تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: حلُّ أنظمة المتباينات الخطية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحلُّ نظام المتباينات الخطية بواسطة تمثيلها بيانيًّا، وتحديد المناطق التي تمثِّل الحلول.

نظام المتباينات (ويُشار إليه باستخدام العلامات: <،،>، ) هو مجموعة تتكوَّن من متباينتين خطيتين أو أكثر في عدة متغيِّرات، ويُستخدَم عندما تتطلَّب المسألة مجموعة من الحلول ويكون هناك أكثر من قيد على هذه الحلول.

في التمثيل البياني الذي يمثِّل نظامًا من المتباينات، يعني التظليلُ أعلى الخط أو يمينه: «أكبرَ من»، في حين يعني التظليلُ أسفل الخط أو يساره: «أصغرَ من». بالإضافة إلى ذلك، علينا أيضًا أن نضع في اعتبارنا حدود المنطقة؛ فالخط المتصل يعني: «يساوي»، في حين أن الخط المتقطِّع يعني: «لا يساوي».

المتباينات على الصورة: 𞸎>󰏡 أو 𞸎<󰏡 تُمثَّل بخط رأسي متقطِّع عند 𞸎=󰏡 (خط يوازي المحور 𞸑)؛ وذلك لأن الخط نفسه غير متضمَّن في المنطقة التي تمثِّل المتباينة، والمنطقة المظللة ستقع إما على اليمين؛ عندما يكون 𞸎>󰏡، وإما على اليسار؛ عندما يكون 𞸎<󰏡. وينطبق الأمر نفسه على 𞸎󰏡 أو 𞸎󰏡 باستثناء أن المنطقة الآن تتضمَّن أيضًا الخط 𞸎=󰏡 وسيُمثَّل بخط متصل، لكنَّ اتجاه التظليل سيكون هو نفسه.

وبالمثل، المتباينات على الصورة: 𞸑>𞸁 أو𞸑<𞸁 ستُمثَّل بخط أفقي متقطِّع عند 𞸑=𞸁 (خط يوازي المحور 𞸎)؛ وذلك لأن الخط نفسه غير متضمَّن في المنطقة التي تمثِّل المتباينة، والمنطقة المظللة ستكون إما أعلى الخط؛ عندما يكون 𞸑>𞸁، وإما أسفل الخط؛ عندما يكون 𞸑<𞸁، والخط عند 𞸑=𞸁. وينطبق الأمر نفسه على 𞸑𞸁 أو 𞸑𞸁 باستثناء أن المنطقة الآن تتضمَّن أيضًا الخط 𞸑=𞸁 الذي يُمثَّل بخط متصل، لكنَّ اتجاه التظليل سيكون هو نفسه.

على سبيل المثال، انظر إلى المتباينتين 𞸎٣، 𞸑<٥ الممثَّلتين على التمثيل البياني:

المتباينة 𞸎٣ يمثِّلها خط متصل عند 𞸎=٣، وبما أن لدينا إذن فإن الخط نفسه متضمَّن في المنطقة، والمنطقة المظللة تقع على يمين الخط، وتمثِّل جميع قيم 𞸎 الأكبر من ٣. إذا كان لدينا 𞸎>٣ فسنحصل على النتيجة نفسها باستثناء أن الخط عند 𞸎=٣ سيكون متقطِّعًا؛ لأنه لن يكون متضمَّنًا في المنطقة. بالنسبة إلى 𞸎٣ أو 𞸎<٣ سيقع التمثيل على اليسار؛ حيث يمثِّل كل الأعداد الأصغر من ثلاثة، وسيكون الخط متصلًا أو متقطِّعًا بناء على ما إذا كان الخط 𞸎=٣ متضمَّنًا في المنطقة أم لا.

المتباينة 𞸑<٥ يمثِّلها خط متقطِّع عند 𞸑=٥، وبما أن لدينا العلامة < إذن فلن يكون الخط نفسه متضمَّنًا في المنطقة، وستقع المنطقة المظللة أسفل الخط ممثِّلة جميع قيم 𞸑 الأصغر من خمسة. إذا كان لدينا 𞸑٥ فسنحصل على النتيجة نفسها باستثناء أن الخط عند 𞸑=٥ سيكون متصلًا؛ حيث يكون متضمَّنًا في المنطقة. بالنسبة إلى 𞸑٥ أو 𞸑>٥ سيكون التظليل على اليسار ممثِّلًا جميع الأعداد الأقل من ٥، وسيكون الخط متصلًا أو متقطِّعًا بناء على ما إذا كان الخط 𞸑=٥ متضمَّنًا في المنطقة أم لا.

تقاطُع مناطق كل متباينة من المتباينات في النظام هو المنطقة التي توجد بها مجموعة الحل؛ لأن هذه المنطقة تحقِّق كل متباينة في النظام. تتضمَّن مجموعة الحل قيم حدود التقاطعات للمنطقة في حالة واحدة، وهي إذا كان الخط متصلًا في مناطق التقاطع؛ لأنه يجب أن يحقِّق جميع المتباينات، لكنَّ المتباينة التامة التي يمثِّلها خط متقطِّع تستبعد نقاط الخط من مجموعة الحل. في المثال أعلاه يتقاطع الخطان عند النقطة: (٣،٥)، لكنها مستبعَدة من مجموعة الحل لأنها لا تحقِّق المتباينة التامة 𞸑<٥.

يمكن تمثيل الربع الأول بقيم غير سالبة لـ 𞸎، 𞸑؛ أي في المنطقة التي يكون فيها 𞸎٠، 𞸑٠. دعونا نتناول مثالًا لنرى كيف يمكننا تصوُّر ذلك من خلال تمثيل بياني.

مثال ١: إيجاد نظام المتباينات الذي يمثِّله تمثيل بياني معطى

أوجد نظام المتباينات الذي يمثِّل الشكل التالي حلًّا له.

الحل

المساحة المظللة تمثِّل جميع القيم غير السالبة لـ 𞸎، 𞸑، وهي التي يمكن أن نمثِّلها بالمتباينتين: 𞸎٠،𞸑٠.

لكي نرى ذلك دعونا نفكِّر في كل متباينة على حدة، ونرى موضع تداخلهما. 𞸎٠ وهي جميع القيم غير السالبة لـ 𞸎 متضمِّنة المحور 𞸑 مظللة في الربعين الأول والرابع.

وبالمثل، 𞸑٠ وهي جميع القيم غير السالبة لـ 𞸑 متضمِّنة المحور 𞸎 مظللة في الربعين الأول والثاني.

المنطقة التي تتداخل فيها كلتا المتباينتين تقع في الربع الأول، وتمثِّلها المنطقة التي تتداخل فيها المناطق المظللة لكل متباينة.

منطقة التداخل هي بالضبط الحل الذي يمثِّله التمثيل البياني المعطى.

قد تكون لدينا متباينات متعدِّدة على الصورة التي تحدَّد فيها القيم من أعلى وأسفل أو من أحد الاتجاهين. على سبيل المثال، نفترض أن لدينا نظام المتباينات: ٢<𞸎٦،٢𞸑<٧، حيث المتباينة الثانية هي جميع قيم 𞸑 بين ٢ و٧، وهو ما يمكن كتابته بشكل منفصل على الصورة: 𞸑٢، 𞸑<٧. يمكن تمثيل نظام المتباينات هذا على النحو التالي:

حسنًا، يوجد خط متصل عند 𞸑=٢، في حين يوجد خط متقطِّع عند 𞸑=٦؛ وهو ما يوضِّح أن 𞸑=٢ متضمَّن في المنطقة، في حين أن 𞸑=٦ ليس كذلك كما هو موضَّح باللون الأزرق في التمثيل البياني أعلاه. تذكَّر مرة أخرى أن مجموعة حل نظام المتباينات هي الجزء الذي تتقاطع فيه المناطق المظللة للمتباينات.

توجد النقاط الأربع للتقاطع: (٢،٧)، (٢،٢)، (٦،٧)، (٦،٢) عند حدود المنطقتين. ومع ذلك، فإن النقطة: (٦،٢) فقط هي المتضمَّنة في مجموعة الحل؛ وذلك لأن النقاط الأخرى لا تحقِّق المتباينات التامة.

يمكن أن تكون لدينا أيضًا متباينات بمعادلة خط مستقيم. على سبيل المثال، المتباينة التي على الصورة: 𞸑𞸌𞸎+𞸢 يمثِّلها خط متصل؛ حيث تقع المنطقة المظللة أعلى الخط المستقيم 𞸑=𞸌𞸎+𞸢، أما المتباينة: 𞸑>𞸌𞸎+𞸢 فتمثِّلها نفس المنطقة المظللة، ولكنَّ الحدَّ يمثِّله خط متقطِّع. وبالمثل، ينطبق الأمر نفسه على: 𞸑𞸌𞸎+𞸢 أو 𞸑<𞸌𞸎+𞸢 باستثناء أن المنطقة المظللة ستقع أسفل الخط المستقيم. على سبيل المثال، منطقة ٢𞸎+٣𞸑>٠٣؛ وهي ما يكافئ 𞸑>٢٣𞸎+٠١ على الصورة السابقة، سيكون تمثيلها كما يلي:

أما منطقة ٢𞸎+٣𞸑٠٣ أو 𞸑٢٣𞸎+٠١ فستكون مظللة أسفل خط متصل. إذا كانت لدينا عدة متباينات (بعبارة أخرى، نظام متباينات) فإن الحلول الممكنة سوف تقع داخل تقاطُع المناطق المظللة لجميع المتباينات.

دعونا نتناول مثالًا نوجد فيه نظام المتباينات الذي يمثِّله تمثيل بياني معطى.

مثال ٢: إيجاد نظام المتباينات الذي يمثِّله تمثيل بياني معطى

اذكر نظام المتباينات الذي يمثِّل التمثيل البياني الآتي حلَّه.

الحل

تذكَّر أن التظليل بالأعلى أو على اليمين في التمثيل البياني الذي يمثِّل نظامًا من المتباينات يعني: «أكبر من»، في حين أن التظليل بالأسفل أو على اليسار يعني: «أقل من» خط محدَّد مُعرَّف بـ 𞸎=󰏡 أو 𞸑=𞸁 أو الصيغة العامة للخط المستقيم 𞸑=𞸌𞸎+𞸁. بالإضافة إلى ذلك، علينا أيضًا أن نفكِّر في حدود المنطقة؛ حيث الخط المتصل يعني: «يساوي»، في حين أن الخط المتقطِّع يعني: «لا يساوي».

إذا كان لدينا نظام متباينات فإن الحلول الممكنة سوف تقع داخل تقاطُع المناطق المظللة لجميع المتباينات في النظام. تتضمَّن مجموعة الحل حدود تقاطعات جميع المتباينات فقط إذا كان لدينا خط متصل لحدَّي المنطقة؛ حيث يجب أن تتحقَّق المتباينات جميعها، أما المتباينة التامة التي يمثِّلها خط متقطِّع عند أحد الحدين أو كليهما فستؤدي لاستبعاد هذا الخط من مجموعة الحل.

تقع المنطقة المظللة في الربع الأول لجميع قيم 𞸎، 𞸑 غير السالبة، وهي التي يمكن كتابتها على صورة المتباينتين: 𞸎٠،𞸑٠.

المستقيمان الرأسيان الموازيان لـ 𞸑 هما 𞸎=٣، 𞸎=٦. بما أن الحد على يسار المنطقة الحمراء عند 𞸎=٣ يمثِّله خط متصل، والحد على يمين المنطقة الحمراء عند 𞸎=٦ يمثِّله خط متقطِّع؛ إذن لدينا المتباينتان: 𞸎٣، 𞸎<٦، وهما تكافئان: ٣𞸎<٦.

وبالمثل، المستقيمان الأفقيان الموازيان للمحور 𞸎 هما 𞸑=٢، 𞸑=٦. وبما أن المستقيمين على جانبَي المنطقة الزرقاء متصلان فإنه تكون لدينا المتباينتان: 𞸑٢ و𞸑٦، وهما تكافئان: ٢𞸑٦.

معادلة الخط المستقيم الذي يمرُّ بالنقطتين: (٨،٠)، (٠،٨) هي: 𞸑=٨𞸎، وهو خط متصل على التمثيل البياني. بما أن الجزء المظلل باللون الأصفر يقع أسفل هذا الخط فإنه تكون لدينا المتباينة: 𞸑٨𞸎، وهي التي يمكن إعادة ترتيبها على الصورة: 𞸎+𞸑٨.

إذن، نظام المتباينات الذي يمثِّله التمثيل البياني هو: 𞸎٠،𞸑٠،٣𞸎<٦،٢𞸑٦،𞸎+𞸑٨.

والآن، دعونا نفكِّر في نظام آخَر من المتباينات يتضمَّن معادلة خط مستقيم. انظر إلى نظام المتباينات: 𞸎>٣،𞸑٦،𞸎+𞸑٠١.

المتباينة 𞸎>٣ يمثِّلها خط متقطِّع عند 𞸎=٣، ومنطقة مظللة (باللون الأحمر) على اليمين، والمتباينة 𞸑٦ يمثِّلها خط متصل عند 𞸑=٦، ومنطقة مظللة (باللون الأزرق) بالأسفل. وأخيرًا، المتباينة 𞸎+𞸑٠١ يمثِّلها خط متصل معادلته 𞸑=٠١𞸎، ومنطقة مظللة بالأسفل (باللون الأخضر).

المنطقة المظللة التي تتقاطع فيها المناطق جميعها هي تلك التي تتحقَّق فيها المتباينات جميعها في النظام، ويمكن إيجاد جميع الحلول في هذه المنطقة.

دعونا نتناول مثالًا نوجِد فيه متباينة من هذا النوع من خلال التمثيل البياني المعطى، والمنطقة المظللة التي تمثِّل مجموعة الحل.

مثال ٣: إيجاد المتباينة التي يمثِّلها تمثيل بياني معطى

المساحة المظللة التي تمثِّل مجموعة حل المتباينتين 𞸑٣، 𞸎٠ تساوي .

  1. ٢𞸑+𞸎+٨٠
  2. ٢𞸑+𞸎٨٠
  3. 𞸑+٢𞸎٨٠
  4. 𞸑+٢𞸎+٨٨

الحل

معادلة الخط المستقيم الذي يمرُّ بالنقطتين: (٠،٤)، (٨،٠) هي: ٢𞸑=٨𞸎. بما أن المنطقة المظللة تقع أسفل هذا الخط فإنه يمثِّل المنطقة 𞸑٤١٢𞸎، وهي التي تكافئ المتباينة: ٢𞸑+𞸎٨٠.

وهذا هو الخيار (ب).

والآن، لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة لنتدرَّب عليها ونعمِّق فهمنا لحل أنظمة المتباينات الخطية بتمثيلها بيانيًّا، وتحديد المناطق التي تمثِّل الحل.

تتضمَّن الأمثلة القليلة الأولى إيجاد نظام المتباينات للمنطقة الممثَّلة على التمثيل البياني. يتضمَّن المثال التالي منطقة محدَّدة بخطين مستقيمين.

مثال ٤: إيجاد نظام المتباينات الذي يمثِّله تمثيل بياني معطى

اذكر نظام المتباينات الذي يمثِّل التمثيلُ البيانيُّ الآتي حلَّه.

الحل

تذكَّر أن التظليل بالأعلى في التمثيل البياني الذي يمثِّل نظام متباينات يعني: «أكبر من»، في حين أن التظليل بالأسفل يعني: «أقل من» الخط المستقيم الذي تُعرِّفه المعادلة: 𞸑=𞸌𞸎+𞸁. بالإضافة إلى ذلك، علينا أيضًا التفكير في حدِّ المنطقة؛ فالخط المتصل يعني: «يساوي»، في حين أن الخط المتقطِّع يعني: «لا يساوي».

إذا كان لدينا نظام متباينات فإن الحلول الممكنة تقع داخل تقاطُع المناطق المظللة لجميع المتباينات في النظام. لا نُضمِّن حدود التقاطعات لجميع المتباينات في مجموعة الحل إلا إذا كان لدينا خط متصل لحدَّي المنطقة؛ لأنه يجب أن تتحقَّق المتباينات جميعها، أما المتباينة التامة التي يمثِّلها خط متقطِّع عند أحد الحدين أو كليهما فستؤدي لاستبعاد هذا الخط من مجموعة الحل.

معادلة الخط المستقيم الذي يمرُّ بالنقطتين: (٠،٣)، (١،٠) هي: 𞸑=٣𞸎+٣، ويمثِّلها خط متصل على التمثيل البياني. وبما أن المنطقة المظللة باللون الأصفر تقع أعلى هذا الخط فإنه تكون لدينا المتباينة: 𞸑٣𞸎+٣.

وبالمثل، معادلة الخط المستقيم الذي يمرُّ بالنقطتين: (٠،٨)، (٤،٤) هي: 𞸑=٣𞸎٨، ويمثِّلها خط متقطِّع على التمثيل البياني. وبما أن المنطقة المظللة باللون الأحمر تقع أعلى هذا الخط فإنه تكون لدينا المتباينة: 𞸑>٣𞸎٨.

إذن، نظام المتباينات الذي يمثِّل التمثيل البياني هو: 𞸑٣𞸎+٣،𞸑>٣𞸎٨.

في المثال التالي سنوجِد نظام متباينات يصف منطقة على تمثيل بياني تحدُّها ثلاثة خطوط مستقيمة.

مثال ٥: كتابة نظام المتباينات الذي يصف منطقة على تمثيل بياني

أوجد نظام المتباينات الذي يكوِّن المثلث الموضَّح في التمثيل البياني.

الحل

تذكَّر أن التظليل بالأعلى في التمثيل البياني الذي يمثِّل نظام متباينات يعني: «أكبر من»، في حين أن التظليل بالأسفل يعني: «أقل من» الخط المستقيم الذي تُعرِّفه المعادلة: 𞸑=𞸌𞸎+𞸁. بالإضافة إلى ذلك، علينا أيضًا التفكير في حدِّ المنطقة؛ فالخط المتصل يعني: «يساوي»، في حين أن الخط المتقطِّع يعني: «لا يساوي».

إذا كان لدينا نظام متباينات فإن الحلول الممكنة له ستقع داخل تقاطُع المناطق المظللة لجميع المتباينات في النظام. لا نُضمِّن حدود التقاطعات لجميع المتباينات في مجموعة الحل إلا إذا كان لدينا خط متصل لحدَّي المنطقة؛ لأنه يجب أن تتحقَّق المتباينات جميعها، أما المتباينة التامة التي يمثِّلها خط متقطِّع عند أحد الحدين أو كليهما فستؤدي لاستبعاد هذا الخط من مجموعة الحل.

معادلة الخط المستقيم الذي يمرُّ بنقطة الأصل ويتقاطع مع المستقيمين الآخَرين عند النقطتين: (٢،٢)، (٢،٢) هي: 𞸑=𞸎؛ ويمثِّله على التمثيل البياني خط متصل. وبما أن الجزء المظلل يقع فوق هذا الخط فستكون لدينا المتباينة: 𞸑𞸎.

وبالمثل، معادلة الخط المستقيم الذي له ميل موجب ويقطع المستقيمين الآخَرين عند النقطتين: (١،٨)، (٢،٢) هي: 𞸑=٢𞸎+٦، ويمثِّله خط متقطِّع على التمثيل البياني. وبما أن المنطقة المظللة تقع أسفل هذا الخط فستكون لدينا المتباينة: 𞸑<٢𞸎+٦.

وأخيرًا، معادلة الخط المستقيم الذي له ميل سالب ويقطع الخطين الآخَرين عند النقطتين: (١،٨)، (٢،٢) هي: 𞸑=٠١𞸎+٨١، ويمثِّله خط متصل على التمثيل البياني. وبما أن المنطقة المظللة تقع أسفل هذا الخط فستكون لدينا المتباينة: 𞸑٠١𞸎+٨١.

وبذلك يكون نظام المتباينات الذي يكوِّن المثلث الموضَّح في التمثيل البياني هو: 𞸑<٢𞸎+٦،𞸑𞸎،𞸑٠١𞸎+٨١.

والآن، دعونا نلقِ نظرة على بعض الأمثلة التي نحدِّد فيها مناطق موضَّحة على تمثيل بياني من نظام متباينات معطى بدلًا من تحديد نظام المتباينات من التمثيل البياني. في المثال التالي سنحدِّد المنطقة التي تمثِّل حل متباينة واحدة.

مثال ٦: تحديد المناطق التي تمثِّل الحلول لنظام متباينات

أيُّ المناطق على التمثيل البياني يحتوي على حلول للمتباينة: 𞸑٢𞸎٤؟

الحل

تذكَّر أن التظليل بالأعلى في التمثيل البياني الذي يمثِّل نظام متباينات يعني: «أكبر من»، في حين أن التظليل بالأسفل يعني: «أقل من» الخط المستقيم الذي تُعرِّفه المعادلة: 𞸑=𞸌𞸎+𞸁. بالإضافة إلى ذلك، علينا أيضًا التفكير في حدِّ المنطقة؛ فالخط المتصل يعني: «يساوي»، في حين أن الخط المتقطِّع يعني: «لا يساوي».

إذا كان لدينا نظام متباينات فإن الحلول الممكنة له ستقع داخل تقاطُع المناطق المظللة لجميع المتباينات في النظام. لا نُضمِّن حدود التقاطعات لجميع المتباينات في مجموعة الحل إلا إذا كان لدينا خط متصل لحدَّي المنطقة؛ لأنه يجب أن تتحقَّق المتباينات جميعها، أما المتباينة التامة التي يمثِّلها خط متقطِّع عند أحد الحدين أو كليهما فستؤدي لاستبعاد هذا الخط من مجموعة الحل.

في التمثيل البياني لدينا ثلاثة مستقيمات مختلفة عند حدود المناطق الموضَّحة. اثنان من هذه المستقيمات متقطِّعان، والثالث متصل. لدينا خطان مستقيمان ميلهما موجب ويمرُّ أحدهما بنقطة الأصل، والمستقيم الثالث ميله سالب.

المتباينة: 𞸑٢𞸎٤ يمكن تمثيلها بخط متصل لأن حدَّ المنطقة 𞸑=٢𞸎٤ متضمَّن في المنطقة، والمساحة المظللة ستكون المنطقة التي تقع أعلى الخط وفقًا لعلامة المتباينة . هذا هو الخط المتصل الذي يمرُّ بالنقطتين: (٠،٤)، (٢،٠)، وميله موجب كما هو موضَّح في التمثيل البياني.

ومن ثَمَّ، فإن المناطق الموجودة على التمثيل البياني والتي تحتوي على حلول للمتباينة: 𞸑٢𞸎٤؛ هي: (أ)، (ب)، (ج)، (د).

والآن، دعونا نتناول مثالًا نحدِّد فيه المناطق التي تمثِّل حلولًا لنظام من المتباينات مُعرَّف هذه المرة بخطين مستقيمين.

مثال ٧: تحديد المناطق التي تمثِّل الحلول لنظام المتباينات

أيُّ المناطق على التمثيل البياني فيها حلول تحقِّق كلًّا من المتباينتين الآتيتين: 𞸑<𞸎،𞸑٢𞸎٤؟

الحل

تذكَّر أن التظليل بالأعلى في التمثيل البياني الذي يمثِّل نظام متباينات يعني: «أكبر من»، في حين أن التظليل بالأسفل يعني: «أقل من» الخط المستقيم الذي تُعرِّفه المعادلة: 𞸑=𞸌𞸎+𞸁. بالإضافة إلى ذلك، علينا أيضًا التفكير في حدِّ المنطقة؛ فالخط المتصل يعني: «يساوي»، في حين أن الخط المتقطِّع يعني: «لا يساوي».

إذا كان لدينا نظام متباينات فإن الحلول الممكنة له ستقع داخل تقاطُع المناطق المظللة لجميع المتباينات في النظام. لا نُضمِّن حدود التقاطعات لجميع المتباينات في مجموعة الحل إلا إذا كان لدينا خط متصل لحدَّي المنطقة؛ لأنه يجب أن تتحقَّق المتباينات جميعها، أما المتباينة التامة التي يمثِّلها خط متقطِّع عند أحد الحدين أو كليهما فستؤدي لاستبعاد هذا الخط من مجموعة الحل.

المتباينة: 𞸑<𞸎 يمكن تمثيلها بخط متقطِّع لأن حدَّ المنطقة 𞸑=𞸎 غير متضمَّن في المنطقة، والمساحة المظللة ستكون المنطقة أسفل الخط وفقًا لعلامة المتباينة <. هذا هو الخط المتقطِّع الذي يمرُّ بنقطة الأصل، وميله موجب.

وبالمثل، المتباينة: 𞸑٢𞸎٤ يمكن تمثيلها بخط متصل لأن حدَّ المنطقة 𞸑=٢𞸎٤ متضمَّن في المنطقة، والمساحة المظللة ستكون المنطقة أعلى الخط وفقًا لعلامة المتباينة . هذا هو الخط المتصل الذي يمرُّ بالنقطتين: (٠،٤)، (٢،٠)، وميله موجب كما نرى في التمثيل البياني.

إذن، المناطق الموجودة على التمثيل البياني وتمثِّل حلولًا تحقِّق المتباينتين: 𞸑<𞸎، 𞸑٢𞸎٤ هي: (ج)، (د).

وأخيرًا، نتناول مثالًا علينا فيه تحديد المنطقة التي تمثِّل الحلول لنظام المتباينات المكوَّن من ثلاث متباينات.

مثال ٨: تحديد المناطق التي تمثِّل الحلول لنظام متباينات

أيُّ المناطق على التمثيل البياني يحتوي على حلول مجموعة المتباينات: 𞸑>٢،𞸑𞸎،𞸎<١؟

الحل

تذكَّر أن التظليل بالأعلى أو على اليمين في التمثيل البياني الذي يمثِّل نظام متباينات يعني: «أكبر من»، في حين أن التظليل بالأسفل أو على اليسار يعني: «أقل من» خط محدَّد بالنقطتين: 𞸎=󰏡، 𞸑=𞸁 أو الخط المستقيم: 𞸑=𞸌𞸎+𞸁. بالإضافة إلى ذلك، علينا أيضًا التفكير في حدِّ المنطقة؛ فالخط المتصل يعني: «يساوي»، في حين أن الخط المتقطِّع يعني: «لا يساوي».

إذا كان لدينا نظام متباينات فإن الحلول الممكنة له ستقع داخل تقاطُع المناطق المظللة لجميع المتباينات في النظام. لا نُضمِّن حدود التقاطعات لجميع المتباينات في مجموعة الحل إلا إذا كان لدينا خط متصل لحدَّي المنطقة؛ لأنه يجب أن تتحقَّق المتباينات جميعها، أما المتباينة التامة التي يمثِّلها خط متقطِّع عند أحد الحدين أو كليهما فستؤدي لاستبعاد هذا الخط من مجموعة الحل.

المتباينة: 𞸑>٤ يمكن تمثيلها بخط متقطِّع بما أن حدَّ المنطقة 𞸑=٤ غير متضمَّن في المنطقة، والمساحة المظللة ستكون المنطقة أعلى الخط وفقًا لعلامة المتباينة >. هذا هو الخط المتقطِّع الموازي للمحور 𞸎 كما هو موضَّح على التمثيل البياني.

وبالمثل، المتباينة: 𞸑𞸎 يمكن تمثيلها بخط متصل لأن حدَّ المنطقة 𞸑=𞸎 متضمَّن في المنطقة، والمساحة المظللة ستكون المنطقة أعلى الخط وفقًا لعلامة المتباينة . هذا هو الخط المتصل الذي يمرُّ بنقطة الأصل، وميله سالب.

وأخيرًا، المتباينة: 𞸎<١ يمكن تمثيلها بخط متقطِّع بما أن حدَّ المنطقة 𞸎=١ غير متضمَّن في المنطقة، والمساحة المظللة ستكون المنطقة أسفل الخط وفقًا لعلامة المتباينة <. هذا هو الخط المتقطِّع الموازي لمحور 𞸑 كما هو موضَّح على التمثيل البياني.

المنطقة التي تحقِّق جميع المتباينات ستكون تقاطُع جميع المناطق المظللة للمتباينات.

ومن ثَمَّ، فإن المنطقة الموجودة على التمثيل البياني والتي تحتوي على حلول نظام المتباينات: 𞸑>٢،𞸑𞸎،𞸎<١؛ هي: (د).

النقاط الرئيسية

  • التظليل على اليمين يعني: «أكبر من»، في حين أن التظليل على اليسار يعني: «أقل من» خط معين موازٍ للمحور 𞸑، وتُعرِّفه المعادلة: 𞸎=󰏡.
  • التظليل بالأعلى يعني: «أكبر من»، في حين أن التظليل بالأسفل يعني: «أصغر من» خط معين موازٍ للمحور 𞸎، وتُعرِّفه المعادلة: 𞸑=𞸁.
  • التظليل بالأعلى يعني: «أكبر من»، في حين أن التظليل بالأسفل يعني: «أقل من» الخط المستقيم الذي تُعرِّفه المعادلة: 𞸑=𞸌𞸎+𞸁.
  • يكون الخط نفسه غير متضمَّن في المنطقة المظللة إذا كانت لدينا متباينة تامة.
  • إذا كان لدينا نظام متباينات فإن الحلول الممكنة له ستقع داخل تقاطُع المناطق المظللة لجميع المتباينات في النظام.
  • بالإضافة إلى ذلك، علينا أيضًا التفكير في حدِّ المنطقة؛ فالخط المتصل يعني: «يساوي»، في حين أن الخط المتقطِّع يعني: «لا يساوي».
  • لا يتمُّ تضمين تقاطُع حدين في مجموعة الحل إلا إذا كان الخطان متصلين (بعبارة أخرى، لا يحتويان على متباينات تامة).

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.