في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحلُّ المعادلات اللوغاريتمية التي تتضمَّن لوغاريتمات ذات أساسات مختلفة.
دعونا نتذكَّر أولًا العلاقة بين الصورة اللوغاريتمية والصورة الأُسِّية للمعادلات.
تعريف: العلاقة بين الصورتين اللوغاريتمية والأُسِّية للمعادلات
إذا كان ، والأساس ؛ حيث ، فإن الصورة اللوغاريتمية تُكافئ الصورة الأُسِّية ؛ وهو ما يَسمح لنا بالتحويل من صورة إلى أخرى بمجرد تحديد قِيَم ، ، .
الدالة الأُسِّية هي معكوس الدالة اللوغاريتمية . وهذا يعني أنه عند رفع للقوة لوغاريتم للأساس ، أو رفع للقوة أولًا ثم أخْذ لوغاريتم الناتج للأساس ، نحصل على :
تَسمح لنا العلاقة بين الصورتين اللوغاريتمية والأُسِّية باستنتاج الخواصِّ التي تحقِّقها الصورة اللوغاريتمية، المعروفة باسم قوانين اللوغاريتمات، المُستمَدَّة من قوانين الأُسُس. دعونا نتذكَّر قوانين اللوغاريتمات.
تعريف: قوانين اللوغاريتمات
افترض أن ، ، ، أعداد موجبة؛ حيث . قوانين اللوغاريتمات هي:
- الضرب: ،
- القسمة: ،
- القوى: ،
- تغيير الأساس: .
ستُفيدنا هذه القواعد عند حلِّ المعادلات اللوغاريتمية ذات الأساسات المختلفة، خصوصًا القاعدة الأخيرة، التي تَسمح لنا بتحويل لوغاريتم ذي أساس ما إلى أساس آخَر. لكي نعرف كيف توصَّلنا إلى هذه القواعد، انظر أولًا إلى: المُستمَدَّيْن مباشرة من حقيقة أن الأُسُس واللوغاريتمات عبارة عن معكوس كلٍّ منهما للآخَر. إذا عوَّضنا بالمقدار الثاني في المقدار الأول، فسنحصل على:
وباستخدام قانون الأُسُس، ، يُمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة:
وبحساب اللوغاريتم لكلا الطرفين للأساس ، نجد أن: وهو المطلوب استنتاجه. وهذه الصيغة، بالإضافة إلى قوانين اللوغاريتمات والصورة الأُسِّية المُكافِئة، تَسمح لنا بحلِّ المعادلات اللوغاريتمية التي تتضمَّن لوغاريتمات ذات أساسات مختلفة. من الحقائق الأخرى المُهِمَّة لحلِّ المعادلات اللوغاريتمية: وهي التي تَنتُج مباشرة من العلاقة بين الصُّوَرة اللوغاريتمية والصورة الأُسِّية، وتحديدًا حقيقة أن الدوال اللوغاريتمية والأُسِّية دوال مُطَّرِدة تمامًا. ويُمكننا توضيح ذلك مباشرة باستخدام قوانين اللوغاريتمات:
بتحويل المقدار الأخير إلى الصورة الأُسِّية، نجد أن: إذن ، كما هو مطلوب استنتاجه.
على سبيل المثال، نفترض أننا نريد إيجاد حلول المعادلة اللوغاريتمية:
أولًا: نحوِّل اللوغاريتم في الطرف الأيمن إلى لوغاريتم للأساس ٢ باستخدام صيغة تغيير الأساس: حيث نَستخدِم حقيقة أن ؛ لكي نحصل على السطر الأخير. ومن ثم، باستخدام هذا وقوانين اللوغاريتمات، تصبح المعادلة اللوغاريتمية المُعطاة على الصورة:
باستخدام الحقيقة التي وضَّحناها، إذا كان ، فإن ، أو بالتحويل إلى الصورة الأُسِّية، نحصل على:
وبذلك يكون الحلُّ الوحيد للمعادلة اللوغاريتمية هو .
دعونا الآن نتناول بعض الأمثلة لنتدرَّب عليها، ونعمِّق فهْمنا لحلِّ المعادلات اللوغاريتمية. في المثال الأول، لدينا لوغاريتمان لهما أساسان مختلفان، ويَظهَر المجهول داخل اللوغاريتم.
مثال ١: إيجاد مجموعة حلِّ معادلة لوغاريتمية في مجموعة الأعداد الحقيقية
أوجد مجموعة حلِّ في .
الحل
في هذا المثال، علينا تحديد مجموعة حلِّ معادلة لوغاريتمية محدَّدة بها أساسان مختلفان، وتحديد قِيَم المجهول الذي يَظهَر داخل اللوغاريتم.
لكي نحلَّ المعادلة، سنَستخدِم صيغة تغيير الأساس: وقانون القوة:
عند تطبيق صيغة تغيير الأساس، يُمكننا أن نكتب الطرف الأيسر من المعادلة اللوغاريتمية المُعطاة، ، على صورة لوغاريتم للأساس ٣ باستخدام ، وأن :
باستخدام ذلك، تصبح المعادلة لدينا:
وبما أن ، نجد أن . إذن مجموعة الحلِّ: .
دعونا الآن نتناول مثالًا لدينا فيه معادلة لوغاريتمية تتضمَّن لوغاريتمين ذات أساسان مختلفان ومجهولًا يَظهَر في كلٍّ منهما.
مثال ٢: إيجاد مجموعة حلِّ معادلة لوغاريتمية في مجموعة الأعداد الحقيقية
أوجد مجموعة حلِّ المعادلة في .
الحل
في هذا المثال، نريد تحديد مجموعة حلِّ معادلة لوغاريتمية معيَّنة ذات أساسات مختلفة، والمجهول يَظهَر داخل لوغاريتمين لهما أساسان مختلفان.
لحلِّ المعادلة، سنَستخدِم صيغة تغيير الأساس: وقانون القوة:
عند تطبيق صيغة تغيير الأساس، يُمكننا كتابة الحدِّ الثاني من الطرف الأيمن في المعادلة اللوغاريتمية المُعطاة، ، على صورة لوغاريتم له الأساس ٣ باستخدام ، وأن :
عند التعويض بهذا في المعادلة اللوغاريتمية المُعطاة، نحصل على:
إذا كان ، والأساس ، ، فإن الصورة اللوغاريتمية تُكافئ الصورة الأُسِّية .
وأخيرًا: بتحويل إلى الصورة الأُسِّية، يصبح لدينا:
إذن مجموعة الحلِّ .
في المثال الآتي، سنُوجِد حلَّ معادلة لوغاريتمية تحتوي على مجموع ثلاثة لوغاريتمات ذات أساسات مختلفة، ونُوجِد قيمة المجهول الذي يَظهَر داخل كلِّ لوغاريتم.
مثال ٣: إيجاد مجموعة حلِّ معادلة لوغاريتمية في مجموعة الأعداد الحقيقية
أوجد مجموعة حلِّ في .
الحل
في هذا المثال، نريد تحديد مجموعة حلِّ معادلة لوغاريتمية محدَّدة ذات أساسات مختلفة، وأيضًا تحديد قِيَم المجهول الذي يَظهَر داخل اللوغاريتم.
لكي نحلَّ هذه المعادلة، سنَستخدِم صيغة تغيير الأساس: وقانون القوة:
عند تطبيق صيغة تغيير الأساس، يُمكننا كتابة الحدِّ الثاني في الطرف الأيمن من المعادلة اللوغاريتمية المُعطاة، ، على صورة لوغاريتم له الأساس ٢ باستخدام ، : وبالمثل، بالنسبة إلى الحدِّ الثالث، ، نَستخدِم حيث:
بالتعويض بهذين المقدارين في المعادلة اللوغاريتمية، نحصل على:
إذا كان ، والأساس ، ، فإن الصورة اللوغاريتمية تُكافئ الصورة الأُسِّية .
ومن ثم، بتحويل إلى الصورة الأُسِّية، نحصل على:
إذن مجموعة الحلِّ .
دعونا الآن نتناول مثالًا علينا فيه إيجاد حلِّ معادلة لوغاريتمية تحتوي على مجموع مقلوبات ثلاثة لوغاريتمات ذات أساسات مختلفة، والمجهول يَظهَر في كلِّ لوغاريتم.
مثال ٤: إيجاد مجموعة حلِّ معادلة لوغاريتمية في مجموعة الأعداد الحقيقية
أوجد مجموعة حلِّ في .
الحل
في هذا المثال، علينا تحديد مجموعة حلِّ معادلة لوغاريتمية ذات أساسات مختلفة، وكذلك تحديد قِيَم المجهول الذي يَظهَر داخل ثلاثة لوغاريتمات ذات أساسات مختلفة.
لحلِّ المعادلة، سنَستخدِم صيغة تغيير الأساس: وقانون القوة:
عند تطبيق صيغة تغيير الأساس، يُمكننا كتابة الحدِّ الثاني من الطرف الأيمن للمعادلة اللوغاريتمية المُعطاة على صورة لوغاريتم له الأساس ٢ باستخدام ، : وبالمثل، بالنسبة إلى الحدِّ الثالث، نَستخدِم حيث:
بالتعويض بهذين المقدارين في المعادلة اللوغاريتمية، نحصل على:
إذا كان ، والأساس ، ، فإن الصورة اللوغاريتمية تُكافئ الصورة الأُسِّية .
ومن ثم، بتحويل إلى الصورة الأُسِّية نجد أن:
إذن مجموعة الحلِّ .
في المثال الآتي، سنحلُّ معادلة لوغاريتمية تحتوي على لوغاريتمات لها أساسات مختلفة، وأحدها أساس كسري، ومجهول يَظهَر داخل اللوغاريتمات على صورة مقدار خطي وتربيعي.
مثال ٥: حلُّ معادلات لوغاريتمية باستخدام قواعد اللوغاريتمات
أوجد مجموعة حلِّ في .
الحل
في هذا المثال، علينا تحديد مجموعة حلِّ معادلة لوغاريتمية محدَّدة بها أساسان مختلفان، وتحديد قِيَم المجهول الذي يَظهَر داخل لوغاريتمين لهما أساسان مختلفان.
لحلِّ المعادلة، سنَستخدِم صيغة تغيير الأساس: وقانون القوة:
بتطبيق صيغة تغيير الأساس، يُمكننا كتابة الحدِّ الثاني من الطرف الأيمن للمعادلة اللوغاريتمية المُعطاة، ، على صورة لوغاريتم له الأساس ٣ باستخدام ، وأن :
وأخيرًا: بالتعويض بهذا المقدار في المعادلة اللوغاريتمية المُعطاة، يصبح لدينا:
إذا كان، والأساس ، ، فإن الصورة اللوغاريتمية تُكافئ الصورة الأُسِّية .
وأخيرًا: بتحويل إلى الصورة الأُسِّية، يصبح لدينا:
إذن مجموعة الحلِّ .
كما رأينا في الأمثلة السابقة، قاعدة تغيير أساس اللوغاريتمات تَسمح لنا أيضًا بإيجاد قِيَم مقادير على الصورة ، وذلك بإعادة كتابة اللوغاريتم ذي الأساس على صورة لوغاريتم له الأساس (أيْ إن ) بالإضافة إلى قانون القوة ، وحقيقة أن :
دعونا الآن نتناول مثالًا لدينا فيه معادلة لوغاريتمية تحتوي على لوغاريتم للوغاريتم لهما أساسان مختلفان، ومجهول يَظهَر داخل اللوغاريتم على صورة مقدار تربيعي.
مثال ٦: حلُّ المعادلات اللوغاريتمية باستخدام قوانين اللوغاريتمات وحلِّ المعادلات التربيعية
حُلَّ ؛ حيث .
الحل
في هذا المثال، علينا تحديد حلول معادلة لوغاريتمية محدَّدة بها أساسان مختلفان، والمجهول يَظهَر داخل لوغاريتم للوغاريتم على صورة مقدار تربيعي.
إذا كان ، والأساس ، ، فإن الصورة الأُسِّية تُكافئ الصورة اللوغاريتمية ، وهو ما يَسمح لنا بالتحويل من صورة إلى أخرى بمجرد تحديد قِيَم ، ، .
بالتحويل من إلى الصورة الأُسِّية، نحصل على:
بتكرار العملية، نحصل على:
ومن ثم، يصبح لدينا ، أو . مجموعة الحلِّ هي .
حتى الآن، تضمَّنت الأمثلة التي تناولناها المتغيِّر المجهول داخل اللوغاريتم نفسه. ولكن يُمكننا أيضًا إيجاد حلول للمعادلات اللوغاريتمية التي يَظهَر بها المجهول في أساس اللوغاريتم.
في المثال الآتي، دعونا نتناول معادلة لوغاريتمية بها لوغاريتم ثلاثي ذو أساسات مختلفة، والمجهول هو الأساس.
مثال ٧: حلُّ المعادلات اللوغاريتمية في مجموعة الأعداد الحقيقية
حُلَّ المعادلة ؛ حيث .
الحل
في هذا المثال، علينا تحديد حلول معادلة لوغاريتمية محدَّدة بها ثلاثة أساسات مختلفة، والمجهول هو أساس أحد اللوغاريتمات.
تذكَّر أنه إذا كان ، والأساس ، ، فإن الصورة اللوغاريتمية تُكافئ الصورة الأُسِّية . اللوغاريتم العام الذي ليس له أساس محدَّد يكون أساسه ١٠: .
بتحويل إلى الصورة الأُسِّية، نحصل على:
وبتكرار هذه العملية للمقدار الناتج، نحصل على:
وبالتكرار مرَّة أخيرة، يصبح لدينا:
إذن الحلَّان هما ، أو ، ولكننا نتجاهل الحلَّ الثاني؛ لأن اللوغاريتم ذا الأساس السالب، (أيْ )، غير مُعرَّف.
ومن ثم، فإن حلَّ المعادلة اللوغاريتمية هو .
والآن دعونا نتناول مثالًا لدينا فيه معادلة لوغاريتمية تحتوي على لوغاريتمات ذات أساسات مختلفة، والمجهول يَظهَر داخل اللوغاريتم وفي أساس نفس اللوغاريتم.
مثال ٨: إيجاد مجموعة حلِّ معادلات أُسِّية تتضمَّن لوغاريتمات في مجموعة الأعداد الحقيقية
أوجد مجموعة حلِّ في .
الحل
في هذا المثال، علينا تحديد حلول معادلة لوغاريتمية محدَّدة بها أساسان مختلفان، والمجهول يَظهَر داخل اللوغاريتم وفي أساس اللوغاريتم أيضًا.
لحلِّ المعادلة المُعطاة، سنَستخدِم قانون القوة:
بتطبيق هذا واستخدام ، نحصل على: وعلى:
وبالتعويض بهذين المقدارين في المعادلة المُعطاة، نحصل على:
حلَّا المعادلة هما ، ، ولكننا سنتجاهل الحلَّ الثاني؛ لأن لوغاريتم العدد السالب أو اللوغاريتم ذا الأساس السالب غير مُعرَّف. إذن مجموعة الحلِّ .
باستخدام صيغة تغيير الأساس، يُمكننا تبديل قيمتَيْ مُدخل اللوغاريتم والأساس. وبتغيير اللوغاريتم ليكون أساسه ، وباستخدام ، يصبح لدينا:
إذا أردنا إيجاد حلِّ ، فإن علينا تحديد قِيَم التي تحقِّق هذه المعادلة اللوغاريتمية. وبما أن ، يُمكننا تبسيط ذلك إلى:
ومن ثم، بتحويل ذلك إلى الصورة الأُسِّية بالأساس ، نحصل على .
وأخيرًا: دعونا نتناول مثالًا فيه المجهول الذي علينا الحلُّ لإيجاد قِيَمه يَظهَر داخل لوغاريتم ويَظهَر أساسًا للوغاريتم آخَر.
مثال ٩: إيجاد مجموعة حلِّ معادلات لوغاريتمية في مجموعة الأعداد الحقيقية
أوجد مجموعة حلِّ المعادلة في .
الحل
في هذا المثال، علينا تحديد حلول معادلة لوغاريتمية محدَّدة بها أساسان مختلفان، والمجهول يَظهَر داخل اللوغاريتم ويَظهَر أيضًا في صورة أساس للوغاريتم آخَر.
لحلِّ المعادلة اللوغاريتمية، سنَستخدِم صيغة تغيير الأساس:
إذا استخدمنا الأساس ، فإن هذه الصيغة ستَسمح لنا بتبديل قيمتَيْ كلٍّ من مُدخل اللوغاريتم والأساس: حيث استخدمنا حقيقة أن . باستخدام ذلك، تصبح المعادلة المُعطاة:
إذا افترضنا أن ، فإن علينا حلَّ المعادلة:
بضرب طرفَيْ هذه المعادلة في ، ثم إعادة الترتيب، نحصل على:
إذن:
إذا كان ، والأساس ، ، فإن الصورة اللوغاريتمية تُكافئ الصورة الأُسِّية .
وبذلك، فإنه عند التحويل إلى الصورة الأُسِّية، يصبح لدينا:
إذن مجموعة الحلِّ .
دعونا نلخِّص ما تعلَّمناه في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- لحلِّ المعادلات اللوغاريتمية، استخدمنا قوانين اللوغاريتمات:
- الضرب: ،
- القسمة: ،
- القوى : ،
- تغيير الأساس: .
- إذا كان لدينا لوغاريتم له الأساس ، فيُمكننا تحويله إلى لوغاريتم له الأساس باستخدام الصيغة:
- يُمكننا أيضًا تبديل قيمتَيْ كلٍّ من أساس ومُدخل اللوغاريتم باستخدام الصيغة:
- يُمكننا أيضًا حلُّ المعادلات اللوغاريتمية بتحويل الصورة اللوغاريتمية إلى الصورة الأُسِّية .
