في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد قياس زاوية مجهول في مثلث قائم الزاوية باستخدام الدالة المثلثية العكسية المناسبة بمعلومية طولَيْ ضلعين.
عند تناول حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية، من المفيد أن نتذكَّر الاختصار «جا ق و جتا ج و ظا ق ج». فهذا يساعدنا على تذكُّر تعريفات النسب المثلثية؛ وهي الجيب وجيب التمام والظل، بدلالة الأضلاع بالنسبة إلى الزاوية، والتي نُسمِّيها المقابل، والمجاور، والوتر. نكتب النسب هنا.
النسب المثلثية
الوتر هو الضلع الأطول في المثلث القائم الزاوية دائمًا، والمقابل هو الضلع المقابل مباشرةً للزاوية المعنية، أما المجاور فهو الضلع المجاور للزاوية (وهو ليس الوتر). فيما يلي مثال على ذلك.
لإيجاد قياسات الزوايا المجهولة في المثلثات القائمة الزاوية (باستخدام حساب المثلثات)، علينا أن نكون واثقين من قدرتنا على تسمية المثلث بشكل صحيح بدلالة المقابل، والمجاور، والوتر، وأن نتذكَّر النسب المثلثية بشكل صحيح. بمجرد أن نتمكَّن من هذين الأمرين، سنكون مستعدين لحل مسائل حساب المثلثات التي تتضمَّن إيجاد قياس زاوية مجهولة.
نبدأ بالنظر إلى مثال.
مثال ١: إيجاد الزاوية المجهولة في مثلث قائم الزاوية
في الشكل الموضَّح، أوجد قياس الزاوية بالدرجة، لأقرب منزلتين عشريتين.
الحل
خطوتنا الأولى في هذا السؤال هي تسمية أضلاع المثلث بالنسبة إلى الزاوية .
لاحِظ هنا أننا وضعنا دائرة حول كلٍّ من ج، و؛ لأن هذين هما الضلعان اللذان نعلم طولهما. إذا تذكَّرنا بعد ذلك الاختصار «جا ق و جتا ج و ظا ق ج»، نرى أن «جتا ج و» هو الجزء الوحيد الذي يحتوي على كلٍّ من ج، و، وهو ما يعني أننا في حاجة إلى استخدام نسبة جيب التمام. نذكر أن:
وعليه، نعوِّض الآن بقيمتَي ج، و، لنجد أن:
وباستخدام خواص الدالة العكسية لجيب التمام، نجد أن:
وإذا حسبنا هذا الجزء بعد ذلك، نحصل على:
في بعض الأسئلة، قد يُطلَب منا حساب قياسات جميع الزوايا المجهولة في مثلث قائم الزاوية. في هذه الحالة، علينا استخدام حساب المثلثات لإيجاد إحدى الزوايا المجهولة، وبعدها يمكننا استخدام حقيقة أن مجموع قياسات الزوايا في المثلث يساوي . نلقي نظرة على مثال يوضِّح هذه الحالة.
مثال ٢: إيجاد قياسات الزوايا المجهولة في المثلث القائم الزاوية
في الشكل الموضَّح، أوجد قياس كلٍّ من ، و، بالدرجة، لأقرب منزلتين عشريتين.
الحل
خطوتنا الأولى هي أن نختار إحدى الزاويتين المجهولتين لحسابها أولًا. وهنا، نبدأ بإيجاد قياس ، التي نُسمِّيها . يمكننا بعد ذلك تسمية أضلاع المثلث بالنسبة إلى الزاوية ، كما هو موضَّح.
لقد وضعنا دائرة حول كلٍّ من ق، ج؛ لأن هذين هما طولا الضلعان اللذان نعرفهما. وبتذكُّر الاختصار «جا ق و جتا ج و ظا ق ج»، نرى أننا بحاجة إلى استخدام نسبة الظل بما أن الجزء «ظا ق ج» يحتوي على الأحرف ق، ج. نذكر أن:
وبالتعويض بالطولين ق، ج، نحصل على:
باستخدام خواص الدالة العكسية للظل، نجد أن:
وإذا حسبنا ذلك، فسنجد أن:
لإيجاد قياس الزاوية المجهولة الثانية في المثلث، علينا استخدام حقيقة أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي . إذا أطلق على اسم ، فسنحصل على المعادلة:
يُبسَّط ذلك إلى: ومن ثَمَّ، بطرح ١٢٨٫٦٦ من الطرفين، نحصل على:
في بعض أسئلة حساب المثلثات، لا يُعطى مخطط، ويكون جزء من مهارة الإجابة عن السؤال هو رسم مخطط مناسب. في المثال الآتي، نوضِّح هذه المهارة.
مثال ٣: حل مسائل المثلثات باستخدام حساب المثلثات
مثلث قائم الزاوية عند ؛ حيث سم، . أوجد الطول لأقرب سنتيمتر، وقياس الزاويتين ، لأقرب درجة.
الحل
نبدأ برسم مخطط. من المفيد عادةً أن نحاول رسم شكل تقريبي مع مراعاة النسبة بين الأبعاد. هو ليس ضروريًّا على الإطلاق، وإنما يساعدنا على التحقُّق من أن إجاباتنا منطقية عند مقارنتها بالمخطط. ومن ثَمَّ، نرسم المثلث ، ونُسمِّي أطوال الأضلاع التي نعرفها.
أول شيء مطلوب منا هو إيجاد الطول . ولفعل ذلك، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس التي تنص على أن: حيث هو طول الوتر. في المثلث الموضَّح، يكون هو الوتر. من ثَمَّ، يمكننا كتابة نظرية فيثاغورس للمثلث على النحو الآتي:
إذن، فإن:
بالتعويض بـ ، ، نحصل على:
وبأخذ الجذر التربيعي، نحصل على: لأقرب سنتيمتر.
علينا الآن إيجاد قياسات الزاويتين عند ، . ولفعل ذلك، نُوجِد إحدى الزاويتين؛ ومن ثَمَّ نستخدم حقيقة أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي . نُوجِد قياس ، التي نشير إليها بالرمز . ولمعرفة أيُّ نسبة مثلثية علينا استخدامها، علينا أولًا تسمية أضلاع المثلث. نحن نعلم أن هو الوتر. وبما أننا نُوجِد قياس ، إذن يكون هو المقابل، ويكون هو المجاور.
وكذلك، بما أننا نعرف أطوال جميع الأضلاع، إذن يمكننا استخدام أي نسبة مثلثية. لكن من الأفضل استخدام طولَي الضلعين المعطيين في السؤال. يوجد سببان وجيهان لذلك. أولًا، أنه في حال أخطأنا في حساب الضلع الثالث، لن يؤثِّر ذلك على إجابة هذا الجزء من السؤال. ثانيًا، أنه يمكننا بسهولة ارتكاب أخطاء عند التقريب إذا استخدمنا طول الضلع الثالث؛ وذلك لأن صورته الدقيقة ليست عددًا صحيحًا. من ثَمَّ، نحسب قياس باستخدام طول كلٍّ من المقابل والوتر. هذا يعني أننا سنستخدم نسبة الجيب:
وبالتعويض بكلٍّ من طول المقابل () وطول الوتر ()، يصبح لدينا:
وباستخدام الدالة العكسية للجيب، يصبح لدينا:
وباستخدام الآلة الحاسبة، يمكننا إيجاد قيمة ذلك والحصول على: لأقرب درجة. إذن لأقرب درجة.
يمكننا الآن استخدام حقيقة أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي لإيجاد . وبما أن: إذن يصبح لدينا:
وبالتعويض بقيمتَي ، ، نحصل على: لأقرب درجة.
من الممكن أيضًا أن تُعرَض مسائل حساب المثلثات في صورة مسائل كلامية. وفي هذه الحالة، إذا لم يكن لدينا مخطط توضيحي، فمن الأفضل دائمًا رسم مخطط. يوضِّح المثال الآتي هذا النوع من الأسئلة:
مثال ٤: حل المسائل الكلامية باستخدام حساب المثلثات
سُلَّم طوله ٥ م يستند إلى حائط رأسي؛ حيث تبعُد قاعدته ٢ م من الحائط. أوجد قياس الزاوية المحصورة بين السُّلَّم والأرض، أوجد إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.
الحل
الخطوة الأولى في حل سؤال كهذا هي رسم مخطط للموقف.
في هذا المخطط الموضَّح، سمَّينا الأضلاع التي نعرف أطوالها بالنسبة إلى الزاوية . وبما أننا نعلم هنا طول كلٍّ من المجاور والوتر، إذن علينا استخدام نسبة جيب التمام لإيجاد قياس الزاوية المجهولة. نحن نعلم أن:
إذا عوَّضنا بالطولين ج، و، نحصل على:
وإذا استخدمنا بعد ذلك خواص الدالة العكسية لجيب التمام، نجد أن:
بحساب هذا الجزء، نجد أن:
نختم الشارح بمسألة كلامية أخيرة.
مثال ٥: حل المسائل الكلامية باستخدام حساب المثلثات
ارتفاع منطقة للتزلُّج على الجليد ١٦ مترًا، وطولها ٢٠ مترًا. أوجد قياس لأقرب منزلتين عشريتين.
الحل
في هذا السؤال، من حسن الحظ أننا حصلنا على مخطط موضَّح ذي صلة، هذا يعني أننا لن نحتاج إلى رسم هذا بأنفسنا. أول ما نفعله هو تسمية الأضلاع بالنسبة إلى الزاوية ثيتا.
نعرف هنا طولَي المقابل والوتر؛ ومن ثَمَّ نستخدم نسبة الجيب لإيجاد قياس الزاوية المجهولة. نذكر أن: وإذا عوَّضنا بالطولين ق، و، نحصل على:
وإذا استخدمنا خواص الدالة العكسية للجيب بعد ذلك، نجد أن:
وبحساب ذلك، نجد أن:
النقاط الرئيسية
- عند التعامل مع المثلثات القائمة الزاوية، نستخدم المصطلحات المقابل والمجاور والوتر للإشارة إلى أضلاع المثلث. الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة دائمًا، وهو الضلع الأطول. يُسمَّى كلٌّ من المقابل والمجاور بالنسبة إلى زاوية محدَّدة يُشار إليها عادةً بالرمز . المجاور هو الضلع المجاور للزاوية ، وهو ليس الوتر. أما المقابل، فهو الضلع الأخير من المثلث. ويُسمَّى المقابل؛ لأنه الضلع المقابل للزاوية المعطاة.
- نذكر اختصار «جا ق و جتا ج و ظا ق ج»؛ حيث يشير ق إلى المقابل، ويشير ج إلى المجاور، ويشير و إلى الوتر، وتكون هي الزاوية. النسب المثلثية هي:
- يمكننا إيجاد قياس أي زاوية بدلالة أطوال الأضلاع باستخدام الدوال المثلثية العكسية.
