شارح الدرس: تطبيقات على التوزيع الطبيعي الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُطبِّق التوزيع الطبيعي في المواقف الحياتية.

تتبع العديد من المتغيِّرات المتصلة في العالم الحقيقي التوزيع الطبيعي بشكل تقريبي. فالمتغيِّرات مثل الأطوال والأوزان المُجمَّعة من عينات غير متحيِّزة من المُتوقَّع أن يتمَّ توزيعها توزيعًا طبيعيًّا. وإذا جمعنا قيم هذه المتغيِّرات من عينة عشوائية كبيرة، فإننا نتوقَّع أن يشبه التوزيع المدرَّج التكراري التالي.

إذا كان التوزيع لمتغيِّر متصل متماثلًا ومُركَّزًا بالقرب من المتوسط (مثل مجموعة البيانات الموضَّحة أعلاه)، يمكننا افتراض أن المتغيِّر مُوزَّع طبيعيًّا على نحو تقريبي. ولتقريب النسبة المئوية لنقاط البيانات التي تقع داخل نطاق معين في مثل هذه المتغيِّرات، يمكننا استخدام التوزيع الاحتمالي الطبيعي.

على سبيل المثال، لنفترض أننا نريد تقريب النسبة المئوية للأشخاص الفرنسيين الذين تتراوح أطوالهم بين ١٦٠ سم، ١٨٠ سم. افترض أننا، بعد جمع البيانات من عينة عشوائية كبيرة، حسبنا متوسط الطول للمشاركين في العينة ليكون ١٧٥ سم، والانحراف المعياري يساوي ٥ سم. سنبدأ حلَّ هذه المسألة بتحديد متغيِّر طبيعي عشوائي 𞹎 متوسطه ١٧٥ سم، وانحرافه المعياري ٥ سم. ونتذكَّر أن الصيغة 𞹎𞸈󰁓𝜇،𝜎󰁒٢ تشير إلى أن المتغيِّر 𞹎 مُوزَّع طبيعيًّا بالمتوسط 𝜇، والانحراف المعياري 𝜎. باستخدام هذه الصيغة، نجد أن 𞹎𞸈󰁓٥٧١،٥󰁒٢. بعد ذلك، نجد أن النسبة المئوية للأشخاص الفرنسيين الذين تتراوح أطوالهم بين ١٦٠ سم، ١٨٠ سم مُقرَّبة بالاحتمال: 𞸋(٠٦١𞹎٠٨١). ونتذكَّر أنه بما أن 𞹎 متغيِّر عشوائي متصل، فإن المتباينتين التامة < والضعيفة قابلتان للتبادل. وذلك لأن احتمال أن يأخذ 𞹎 قيمة معينة يساوي صفرًا؛ وهو ما يعني أن 𞸋(𞹎=𞸎)=٠ لأيِّ قيمة لـ 𞸎. وعلى وجه التحديد، يمكن كتابة هذا الاحتمال بعدة طرق مختلفة: 𞸋(٠٦١𞹎٠٨١)=𞸋(٠٦١<𞹎٠٨١)=𞸋(٠٦١𞹎<٠٨١)=𞸋(٠٦١<𞹎<٠٨١).

لذا، لا داعي للقلق بشأن ما إذا كانت العبارة «بين ١٦٠ سم، ١٨٠ سم» تتضمَّن الطرفين ١٦٠ سم، ١٨٠ سم أم لا.

تذكَّر أنه إذا كان 𞹎𞸈󰁓𝜇،𝜎󰁒٢، فإن 𞹑=𞹎𝜇𝜎 هو المتغيِّر الطبيعي المعياري 𞹑𞸈󰁓٠،١󰁒٢. وعليه، فإننا نحصل على احتمال 𞹑 من خلال استخدام منحنى الجرس، وجدول التوزيع الطبيعي المعياري. في هذا الشارح، سنستخدم جدول التوزيع الطبيعي المعياري الذي يوضِّح احتمالات على الصورة: 𞸋(٠𞹑𞸑)؛ حيث 𞸑٠.

لحساب الاحتمال 𞸋(٠٦١𞹎٠٨١)، نبدأ بجعل التوزيع الطبيعي معياريًّا: 𞸋(٠٦١𞹎٠٨١)=𞸋(٠٦١٥٧١𞹎𝜇٠٨١٥٧١)=𞸋(٥١𞹎𝜇٥)=𞸋󰂔٥١٥𞹎𝜇𝜎٥٥󰂓=𞸋󰂔٣𞹎𝜇𝜎١󰂓.

بما أن 𞹑=𞹎𝜇𝜎 هو المتغيِّر العشوائي الطبيعي المعياري، فسنحلِّل المنطقة {٣𞹑١} برسم منحنيات الجرس.

بعد ذلك، يمكننا كتابة: 𞸋(٣𞹑١)=𞸋(٠𞹑٣)+𞸋(٠𞹑١).

من جدول التوزيع الطبيعي المعياري، نجد أن 𞸋(٠𞹑٣)=٧٨٩٤٫٠، 𞸋(٠𞹑١)=٣١٤٣٫٠. وبجمع هذين العددين معًا، نحصل على: 𞸋(٣𞹑١)=٧٨٩٤٫٠+٣١٤٣٫٠=٤٨٫٠.

إذن، 𞸋(٠٦١𞹎٠٨١)=٤٨٫٠. ونتذكَّر أنه لتحويل أيِّ احتمال إلى نسبة مئوية، علينا ضرب هذا الاحتمال في ١٠٠. إذن، ٤٨٫٠×٠٠١=٤٨٪، وهو ما يعني أن أطوال ٤٨٪ تقريبًا من الأشخاص في فرنسا تتراوح بين ١٦٠ سم، ١٨٠ سم.

إذا كانت لدينا قيمة 𞸎 لمتغيِّر عشوائي، فإن اراراا له تُمثِّل موضعه بالنسبة إلى قيمة المتوسط، وتُقاس بعدد الانحرافات المعيارية.

تعريف: الدرجة المعيارية الزائية

افترض أن 𞸎 هي نقطة بيانات من متغيِّر له متوسط 𝜇، وانحراف معياري 𝜎. إذن، اراراا المرتبطة بـ 𞸎 تُعطى بالعلاقة: 𞸑=𞸎𝜇𝜎.

والاحتمال المرتبط باراراا هو 𞸋(𞹑𞸑)؛ حيث 𞹑 هو المتغيِّر الطبيعي المعياري.

نلاحظ أن الصيغة المذكورة أعلاه مماثلة لصيغة التوزيع الطبيعي المعياري، باستثناء أن كلًّا من 𞸑، 𞸎 يُكتب بحروف صغيرة. على سبيل المثال، اراراا للعدد ٦٥٫١ تشير إلى أن قيمة 𞸎 هي ٦٥٫١×𝜎 على يمين 𝜇. بعبارة أخرى، 𞸎=𝜇٦٥٫١×𝜎.

دعونا نلقِ نظرة على بعض الأمثلة لنتعرَّف على سياقات مختلفة.

مثال ١: تقدير احتمالات التوزيع الطبيعي الواردة في السياق

متوسط وزن محصول التفاح يساوي ١٠٥ جم، والانحراف المعياري يساوي ٣ جم. من المفترض أن التوزيع الطبيعي هو نموذج ملائم لهذه البيانات. ما الاحتمال التقريبي لأن يكون وزن تفاحة تمَّ اختيارها عشوائيًّا من المحصول أقلَّ من ١٠٥ جم؟

الحل

نبدأ باستخدام 𞹎 لتمثيل وزن التفاحة، وهو الذي من المفترض أن يتبع التوزيع الطبيعي بالمتوسط 𝜇=٥٠١، والانحراف المعياري 𝜎=٣. بعبارة أخرى يمكننا كتابة 𞹎𞸈󰁓٥٠١،٣󰁒٢. وعلينا حساب الاحتمال 𞸋(𞹎<٥٠١).

لجعل التوزيع الطبيعي معياريًّا، نطرح أوَّلًا 𝜇=٥٠١ من كلِّ طرف. ثم نقسم كلَّ طرف على 𝜎=٣. وأخيرًا، نعوِّض بالمتغيِّر 𞹑 عن 𞹎𝜇𝜎: 𞸋(𞹎<٥٠١)=𞸋(𞹎𝜇<٠)=𞸋󰂔𞹎𝜇𝜎<٠󰂓=𞸋(𞹑<٠).

ومن خلال التماثل حول منحنى الجرس، نجد أن 𞸋(𞹑<٠)=٥٫٠، كما هو موضَّح في الصورة التالية:

علينا أن نتذكَّر أنه لتحويل أيِّ احتمال إلى نسبة مئوية، يجب أن نضرب هذا الاحتمال في ١٠٠. إذن، ٥٫٠×٠٠١=٠٥٪، وهو ما يعني أن احتمال اختيار تفاحة عشوائيًّا من المحصول يكون وزنها أقلَّ من ١٠٥ جم هو ٠٥٪.

في المثال السابق، عرضنا عمليةَ جعلِ التوزيع الطبيعي معياريًّا لحساب احتماله. ولكن، لم يكن ذلك ضروريًّا في هذا المثال تحديدًا؛ حيث إنه مطلوب منَّا حساب احتمال اختيار تفاحة عشوائيًّا يكون وزنها أقلَّ من المتوسط. بما أنه من المفترض أن تكون أوزان التفاحات موزَّعة طبيعيًّا، فهذا يعني تحديدًا أن التوزيع متماثل حول المتوسط. بعبارة أخرى، أوزان نصف التفاحات تقريبًا ستكون أقلَّ من المتوسط، وأوزان النصف الآخَر ستكون أكبرَ من المتوسط. باستخدام هذا المنطق، كان بإمكاننا أن نستنتج مباشرةً أن 𞸋(𞹎<𝜇)=٥٫٠.

في المثال التالي، سنوضِّح عملية حساب الاحتمال لمنطقة غير بديهية.

مثال ٢: حساب الاحتمالات من التوزيع الطبيعي الوارد في السياق

الرواتب الشهرية للعاملين في أحد المصانع مُوزَّعة طبيعيًّا بمتوسط ٢١٠ جنيهات إسترلينية، وانحراف معياري مقداره ١٠ جنيهات إسترلينية. أوجد احتمال الاختيار العشوائي لعاملٍ راتبه يتراوح بين ١٨٤ و٢٣٣ جنيهًا إسترلينيًّا.

الحل

لنفترض أن 𞹎 يمثِّل الراتب الشهري الموزَّع طبيعيًّا بمتوسط 𝜇=٠١٢، وانحراف معياري 𝜎=٠١. وعلينا حساب 𞸋(٤٨١𞹎٣٣٢). إذن، بجعل التوزيع الطبيعي معياريًّا، نحصل على: 𞸋(٤٨١𞹎٣٣٢)=𞸋(٦٢𞹎𝜇٣٢)=𞸋󰂔٦٢٠١𞹎𝜇𝜎٣٢٠١󰂓=𞸋(٦٫٢𞹑٣٫٢).

بما أن 𞸋(٦٫٢𞹑٣٫٢) يتضمَّن قيمًا موجبة وسالبة للمتغيِّر 𞹑، فعلينا تقسيمه إلى منطقتين موجبة وسالبة. هيا نفكِّر في هذه العملية باستخدام صور توضيحية لمنحنى الجرس:

هذا يجعلنا نستنتج المعادلات الآتية: 𞸋(٦٫٢𞹑٣٫٢)=𞸋(٦٫٢𞹑٠)+𞸋(٠𞹑٣٫٢)=𞸋(٠𞹑٦٫٢)+𞸋(٠𞹑٣٫٢).

باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري، سنحصل على: 𞸋(٠𞹑٦٫٢)=٣٥٩٤٫٠، 𞸋(٠𞹑٣٫٢)=٣٩٨٤٫٠. وبجمع هذين الاحتمالين، نجد أن: 𞸋(٦٫٢𞹑٣٫٢)=𞸋(٠𞹑٦٫٢)+𞸋(٠𞹑٣٫٢)=٣٥٩٤٫٠+٣٩٨٤٫٠=٦٤٨٩٫٠.

إذن، احتمال الاختيار العشوائي لعاملٍ راتبه يتراوح بين ١٨٤ و٢٣٣ جنيهًا إسترلينيًّا يساوي ٠٫٩٨٤٦.

في المثالين التاليين، سنتناول النسبة المئوية لبيانات تقع ضمن نطاق معين. ولعلنا نتذكَّر أن الاحتمال يتحوَّل إلى نسبة مئوية بعد ضربه في ١٠٠.

مثال ٣: تقدير النسبة المئوية لمجتمع إحصائي من التوزيع الطبيعي في سياقٍ ما‎

كُتَل مجموعة طيور من فصيلة الشحروريات موزَّعة توزيعًا طبيعيًّا بوسط حسابي ١٠٣ جم، وانحراف معياري ١١ جم.

  1. ما النسبة المئوية للطيور التي تقلُّ كتلتها عن ١١٠ جم، لأقرب عدد صحيح؟
  2. ما النسبة المئوية للطيور التي تزيد كتلتها على ١٢٤ جم، لأقرب جزء من عشرة؟
  3. ما النسبة المئوية للطيور التي تتراوح كتلتها بين ٩٥ جم، ١٢٠ جم؛ لأقرب عدد صحيح؟

الحل

افترض أن 𞹎 هي كتلة الطيور الشحرورية. إذن، 𞹎𞸈󰁓٣٠١،١١󰁒٢.

الجزء الأول

هيا نوجد النسبة المئوية لمجموعة الطيور التي تقلُّ كتلتها عن ١١٠ جم. باستخدام صيغة الاحتمال، علينا أن نحسب 𞸋(𞹎<٠١١). نبدأ بجعل التوزيع الطبيعي معياريًّا: 𞸋(𞹎<٠١١)=𞸋(𞹎𝜇<٧)=𞸋󰂔𞹎𝜇𝜎<٧١١󰂓=𞸋󰂔𞹑<٧١١󰂓.

لاستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري، علينا تقريب ٧١١ لأقرب جزء من مائة، لنحصل على ٠٫٦٤. بعد ذلك، نقسم 𞸋(𞹑<٤٦٫٠) إلى منطقتين موجبة وسالبة كما هو موضَّح أدناه.

إذن: 𞸋(𞹑<٤٦٫٠)=𞸋(𞹑٠)+𞸋(٠𞹑٤٦٫٠).

نتذكَّر أن 𞸋(𞹑٠)=٥٫٠، في حين أننا نحصل على 𞸋(٠𞹑٤٦٫٠)=٩٨٣٢٫٠ من جدول التوزيع الطبيعي المعياري. بجمع الاحتمالين، نجد أن: 𞸋(𞹑<٤٦٫٠)=٥٫٠+٩٨٣٢٫٠=٩٨٣٧٫٠.

وبتحويل الاحتمال إلى نسبة مئوية، نحصل على: ٩٨٣٧٫٠×٠٠١=٩٨٫٣٧٪. ثم بالتقريب إلى أقرب عدد صحيح، نجد أن ٤٧٪ من الطيور تقلُّ كتلتها عن ١١٠ جم.

الجزء الثاني

دعونا نوجد النسبة المئوية للطيور التي تزيد كتلتها عن ١٢٤ جم. باستخدام صيغة الاحتمال، علينا حساب 𞸋(𞹎>٤٢١). نبدأ بجعل التوزيع الطبيعي معياريًّا: 𞸋(𞹎>٤٢١)=𞸋(𞹎𝜇>١٢)=𞸋󰂔𞹎𝜇𝜎>١٢١١󰂓.

علينا تقريب ١٢١١ لأقرب جزء من مائة، لنحصل على ١٫٩١. ومن ثَمَّ، الطرف الأيسر من المعادلة الموضَّحة أعلاه سيساوي 𞸋(𞹑>١٩٫١). سنرسم منحنيات الجرس التالية لتحليل المنطقة {𞹑>١٩٫١}:

ومن ذلك، نحصل على: 𞸋(𞹑>١٩٫١)=𞸋(𞹑٠)𞸋(٠𞹑١٩٫١).

نحن نعرف أن 𞸋(𞹑٠)=٥٫٠، وسنستخدم جدول التوزيع الطبيعي المعياري للحصول على 𞸋(٠𞹑١٩٫١)=٩١٧٤٫٠. إذن: 𞸋(𞹑>١٩٫١)=٥٫٠٩١٧٤٫٠=١٨٢٠٫٠.

بتحويل الاحتمال إلى نسبة مئوية، نحصل على: ١٨٢٠٫٠×٠٠١=١٨٫٢٪. وبالتقريب إلى أقرب جزء من عشرة، نجد أن ٨٫٢٪ من الطيور تزيد كتلتها عن ١٢٤ جم.

الجزء الثالث

هيا نوجد النسبة المئوية للطيور التي تتراوح كتلتها بين ٩٥ جم، ١٢٠ جم. باستخدام صيغة الاحتمال، علينا حساب 𞸋(٥٩𞹎٠٢١). نبدأ بجعل التوزيع الطبيعي معياريًّا: 𞸋(٥٩𞹎٠٢١)=𞸋(٨𞹎𝜇٧١)=𞸋󰂔٨١١𞹎𝜇𝜎٧١١١󰂓.

علينا تقريب ٨١١، ٧١١١ لأقرب جزء من مائة، لنحصل على: ٣٧٫٠، ١٫٥٥؛ على الترتيب. ومن ثَمَّ، الطرف الأيسر من المعادلة الموضَّحة أعلاه سيساوي 𞸋(٣٧٫٠𞹑٥٥٫١). سنستخدم التماثل حول منحنى الجرس لتحليل هذا الاحتمال:

ومن ذلك، نحصل على: 𞸋(٣٧٫٠𞹑٥٥٫١)=𞸋(٠𞹑٣٧٫٠)+𞸋(٠𞹑٥٥٫١).

باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري، سنحصل على: 𞸋(٠𞹑٣٧٫٠)=٣٧٦٢٫٠، 𞸋(٠𞹑٥٥٫١)=٤٩٣٤٫٠. وبجمع الاحتمالين معًا، نجد أن: 𞸋(٣٧٫٠𞹑٥٥٫١)=٣٧٦٢٫٠+٤٩٣٤٫٠=٧٦٠٧٫٠.

ثم بتحويل الاحتمال إلى نسبة مئوية، نحصل على: ٧٦٠٧٫٠×٠٠١=٧٦٫٠٧٪. وبالتقريب إلى أقرب عدد صحيح، نجد أن ١٧٪ من الطيور تتراوح كتلتها بين ٩٥ جم، ١٢٠ جم.

مثال ٤: استخدام احتمالات التوزيع الطبيعي لحلِّ مسألة حياتية

مدرسة بها ١‎ ‎٠٠٠ طالبٍ، كانت أطوال الطلاب تتبع توزيعًا طبيعيًّا متوسطه ١١٣ سم، وانحرافه المعياري ٥ سم. ما عدد الطلاب الذين تقلُّ أطوالهم عن ١٢١ سم؟

الحل

لنفترض أن 𞹎 يمثِّل طول الطالب. إذن، 𞹎𞸈󰁓٣١١،٥󰁒٢. للإجابة عن هذا السؤال، علينا أوَّلًا أن نحدِّد النسبة المئوية التقريبية للطلاب الذين تقلُّ أطوالهم عن ١٢١ سم. لذا، سنحسب 𞸋(𞹎١٢١). وبجعل التوزيع الطبيعي معياريًّا، نحصل على: 𞸋(𞹎١٢١)=𞸋(𞹎𝜇٨)=𞸋󰂔𞹎𝜇𝜎٨٥󰂓=𞸋(𞹑٦٫١).

سنرسم منحنى الجرس لتحليل هذا الاحتمال:

نستنتج من ذلك أن: 𞸋(𞹑٦٫١)=𞸋(𞹑٠)+𞸋(٠𞹑٦٫١).

باستخدام التماثل، نجد أن 𞸋(𞹑٠)=٥٫٠. وباستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري، سنحصل على: 𞸋(٠𞹑٦٫١)=٢٥٤٤٫٠. ثم بجمع الاحتمالين، نحصل على: 𞸋(𞹑٦٫١)=٥٫٠+٢٥٤٤٫٠=٢٥٤٩٫٠.

إذن، 𞸋(𞹎١٢١)=٢٥٤٩٫٠، وهو ما يعني أن ٢٥٤٩٫٠×٠٠١=٢٥٫٤٩٪ من الطلاب تقريبًا تقلُّ أطوالهم عن ١٢١ سم. وبما أن لدينا ١‎ ‎٠٠٠ طالبٍ إجماليًّا، فإن ٢٥٫٤٩٪ من إجمالي عدد الطلاب يساوي: ٢٥٫٤٩٪×٠٠٠١٥٤٩.اباب

لقد قرَّبنا الطرف الأيسر من المعادلة الموضَّحة أعلاه لأقرب عدد صحيح؛ لأن عدد الطلاب لا بد أن يكون عددًا صحيحًا.

إذن، ٩٤٥ طالبًا تقريبًا تقلُّ أطوالهم عن ١٢١ سم.

إن المتغيِّرين 𝜇، 𝜎 يمثِّلان جزءًا من المتغيِّر العشوائي المُوزَّع توزيعًا طبيعيًّا. إذا كانت لدينا قيمة كلٍّ من هذين المتغيِّرين، يمكننا أن نجعل التوزيع الطبيعي معياريًّا، ونوجد الاحتمالات باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري. بعض المسائل يعطينا أحد المتغيِّرين أو كليهما على صورة قيم مجهولة. في المثالين التاليين، سنتناول مسائل تحتوي على متغيِّرات مجهولة.

مثال ٥: إيجاد المتوسط باستخدام التوزيع الطبيعي

أطوال نوع معيَّن من الزهور موزَّعة حسب التوزيع الطبيعي الذي متوسطه 𝜇، وانحرافه المعياري ١٢. إذا عُلِمَ أن أطوال ٦٥٫٠١٪ من هذه الزهور أقلُّ من ٤٧ سم، فأوجد 𝜇.

الحل

لنفترض أن 𞹎 يمثِّل ارتفاع الزهرة. وعليه، فإن 𞹎𞸈󰁓𝜇،٢١󰁒٢. وبما أن أطوال ٦٥٫٠١٪ من الزهور أقلُّ من ٤٧ سم، فإننا نعلم من ذلك أن 𞸋(𞹎٧٤)=٦٥٠١٫٠. لقد حوَّلنا النسبة المئوية إلى عدد عشري بالقسمة على ١٠٠.

وبجعل التوزيع الطبيعي معياريًّا، نحصل على: 𞸋(𞹎٧٤)=𞸋(𞹎𝜇٧٤𝜇)=𞸋󰂔𞹑٧٤𝜇٢١󰂓.

دعونا نوضِّح أن 𞸑=٧٤𝜇٢١. ولقد علمنا أن 𞸋(𞹑𞸑)=٦٥٠١٫٠. بعبارة أخرى، ٠٫١٠٥٦ هو الاحتمال المرتبط باراراا الموضَّحة من خلال 𞸑. وبما أن الاحتمال ٠٫١٠٥٦ أقلُّ من ٠٫٥، فقيمة 𞸑 يجب أن تكون سالبة.

سنستخدم الصور التوضيحية التالية للتفكير في هذه المسألة:

نستنتج من ذلك هاتين المعادلتين: 𞸋(𞹑𞸑)=𞸋(𞹑𞸑)=𞸋(𞹑٠)𞸋(٠𞹑𞸑).

وبما أن 𞸋(𞹑٠)=٥٫٠، 𞸋(𞹑𞸑)=٦٥٠١٫٠، فهذا يعني أن: ٦٥٠١٫٠=٥٫٠𞸋(٠𞹑𞸑)𞸋(٠𞹑𞸑)=٥٫٠٦٥٠١٫٠=٤٤٩٣٫٠.

باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري، نجد أن قيمة 𞸑 المناظرة للاحتمال ٠٫٣٩٤٤ تساوي ١٫٢٥: 𞸋(٠𞹑𞸑)=𞸋(٠𞹑٥٢٫١)، إذن: 𞸑=٥٢٫١، أو 𞸑=٥٢٫١. تذكَّر أننا قد أوضحنا أن 𞸑=٧٤𝜇٢١. ومن ثَمَّ: ٧٤𝜇٢١=٥٢٫١٧٤𝜇=٥١𝜇=٢٦.

إذن: 𝜇=٢٦.

مثال ٦: إيجاد المتوسط باستخدام التوزيع الطبيعي

أطوال مجموعة من الطلاب تتبع توزيعًا طبيعيًّا انحرافه المعياري ٢٠ سم. احتمال أن يكون طول طالب ١٨٠ سم أو أقلَّ يساوي احتمال أن يكون المتغيِّر الطبيعي المعياري أقلَّ من أو يساوي ٢٫٢. أوجد متوسط الطول لمجموعة الطلاب.

الحل

لنفترض أن 𞹎 يمثِّل طول الطالب الموزَّع توزيعًا طبيعيًّا انحرافه المعياري 𝜎=٠٢. وعليه، فإن 𞹎𞸈󰁓𝜇،٠٢󰁒٢. نلاحظ هنا أن المتوسط، 𝜇، مجهول، ويطلب منَّا السؤال إيجاد قيمته.

لقد علمنا من السؤال أن 𞸋(𞹎٠٨١)=𞸋(𞹑٢٫٢)، ونتذكَّر أن 𞹑=𞹎𝜇𝜎، إذن: 𞸋(𞹎٠٨١)=𞸋󰂔𞹎𝜇𝜎٢٫٢󰂓=𞸋(𞹎𝜇٢٫٢×𝜎)=𞸋(𞹎𝜇+٢٫٢×𝜎).

هذا يعني أن ٠٨١=𝜇+٢٫٢𝜎. وبما أننا نعلم أن 𝜎=٠٢، فإن: ٠٨١=𝜇+٢٫٢×٠٢𝜇=٠٨١٢٫٢×٠٢=٦٣١.

إذن، متوسط الطول لمجموعة الطلاب هو: ١٣٦ سم.

النقاط الرئيسية

  • بالنسبة للمسائل التطبيقية التي تتضمَّن التوزيع الطبيعي، نبدأ بتحديد 𞹎 باعتباره المتغيِّر الطبيعي الذي متوسطه 𝜇، وانحرافه المعياري 𝜎.
  • إذا كانت المسألة تحتوي على تباين بدلًا من الانحراف المعياري، فعلينا أن نتذكَّر أن نأخذ الجذر التربيعي لكي نحصل على الانحراف المعياري 𝜎.
  • إذا كان لدينا متغيِّر عشوائي طبيعي 𞹎 متوسطه 𝜇، وانحرافه المعياري 𝜎؛ يمكننا أن نجعل التوزيع الطبيعي معياريًّا باستخدام الصيغة 𞹑=𞹎𝜇𝜎.
  • إذا كانت لدينا قيمة 𞸎 لمتغيِّر عشوائي، فإن اراراا له تساوي 𞸑=𞸎𝜇𝜎. والاحتمال المرتبط باراراا يساوي 𞸋(𞹑𞸑).

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.