شارح الدرس: نظام القُوى المكافئ للازدواج الرياضيات

مثال ١: إيجاد قوًى مجهولة تؤثِّر على مربع لتُنتِج ازدواجًا مكافئًا

مربع تؤثِّر عليه خمس قوًى مَقِيسة بوحدة نيوتن، كما هو موضَّح في الشكل الآتي. إذا كان نظام القُوى يُكافئ ازدواجًا، فأوجد ، .

الحل

نتذكَّر أن نظام القُوى يُكافئ ازدواجًا إذا كانت القوة المحصِّلة تساوي صفرًا. وبما أن النظام المُعطى يُكافئ ازدواجًا، فإن المركِّبات الأفقية والرأسية للقُوى في هذا النظام لا بدَّ أن يكون مجموعها صفرًا.

قبل أن نتمكَّن من جمع مركِّبات القُوى، علينا تحديد الاتجاه. وفقًا للاصطلاح الشائع في استخدام نظام الإحداثيات الكارتيزية، دعونا نوضِّح أن يكون الاتجاه الأفقي الموجب في اتجاه اليمين، والاتجاه الرأسي الموجب في اتجاه الأعلى.

القوتان الرأسيتان ، ليس لهما أيُّ مركِّبة أفقية. من ناحية أخرى، لدينا القوتان الأفقيتان تمامًا ، ١٣، والقوة التي تؤثِّر على القطر مقدارها نيوتن، التي لها مركِّبتان أفقية ورأسية. لنحسب المركِّبتين الأفقية والرأسية للقوة التي تؤثِّر على القطر باستخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية.

بما أن هو قطر المربع؛ فإنه ينصِّف الزاوية القائمة . ومن ثَمَّ . دعونا نُشِر إلى المركِّبة الأفقية لهذه القوة بالرمز ، ونُشِر إلى المركِّبة الرأسية بالرمز . بعد ذلك، يُمكننا رسم المثلث القائم الزاوية الآتي.

تُكوِّن المركِّبة الأفقية الضلع المجاور في المثلث القائم الزاوية بالنسبة إلى الزاوية . باستخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية، يُمكننا كتابة:

ومن ثَمَّ:

وبما أن تتَّجِه إلى اليمين، فإنها لا بدَّ أن تكون موجبة. ومن ثم، . علاوة على ذلك، بما أن أيَّ مثلث قائم الزاوية يحتوي على زاوية قياسها باعتبارها إحدى زواياه يكون متساوي الساقين، فإن المركِّبة الرأسية لا بدَّ أن يساوي مقدارها المركِّبة الأفقية . وبما أن تتَّجِه لأعلى، فإن إشارتها موجبة. ومن ثَمَّ، نحصل على .

نحن مستعدُّون الآن لحساب محصِّلة القُوى الأفقية والرأسية. القوة المحصِّلة الأفقية تساوي:

وبما أن القوة المحصِّلة الأفقية تساوي صفرًا، نحصل على ، وهو ما يؤدِّي إلى أن .

بعد ذلك، نحسب القوة المحصِّلة الرأسية:

وبما أن القوة المحصِّلة الرأسية تساوي صفرًا، نحصل على ، وهو ما يؤدِّي إلى أن .

وبذلك، إذا كان نظام القُوى المُعطى يُكافئ ازدواجًا، فإن ، .

مثال ٢: حساب العزم المحصِّل لنظام قوًى يُكافئ ازدواجًا يؤثِّر على قضيب خفيف

في الشكل الآتي، إذا كانت القُوى التي تؤثِّر على القضيب الخفيف تُكافئ ازدواجًا، فأوجد عزم هذا الازدواج.

الحل

لعلَّنا نتذكَّر أن نظام القُوى يُكافئ ازدواجًا إذا كانت القوة المحصِّلة تساوي صفرًا. في الشكل المُعطى، يُمكننا بسهولة ملاحظة أن القوة المحصِّلة الرأسية تساوي صفرًا؛ حيث إن:

وبما أن هذا النظام يُكافئ ازدواج قوًى، فسيَنتُج عنه عزم دوران. دعونا نحسب العزم المحصِّل الناتِج عن هذا النظام. محور الدوران لهذه المسألة غير مُعطًى؛ لذا دعونا نعتبر أن نقطة المنتصف على القضيب الخفيف هي محور الدوران أو النقطة المرجعية.

نتذكَّر أن معيار العزم الناتج عن قوة مقدارها هو: حيث هي المسافة العمودية بين النقطة المرجعية وخط عمل القوة.

كما نتذكَّر أن العزم كمية ذات إشارة؛ حيث يُمكن تحديد إشارة العزم بمجرد تحديد الاتجاه الموجب للعزوم. ما لم يُذكَر غير ذلك، نعتبر أن العزم في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة موجب في الحركة المستوية. إذن دعونا نستخدم هذا التعريف.

من الشكل، نلاحِظ أن خط عمل القوة التي مقدارها ٥ نيوتن يحتوي على النقطة المرجعية . ومن ثَمَّ، فإن المسافة العمودية لهذه القوة تساوي صفرًا. من صيغة العزم، نلاحِظ أن العزم الناتِج عن هذه القوة يساوي أيضًا صفرًا. ومن ثَمَّ:

بالنسبة إلى القوة التي مقدارها ٢ نيوتن، فإن المسافة العمودية من النقطة المرجعية تساوي ٨ سم. إذن:

بالنظر إلى الشكل، يُمكننا ملاحَظة أن هذه القوة تولِّد عزم دوران في اتجاه دوران عقارب الساعة حول المحور . وفقًا للمُتعارَف عليه، يجب أن تكون إشارة هذا العزم سالبة. ومن ثَمَّ، يصبح لدينا .

بالنسبة إلى القوة التي مقدارها ٣ نيوتن، فإن المسافة العمودية من النقطة المرجعية تساوي أيضًا ٨ سم. إذن:

يُمكننا من الشكل ملاحَظة أن هذه القوة تولِّد عزمًا في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حول المحور . ومن ثَمَّ، تكون إشارة هذا العزم موجبة: .

وبجمع العزوم الثلاثة، نحصل على العزم المحصِّل لهذا النظام:

عزم هذا النظام يساوي ٨ نيوتن⋅سم.

مثال ٣: حساب العزم المحصِّل في نظام قوًى يُكافئ ازدواجًا

مستطيل، فيه ، ، . تؤثِّر قوًى مقاديرها ٢٢٥، ٢٧٥، ٢٦٥، ١٣٥ نيوتن في اتجاه ، ، ، ، على الترتيب. إذا كان نظام القُوى مُكافئًا لازدواج، فأوجد معيار عزم القُوى.

الحل

دعونا نتذكَّر صيغة العزم الذي تُحدِثه القوة بالنسبة إلى محور الدوران. إذا كانت هي المسافة العمودية بين المحور وخط عمل القوة التي مقدارها ، فإن معيار العزم يُعطَى بالعلاقة:

نتذكَّر أيضًا أن العزم كمية ذات إشارة، ويُمكن تحديد إشارة العزم بمجرد تحديد الاتجاه الموجب للعزوم. وفقًا للاصطلاح الشائع في الحركة المستوية، دعونا نوضِّح أن العزوم في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة تكون موجبة في هذا المثال.

ونتذكَّر أنه إذا كان نظام القُوى يُكافئ ازدواجًا، فإن العزم المحصِّل الذي يُحدِثه نظام القُوى يكون هو نفسه بغضِّ النظر عن موقع النقطة المرجعية. وبملاحَظة صيغة العزم المذكورة سابقًا، نجد أن عزم القوة يساوي صفرًا عندما تقع النقطة المرجعية على خط العمل؛ لأن المسافة العمودية تنعدم في هذه الحالة.

ومن ثَمَّ، أفضل نقطة لوضْع النقطة المرجعية تكون عند نقطة تقاطع عِدَّة خطوط عمل. وهذا يُعطينا خيارات الرءوس أو أو أو النقطة . النقطة ستكون الخيار الأمثل هنا؛ لأن المسافتين العموديتين للقوتين اللتين لا تمرَّان عبر المحور تساويان طولي الضلعين المتناظرين في المستطيل. نضع محور الدوران عند الرأس ، ونحدِّد أطوال أضلاع المستطيل.

بما أن المحور يقع على خط عمل القوتين ، ، فإننا نعلم أن هاتين القوتين لا تُساهِمان في العزم المحصِّل حول المحور . ومن ثَمَّ:

بالنسبة إلى ، المسافة العمودية تساوي ٤٥ سم، ومقدار القوة يساوي ١٣٥ نيوتن. نلاحِظ أن القوة تُحدِث عزمًا في اتجاه دوران عقارب الساعة حول ؛ لذا يكون العزم سالبًا، وفقًا للاصطلاح الذي وضَّحناه سابقًا. ومن ثَمَّ، يكون العزم الناتِج عن هذه القوة هو:

بالنسبة إلى ، المسافة العمودية تساوي ٥٥ سم، ومقدار القوة يساوي ٢٢٥ نيوتن. نلاحِظ أن القوة تُحدِث أيضًا عزمًا في اتجاه دوران عقارب الساعة حول ؛ لذا يكون العزم سالبًا. ومن ثَمَّ، يكون العزم الناتِج عن هذه القوة هو:

بجمع هذه العزوم، نحصل على العزم المحصِّل الذي يُحدِثه نظام القُوى هذا المؤثِّر على المحور :

إذن معيار عزم هذه القُوى يساوي ١٨‎ ‎٤٥٠ نيوتن⋅سم.

مثال ٤: حساب العزم المحصِّل في نظام قوًى يُكافئ ازدواجًا

مربع طول ضلعه ٥٠ سم. تؤثِّر قوًى مقاديرها ٣٠، ٦٠، ١٦٠، ١٠ نيوتن في اتجاهات ، ، ، ، على الترتيب، في حين تؤثِّر قوتان مقداراهما ، نيوتن في اتجاهَيْ ، ، على الترتيب. إذا كان النظام يُكافئ ازدواجًا، فأوجد عزمه باعتبار أن الاتجاه الموجب هو .

الحل

نبدأ برسم شكل نظام القُوى المُعطى.

يحدِّد هذا المثال الاتجاه الموجب ليكون ، وهو عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. لعلنا نتذكَّر أنه إذا كان نظام القُوى يُكافئ ازدواجًا، فإن العزم المحصِّل يكون هو نفسه بغضِّ النظر عن موقع محور الدوران. إذا علمنا محور الدوران، فإن معيار العزم الذي تُحدِثه القوة يُعطَى بالعلاقة: حيث هو مقدار القوة، هي المسافة العمودية بين المحور وخط العمل. وعلى وجه التحديد، لا تُساهِم أيُّ قوة في النظام في العزم المحصِّل إذا كان خط عملها يحتوي على محور الدوران.

ولهذا السبب، علينا البدء بإيجاد الموضع المثالي لوضْع محور الدوران؛ لتبسيط العمليات الحسابية المتبقية. علينا اختيار نقطة تقاطعات لعِدَّة خطوط عمل حتى نتمكَّن من منْع هذه القُوى من المُساهَمة في العزم المحصِّل. وهذا يقودنا إلى الرءوس ، ، ، ، ونقطة تقاطع القطرين. على الرغم من ميزة اختيار أحد رءوس المربع الأربعة في استبعاد ثلاث قوًى تتقاطع خطوط عملها عند هذا الرأس، فإنه من الأسهل اختيار تقاطع القطرين؛ لأن هذا الاختيار يبسِّط حساب المسافات العمودية إلى حدٍّ كبير. هيَّا نرسم شكلًا جديدًا يتضمَّن هذا المحور المُحدَّد .

بما أن المحور يقع على خطَّيْ عمل القوتين اللتين تؤثِّران على القطرين ، ، فإن العزمين اللذين تُحدِثهما هاتان القوتان يساويان صفرًا. وهذا يعني:

من الشكل، نلاحِظ أن المسافات العمودية من إلى خطوط عمل القُوى ، ، ، تساوي أنصاف أطوال أضلاع هذا المربع. ومن ثَمَّ هي المسافة العمودية من محور الدوران إلى القُوى الأربع التي تؤثِّر على محيط المربع. وعليه نحسب معايير هذه العزوم كالآتي:

بالنظر إلى الشكل، نلاحِظ أن كلَّ قوة من هذه القُوى تُحدِث دورانًا في اتجاه دوران عقارب الساعة. وعليه تكون إشارات هذه العزوم سالبة. وبجمع هذه العزوم، نحصل على العزم المحصِّل :

إذن عزم النظام المُعطَى يساوي نيوتن⋅سم.

مثال ٥: تحديد قوًى مجهولة تؤثِّر من عزمٍ ناتِج عن نظام قوًى يُكافئ ازدواجًا

في الشكل المُعطى، إذا كانت القُوى المؤثِّرة على القضيب الخفيف مُكافئة لازدواج، وكان عزم هذا الازدواج يساوي ١٧، فأوجد ، .

الحل

لعلنا نتذكَّر أن نظام القُوى يُكافئ ازدواجًا إذا كانت القوة المحصِّلة تساوي صفرًا. بالنظر إلى الشكل المُعطى، نلاحِظ أن جميع القُوى في هذا النظام رأسية. ومن ثَمَّ، القوة المحصِّلة الرأسية لا بدَّ أن تساوي صفرًا. بتحديد أن الاتجاه لأعلى موجب، نحصل على القوة المحصِّلة نيوتن، التي يُمكن تبسيطها إلى نيوتن. بمساواة هذا التعبير بصفر، نحصل على:

بعد ذلك، دعونا نفكِّر في العزم. عرفنا أن عزم هذا النظام يساوي ١٧ نيوتن⋅سم. نتذكَّر أنه إذا كان نظام القُوى يُكافئ ازدواجًا، فإن العزم المحصِّل يبقى هو نفسه بغضِّ النظر عن موقع محور الدوران.

نتذكَّر هنا أن معيار العزم الذي تُحدِثه قوة تؤثِّر على محور الدوران يُعطَى بالعلاقة: حيث هو مقدار القوة، هي المسافة العمودية بين خط عمل القوة ومحور الدوران. على وجه التحديد، إذا كان خط عمل القوة يحتوي على محور الدوران، فإن العزم الناتِج عن القوة يساوي صفرًا.

إذا وضعنا محور الدوران عند النقطة فإن مُساهَمة القوة في العزم المحصِّل تنعدم. وهذا يُبقي فقط باعتبارها كمية مجهولة، والتي يُمكننا تحديدها باستخدام العزم المُعطَى. لنبدأ بشكلٍ جديد حيث يُوضَع محور الدوران عند النقطة .

نتذكَّر أيضًا أن العزم كمية ذات إشارة، ويُمكن تحديد إشارة العزم بعد تحديد الاتجاه الموجب. وبما أنه لا يُوجَد اتجاه محدَّد في هذا المثال، فإننا نتبع التعريف الذي ينصُّ على أن العزم في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة يكون موجبًا.

والآن سنحسب العزم الناتِج عن كلِّ قوة في هذا النظام. لنبدأ بالقوة التي تؤثِّر على النقطة . مقدار هذه القوة يساوي ٥ نيوتن، والمسافة العمودية من النقطة تساوي . وبذلك يكون العزم الناتِج عن هذه القوة هو:

من الشكل، نلاحِظ أن القوة التي تؤثِّر على تُحدِث عزمًا في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حول ؛ ومن ثَمَّ، يكون هذا العزم موجبًا وفقًا للتعريف الذي اتفقنا عليه. وهذا يُعطينا .

مقدار القوة التي تؤثِّر على النقطة يساوي ٢ نيوتن، والمسافة العمودية من النقطة تساوي ٢ سم. وبذلك يكون العزم الناتِج عن هذه القوة هو:

بالنظر إلى الشكل، نلاحِظ أن هذه القوة تُحدِث عزمًا في اتجاه دوران عقارب الساعة ، وبذلك يكون هذا العزم سالبًا؛ ومن ثَمَّ .

كما لاحَظنا سابقًا، القوة التي تؤثِّر على لا تُساهِم في العزم المحصِّل حيث يحتوي خط العمل على محور الدوران . ومن ثَمَّ:

وأخيرًا، مقدار القوة التي تؤثِّر على يساوي نيوتن، والمسافة العمودية من النقطة تساوي ١ سم. وبذلك يكون العزم الناتِج عن هذه القوة هو:

بالنظر إلى الشكل، نلاحِظ أن هذه القوة تُحدِث عزمًا في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة ، وبذلك يكون هذا العزم موجبًا؛ ومن ثَمَّ .

بجمع جميع العزوم الناتِجة عن القُوى في هذا النظام، نحصل على العزم المحصِّل :

ونحن نعلم أن العزم المحصِّل يساوي ١٧ نيوتن⋅سم؛ ومن ثَمَّ:

هذا يُعطينا . بالتعويض بهذا في (١)، نحصل على: وينتج عن هذا .