شارح الدرس: تطبيقات على التوزيع الطبيعي الرياضيات

مثال ١: تقدير احتمالات التوزيع الطبيعي الواردة في السياق

متوسط وزن محصول التفاح يساوي ١٠٥ جم، والانحراف المعياري يساوي ٣ جم. من المفترض أن التوزيع الطبيعي هو نموذج ملائم لهذه البيانات. ما الاحتمال التقريبي لأن يكون وزن تفاحة تمَّ اختيارها عشوائيًّا من المحصول أقلَّ من ١٠٥ جم؟

الحل

نبدأ باستخدام لتمثيل وزن التفاحة، وهو الذي من المفترض أن يتبع التوزيع الطبيعي بالمتوسط ، والانحراف المعياري . بعبارة أخرى يمكننا كتابة . وعلينا حساب الاحتمال .

لجعل التوزيع الطبيعي معياريًّا، نطرح أوَّلًا من كلِّ طرف. ثم نقسم كلَّ طرف على . وأخيرًا، نعوِّض بالمتغيِّر عن :

ومن خلال التماثل حول منحنى الجرس، نجد أن ، كما هو موضَّح في الصورة التالية:

علينا أن نتذكَّر أنه لتحويل أيِّ احتمال إلى نسبة مئوية، يجب أن نضرب هذا الاحتمال في ١٠٠. إذن، ، وهو ما يعني أن احتمال اختيار تفاحة عشوائيًّا من المحصول يكون وزنها أقلَّ من ١٠٥ جم هو .

مثال ٢: حساب الاحتمالات من التوزيع الطبيعي الوارد في السياق

الرواتب الشهرية للعاملين في أحد المصانع مُوزَّعة طبيعيًّا بمتوسط ٢١٠ جنيهات إسترلينية، وانحراف معياري مقداره ١٠ جنيهات إسترلينية. أوجد احتمال الاختيار العشوائي لعاملٍ راتبه يتراوح بين ١٨٤ و٢٣٣ جنيهًا إسترلينيًّا.

الحل

لنفترض أن يمثِّل الراتب الشهري الموزَّع طبيعيًّا بمتوسط ، وانحراف معياري . وعلينا حساب . إذن، بجعل التوزيع الطبيعي معياريًّا، نحصل على:

بما أن يتضمَّن قيمًا موجبة وسالبة للمتغيِّر ، فعلينا تقسيمه إلى منطقتين موجبة وسالبة. هيا نفكِّر في هذه العملية باستخدام صور توضيحية لمنحنى الجرس:

هذا يجعلنا نستنتج المعادلات الآتية:

باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري، سنحصل على: ، . وبجمع هذين الاحتمالين، نجد أن:

إذن، احتمال الاختيار العشوائي لعاملٍ راتبه يتراوح بين ١٨٤ و٢٣٣ جنيهًا إسترلينيًّا يساوي ٠٫٩٨٤٦.

مثال ٣: تقدير النسبة المئوية لمجتمع إحصائي من التوزيع الطبيعي في سياقٍ ما‎

كُتَل مجموعة طيور من فصيلة الشحروريات موزَّعة توزيعًا طبيعيًّا بوسط حسابي ١٠٣ جم، وانحراف معياري ١١ جم.

1. ما النسبة المئوية للطيور التي تقلُّ كتلتها عن ١١٠ جم، لأقرب عدد صحيح؟
2. ما النسبة المئوية للطيور التي تزيد كتلتها على ١٢٤ جم، لأقرب جزء من عشرة؟
3. ما النسبة المئوية للطيور التي تتراوح كتلتها بين ٩٥ جم، ١٢٠ جم؛ لأقرب عدد صحيح؟

الحل

افترض أن هي كتلة الطيور الشحرورية. إذن، .

الجزء الأول

هيا نوجد النسبة المئوية لمجموعة الطيور التي تقلُّ كتلتها عن ١١٠ جم. باستخدام صيغة الاحتمال، علينا أن نحسب . نبدأ بجعل التوزيع الطبيعي معياريًّا:

لاستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري، علينا تقريب لأقرب جزء من مائة، لنحصل على ٠٫٦٤. بعد ذلك، نقسم إلى منطقتين موجبة وسالبة كما هو موضَّح أدناه.

إذن:

نتذكَّر أن ، في حين أننا نحصل على من جدول التوزيع الطبيعي المعياري. بجمع الاحتمالين، نجد أن:

وبتحويل الاحتمال إلى نسبة مئوية، نحصل على: . ثم بالتقريب إلى أقرب عدد صحيح، نجد أن من الطيور تقلُّ كتلتها عن ١١٠ جم.

الجزء الثاني

دعونا نوجد النسبة المئوية للطيور التي تزيد كتلتها عن ١٢٤ جم. باستخدام صيغة الاحتمال، علينا حساب . نبدأ بجعل التوزيع الطبيعي معياريًّا:

علينا تقريب لأقرب جزء من مائة، لنحصل على ١٫٩١. ومن ثَمَّ، الطرف الأيسر من المعادلة الموضَّحة أعلاه سيساوي . سنرسم منحنيات الجرس التالية لتحليل المنطقة :

ومن ذلك، نحصل على:

نحن نعرف أن ، وسنستخدم جدول التوزيع الطبيعي المعياري للحصول على . إذن:

بتحويل الاحتمال إلى نسبة مئوية، نحصل على: . وبالتقريب إلى أقرب جزء من عشرة، نجد أن من الطيور تزيد كتلتها عن ١٢٤ جم.

الجزء الثالث

هيا نوجد النسبة المئوية للطيور التي تتراوح كتلتها بين ٩٥ جم، ١٢٠ جم. باستخدام صيغة الاحتمال، علينا حساب . نبدأ بجعل التوزيع الطبيعي معياريًّا:

علينا تقريب ، لأقرب جزء من مائة، لنحصل على: ، ١٫٥٥؛ على الترتيب. ومن ثَمَّ، الطرف الأيسر من المعادلة الموضَّحة أعلاه سيساوي . سنستخدم التماثل حول منحنى الجرس لتحليل هذا الاحتمال:

ومن ذلك، نحصل على:

باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري، سنحصل على: ، . وبجمع الاحتمالين معًا، نجد أن:

ثم بتحويل الاحتمال إلى نسبة مئوية، نحصل على: . وبالتقريب إلى أقرب عدد صحيح، نجد أن من الطيور تتراوح كتلتها بين ٩٥ جم، ١٢٠ جم.

مثال ٤: استخدام احتمالات التوزيع الطبيعي لحلِّ مسألة حياتية

مدرسة بها ١‎ ‎٠٠٠ طالبٍ، كانت أطوال الطلاب تتبع توزيعًا طبيعيًّا متوسطه ١١٣ سم، وانحرافه المعياري ٥ سم. ما عدد الطلاب الذين تقلُّ أطوالهم عن ١٢١ سم؟

الحل

لنفترض أن يمثِّل طول الطالب. إذن، . للإجابة عن هذا السؤال، علينا أوَّلًا أن نحدِّد النسبة المئوية التقريبية للطلاب الذين تقلُّ أطوالهم عن ١٢١ سم. لذا، سنحسب . وبجعل التوزيع الطبيعي معياريًّا، نحصل على:

سنرسم منحنى الجرس لتحليل هذا الاحتمال:

نستنتج من ذلك أن:

باستخدام التماثل، نجد أن . وباستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري، سنحصل على: . ثم بجمع الاحتمالين، نحصل على:

إذن، ، وهو ما يعني أن من الطلاب تقريبًا تقلُّ أطوالهم عن ١٢١ سم. وبما أن لدينا ١‎ ‎٠٠٠ طالبٍ إجماليًّا، فإن من إجمالي عدد الطلاب يساوي:

لقد قرَّبنا الطرف الأيسر من المعادلة الموضَّحة أعلاه لأقرب عدد صحيح؛ لأن عدد الطلاب لا بد أن يكون عددًا صحيحًا.

إذن، ٩٤٥ طالبًا تقريبًا تقلُّ أطوالهم عن ١٢١ سم.

مثال ٥: إيجاد المتوسط باستخدام التوزيع الطبيعي

أطوال عيِّنة من الزهور موزَّعة حسب التوزيع الطبيعي الذي متوسطه ، وانحرافه المعياري ١٢. إذا عُلِمَ أن أطوال من هذه الزهور أقلُّ من ٤٧ سم، فأوجد .

الحل

لنفترض أن يمثِّل ارتفاع الزهرة. وعليه، فإن . وبما أن أطوال من الزهور أقلُّ من ٤٧ سم، فإننا نعلم من ذلك أن . لقد حوَّلنا النسبة المئوية إلى عدد عشري بالقسمة على ١٠٠.

وبجعل التوزيع الطبيعي معياريًّا، نحصل على:

دعونا نوضِّح أن . ولقد علمنا أن . بعبارة أخرى، ٠٫١٠٥٦ هو الاحتمال المرتبط ب الموضَّحة من خلال . وبما أن الاحتمال ٠٫١٠٥٦ أقلُّ من ٠٫٥، فقيمة يجب أن تكون سالبة.

سنستخدم الصور التوضيحية التالية للتفكير في هذه المسألة:

نستنتج من ذلك هاتين المعادلتين:

وبما أن ، ، فهذا يعني أن:

باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري، نجد أن قيمة المناظرة للاحتمال ٠٫٣٩٤٤ تساوي ١٫٢٥: إذن: ، أو . تذكَّر أننا قد أوضحنا أن . ومن ثَمَّ:

إذن: .

مثال ٦: إيجاد المتوسط باستخدام التوزيع الطبيعي

أطوال مجموعة من الطلاب تتبع توزيعًا طبيعيًّا انحرافه المعياري ٢٠ سم. احتمال أن يكون طول طالب ١٨٠ سم أو أقلَّ يساوي احتمال أن يكون المتغيِّر الطبيعي المعياري أقلَّ من أو يساوي ٢٫٢. أوجد متوسط الطول لمجموعة الطلاب.

الحل

لنفترض أن يمثِّل طول الطالب الموزَّع توزيعًا طبيعيًّا انحرافه المعياري . وعليه، فإن . نلاحظ هنا أن المتوسط، ، مجهول، ويطلب منَّا السؤال إيجاد قيمته.

لقد علمنا من السؤال أن ، ونتذكَّر أن ، إذن:

هذا يعني أن . وبما أننا نعلم أن ، فإن:

إذن، متوسط الطول لمجموعة الطلاب هو: ١٣٦ سم.