شارح الدرس: طرح المتجهات | نجوى شارح الدرس: طرح المتجهات | نجوى

شارح الدرس: طرح المتجهات الفيزياء • الصف الأول الثانوي

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في حصص الفيزياء المباشرة على نجوى كلاسيز وتعلم المزيد حول هذا الدرس من أحد مدرسينا الخبراء!

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نطرح متجهًا من متجهٍ آخَر في بُعدين، باستخدام كلٍّ من الطريقتين البيانية والجبرية.

انظر المتجهين 𝐴، 𝐵 الموضَّحين على الشبكة البيانية الآتية.

تذكَّر أنه يُمكننا إيجاد ناتِج 𝐴+𝐵 بيانيًّا عن طريق تحريك المتجه 𝐵؛ بحيث يكون «ذيل» المتجه 𝐵 عند «رأس» المتجه 𝐴. وهذا موضَّح على الشبكة البيانية الآتية، وناتِج جمع المتجهين هو 𝑉.

لكنْ ماذا سيكون ناتِج طرح 𝐵 من 𝐴 ؟ ماذا سيكون ناتِج 𝐴𝐵؟

تذكَّر أن سالب المتجه متجه له نفس المقدار، ولكن له عكس الاتجاه. يوضِّح الشكل الآتي المتجه 𝐵، وسالبه 𝐵.

عند التعامل مع الأعداد، يكون طرح عدد من آخَر هو نفسه جمع سالب هذا العدد عليه. على سبيل المثال: 124 هو نفسه: 12+(4).

وينطبق الأمر نفسه على المتجهات: 𝐴𝐵 هو نفسه: 𝐴+𝐵.

إذن يُمكننا طرح متجهٍ من متجهٍ آخَر عن طريق إيجاد سالب المتجه الذي نريد طرحه أولًا، ثم نجمع المتجهين.

بالرجوع إلى الشكل الأول، دعونا نغيِّر 𝐵 إلى 𝐵.

يُمكننا الآن جمع هذين المتجهين معًا من خلال وضع ذيل 𝐵 عند رأس 𝐴. ويكون الناتِج هو المتجه 𝑉 الموضَّح على الشبكة البيانية الآتية.

وهذه إحدى طُرق طرح المتجهات بيانيًّا، لكنْ ثمَّة طريقة أخرى، وهي أسرع بشكل عام. مرة أخرى، انظر المتجهين 𝐴، 𝐵 الموضَّحين على الشبكة البيانية الآتية.

ناتِج 𝐴𝐵 متجه يمتدُّ من رأس المتجه الثاني (في هذه الحالة 𝐵) إلى رأس المتجه الأول (في هذه الحالة 𝐴). إذن الناتِج هو المتجه 𝑉، كما هو موضَّح على الشبكة البيانية الآتية.

إذا اعتبرنا المتجهين 𝐴، 𝐵 متجهَيْ موضع النقطتين 𝐴، 𝐵، فإن ناتِج 𝐴𝐵 يُمكن اعتباره متجهًا يمتدُّ «من𝐵 إلى 𝐴»، كما هو موضَّح فيما يأتي.

لاحِظ أنه، لهذا السبب، ناتِج 𝐴𝐵 لا يساوي ناتِج 𝐵𝐴. فناتِج 𝐵𝐴 متجه يمتدُّ من 𝐴 إلى 𝐵، كما هو موضَّح فيما يأتي.

وكما نرى في الشكل، يَنتُج عن تغيير ترتيب المتجهين في عملية الطرح سالب الناتِج. يُمكننا كتابة ذلك جبريًّا في صورة: 𝐵𝐴=𝐴𝐵.

مثال ١: طرح المتجهات بيانيًّا

يوضِّح الشكل سبعة متجهات: 𝐴، 𝐵، 𝑃، 𝑄، 𝑅، 𝑆، 𝑇.

  1. أيُّ المتجهات يساوي 𝐴𝐵؟
  2. أيُّ المتجهات يساوي 𝐵𝐴؟

الحل

الجزء الأول

تذكَّر أنه يُمكننا إيجاد ناتِج 𝐴𝐵 من خلال رسم متجه يمتدُّ من رأس المتجه الثاني 𝐵، إلى رأس المتجه الأول 𝐴. هذا موضَّح على الشبكة البيانية الآتية.

وبمقارنة ذلك بالمتجهات الأخرى الموضَّحة في الشكل في السؤال، نجد أن ناتِج 𝐴𝐵 هو المتجه 𝑄.

الجزء الثاني

تذكَّر أنه عندما نعكس ترتيب المتجهات عند طرح المتجهات، نحصل على سالب الناتِج. يُمكننا التعبير عنه جبريًّا كالآتي: 𝐵𝐴=𝐴𝐵.

إذن يُمكننا استخدام إجابة الجزء الأول لإيجاد إجابة هذا الجزء. إذا كان 𝐴𝐵=𝑄، فإن: 𝐵𝐴=(𝑄)𝐵𝐴=𝑄.

بالرجوع إلى الشكل الموجود في السؤال، نلاحِظ أن المتجه الذي يمثِّل سالب المتجه 𝑄 هو المتجه 𝑆.

مثال ٢: طرح المتجهات بيانيًّا

أيُّ المتجهات 𝑃، 𝑄، 𝑅، 𝑆، 𝑇 الموضَّحة في الشكل يساوي 𝐴𝐵؟

الحل

تذكَّر أنه يُمكننا إيجاد ناتِج 𝐴𝐵 من خلال رسم متجه يمتدُّ من رأس المتجه الثاني 𝐵، إلى رأس المتجه الأول 𝐴. وهذا موضَّح على الشبكة البيانية الآتية.

بمقارنة ذلك بالمتجهات الأخرى الموضَّحة في الشكل في السؤال، نجد أن ناتِج 𝐴𝐵 هو المتجه 𝑃.

تناولنا حتى الآن كيفية طرح المتجهات بيانيًّا، ولكن يُمكننا أيضًا فعل ذلك جبريًّا.

تذكَّر أنَّ أيَّ متجه 𝐴 يُمكن تمثيله في صورة مجموع مضاعفات متجهي الوحدة في اتجاه المحورين 𝑥، 𝑦. إذا كانت المركِّبة الأفقية للمحور 𝐴 هي 𝐴، والمركِّبة الرأسية للمحور 𝐴 هي 𝐴، وكان 𝑖 هو متجه الوحدة في اتجاه المحور 𝑥، 𝑗 هو متجه الوحدة في اتجاه المحور 𝑦، فإن: 𝐴=𝐴𝑖+𝐴𝑗.

وبالمثل، إذا قلنا إن: 𝐵=𝐵𝑖+𝐵𝑗, فإن: 𝐴𝐵=𝐴𝑖+𝐴𝑗𝐵𝑖+𝐵𝑗.

إذا فككنا الأقواس، فسنحصل على: 𝐴𝐵=𝐴𝑖+𝐴𝑗𝐵𝑖𝐵𝑗.

يُمكننا بعد ذلك تجميع الحدود المتشابهة لنحصل على: 𝐴𝐵=(𝐴𝐵)𝑖+𝐴𝐵𝑗.

إذن إذا عرفنا مركِّبتَيْ متجهين، يُمكننا استخدام هذه الصيغة لطرح متجهٍ من الآخَر، ونحصل على مركِّبتي المتجه الناتِج.

مثال ٣: طرح متجهين بدلالة مركِّبتَيْهما

لدينا المتجهان 𝐴، 𝐵؛ حيث 𝐴=8𝑖+10𝑗، 𝐵=3𝑖+2𝑗. احسب 𝐴𝐵.

الحل

يُمكننا استخدام الصيغة: 𝐴𝐵=(𝐴𝐵)𝑖+𝐴𝐵𝑗 لإيجاد ناتِج 𝐴𝐵؛ حيث 𝐴، 𝐵 هما المركِّبتان الأفقيتان للمتجهين، 𝐴، 𝐵 هما المركِّبتان الرأسيتان للمتجهين.

بالتعويض بالقِيَم المُعطاة في السؤال، نحصل على: 𝐴𝐵=(83)𝑖+(102)𝑗𝐴𝐵=5𝑖+8𝑗.

إذن ناتِج 𝐴𝐵 هو 5𝑖+8𝑗.

مثال ٤: طرح متجهين بدلالة مركِّباتهما

لدينا المتجهان 𝐴، 𝐵. 𝐴=4𝑖9𝑗، 𝐵=1𝑖12𝑗. أيٌّ من المتجهات الخمسة الموضَّحة في الشكل يساوي 𝐴𝐵؟

الحل

في هذا السؤال، علينا إيجاد ناتِج طرح المتجهات جبريًّا، ثم تحديد أيٌّ من المتجهات المرسومة في الشكل هو المتجه الناتِج.

يُمكننا استخدام الصيغة: 𝐴𝐵=(𝐴𝐵)𝑖+𝐴𝐵𝑗 لإيجاد ناتِج 𝐴𝐵؛ حيث 𝐴، 𝐵 هما المركِّبتان الأفقيتان للمتجهين، 𝐴، 𝐵 هما المركِّبتان الرأسيتان للمتجهين.

بالتعويض بالقِيَم المُعطاة في السؤال، نحصل على: 𝐴𝐵=(41)𝑖+((9)(12))𝑗𝐴𝐵=(41)𝑖+(9+12)𝑗𝐴𝐵=3𝑖+3𝑗.

إذن ناتِج 𝐴𝐵 هو 3𝑖+3𝑗. وبالنظر إلى الشكل، يُمكننا أن نرى أن هذا يُناظِر المتجه 𝑄.

النقاط الرئيسية

  • بالنسبة إلى المتجهين 𝐴، 𝐵، يُمكننا إيجاد ناتِج 𝐴𝐵 بيانيًّا من خلال إيجاد سالب𝐵 أولًا، ثم نجمعه مع 𝐴.
  • تُوجَد طريقة أخرى يُمكننا استخدامها في طرح المتجهات بيانيًّا، وهي رسم متجه جديد يمتدُّ من «رأس» المتجه 𝐵 إلى «رأس» المتجه 𝐴.
  • إذا كان لدينا 𝐴، 𝐵 في الصورة المركَّبة، يُمكننا استخدام الصيغة: 𝐴𝐵=(𝐴𝐵)𝑖+𝐴𝐵𝑗 لإيجاد ناتِج 𝐴𝐵.

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في الحصص المباشرة على نجوى كلاسيز وحقق التميز الدراسي بإرشاد وتوجيه من مدرس خبير!

  • حصص تفاعلية
  • دردشة ورسائل
  • أسئلة امتحانات واقعية

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية