تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: المعادلات اللوغاريتمية ذات الأساسات المختلفة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحلُّ المعادلات اللوغاريتمية التي تتضمَّن لوغاريتمات ذات أساسات مختلفة.

دعونا نتذكَّر أولًا العلاقة بين الصورة اللوغاريتمية والصورة الأُسِّية للمعادلات.

تعريف: العلاقة بين الصورتين اللوغاريتمية والأُسِّية للمعادلات

إذا كان 𞸎>٠، والأساس 󰏡>٠؛ حيث 󰏡١، فإن الصورة اللوغاريتمية 𞸑=𞸎󰏡 تُكافئ الصورة الأُسِّية 𞸎=󰏡𞸑؛ وهو ما يَسمح لنا بالتحويل من صورة إلى أخرى بمجرد تحديد قِيَم 󰏡، 𞸎، 𞸑.

الدالة الأُسِّية 𞸑=󰏡𞸎 هي معكوس الدالة اللوغاريتمية 𞸑=𞸎󰏡. وهذا يعني أنه عند رفع 󰏡 للقوة لوغاريتم 𞸎 للأساس 󰏡، أو رفع 󰏡 للقوة 𞸎 أولًا ثم أخْذ لوغاريتم الناتج للأساس 󰏡، نحصل على 𞸎: 󰏡=󰁓󰏡󰁒=𞸎.󰏡𞸎󰏡𞸎

تَسمح لنا العلاقة بين الصورتين اللوغاريتمية والأُسِّية باستنتاج الخواصِّ التي تحقِّقها الصورة اللوغاريتمية، المعروفة باسم قوانين اللوغاريتمات، المُستمَدَّة من قوانين الأُسُس. دعونا نتذكَّر قوانين اللوغاريتمات.

تعريف: قوانين اللوغاريتمات

افترض أن 𞸎، 𞸑، 󰏡، 𞸁 أعداد موجبة؛ حيث 󰏡،𞸁١. قوانين اللوغاريتمات هي:

  • الضرب: 󰏡󰏡󰏡(𞸎𞸑)=𞸎+𞸑،
  • القسمة: 󰏡󰏡󰏡󰃁𞸎𞸑󰃀=𞸎𞸑،
  • القوى: 󰏡𞸍󰏡󰁓𞸎󰁒=𞸍𞸎،
  • تغيير الأساس: 󰏡𞸁𞸁𞸎=𞸎󰏡.

ستُفيدنا هذه القواعد عند حلِّ المعادلات اللوغاريتمية ذات الأساسات المختلفة، خصوصًا القاعدة الأخيرة، التي تَسمح لنا بتحويل لوغاريتم ذي أساس ما إلى أساس آخَر. لكي نعرف كيف توصَّلنا إلى هذه القواعد، انظر أولًا إلى: 𞸎=󰏡،󰏡=𞸁،󰏡𞸁𞸎󰏡 المُستمَدَّيْن مباشرة من حقيقة أن الأُسُس واللوغاريتمات عبارة عن معكوس كلٍّ منهما للآخَر. إذا عوَّضنا بالمقدار الثاني في المقدار الأول، فسنحصل على: 𞸎=󰂔𞸁󰂓.𞸁󰏡󰏡𞸎

وباستخدام قانون الأُسُس، 󰁓𞸋󰁒=𞸋𞸒𞸓𞸒𞸓، يُمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة: 𞸎=𞸁.𞸁󰏡󰏡×𞸎

وبحساب اللوغاريتم لكلا الطرفين للأساس 𞸁، نجد أن: 𞸁𞸁󰏡󰏡𞸁𞸁𞸎=󰏡×𞸎𞸎=𞸎󰏡، وهو المطلوب استنتاجه. وهذه الصيغة، بالإضافة إلى قوانين اللوغاريتمات والصورة الأُسِّية المُكافِئة، تَسمح لنا بحلِّ المعادلات اللوغاريتمية التي تتضمَّن لوغاريتمات ذات أساسات مختلفة. من الحقائق الأخرى المُهِمَّة لحلِّ المعادلات اللوغاريتمية: 󰏡󰏡𞸎=𞸑𞸎=𞸑، وهي التي تَنتُج مباشرة من العلاقة بين الصُّوَرة اللوغاريتمية والصورة الأُسِّية، وتحديدًا حقيقة أن الدوال اللوغاريتمية والأُسِّية دوال مُطَّرِدة تمامًا. ويُمكننا توضيح ذلك مباشرة باستخدام قوانين اللوغاريتمات: 󰏡󰏡󰏡󰏡󰏡𞸎=𞸑𞸎𞸑=٠󰃁𞸎𞸑󰃀=٠.

بتحويل المقدار الأخير إلى الصورة الأُسِّية، نجد أن: 𞸎𞸑=󰏡=١،٠ إذن 𞸎=𞸑، كما هو مطلوب استنتاجه.

على سبيل المثال، نفترض أننا نريد إيجاد حلول المعادلة اللوغاريتمية: ٤٢(٢𞸎١)=𞸎.

أولًا: نحوِّل اللوغاريتم في الطرف الأيمن إلى لوغاريتم للأساس ٢ باستخدام صيغة تغيير الأساس: ٤٢٢٢٢٢٢(٢𞸎١)=(٢𞸎١)٤=(٢𞸎١)٢=١٢(٢𞸎١)، حيث نَستخدِم حقيقة أن 󰏡𞸍󰏡=𞸍؛ لكي نحصل على السطر الأخير. ومن ثم، باستخدام هذا وقوانين اللوغاريتمات، تصبح المعادلة اللوغاريتمية المُعطاة على الصورة: ١٢(٢𞸎١)=𞸎(٢𞸎١)=٢𞸎(٢𞸎١)=𞸎.٢٢٢٢٢٢٢

باستخدام الحقيقة التي وضَّحناها، إذا كان 󰏡󰏡𞸎=𞸑، فإن 𞸎=𞸑، أو بالتحويل إلى الصورة الأُسِّية، نحصل على: ٢𞸎١=𞸎𞸎٢𞸎+١=٠(𞸎١)=٠.٢٢٢

وبذلك يكون الحلُّ الوحيد للمعادلة اللوغاريتمية ٤٢(٢𞸎١)=𞸎 هو 𞸎=١.

دعونا الآن نتناول بعض الأمثلة لنتدرَّب عليها، ونعمِّق فهْمنا لحلِّ المعادلات اللوغاريتمية. في المثال الأول، لدينا لوغاريتمان لهما أساسان مختلفان، ويَظهَر المجهول 𞸎 داخل اللوغاريتم.

مثال ١: إيجاد مجموعة حلِّ معادلة لوغاريتمية في مجموعة الأعداد الحقيقية

أوجد مجموعة حلِّ ٣٩𞸎=٤ في 𞹇.

الحل

في هذا المثال، علينا تحديد مجموعة حلِّ معادلة لوغاريتمية محدَّدة بها أساسان مختلفان، وتحديد قِيَم المجهول الذي يَظهَر داخل اللوغاريتم.

لكي نحلَّ المعادلة، سنَستخدِم صيغة تغيير الأساس: 󰏡𞸁𞸁𞸎=𞸎󰏡، وقانون القوة: 𞸍𞸎=󰁓𞸎󰁒.󰏡󰏡𞸍

عند تطبيق صيغة تغيير الأساس، يُمكننا أن نكتب الطرف الأيسر من المعادلة اللوغاريتمية المُعطاة، ٩٤، على صورة لوغاريتم للأساس ٣ باستخدام ٩=٣٢، وأن 󰏡𞸍󰏡=𞸍: ٩٣٣٣٣٢٣٤=٤٩=٤٣=١٢٤.

باستخدام ذلك، تصبح المعادلة لدينا: ٣٣٣٣٣٣𞸎=١٢٤𞸎=٤𞸎=٢.١٢

وبما أن 󰏡١󰏡٢١٢𞸎=𞸎𞸎=𞸎، نجد أن 𞸎=٢. إذن مجموعة الحلِّ: {٢}.

دعونا الآن نتناول مثالًا لدينا فيه معادلة لوغاريتمية تتضمَّن لوغاريتمين ذات أساسان مختلفان ومجهولًا يَظهَر في كلٍّ منهما.

مثال ٢: إيجاد مجموعة حلِّ معادلة لوغاريتمية في مجموعة الأعداد الحقيقية

أوجد مجموعة حلِّ المعادلة ٣٣٤٢٥𞸎+𞸎+٣=٠ في 𞹇.

الحل

في هذا المثال، نريد تحديد مجموعة حلِّ معادلة لوغاريتمية معيَّنة ذات أساسات مختلفة، والمجهول يَظهَر داخل لوغاريتمين لهما أساسان مختلفان.

لحلِّ المعادلة، سنَستخدِم صيغة تغيير الأساس: 󰏡𞸁𞸁𞸎=𞸎󰏡، وقانون القوة: 𞸍𞸎=󰁓𞸎󰁒.󰏡󰏡𞸍

عند تطبيق صيغة تغيير الأساس، يُمكننا كتابة الحدِّ الثاني من الطرف الأيمن في المعادلة اللوغاريتمية المُعطاة، ٣٤٢٥𞸎، على صورة لوغاريتم له الأساس ٣ باستخدام ٣٤٢=٣٥، وأن 󰏡𞸍󰏡=𞸍: ٣٤٢٥٣٥٣٣٥٣٥٣٥٣𞸎=𞸎٣٤٢=𞸎٣=١٥𞸎=𞸎.

عند التعويض بهذا في المعادلة اللوغاريتمية المُعطاة، نحصل على: ٣٣٤٢٥٣٣٣٣𞸎+𞸎+٣=٠𞸎+𞸎+٣=٠٢𞸎=٣𞸎=٣٢.

إذا كان 𞸎>٠، والأساس 󰏡>٠، 󰏡١، فإن الصورة اللوغاريتمية 𞸑=𞸎󰏡 تُكافئ الصورة الأُسِّية 𞸎=󰏡𞸑.

وأخيرًا: بتحويل ٣𞸎=٣٢ إلى الصورة الأُسِّية، يصبح لدينا: 𞸎=٣=١٣=١٣×٣=١٣󰋴٣.٣٢٣٢١٢

إذن مجموعة الحلِّ 󰃳١٣󰋴٣󰃲.

في المثال الآتي، سنُوجِد حلَّ معادلة لوغاريتمية تحتوي على مجموع ثلاثة لوغاريتمات ذات أساسات مختلفة، ونُوجِد قيمة المجهول الذي يَظهَر داخل كلِّ لوغاريتم.

مثال ٣: إيجاد مجموعة حلِّ معادلة لوغاريتمية في مجموعة الأعداد الحقيقية

أوجد مجموعة حلِّ ٢٤٦١𞸎+𞸎+𞸎=١٢ في 𞹇.

الحل

في هذا المثال، نريد تحديد مجموعة حلِّ معادلة لوغاريتمية محدَّدة ذات أساسات مختلفة، وأيضًا تحديد قِيَم المجهول الذي يَظهَر داخل اللوغاريتم.

لكي نحلَّ هذه المعادلة، سنَستخدِم صيغة تغيير الأساس: 󰏡𞸁𞸁𞸎=𞸎󰏡، وقانون القوة: 𞸍𞸎=󰁓𞸎󰁒.󰏡󰏡𞸍

عند تطبيق صيغة تغيير الأساس، يُمكننا كتابة الحدِّ الثاني في الطرف الأيمن من المعادلة اللوغاريتمية المُعطاة، ٤𞸎، على صورة لوغاريتم له الأساس ٢ باستخدام ٤=٢٢، 󰏡𞸍󰏡=𞸍: ٤٢٢٢٢٢٢𞸎=𞸎٤=𞸎٢=١٢𞸎، وبالمثل، بالنسبة إلى الحدِّ الثالث، ٦١𞸎، نَستخدِم ٦١=٢٤ حيث: ٦١٢٢٢٢٤٢𞸎=𞸎٦١=𞸎٢=١٤𞸎.

بالتعويض بهذين المقدارين في المعادلة اللوغاريتمية، نحصل على: ٢٤٦١٢٢٢٢٢𞸎+𞸎+𞸎=١٢𞸎+١٢𞸎+١٤𞸎=١٢٧٤𞸎=١٢𞸎=٢١.

إذا كان 𞸎>٠، والأساس 󰏡>٠، 󰏡١، فإن الصورة اللوغاريتمية 𞸑=𞸎󰏡 تُكافئ الصورة الأُسِّية 𞸎=󰏡𞸑.

ومن ثم، بتحويل ٢𞸎=٢١ إلى الصورة الأُسِّية، نحصل على: 𞸎=٢=٦٩٠٤.٢١

إذن مجموعة الحلِّ {٦٩٠٤}.

دعونا الآن نتناول مثالًا علينا فيه إيجاد حلِّ معادلة لوغاريتمية تحتوي على مجموع مقلوبات ثلاثة لوغاريتمات ذات أساسات مختلفة، والمجهول يَظهَر في كلِّ لوغاريتم.

مثال ٤: إيجاد مجموعة حلِّ معادلة لوغاريتمية في مجموعة الأعداد الحقيقية

أوجد مجموعة حلِّ ١𞸎+١𞸎+١𞸎=٣٢٤٨ في 𞹇.

الحل

في هذا المثال، علينا تحديد مجموعة حلِّ معادلة لوغاريتمية ذات أساسات مختلفة، وكذلك تحديد قِيَم المجهول الذي يَظهَر داخل ثلاثة لوغاريتمات ذات أساسات مختلفة.

لحلِّ المعادلة، سنَستخدِم صيغة تغيير الأساس: 󰏡𞸁𞸁󰏡𞸁𞸁𞸎=𞸎󰏡١𞸎=󰏡𞸎، وقانون القوة: 𞸍𞸎=󰁓𞸎󰁒.󰏡󰏡𞸍

عند تطبيق صيغة تغيير الأساس، يُمكننا كتابة الحدِّ الثاني من الطرف الأيمن للمعادلة اللوغاريتمية المُعطاة ١𞸎٤ على صورة لوغاريتم له الأساس ٢ باستخدام ٤=٢٢، 󰏡𞸍󰏡=𞸍: ١𞸎=٤𞸎=٢𞸎=٢𞸎،٤٢٢٢٢٢٢ وبالمثل، بالنسبة إلى الحدِّ الثالث، ١𞸎٨ نَستخدِم ٨=٢٣ حيث: ١𞸎=٨𞸎=٢𞸎=٣𞸎.٨٢٢٢٣٢٢

بالتعويض بهذين المقدارين في المعادلة اللوغاريتمية، نحصل على: ١𞸎+١𞸎+١𞸎=٣١𞸎+٢𞸎+٣𞸎=٣٦𞸎=٣𞸎=٢.٢٤٨٢٢٢٢٢

إذا كان 𞸎>٠، والأساس 󰏡>٠، 󰏡١، فإن الصورة اللوغاريتمية 𞸑=𞸎󰏡 تُكافئ الصورة الأُسِّية 𞸎=󰏡𞸑.

ومن ثم، بتحويل ٢𞸎=٢ إلى الصورة الأُسِّية نجد أن: 𞸎=٢=٤.٢

إذن مجموعة الحلِّ {٤}.

في المثال الآتي، سنحلُّ معادلة لوغاريتمية تحتوي على لوغاريتمات لها أساسات مختلفة، وأحدها أساس كسري، ومجهول يَظهَر داخل اللوغاريتمات على صورة مقدار خطي وتربيعي.

مثال ٥: حلُّ معادلات لوغاريتمية باستخدام قواعد اللوغاريتمات

أوجد مجموعة حلِّ ٣٢𞸎𞸎=٦١٣ في 𞹇.

الحل

في هذا المثال، علينا تحديد مجموعة حلِّ معادلة لوغاريتمية محدَّدة بها أساسان مختلفان، وتحديد قِيَم المجهول الذي يَظهَر داخل لوغاريتمين لهما أساسان مختلفان.

لحلِّ المعادلة، سنَستخدِم صيغة تغيير الأساس: 󰏡𞸁𞸁𞸎=𞸎󰏡، وقانون القوة: 𞸍𞸎=󰁓𞸎󰁒.󰏡󰏡𞸍

بتطبيق صيغة تغيير الأساس، يُمكننا كتابة الحدِّ الثاني من الطرف الأيمن للمعادلة اللوغاريتمية المُعطاة، ١٣𞸎٢، على صورة لوغاريتم له الأساس ٣ باستخدام ١٣=٣١، وأن 󰏡𞸍󰏡=𞸍: ١٣𞸎=𞸎󰂔󰂓=𞸎٣=𞸎=٢𞸎.٢٣٢٣١٣٣٢٣١٣٢٣

وأخيرًا: بالتعويض بهذا المقدار في المعادلة اللوغاريتمية المُعطاة، يصبح لدينا: ٣٢٣٣٣٣𞸎𞸎=٦𞸎+٢𞸎=٦٣𞸎=٦𞸎=٢.١٣

إذا كان𞸎>٠، والأساس 󰏡>٠، 󰏡١، فإن الصورة اللوغاريتمية 𞸑=𞸎󰏡 تُكافئ الصورة الأُسِّية 𞸎=󰏡𞸑.

وأخيرًا: بتحويل ٣𞸎=٢ إلى الصورة الأُسِّية، يصبح لدينا: 𞸎=٣=٩.٢

إذن مجموعة الحلِّ {٩}.

كما رأينا في الأمثلة السابقة، قاعدة تغيير أساس اللوغاريتمات تَسمح لنا أيضًا بإيجاد قِيَم مقادير على الصورة 󰏡𞸊𞸎، وذلك بإعادة كتابة اللوغاريتم ذي الأساس 󰏡𞸊 على صورة لوغاريتم له الأساس 󰏡 (أيْ إن 𞸁=󰏡) بالإضافة إلى قانون القوة 󰏡𞸍󰏡󰁓𞸎󰁒=𞸍𞸎، وحقيقة أن 󰏡𞸊󰏡=𞸊: 󰏡󰏡󰏡𞸊󰏡𞸊𞸎=𞸎󰏡=١𞸊𞸎.

دعونا الآن نتناول مثالًا لدينا فيه معادلة لوغاريتمية تحتوي على لوغاريتم للوغاريتم لهما أساسان مختلفان، ومجهول يَظهَر داخل اللوغاريتم على صورة مقدار تربيعي.

مثال ٦: حلُّ المعادلات اللوغاريتمية باستخدام قوانين اللوغاريتمات وحلِّ المعادلات التربيعية

حُلَّ ٢٣٢󰁓󰁓𞸎٨𞸎󰁒󰁒=١؛ حيث 𞸎𞹇.

الحل

في هذا المثال، علينا تحديد حلول معادلة لوغاريتمية محدَّدة بها أساسان مختلفان، والمجهول يَظهَر داخل لوغاريتم للوغاريتم على صورة مقدار تربيعي.

إذا كان 𞸎>٠، والأساس 󰏡>٠، 󰏡١، فإن الصورة الأُسِّية 𞸑=󰏡𞸎 تُكافئ الصورة اللوغاريتمية 𞸎=𞸑󰏡، وهو ما يَسمح لنا بالتحويل من صورة إلى أخرى بمجرد تحديد قِيَم 󰏡، 𞸎، 𞸑.

بالتحويل من ٢٣٢󰁓𞸎٨𞸎󰁒=١ إلى الصورة الأُسِّية، نحصل على: ٣٢١󰁓𞸎٨𞸎󰁒=٢=٢.

بتكرار العملية، نحصل على: 𞸎٨𞸎=٣𞸎٨𞸎٩=٠(𞸎٩)(𞸎+١)=٠.٢٢٢

ومن ثم، يصبح لدينا 𞸎=١، أو 𞸎=٩. مجموعة الحلِّ هي {١،٩}.

حتى الآن، تضمَّنت الأمثلة التي تناولناها المتغيِّر المجهول 𞸎 داخل اللوغاريتم نفسه. ولكن يُمكننا أيضًا إيجاد حلول للمعادلات اللوغاريتمية التي يَظهَر بها المجهول في أساس اللوغاريتم.

في المثال الآتي، دعونا نتناول معادلة لوغاريتمية بها لوغاريتم ثلاثي ذو أساسات مختلفة، والمجهول هو الأساس.

مثال ٧: حلُّ المعادلات اللوغاريتمية في مجموعة الأعداد الحقيقية

حُلَّ المعادلة 󰁓󰁓٦٣󰁒󰁒=٠٢𞸎؛ حيث 𞸎𞹇.

الحل

في هذا المثال، علينا تحديد حلول معادلة لوغاريتمية محدَّدة بها ثلاثة أساسات مختلفة، والمجهول هو أساس أحد اللوغاريتمات.

تذكَّر أنه إذا كان 𞸎>٠، والأساس 󰏡>٠، 󰏡١، فإن الصورة اللوغاريتمية 𞸑=𞸎󰏡 تُكافئ الصورة الأُسِّية 𞸎=󰏡𞸑. اللوغاريتم العام الذي ليس له أساس محدَّد يكون أساسه ١٠: =٠١.

بتحويل 󰁓󰁓٦٣󰁒󰁒=٠٢𞸎 إلى الصورة الأُسِّية، نحصل على: ٢𞸎٠󰁓٦٣󰁒=٠١=١.

وبتكرار هذه العملية للمقدار الناتج، نحصل على: 𞸎١٦٣=٢=٢.

وبالتكرار مرَّة أخيرة، يصبح لدينا: 𞸎=٦٣.٢

إذن الحلَّان هما 𞸎=٦، أو 𞸎=٦، ولكننا نتجاهل الحلَّ الثاني؛ لأن اللوغاريتم ذا الأساس السالب، (أيْ ٦٦٣)، غير مُعرَّف.

ومن ثم، فإن حلَّ المعادلة اللوغاريتمية هو 𞸎=٦.

والآن دعونا نتناول مثالًا لدينا فيه معادلة لوغاريتمية تحتوي على لوغاريتمات ذات أساسات مختلفة، والمجهول يَظهَر داخل اللوغاريتم وفي أساس نفس اللوغاريتم.

مثال ٨: إيجاد مجموعة حلِّ معادلات أُسِّية تتضمَّن لوغاريتمات في مجموعة الأعداد الحقيقية

أوجد مجموعة حلِّ 𞸎=٠١𞸎٦𞸎٤٦ في 𞹇.

الحل

في هذا المثال، علينا تحديد حلول معادلة لوغاريتمية محدَّدة بها أساسان مختلفان، والمجهول يَظهَر داخل اللوغاريتم وفي أساس اللوغاريتم أيضًا.

لحلِّ المعادلة المُعطاة، سنَستخدِم قانون القوة: 𞸍𞸎=󰁓𞸎󰁒.󰏡󰏡𞸍

بتطبيق هذا واستخدام 󰏡󰏡=١، نحصل على: 𞸎٦𞸎𞸎=٦𞸎=٦ وعلى: ٠١=٤٦٠١=٤٦.٤٦

وبالتعويض بهذين المقدارين في المعادلة المُعطاة، نحصل على: 𞸎=٤٦.٦

حلَّا المعادلة هما 𞸎=٢، 𞸎=٢، ولكننا سنتجاهل الحلَّ الثاني؛ لأن لوغاريتم العدد السالب أو اللوغاريتم ذا الأساس السالب غير مُعرَّف. إذن مجموعة الحلِّ {٢}.

باستخدام صيغة تغيير الأساس، يُمكننا تبديل قيمتَيْ مُدخل اللوغاريتم والأساس. وبتغيير اللوغاريتم 󰏡𞸎 ليكون أساسه 𞸁=𞸎، وباستخدام 𞸎𞸎=١، يصبح لدينا: 󰏡𞸎𞸎𞸎𞸎=𞸎󰏡=١󰏡.

إذا أردنا إيجاد حلِّ 𞸎٣٥=٣، فإن علينا تحديد قِيَم 𞸎 التي تحقِّق هذه المعادلة اللوغاريتمية. وبما أن 󰏡󰏡=١، يُمكننا تبسيط ذلك إلى: 𞸎٥=١.

ومن ثم، بتحويل ذلك إلى الصورة الأُسِّية بالأساس 𞸎، نحصل على 𞸎=𞸎=٥١.

وأخيرًا: دعونا نتناول مثالًا فيه المجهول 𞸎 الذي علينا الحلُّ لإيجاد قِيَمه يَظهَر داخل لوغاريتم ويَظهَر أساسًا للوغاريتم آخَر.

مثال ٩: إيجاد مجموعة حلِّ معادلات لوغاريتمية في مجموعة الأعداد الحقيقية

أوجد مجموعة حلِّ المعادلة ٤𞸎𞸎+٥٢٤=٠١ في 𞹇.

الحل

في هذا المثال، علينا تحديد حلول معادلة لوغاريتمية محدَّدة بها أساسان مختلفان، والمجهول يَظهَر داخل اللوغاريتم ويَظهَر أيضًا في صورة أساس للوغاريتم آخَر.

لحلِّ المعادلة اللوغاريتمية، سنَستخدِم صيغة تغيير الأساس: 󰏡𞸁𞸁𞸎=𞸎󰏡.

إذا استخدمنا الأساس 𞸁=𞸎، فإن هذه الصيغة ستَسمح لنا بتبديل قيمتَيْ كلٍّ من مُدخل اللوغاريتم والأساس: 󰏡𞸎𞸎𞸎𞸎=𞸎󰏡=١󰏡، حيث استخدمنا حقيقة أن 𞸎𞸎=١. باستخدام ذلك، تصبح المعادلة المُعطاة: ٤٤𞸎+٥٢𞸎=٠١.

إذا افترضنا أن 𞸑=𞸎٤، فإن علينا حلَّ المعادلة: 𞸑+٥٢󰃁١𞸑󰃀=٠١.

بضرب طرفَيْ هذه المعادلة في 𞸑، ثم إعادة الترتيب، نحصل على: 𞸑٠١𞸑+٥٢=٠(𞸑٥)=٠.٢٢

إذن: 𞸑=𞸎=٥.٤

إذا كان 𞸎>٠، والأساس 󰏡>٠، 󰏡١، فإن الصورة اللوغاريتمية 𞸑=𞸎󰏡 تُكافئ الصورة الأُسِّية 𞸎=󰏡𞸑.

وبذلك، فإنه عند التحويل إلى الصورة الأُسِّية، يصبح لدينا: 𞸎=٤=٤٢٠١.٥

إذن مجموعة الحلِّ {٤٢٠١}.

دعونا نلخِّص ما تعلَّمناه في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • لحلِّ المعادلات اللوغاريتمية، استخدمنا قوانين اللوغاريتمات:
    • الضرب: 󰏡󰏡󰏡(𞸎𞸑)=𞸎+𞸑،
    • القسمة: 󰏡󰏡󰏡󰃁𞸎𞸑󰃀=𞸎𞸑،
    • القوى : 󰏡𞸍󰏡󰁓𞸎󰁒=𞸍𞸎،
    • تغيير الأساس: 󰏡𞸁𞸁𞸎=𞸎󰏡.
  • إذا كان لدينا لوغاريتم له الأساس 󰏡𞸊، فيُمكننا تحويله إلى لوغاريتم له الأساس 󰏡 باستخدام الصيغة: 󰏡󰏡𞸊𞸎=١𞸊𞸎.
  • يُمكننا أيضًا تبديل قيمتَيْ كلٍّ من أساس ومُدخل اللوغاريتم باستخدام الصيغة: 󰏡𞸎𞸎=١󰏡.
  • يُمكننا أيضًا حلُّ المعادلات اللوغاريتمية بتحويل الصورة اللوغاريتمية 𞸑=𞸎󰏡 إلى الصورة الأُسِّية 𞸎=󰏡𞸑.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.