(𞸍)=󰏡×(١+𞸓).𞸍 يتمُّ تحديد إشارة 𞸓 بحسب ما إذا كانت الكمية 𞸑 تنمو (𞸓>٠) أو تتضاءل (𞸓<٠) بمرور الزمن، ويمثَّل ذلك على صورة عدد عشري.
  • يمكننا أيضًا كتابة دالة النمو الأسي بدلالة المعدَّل الثابت للنمو 𞸌٪ (على صورة نسبة مئوية) هكذا: 𞸑(𞸍)=󰏡×󰂔١+𞸌٠٠١󰂓،𞸍 حيث 𞸌=٠٠١×𞸓=٠٠١×(𞸁١). وبالمثل تكون دالة التضاؤل الأسي بدلالة المعدَّل الثابت للتضاؤل 𞸌٪ هكذا: 𞸑(𞸍)=󰏡×󰂔١𞸌٠٠١󰂓،𞸍 حيث 𞸌=٠٠١×𞸓=٠٠١×(١𞸁).

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.