في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحلُّ المسائل عن اتِّزان جسيم تحت تأثير عمل ثلاث قوًى مستوية باستخدام نظرية لامي.
عندما يكون جسيم في حالة اتِّزان، يوضح لنا قانون نيوتن الأول أن مجموع القوى المؤثرة على الجسيم يساوي صفرًا. وإذا كان الجسيم الذي في حالة اتِّزان يقع تحت تأثير ثلاث قوًى مستوية ومتلاقية في نقطة وليست على استقامة واحدة، فإن المتجِهات التي تمثل القوى الثلاث تكون لها خواص هندسية معينة توضحها نظرية لامي.
لفهم نظرية لامي، علينا أولًا إعادة ترتيب المتجهات الثلاثة التي تمثل القوى الثلاث ، ، . بما أن ، فإن المتجهات الثلاثة التي تمثل القوى الثلاث تكوِّن مثلثًا عند ترتيبها باستخدام طريقة الرأس للذيل، ويُسمى مثلث القوى.
دعونا الآن نتذكر قانون الجيوب.
تعريف: قانون الجيوب
في المثلث ، حيث هو طول الضلع المقابل للزاوية ، هو طول الضلع المقابل للزاوية ، هو طول الضلع المقابل للزاوية ، فإن:
نُلاحظ أن قانون الجيوب يعطينا علاقة بين مقادير القوى الثلاث وزوايا مثلث القوى. لكننا غالبًا ما نكون على علم بقياسات الزوايا بين المتجِهات التي تمثِّل القوى، أي عندما تتلاقى ذيول متجِهات القوى عند الجسيم. يُرمز إلى هذه الزوايا بـ ، ، في الشكل الأول بهذا الشارح.
هيا نتعرف إذن على العلاقة بين الزوايا ، ، والزوايا ، ، في مثلث القوى.
يوضِّح الشكل التالي الزوايا الخارجية للمثلث . كل زاوية من هذه الزوايا مكمِّلة للزاوية الداخلية المجاورة لها في المثلث.
نلاحظ أن كل زاوية خارجية هي الزاوية المحصورة بين متجِهين يلتقيان عند رأسها. على سبيل المثال، الزاوية الخارجية عند هي الزاوية المحصورة بين ، أي الزاوية . إذن، لدينا: وهو ما يمكن إعادة ترتيبه إلى:
وبالطريقة نفسها، نجد أن:
بما أن لجميع قيم ، نجد أنه يمكننا التعويض عن ، ، بكل من ، ، عند استخدام قانون الجيوب في مثلث القوى. وهذا يقودنا إلى نظرية لامي.
تعريف: نظرية لامي
إذا كان هناك ثلاث قوى مستوية ومتلاقية في نقطة وليست على استقامة واحدة ، ، تؤثِّر على جسيم في حالة اتِّزان، فإن: حيث هي الزاوية المحصورة بين: ، ، هي الزاوية المحصورة بين: ، ، هي الزاوية المحصورة بين: ، .
لنتناول مثالًا تُستخدم فيه نظرية لامي.
مثال ١: إيجاد قوة مجهولة باستخدام نظرية لامي
في الشكل الموضَّح، الجسيم في حالة اتِّزان تحت تأثير القوى المبينة بالنيوتن. أوجد القوة .
الحل
وفقًا لنظرية لامي، فإن:
يمكننا إيجاد قياس الزاوية كما يلي:
لدينا بعد ذلك:
لنتناول الآن مثالًا آخر على استخدام نظرية لامي يتضمن قوة مجهولة وزاوية مجهول قياسها.
مثال ٢: إيجاد مقدار قوة مجهولة وقياس زاوية مجهولة باستخدام نظرية لامي
ثقل يزن ٩٠ ث. جم معلَّق بخيطين غير مرنين. الخيط الأول يميل بزاوية على الرأسي، والثاني يميل بزاوية على الرأسي. إذا كان مقدار الشد في الخيط الأول ٤٥ ث. جم، فأوجد ومقدار الشد في الخيط الثاني.
الحل
يوضح الشكل التالي نظام القوى المؤثرة على الجسم.
قياس الزاوية هو:
نجد أيضًا أن:
وفقًا لنظرية لامي، فإن:
يوجد حد واحد فقط في التعبير لا يحتوي على أي مجهول، وهو:
لدينا بعد ذلك:
لكي يتحقق ذلك، لا بد أن يكون:
إذا افترضنا أن: فإن: إذن:
نجد أن:
وبإعادة الترتيب لجعل المتغير التابع، نحصل على:
لنتناول الآن استخدام نظرية لامي مع القوى المؤثرة على جسم كروي.
مثال ٣: إيجاد ردود الأفعال على كرة في حالة اتِّزان بين قضيبين مائلين
تستقر كرة على قضيبين. المسافة بين نقطتَي تماس الكرة مع القضيبين تساوي نصف قطر الكرة. أوجد رد فعل كلا القضيبين على الكرة إذا كان وزن الكرة ٢٦١ نيوتن.
الحل
نلاحظ من الشكل أن خط عمل وزن الكرة يمر بالنقطة التي يلتقي عندها القضيبان. نحن نعلم أنه إذا تقاطع مُماسان في دائرة، فإن المسافتين من النقطتين اللتين تَمَسَّان الدائرة عندهما إلى النقطة التي يتقاطعان عندها تكون متساوية. يعني هذا أن خط عمل الوزن هو خط تماثل النظام. إذن، فإننا نعلم بالفعل أن:
علاوة على ذلك، فإن مركز الدائرة ونقطتَيِ التماس مع القضيبين على مسافات متساوية، وهو ما يكوِّن مثلثًا متساوي الأضلاع قياس كل زاوية من زواياه الداخلية . وبما أن خط عمل الوزن هو خط التماثل، فإن قياسات الزوايا بين الوزن وقوة رد الفعل لكل قضيب متساوية وتُعطى من خلال:
يوضح الشكل التالي نظام القوى المؤثرة على الجسم.
باستخدام نظرية لامي، نحصل على:
ومن ثَمَّ:
إذن، مقدار رد فعل كل قضيب يساوي نيوتن.
هيا نتناول مثالًا تُستخدَم فيه نظرية لامي مع نظام قوى يمثلها مثلث قائم الزاوية.
مثال ٤: إيجاد قوى مجهولة باستخدام نظرية لامي في مسألة واقعية
جسم يزن ١٢ نيوتن معلَّق بأحد طرفي خيط خفيف غير مرن. الطرف الآخر من الخيط مثبَّت في حائط رأسي. القوة الأفقية تجعل الجسم في حالة اتزان عندما يكون قياس الزاوية بين الحائط والخيط . أوجد مقدار الشد في الخيط، ومقدار القوة الأفقية .
الحل
يمكننا حل هذا السؤال باستخدام نظرية لامي. ولكي نفعل ذلك، علينا إيجاد قياس الزوايا المحصورة بين القوى. نحن نعلم بالفعل أن قياس الزاوية المحصورة بين الوزن، يساوي . وبما أن المثلث قائم الزاوية في وقياس الزاوية يساوي ، نستنتج أن قياس الزاوية يساوي . إذن، قياس الزاوية المحصورة بين والوزن هو . ويمكن إيجاد قياسها أيضًا بالتفكير في الزاويتين المتبادَلتين داخليًّا بين الخطين الرأسيين (ومن ثَمَّ المتوازيين) وخط عمل الوزن.
وأخيرًا، قياس الزاوية المحصورة بين ، هو .
باستخدام نظرية لامي، نجد أن:
بالتعويض بقيم وقيم الجيوب، نجد أن: وهو ما يعطينا:
إذن: كما أن:
لنتناول الآن مثالًا يتضمن استخدام نظرية لامي مع نظام في حالة اتِّزان.
مثال ٥: إيجاد مقدار قوة مجهولة وقياس زاوية مجهولة باستخدام نظرية لامي في مسألة واقعية
في الشكل التالي، جسم وزنه نيوتن معلَّق في طرف خيط متصل بخيطين آخرين كلٌّ منهما يمر فوق بكرة ملساء. إذا كان الجسمان ، اللذان يزنان ٥٠، ٤٨ نيوتن، على الترتيب، معلَّقين في نهاية طرفَيِ الخيطين، والنظام في حالة اتِّزان، فأوجد لأقرب دقيقة وأوجد لأقرب منزلتين عشريتين.
الحل
يُوضح الشكل التالي نظام القوى المؤثرة على الجسم. مقدارا الشد في كل خيط، أي ، ، يساويان الوزنين ، ، على الترتيب.
قياس الزاوية المحصورة بين متجه وزن الجسم ومتجِه وزن الجسم يُعطى من خلال:
باستخدام نظرية لامي، نجد أن:
دعونا نوجد قياس أولًا.
بإعادة ترتيب: نجد أن:
هي زاوية تقع في الربع الثاني وقيمة جيبها تساوي نفس قيمة جيب الزاوية أيضًا.
ومن ثَمَّ، يصبح لدينا: وبما أن ، فإن:
بالتقريب لأقرب دقيقة، فإن هذا يساوي .
نلاحظ من ذلك أن:
باستخدام نظرية لامي، نحصل على:
بإعادة الترتيب لجعل المتغير التابع، نحصل على:
بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، فإن هذا يساوي ٦٧٫٨٢ نيوتن.
هيا نلخِّص ما تعلمناه من هذه الأمثلة.
النقاط الرئيسية
- إذا كان هناك ثلاث قوى مستوية ومتلاقية في نقطة وليست على استقامة واحدة ، ، تؤثر على جسيم في حالة اتزان، فإن: حيث هي الزاوية المحصورة بين ، ، هي الزاوية المحصورة بين ، ، هي الزاوية المحصورة بين ، .
