في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُحدِّد سرعات الأجسام بالنسبة إلى أجسام أخرى.
هناك طريقتان لوصْف سرعة الجسم. وهما:
- سرعته المطلقة
- سرعته النسبية.
لنتناول أولًا السرعة المطلقة. وعادة ما يُطلَق عليها السرعة فقط. في هذا الشارح، عند كتابة «السرعة» دون ذكر إذا ما كانت السرعة مطلقة أو نسبية، فإننا نعني «السرعة المطلقة».
سرعة الجسم تساوي المسافة التي يتحرَّكها الجسم خلال زمن معيَّن.
يتحرَّك جسم من موضِع إلى آخَر. ومثال لذلك عدَّاء يتحرَّك من خط البداية إلى خط النهاية في مضمار سباق. يوضِّح الشكل الآتي ذلك.
بالنسبة إلى مثال العدَّاء الذي يجري من خط البداية إلى خط النهاية في مضمار السباق، نلاحِظ أن:
- موضع البداية للعدَّاء هو خط البداية
- وموضع النهاية للعدَّاء هو خط النهاية.
هذان الموضعان، موضع البداية والنهاية، موضَّحان في الشكل الآتي.
لا تعتمد السرعة على مواضع الخطوط؛ حيث يُمكن أن تكون مواضع أي أجسام أخرى. يُمكننا حتى تسمية موضع البداية «الموضع (أ)» وموضع النهاية «الموضع (ب)».
العوامل التي تحدِّد السرعة هي:
- المسافة التي يتحرَّكها الجسم من موضع إلى آخَر
- مقدار الزمن المنقضي أثناء حركة الجسم.
يُمكن حساب السرعة باستخدام الصيغة:
تفترض هذه الصيغة أن موضع البداية وموضع النهاية لا يتغيَّران عندما يتحرَّك الجسم. هذا يعني أن التغيُّر في المسافة بين الجسم وموضع البداية أو النهاية يحدث فقط بسبب حركة الجسم.
لقد أوضحنا ما نعنيه بالسرعة المطلقة.
لنتناول الآن السرعة النسبية.
بالنسبة إلى السرعة النسبية، يُمكن أن يتغيَّر موضع البداية وموضع النهاية أثناء حركة الجسم.
يُمكننا أن نتناول مثالَيْن لنوضِّح كيف يُمكن أن تكون السرعة النسبية هي نفسها السرعة المطلقة، أو تختلف عنها.
في المثال الأول، ستكون السرعة النسبية هي نفسها السرعة المطلقة.
لنتناول الآن المثال الأول.
في هذا المثال، يوضِّح الشكل الآتي سيارتين متجاورتين في البداية.
نلاحِظ أن السيارة الحمراء لا تتحرَّك. وموضعها هو نفسه عند ٠ ثانية وبعد ثانية واحدة.
لكن السيارة الخضراء تتحرَّك؛ لذا يُوجَد زيادة في المسافة التي قطعتْها إحدى السيارتين. الزيادة في المسافة بين السيارة الخضراء والسيارة الحمراء خلال زمن مقداره ثانية واحدة موضَّحة بالسهم الأسود.
لنتناول سرعة السيارة الخضراء بالنسبة إلى السيارة الحمراء.
هذا يعني أننا سنحدِّد مقدار التغيُّر في المسافة بين السيارة الحمراء والسيارة الخضراء في زمن مقداره ثانية واحدة.
باستخدام المعادلة: نلاحِظ أن سرعة السيارة الخضراء بالنسبة إلى السيارة الحمراء تُعطَى بواسطة:
الزيادة في المسافة بين السيارتين تساوي المسافة التي تحرَّكتْها السيارة الخضراء. هذا لأن الزيادة في المسافة بين السيارتين ترجع فقط إلى حركة السيارة الخضراء.
نلاحِظ أنه في هذه الحالة، سرعة السيارة الخضراء بالنسبة إلى السيارة الحمراء هي نفسها السرعة المطلقة للسيارة الخضراء.
الآن، لنتناول مثالًا آخَر تختلف فيه السرعة النسبية عن السرعة المطلقة.
في هذا المثال، تتحرَّك السيارة الحمراء. كما هو موضَّح في الشكل الآتي.
السيارتان مرَّة أخرى متجاورتان في البداية. والتغيُّر في المسافة بين السيارتين في هذا المثال يرجع إلى حركة كلتا السيارتين، وليس السيارة الخضراء فقط.
تظلُّ سرعة السيارة الخضراء بالنسبة إلى السيارة الحمراء تُعطَى بالمعادلة: لكن التغيُّر في المسافة بين السيارتين الآن أقلُّ بكثير ممَّا كان عليه في المثال الأول. السهم الأسود الذي يوضِّح هذه المسافة أقصر من السهم الأسود في المثال الأول.
يختلف التغيُّر في المسافة في هذا المثال؛ لأن حركة كلٍّ من السيارة الخضراء والسيارة الحمراء تؤثِّر على التغيُّر في المسافة، وليس فقط حركة السيارة الخضراء.
إذن نلاحِظ أنه في حالة تحرُّك السيارة الحمراء تختلف سرعة السيارة الخضراء بالنسبة إلى السيارة الحمراء عن السرعة المطلقة للسيارة الخضراء.
هيَّا نُلقِ نظرةً على مثال يُشير إلى التغيُّر في المسافة بين الأجسام المتحرِّكة.
مثال ١: تحديد معدَّل التغيُّر في المسافة بين جسمين متحرِّكين
يتحرَّك جسم أزرق وجسم برتقالي على شبكة من الخطوط تفصل بينها مسافة متر واحد. يتحرَّك كلُّ جسم لمدة ثانيتين. توضِّح الأسهم المسافات التي يتحرَّكها الجسمان في كلِّ ثانية. ما مقدار التغيُّر في المسافة بين الجسمين في كلِّ ثانية؟
- ٠ م
- ١ م
- ٢ م
الحل
دعونا نرَ ما يُمكننا تحديده عن هذين الجسمين باستخدام الشكل الذي يمثِّل حركتَيْهما.
تُشير الأسهم التي تمثِّل حركة الجسمين إلى الاتجاه نفسه.
يُمكننا أن نلاحِظ أن كلا الجسمين يتحرَّكان في الاتجاه نفسه، إلى اليمين.
تمثِّل الأسهم المسافة التي يتحرَّكها الجسم إلى اليمين في زمن مقداره ثانية واحدة.
يُمكننا أن نلاحِظ أن الأسهم متساوية في الطول لكلا الجسمين. يُمكننا أن نرى أن طول الأسهم يساوي المسافة بين خطوط الشبكة المتجاورة. ينصُّ السؤال على أن خطوط الشبكة تفصل بينها مسافة متر واحد.
نرى هنا أن كلَّ جسم يتحرَّك مسافة مقدارها متر واحد في زمن مقداره ثانية واحدة. ومن ثَمَّ تكون السرعة المطلقة لكلِّ جسم مترًا واحدًا لكل ثانية.
ولكن المطلوب منَّا في السؤال هو معرفة مقدار التغيُّر في المسافة بين الجسمين في كلِّ ثانية.
وهذا يوضِّح لنا أننا لا نحاول إيجاد السرعة المطلقة للجسمين. لكن من المُفيد، على الرغم من ذلك أننا حدَّدنا أن الجسمين لهما السرعة المطلقة نفسها.
يوضِّح الشكل الآتي موضعي الجسمين عند فترات زمنية قدرها ثانية واحدة.
نلاحِظ أنه في كلِّ ثانية، تزيد المسافة بين الجسمين بمقدار متر واحد بسبب حركة الجسم الأزرق، وتقلُّ المسافة بين الجسمين بمقدار متر واحد بسبب حركة الجسم البرتقالي.
التغيُّر في المسافة، ، في كلِّ ثانية يُعطَى بالمعادلة:
الإجابة عن السؤال المتعلِّق بمقدار التغيُّر في المسافة بين الجسمين في كلِّ ثانية، هي متر.
لننظر مرَّة أخرى إلى مثال السيارتين المتحرِّكتين. وهذا موضَّح في الشكل الآتي.
تذكَّر أنه في هذا المثال حدَّدنا سرعة السيارة الخضراء بالنسبة إلى السيارة الحمراء.
هناك طريقة أخرى للتعبير عن ذلك، وهي أننا حدَّدنا السرعة التي تحرَّكت بها السيارة الخضراء بعيدًا عن السيارة الحمراء.
كان بإمكاننا أن نقول إننا حدَّدنا السرعة التي تحرَّكت بها السيارة الحمراء بعيدًا عن السيارة الخضراء.
وهذا يبدو غريبًا؛ حيث نعلم أن السيارة الحمراء تحرَّكت في نفس اتجاه السيارة الخضراء.
من المنطقي أن نقول إنَّ تحرُّك السيارة الخضراء من موضعها الابتدائي مسافةً أكبر من السيارة الحمراء يعني أن السيارة الخضراء تتحرَّك بعيدًا عن السيارة الحمراء.
ومن غير المنطقي أن نقول إنَّ تحرُّك السيارة الحمراء من موضعها الابتدائي مسافةً أقلَّ من السيارة الخضراء يعني أن السيارة الحمراء تتحرَّك بعيدًا عن السيارة الخضراء.
لكنْ علينا التأكُّد من أننا فهمنا أن «التحرُّك بعيدًا عن» يعني فقط «زيادة المسافة بينهما».
فنحن نعلم أن المسافة بين السيارتين تزيد.
ونعلم أيضًا أن المسافة بين السيارتين هي نفسها، سواء سمَّيْنًا هذه المسافة «المسافة من السيارة الخضراء إلى السيارة الحمراء»، أو «المسافة من السيارة الحمراء إلى السيارة الخضراء».
فطول الخط المستقيم الذي يوضِّح المسافة بين السيارتين هو نفسه، سواء قِسْناه من اليسار إلى اليمين، أم من اليمين إلى اليسار.
هذا يعني أن سرعة السيارة الخضراء بالنسبة إلى السيارة الحمراء تساوي سرعة السيارة الحمراء بالنسبة إلى السيارة الخضراء.
ويُمكننا أن نقول إن سرعة كلِّ سيارة بالنسبة إلى السيارة الأخرى واحدة.
هيَّا نلقِ نظرةً الآن على مثال نتناول فيه السرعة النسبية للأجسام المتحرِّكة.
مثال ٢: تحديد السرعة النسبية بين جسمين متحرِّكين
يتحرَّك جسم أزرق وجسم برتقالي على شبكة من الخطوط التي تفصل بينها مسافة متر واحد. يتحرَّك كلُّ جسم لمدة ثانيتين. توضِّح الأسهم المسافات التي قطعها الجسمان في كلِّ ثانية. ما سرعة كلٍّ من الجسمين بالنسبة إلى الآخَر؟
- ٠ م/ث
- ١ م/ث
- ٢ م/ث
الحل
دعونا نرَ ما يُمكننا تحديده عن هذين الجسمين باستخدام الشكل الذي يمثِّل حركتَيْهما.
تُشير الأسهُم التي تمثِّل حركة الجسمين إلى الاتجاه نفسه.
يُمكننا أن نلاحِظ أن كلا الجسمين يتحرَّكان في الاتجاه نفسه، إلى اليمين.
تمثِّل الأسهم المسافة التي يتحرَّكها الجسم إلى اليمين في زمن مقداره ثانية واحدة.
يُمكننا أن نلاحِظ أن الأسهم متساوية في الطول بالنسبة إلى كلا الجسمين. وأن طول الأسهم يساوي المسافة بين خطوط الشبكة المتجاورة. ينصُّ السؤال على أن خطوط الشبكة تفصل بينها مسافة متر واحد.
نرى هنا أن كلَّ جسم يتحرَّك مسافة مقدارها متر واحد في زمن مقداره ثانية واحدة. ومن ثَمَّ تكون السرعة المطلقة لكلِّ جسم مترًا واحدًا لكل ثانية.
لا يطلب منَّا السؤال معرفة السرعة المطلقة للجسمين، لكنْ يطلب معرفة سرعة كلٍّ من الجسمين بالنسبة إلى الجسم الآخَر.
يوضِّح الشكل الآتي موضعَيِ الجسمين عند فترات زمنية مقدارها ثانية واحدة.
نلاحِظ أنه في كلِّ ثانية، تزيد المسافة بين الجسمين بمقدار متر واحد بسبب حركة الجسم الأزرق، وتقلُّ المسافة بين الجسمين بمقدار متر واحد بسبب حركة الجسم البرتقالي.
التغيُّر في المسافة، ، في كلِّ ثانية يُعطَى بالمعادلة:
تُحسَب السرعة باستخدام المعادلة:
إذن سرعة الجسم الأزرق بالنسبة إلى الجسم البرتقالي هي عدد الأمتار التي يتحرَّكها الجسم الأزرق بعيدًا عن الجسم البرتقالي في ثانية واحدة.
تتغيَّر المسافة بين الجسمين بمقدار متر كلَّ ثانية. إذن سرعة الجسم الأزرق بالنسبة إلى الجسم البرتقالي تساوي صفرًا.
يُمكننا أن نقول الشيء نفسه عن سرعة الجسم البرتقالي بالنسبة إلى الجسم الأزرق.
إذن سرعة الجسم البرتقالي بالنسبة إلى الجسم الأزرق هي عدد الأمتار التي يتحرَّكها الجسم البرتقالي بعيدًا عن الجسم الأزرق في ثانية واحدة. تتغيَّر المسافة بين الجسمين بمقدار متر كلَّ ثانية. إذن سرعة الجسم البرتقالي بالنسبة إلى الجسم الأزرق تساوي صفرًا.
إجابة السؤال المتعلِّق بإيجاد سرعة كلٍّ من الجسمين بالنسبة إلى الجسم الآخَر، هي متر لكل ثانية.
نلاحِظ من ذلك أن السرعة النسبية بين الجسمين اللذين يتحرَّكان في الاتجاه نفسه بالسرعة نفسها تساوي صفرًا. يكون هذا صحيحًا بغضِّ النظر عن السرعة المطلقة للجسمين، بشرط أن تكون السرعة المطلقة ثابتة لكلا الجسمين.
لقد رأينا كيف نحدِّد السرعة النسبية للأجسام التي تتحرَّك في نفس الاتجاه.
يُمكننا أيضًا تناول كيفية تحديد السرعة النسبية للأجسام التي تتحرَّك في اتجاهين متعاكسين.
أحد الأمثلة لذلك، موضَّحٌ في الشكل الآتي، وهو إذا كانت الأجسام يتحرَّك كلٌّ منها باتجاه الآخَر.
مثال آخَر لذلك، موضَّحٌ في الشكل الآتي، هو إذا كانت الأجسام يتحرَّك كلٌّ منها بعيدًا عن الآخَر.
في كلتا الحالتين، الأمر المُهِمُّ هو مقدار تغيُّر المسافة بين الجسمين في كلِّ ثانية.
سرعة أيٍّ من الجسمين بالنسبة إلى الجسم الآخَر هي التغيُّر في المسافة بالمتر بين كلا الجسمين في كلِّ ثانية.
هيَّا نلقِ نظرةً الآن على مثال نتناول فيه السرعة النسبية للأجسام المتحرِّكة.
مثال ٣: تحديد السرعة النسبية لجسمين يتحرَّكان كلٌّ منهما في اتجاه الآخَر
يتحرَّك جسم أزرق وجسم برتقالي على شبكة من الخطوط التي تفصل بينها مسافة متر واحد. يتحرَّك كلُّ جسم لمدة ثانيتين. توضِّح الأسهم المسافات التي يتحرَّكها الجسمان في كلِّ ثانية. ما السرعة النسبية التي يقترب بها كلٌّ من الجسمين من الآخَر؟
- ٢ م/ث
- ١ م/ث
- ٤ م/ث
الحل
دعونا نرَ ما يُمكننا تحديده عن هذين الجسمين من شكل حركتَيْهما.
تُشير الأسهم التي تمثِّل حركة الجسمين إلى اتجاهين متعاكسين.
يُمكننا أن نلاحِظ أن الجسمين يتحرَّكان في اتجاهين متعاكسين.
تمثِّل الأسهم المسافة التي يتحرَّكها الجسم إلى اليمين في زمن مقداره ثانية واحدة.
يُمكننا أن نلاحِظ أن الأسهم متساوية في الطول لكلا الجسمين. وأن طول الأسهم يساوي المسافة بين خطوط الشبكة المتجاورة. ينصُّ السؤال على أن خطوط الشبكة تفصل بينها مسافة متر واحد.
نرى هنا أن كلَّ جسم يتحرَّك مسافة مقدارها متر واحد في زمن مقداره ثانية واحدة. ومن ثَمَّ تكون السرعة المطلقة لكلِّ جسم هي مترًا واحدًا لكل ثانية.
لا يطلب منَّا السؤال معرفة السرعة المطلقة للجسمين، لكنْ يطلب معرفة السرعة النسبية التي يقترب بها كلٌّ من الجسمين من الآخَر.
يوضِّح الشكل الآتي موضعَيِ الجسمين على فترات زمنية مقدارها ثانية واحدة.
نلاحِظ أنه في كلِّ ثانية، تقلُّ المسافة بين الجسمين بمقدار متر واحد بسبب حركة الجسم الأزرق، وتقلُّ المسافة بين الجسمين بمقدار متر واحد بسبب حركة الجسم البرتقالي.
التغيُّر في المسافة، ، في كلِّ ثانية يُعطَى بالمعادلة:
تُحسَب السرعة باستخدام المعادلة:
إذن سرعة أيٍّ من الجسمين بالنسبة إلى الجسم الآخَر هي التغيُّر في المسافة بالمتر بين الجسمين في ثانية واحدة.
إذن السرعة النسبية التي يقترب بها كلٌّ من الجسمين من الآخَر تُعطَى بالمعادلة:
هيَّا نلقِ نظرةً على مثال آخَر.
مثال ٤: تحديد السرعة النسبية بين جسمين يتحرَّكان كلٌّ منهما بعيدًا عن الآخَر
يتحرَّك جسم أزرق وجسم برتقالي على شبكة من الخطوط التي تفصل بينها مسافة متر واحد. يتحرَّك كلُّ جسم لمدة ثانيتين. توضِّح الأسهم المسافات التي يتحرَّكها الجسمان في كلِّ ثانية. ما السرعة النسبية التي يبتعد بها كلٌّ من الجسمين عن الآخَر؟
- ٢ م/ث
- ١ م/ث
- ٤ م/ث
الحل
دعونا نرَ ما يُمكننا تحديده عن هذين الجسمين من شكل حركتَيْهما.
تُشير الأسهم التي تمثِّل حركة الجسمين إلى اتجاهين متعاكسين.
يُمكننا أن نلاحِظ أن الجسمين يتحرَّكان في اتجاهين متعاكسين.
تمثِّل الأسهم المسافة التي يتحرَّكها الجسم إلى اليمين في زمن مقداره ثانية واحدة.
يُمكننا أن نلاحِظ أن الأسهم متساوية في الطول لكلا الجسمين. وأن طول الأسهم يساوي المسافة بين خطوط الشبكة المتجاورة. ينصُّ السؤال على أن خطوط الشبكة تفصل بينها مسافة متر واحد.
نرى هنا أن كلَّ جسم يتحرَّك مسافة مقدارها متر واحد في زمن مقداره ثانية واحدة. ومن ثَمَّ تكون السرعة المطلقة لكلِّ جسم هي مترًا واحدًا لكل ثانية.
لا يطلب منَّا السؤال معرفة السرعة المطلقة للجسمين، لكنْ يطلب معرفة السرعة النسبية التي يبتعد بها كلٌّ من الجسمين عن الآخَر.
يوضِّح الشكل الآتي موضعَيِ الجسمين عند فترات زمنية مقدارها ثانية واحدة.
نلاحِظ أنه في كلِّ ثانية، تزيد المسافة بين الجسمين بمقدار متر واحد بسبب حركة الجسم الأزرق، وتزيد المسافة بين الجسمين بمقدار متر واحد بسبب حركة الجسم البرتقالي.
التغيُّر في المسافة، ، في كلِّ ثانية يُعطَى بالمعادلة:
تُحسَب السرعة باستخدام الصيغة:
إذن سرعة أيٍّ من الجسمين بالنسبة إلى الجسم الآخَر هي التغيُّر في المسافة بالمتر بين الجسمين في ثانية واحدة.
والسرعة النسبية التي يبتعد بها كلٌّ من الجسمين عن الآخَر تُعطَى بالمعادلة:
هيَّا نلقِ نظرةً الآن على مثال يتضمَّن أجسامًا مألوفة.
مثال ٥: المقارنة بين السرعة المطلقة لجسمين باستخدام الحركة النسبية
مَرَّ يختٌ بجزيرة صغيرة يَقِف عليها شخص. خرج شخصٌ من المَدْخَل، ثم مشى على سطح اليخت في الاتجاه المُعاكِس لحركة اليخت. رأى شخصٌ يقف على الجزيرة الشخصَ الموجود على اليخت وهو يتحرَّك في اتجاه حركة اليخت. ما الأكبر؛ سرعة اليخت أم سرعة الشخص الذي يمشي؟
- سرعة اليخت أكبر من سرعة الشخص الذي يمشي.
- سرعة الشخص الذي يمشي أكبر من سرعة اليخت.
الحل
يُمكن الإجابة عن هذا السؤال بالنظر إلى موضع البداية وموضع النهاية للشخص الموجود على اليخت بالنسبة إلى الشخص الموجود على الجزيرة.
في البداية، يُرى الشخص الذي يقف على اليخت على يمين الشخص الموجود على الجزيرة. الشخص الموجود على اليخت يتحرَّك أيضًا نحو الطرف الأيمن من اليخت.
من المُهِمِّ ملاحَظة أنه ذُكر في السؤال أن الشخص الموجود على الجزيرة يرى الشخص الذي على اليخت يتحرَّك في اتجاه حركة اليخت.
يوضِّح الشكل الموجود في السؤال اليخت يتحرَّك إلى اليسار. هذا هو الاتجاه الذي يرى الشخص الموجود على الجزيرة الشخص الموجود على اليخت يتحرَّك فيه.
بعد مُضِيِّ فترة زمنية كافية، يجب أن يرى الشخص الموجود على الجزيرة أن الشخص الموجود على اليخت على يساره.
يوضِّح الشكل الآتي الجزيرة والشخص الموجود على اليخت عند زمن ابتدائي وزمن نهائي، عندما يُرى الشخص الموجود على اليخت على يسار الشخص الموجود على الجزيرة.
عند الزمن الابتدائي، يكون الشخص الموجود على اليخت على يمين الشخص الموجود على الجزيرة.
عند الزمن النهائي، يكون الشخص الموجود على اليخت على يسار الشخص الموجود على الجزيرة.
يُمكننا ملاحَظة أن الشخص الموجود على اليخت تحرَّك نحو اليسار أكثر من اليمين.
يدلُّ ذلك على أن السرعة التي يتحرَّك بها الشخص الموجود على اليخت نحو اليسار لا بدَّ أن تكون أكبر من السرعة التي يتحرَّك بها إلى اليمين.
حركة الشخص على اليخت إلى اليسار ترجع إلى حركة اليخت.
إذن نجد أن سرعة اليخت لا بدَّ أن تكون أكبر من سرعة الشخص الذي يمشي.
هيَّا نلخِّص الآن ما تعلَّمناه في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- السرعة المطلقة هي المسافة التي يتحرَّكها الجسم في كلِّ ثانية.
- سرعة الجسم بالنسبة إلى جسم آخَر هي التغيُّر في المسافة بين الجسمين لكلِّ ثانية.
- الجسمان اللذان يتحرَّكان كلٌّ منهما بالنسبة إلى الآخَر، لكلٍّ منهما السرعة نفسها بالنسبة إلى الآخَر.
- الجسمان اللذان يتحرَّكان في الاتجاه نفسه بالسرعة نفسها يُعتبَران ساكنَيْن كلٌّ منهما بالنسبة إلى الآخَر.
