شارح الدرس: طرح المتجهات الفيزياء • الصف الأول الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نطرح متجهًا من متجهٍ آخَر في بُعدين، باستخدام كلٍّ من الطريقتين البيانية والجبرية.

انظر المتجهين ، الموضَّحين على الشبكة البيانية الآتية.

تذكَّر أنه يُمكننا إيجاد ناتِج بيانيًّا عن طريق تحريك المتجه ؛ بحيث يكون «ذيل» المتجه عند «رأس» المتجه . وهذا موضَّح على الشبكة البيانية الآتية، وناتِج جمع المتجهين هو .

لكنْ ماذا سيكون ناتِج طرح من ؟ ماذا سيكون ناتِج ؟

تذكَّر أن سالب المتجه متجه له نفس المقدار، ولكن له عكس الاتجاه. يوضِّح الشكل الآتي المتجه ، وسالبه .

عند التعامل مع الأعداد، يكون طرح عدد من آخَر هو نفسه جمع سالب هذا العدد عليه. على سبيل المثال: هو نفسه:

وينطبق الأمر نفسه على المتجهات: هو نفسه:

إذن يُمكننا طرح متجهٍ من متجهٍ آخَر عن طريق إيجاد سالب المتجه الذي نريد طرحه أولًا، ثم نجمع المتجهين.

بالرجوع إلى الشكل الأول، دعونا نغيِّر إلى .

يُمكننا الآن جمع هذين المتجهين معًا من خلال وضع ذيل عند رأس . ويكون الناتِج هو المتجه الموضَّح على الشبكة البيانية الآتية.

وهذه إحدى طُرق طرح المتجهات بيانيًّا، لكنْ ثمَّة طريقة أخرى، وهي أسرع بشكل عام. مرة أخرى، انظر المتجهين ، الموضَّحين على الشبكة البيانية الآتية.

ناتِج متجه يمتدُّ من رأس المتجه الثاني (في هذه الحالة ) إلى رأس المتجه الأول (في هذه الحالة ). إذن الناتِج هو المتجه ، كما هو موضَّح على الشبكة البيانية الآتية.

إذا اعتبرنا المتجهين ، متجهَيْ موضع النقطتين ، ، فإن ناتِج يُمكن اعتباره متجهًا يمتدُّ «من إلى »، كما هو موضَّح فيما يأتي.

لاحِظ أنه، لهذا السبب، ناتِج لا يساوي ناتِج . فناتِج متجه يمتدُّ من إلى ، كما هو موضَّح فيما يأتي.

وكما نرى في الشكل، يَنتُج عن تغيير ترتيب المتجهين في عملية الطرح سالب الناتِج. يُمكننا كتابة ذلك جبريًّا في صورة:

مثال ١: طرح المتجهات بيانيًّا

يوضِّح الشكل سبعة متجهات: ، ، ، ، ، ، .

1. أيُّ المتجهات يساوي ؟
2. أيُّ المتجهات يساوي ؟

الحل

الجزء الأول

تذكَّر أنه يُمكننا إيجاد ناتِج من خلال رسم متجه يمتدُّ من رأس المتجه الثاني ، إلى رأس المتجه الأول . هذا موضَّح على الشبكة البيانية الآتية.

وبمقارنة ذلك بالمتجهات الأخرى الموضَّحة في الشكل في السؤال، نجد أن ناتِج هو المتجه .

الجزء الثاني

تذكَّر أنه عندما نعكس ترتيب المتجهات عند طرح المتجهات، نحصل على سالب الناتِج. يُمكننا التعبير عنه جبريًّا كالآتي:

إذن يُمكننا استخدام إجابة الجزء الأول لإيجاد إجابة هذا الجزء. إذا كان ، فإن:

بالرجوع إلى الشكل الموجود في السؤال، نلاحِظ أن المتجه الذي يمثِّل سالب المتجه هو المتجه .

مثال ٢: طرح المتجهات بيانيًّا

أيُّ المتجهات ، ، ، ، الموضَّحة في الشكل يساوي ؟

الحل

تذكَّر أنه يُمكننا إيجاد ناتِج من خلال رسم متجه يمتدُّ من رأس المتجه الثاني ، إلى رأس المتجه الأول . وهذا موضَّح على الشبكة البيانية الآتية.

بمقارنة ذلك بالمتجهات الأخرى الموضَّحة في الشكل في السؤال، نجد أن ناتِج هو المتجه .

تناولنا حتى الآن كيفية طرح المتجهات بيانيًّا، ولكن يُمكننا أيضًا فعل ذلك جبريًّا.

تذكَّر أنَّ أيَّ متجه يُمكن تمثيله في صورة مجموع مضاعفات متجهي الوحدة في اتجاه المحورين ، . إذا كانت المركِّبة الأفقية للمحور هي ، والمركِّبة الرأسية للمحور هي ، وكان هو متجه الوحدة في اتجاه المحور ، هو متجه الوحدة في اتجاه المحور ، فإن:

وبالمثل، إذا قلنا إن: فإن:

إذا فككنا الأقواس، فسنحصل على:

يُمكننا بعد ذلك تجميع الحدود المتشابهة لنحصل على:

إذن إذا عرفنا مركِّبتَيْ متجهين، يُمكننا استخدام هذه الصيغة لطرح متجهٍ من الآخَر، ونحصل على مركِّبتي المتجه الناتِج.

مثال ٤: طرح متجهين بدلالة مركِّباتهما

لدينا المتجهان ، . ، . أيٌّ من المتجهات الخمسة الموضَّحة في الشكل يساوي ؟

الحل

في هذا السؤال، علينا إيجاد ناتِج طرح المتجهات جبريًّا، ثم تحديد أيٌّ من المتجهات المرسومة في الشكل هو المتجه الناتِج.

يُمكننا استخدام الصيغة: لإيجاد ناتِج ؛ حيث ، هما المركِّبتان الأفقيتان للمتجهين، ، هما المركِّبتان الرأسيتان للمتجهين.

بالتعويض بالقِيَم المُعطاة في السؤال، نحصل على:

إذن ناتِج هو . وبالنظر إلى الشكل، يُمكننا أن نرى أن هذا يُناظِر المتجه .