شارح الدرس: زوايا الارتفاع والانخفاض الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: إيجاد طول مجهول بمعلومية مسألة واقعية ومخطَّط

المسافة بين مبنيين تساوي ٤٠ م. قمة المبنى لها زاوية ارتفاع قياسها مقيسة من قمة المبنى . إذا كان ارتفاع المبنى ، وتقع قاعدتَا المبنيين على نفس المستوى الأفقي؛ فإن ارتفاع لأقرب متر.

الحل

في هذه المسألة نلاحظ أن الحالة ممثَّلة بمخطَّط، ووفقًا للمعطيات التي لدينا تَشكَّل مثلث قائم الزاوية. إنه هذا المثلث الذي سنتناوله في البداية.

لكي نُوجِد ارتفاع علينا حساب قيمة . لأننا إذا أضفنا قيمة إلى ارتفاع فإننا سنحصل على ارتفاع .

سنستخدم النسب المثلثية لتساعدنا على إيجاد قيمة . لاستخدام النسب المثلثية في مثلث قائم الزاوية نتَّبع الخطوات الأربع الآتية:

1. نسمِّي الأضلاع.
2. نختار النسبة المثلثية.
3. نعوِّض بالقيم المعلومة.
4. نحلُّ المسألة.

دعونا نطبِّق ذلك على المسألة التي لدينا.

الخطوة الأولى

أولًا، نسمِّي الوتر والضلع المقابل والضلع المجاور.

الخطوة الثانية

لكي نختار النسبة المثلثية الصحيحة ننظر إلى الضلع المعلوم لدينا، والضلع الذي نريد إيجاده. إنهما الضلعان المجاور والمقابل في هذه المسألة. بالاستفادة من هذه المعلومات يمكننا اختيار النسبة. توجد وسيلة لتذكُّر النسب المثلثية يمكننا استخدامها للمساعدة في الاختيار:

توضِّح لنا هذه الصيغة الضلعين اللذين نحتاج إليهما لكلِّ نسبة. وبما أن لدينا الضلعين المقابل (ق) والمجاور (ج) فإننا سنستخدم نسبة الظل. هذا يوضِّح لنا أن:

الخطوة الثالثة

نعوِّض الآن بالقيم المعلومة:

الخطوة الرابعة

أخيرًا، نعيد ترتيب المعادلة ونُوجِد قيمة :

للحفاظ على الدقة سنترك على هذه الصورة حتى إجراء العملية الحسابية النهائية.

والآن، لكي نُوجِد ارتفاع نضيف إلى ارتفاع الذي علمنا من السؤال أنه يساوي ٣٠ م:

في هذا السؤال مطلوب منَّا تقريب عدد أمتار لأقرب متر؛ إذن الإجابة هي ٥٣ مترًا.

مثال ٢: استخدام حساب المثلثات في المثلث القائم الزاوية لحلِّ المسائل الكلامية التي تتضمَّن زوايا الارتفاع والانخفاض

مبنى ارتفاعه ٨ أمتار. قياس زاوية الارتفاع من قمة المبنى إلى قمة شجرة ، وقياس زاوية الانخفاض من قمة المبنى إلى قاعدة الشجرة . أوجد المسافة بين قاعدة المبنى وقاعدة الشجرة لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

الخطوة الأولى لحلِّ هذه المسألة هي رسم مخطَّط محدَّد به جميع المعطيات التي لدينا.

في هذا المخطَّط أشرنا إلى المسافة التي نحاول إيجادها بالرمز . من هذا المخطَّط يمكننا استخلاص مثلث قائم الزاوية لمساعدتنا في حساب هذه المسافة.

بما أن لدينا الآن مثلثًا قائم الزاوية، ونحاول إيجاد ضلع ناقص فيه؛ فإنه يمكننا استخدام النسب المثلثية لإيجاد قيمة .

أولًا، نسمِّي الوتر والضلع المقابل والضلع المجاور.

والآن، لكي نختار النسبة المثلثية الصحيحة ننظر إلى الضلع المعلوم لدينا، والضلع الذي نريد إيجاده. إنهما الضلعان المقابل والمجاور في هذه المسألة. بالاستفادة من هذه المعلومات يمكننا اختيار النسبة:

بعد ذلك، نعوِّض بالقيم المعلومة ثم نوجد قيمة :

وأخيرًا، كما هو مطلوب منَّا في السؤال نقرِّب الناتج لأقرب منزلتين عشريتين لنحصل على المسافة بين قاعدة المبنى وقاعدة الشجرة وهي: ٥٫٠٠ م.

مثال ٣: استخدام حساب المثلثات في المثلث القائم الزاوية لحلِّ المسائل الكلامية التي تتضمَّن زوايا الارتفاع

ارتفاع منارة ٦٠ مترًا. وزاويتَا الارتفاع بين سفينتين في البحر وقمة المنارة ، على الترتيب. إذا كانت السفينتان وقاعدة المنارة على استقامةٍ واحدةٍ، والسفينتان على الجانب نفسه من المنارة؛ فأوجد المسافة بين السفينتين لأقرب متر.

الحل

الخطوة الأولى لحلِّ هذه المسألة هي رسم مخطَّط محدَّد فيه جميع المعطيات التي لدينا.

والآن، بما أننا علمنا من السؤال أن السفينتين وقاعدة المنارة على استقامةٍ واحدةٍ فيمكننا تكوين مثلثين قائمَي الزاوية لكي يساعدانا في إيجاد المسافة بين السفينتين، وهي التي نشير إليها بالرمز: .

الخطوة التالية هي استخدام النسب المثلثية لحساب المسافة بين كلِّ سفينة والمنارة. بمجرد إيجاد هاتين المسافتين يمكننا حساب الفرق بينهما، وهذا سيعطينا المسافة بين السفينتين.

سنبدأ بالسفينة الأبعد عن المنارة. أولًا، نسمِّي الوتر والضلع المقابل والضلع المجاور.

والآن، لكي نختار النسبة المثلثية الصحيحة ننظر إلى الضلع المعلوم لدينا، والضلع الذي نريد إيجاده. إنهما الضلعان المقابل والمجاور في هذه المسألة. بالاستفادة من هذه المعلومات يمكننا اختيار النسبة:

بعد ذلك، نعوِّض بالقيم المعلومة ثم نُوجِد قيمة (أي المسافة من المنارة):

في هذه المرحلة سنترك على هذه الصورة للحفاظ على الدقة. بالطريقة نفسها سنُوجِد المسافة بين السفينة الأقرب والمنارة كما يلي:

نعلم الآن المسافة التي تبعُد بها كلُّ سفينة عن المنارة؛ ومن ثَمَّ يمكننا حساب المسافة بين السفينتين على النحو الآتي:

إذا طرحنا من نحصل على:

إذن، يمكننا القول إن المسافة بين السفينتين لأقرب متر هي ٣٤ م.

مثال ٤: إيجاد ارتفاع مجهول بتكوين نظام من المعادلات وحلِّه

برج ارتفاعه ٣٣ مترًا. قياس زاوية انخفاض قمة البرج من أعلى تل . قياس زاوية انخفاض قاعدة البرج من أعلى التل . أوجد ارتفاع التل علمًا بأن قاعدته وقاعدة البرج في مستوًى أفقي واحد. اكتب إجابتك لأقرب متر.

الحل

لمساعدتنا في حل هذه المسألة سنرسم مخطَّطًا محدَّدًا به جميع المعطيات التي لدينا. أشرنا أيضًا إلى بعض النقاط بالرموز: ، ، ، .

من المخطَّط نلاحظ أن ما نحاول إيجاده هو طول . للقيام بذلك علينا إيجاد الطول الناقص: .

بما أن يمثِّل الخط الأُفقي، يمثِّل الخط الرأسي؛ فإننا نعلم أن قياس . والآن، بالنظر إلى المثلث نلاحظ أن لدينا زاويتين؛ إذن:

نجد أيضًا أن:

دعونا نركِّز الآن على المثلث .

يمكننا إيجاد طول باستخدام قاعدة الجيب. تخبرنا قاعدة الجيب بأن:

بالتعويض بالقيم المعلومة لدينا وإعادة ترتيبها يمكننا إيجاد طول :

والآن، دعونا ننظر إلى المثلث .

بما أن هذا مثلث قائم الزاوية فإنه يمكننا تطبيق النسبة المثلثية . باستخدام ، ، نجد أن قيمة تساوي:

وأخيرًا، لإيجاد ارتفاع التل علينا إضافة إلى ٣٣:

إذن، يمكننا القول إن ارتفاع التل لأقرب متر هو ٦٢ م.

مثال ٥: استخدام زوايا الارتفاع لحلِّ مسألة واقعية

زاوية ارتفاع قمة تل من نقطة تقع على قاعدته هي . صعد رجلٌ التل بَدْءًا من تلك النقطة بزاوية تميل على الأفقي بمقدار مسافة قدرها ٣٤٠ مترًا. استمر الرجل في طريقه إلى قمة التل بزاوية تميل على الأفقي بمقدار . أوجد ارتفاع التل لأقرب متر.

الحل

دعونا نبدأ برسم مخطَّط يصف هذا السؤال.

في هذا المخطَّط نلاحظ أن قاعدة التل التي بدأ الرجل التسلق منها تقع عند النقطة ، وقمة التل تقع عند النقطة ، وارتفاع التل هو ، والنقطة التي تتغيَّر عندها زاوية المسار تقع عند .

بالنظر إلى الزاويتين اللتين عند النقطة نلاحظ أن . دعونا ننظر بعد ذلك إلى المثلث المحدَّد باللون الأخضر أدناه.

بما أن مجموع قياسات زوايا هذا المثلث لا بد من أن يساوي فإن . وبالمثل، إذا نظرنا إلى المثلث نلاحظ أن:

باستخدام الزاويتين اللتين أوجدناهما عند النقطة نستطيع الآن أن نقول إن:

بعد ذلك، سنتناول المثلث .

بما أننا نعرف بالفعل زاويتين في هذا المثلث نجد أن . يمكننا الآن تطبيق قاعدة الجيب على هذا المثلث لإيجاد طول . عند القيام بذلك نجد أن:

وأخيرًا، إذا نظرنا إلى المثلث القائم الزاوية فإنه يمكننا إيجاد قيمة باستخدام النسب المثلثية.

من المخطَّط نلاحظ أن:

بإعادة الترتيب لإيجاد قيمة نحصل على الحل؛ وهو أن ارتفاع التل يساوي: لأقرب متر.