تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: المشتقة الثانية والمشتقات ذات الرتب العليا الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد المشتقة الثانية والمشتقات العليا للدالة؛ وذلك باستخدام قواعد الاشتقاق.

تخبرنا مشتقة الدالة بمعلومات عن معدَّل تغيُّر الدالة. وهو مفهوم مفيد جدًّا، ويُستخدَم في العديد من المسائل الواقعية؛ مثل النمو السكاني والتحسين. لكننا لن نتوقَّف هنا، بل يمكننا أيضًا أن نسأل: «كيف يتغيَّر معدَّل التغيُّر نفسه؟» يمكننا تحديد ذلك عن طريق اشتقاق المشتقة الأولى؛ ونُسمِّي ذلك المشتقة الثانية. في الحقيقة، يمكننا الاستمرار في الاشتقاق لإيجاد المشتقات ذات الرتب العليا.

وهذه المشتقات ذات الرتب العليا مفيدة أيضًا في العديد من مسائل الحياة الواقعية، ومن ذلك أنظمة الزنبرك والكتلة، والمسائل التي تتضمَّن جسمين. يوجد ترميزان أساسيان للمشتقات: ترميز ليبنتز ورمز الشرطة (يُشار إليه أحيانًا بترميز لاجرانج). نبدأ بتوسيع نطاق هذه الرموز ليشمل المشتقات ذات الرتب العليا.

تعريف: المشتقات ذات الرتب العليا

ما دامت كل مشتقة موجودة، يمكننا اشتقاق الدوال أيَّ عدد من المرات، ويمكننا تمثيل المشتقة النونية للدالة 𞸑=󰎨(𞸎) على الصورة: 𞸃𞸑𞸃𞸎𞸍𞸍 أو بطريقتين أخريين باستخدام رمز الشرطة على الصورة: 󰎨(𞸎)󰎨(𞸎)،(𞸍)󰍱󰍱أو حيث يظهر رمز الشرطة 𞸍 من المرات.

يمكننا إيجاد قيمة المشتقات ذات الرتب العليا لدالة عند قيمة 𞸎. على سبيل المثال، قيمة المشتقة الثانية عند 𞸎=١ يمكن كتابتها على الصورة: 󰃄𞸃𞸑𞸃𞸎󰃃󰎨(١).٢٢𞸎=١أو

في المثال الأول، نُوجِد المشتقة الثانية لدالة كثيرة الحدود.

مثال ١: إيجاد المشتقة الثانية لدالة كثيرة الحدود

إذا كانت 𞸑=٦𞸎+٣𞸎٧𞸎+٦٥٢، فأوجد 𞸃𞸑𞸃𞸎٢٢.

الحل

𞸃𞸑𞸃𞸎٢٢ يعني أن علينا اشتقاق 𞸑 مرتين بالنسبة إلى 𞸎. 𞸑 دالة كثيرة الحدود في 𞸎، ويمكننا اشتقاق كثيرات الحدود حدًّا بحد باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق: لـ 󰏡، 𞸍𞹇: 𞸃𞸃𞸎󰁓󰏡𞸎󰁒=󰏡𞸍𞸎.𞸍𞸍١

يمكننا البدء بالاشتقاق مرة واحدة لإيجاد 𞸃𞸑𞸃𞸎:𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸎󰁓٦𞸎+٣𞸎٧𞸎+٦󰁒=𞸃𞸃𞸎󰁓٦𞸎+٣𞸎٧𞸎+٦𞸎󰁒=𞸃𞸃𞸎󰁓٦𞸎󰁒+𞸃𞸃𞸎󰁓٣𞸎󰁒+𞸃𞸃𞸎󰁓٧𞸎󰁒+𞸃𞸃𞸎(٦𞸎)=٦(٥)𞸎+٣(٢)𞸎+(٧)(١)𞸎+٦(٠)𞸎=٠٣𞸎+٦𞸎٧.٥٢٥٢١٠٥٢١٠٤١٠١٤

بعد ذلك، لإيجاد 𞸃𞸑𞸃𞸎٢٢ علينا اشتقاق هذا التعبير مرة أخرى:𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸎󰃁𞸃𞸑𞸃𞸎󰃀=𞸃𞸃𞸎󰁓٠٣𞸎+٦𞸎٧󰁒=𞸃𞸃𞸎󰁓٠٣𞸎󰁒+𞸃𞸃𞸎󰁓٦𞸎󰁒+𞸃𞸃𞸎(٧𞸎)=٠٣(٤)𞸎+٦(١)𞸎+(٧)(٠)𞸎=٠٢١𞸎+٦=٦󰁓٠٢𞸎+١󰁒.٢٢٤٤١٠٣٠١٣٣

ومن ثَمَّ: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٦󰁓٠٢𞸎+١󰁒.٢٢٣

في المثال الثاني، حدَّدنا قيمة المشتقة الثانية للدالة عند نقطة معيَّنة.

مثال ٢: إيجاد قيمة المشتقة الثانية للدالة عند نقطة مُعطاة

أوجد قيمة المشتقة الثانية للدالة 𞸑=٢١𞸎٨𞸎 عند النقطة (١،٤).

الحل

نُوجِد المشتقة الثانية لـ 𞸑 باشتقاق الدالة 𞸑 لنحصل على 𞸃𞸑𞸃𞸎، ثم الاشتقاق مرة أخرى لنحصل على 𞸃𞸑𞸃𞸎٢٢. للقيام بذلك، نبدأ بإعادة كتابة التعبير:𞸑=٢١𞸎٨𞸎=٢١𞸎٨𞸎.١

يمكننا اشتقاق هذا التعبير باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق: لـ 𞸖،𞸍𞹇: 𞸃𞸃𞸎󰁓𞸖𞸎󰁒=𞸖𞸍𞸎.𞸍𞸍١

ومن ثَمَّ: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸎󰁓٢١𞸎٨𞸎󰁒=𞸃𞸃𞸎󰁓٢١𞸎󰁒𞸃𞸃𞸎󰁓٨𞸎󰁒=٢١(١)𞸎٨(١)𞸎=٢١+٨𞸎.١١١٠٢٢

يمكننا الاشتقاق مرة أخرى لإيجاد 𞸃𞸑𞸃𞸎٢٢:𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸎󰃁𞸃𞸑𞸃𞸎󰃀=𞸃𞸃𞸎󰁓٢١+٨𞸎󰁒=𞸃𞸃𞸎(٢١𞸎)+𞸃𞸃𞸎󰁓٨𞸎󰁒=٢١(٠)𞸎+٨(٢)𞸎=٦١𞸎.٢٢٢٠٢١٣٣

وأخيرًا، يَطلب السؤال إيجاد قيمة المشتقة الثانية عند النقطة (١،٤)؛ أي عند 𞸎=١. نعوِّض بهذه القيمة في التعبير:󰃄𞸃𞸑𞸃𞸎󰃃=٦١(١)=٦١.٢٢𞸎=١٣

إذن قيمة المشتقة الثانية للدالة عند النقطة (١،٤) هي ٦١.

في المثال التالي، نُوجِد المشتقة الثانية لدالة نسبية.

مثال ٣: إيجاد المشتقة الثانية للدوال النسبية

إذا كانت 𞸑=٣𞸎٥٢𞸎+٧٢٢، فأوجد 𞸃𞸑𞸃𞸎٢٢.

الحل

لإيجاد 𞸃𞸑𞸃𞸎٢٢ علينا اشتقاق 𞸑 بالنسبة إلى 𞸎 مرتين. بما أن لدينا دالة نسبية، إذن يمكننا إيجاد المشتقة الأولى باستخدام قاعدة القسمة.

إذا كانت 𞸏، 𞹟 دالتين قابلتين للاشتقاق، فإن: 𞸃𞸃𞸎󰃁𞸏𞹟󰃀=𞹟𞸃𞸃𞸏𞸃𞸃𞹟.𞸏𞸎𞹟𞸎٢

لدينا: 𞸏=٣𞸎٥،𞹟=٢𞸎+٧.٢٢

وبما أنهما دالتان كثيرتا الحدود، إذن الدالتان قابلتان للاشتقاق؛ ومن ثَمَّ، يمكننا اشتقاقها باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق: لـ 󰏡،𞸍𞹇: 𞸃𞸃𞸎󰁓󰏡𞸎󰁒=󰏡𞸍𞸎.𞸍𞸍١

وهذا يعطينا: 𞸃𞸏𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸎󰁓٣𞸎٥󰁒=٦𞸎،𞸃𞹟𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸎󰁓٢𞸎+٧󰁒=٤𞸎.٢٢

بالتعويض بتعبيرات 𞸏، 𞹟، 𞸃𞸏𞸃𞸎، 𞸃𞹟𞸃𞸎 في قاعدة خارج القسمة، يصبح لدينا: 𞸃𞸑𞸃𞸎=󰁓٢𞸎+٧󰁒(٦𞸎)󰁓٣𞸎٥󰁒(٤𞸎)(٢𞸎+٧)=٢١𞸎+٢٤𞸎٢١𞸎+٠٢𞸎(٢𞸎+٧)=٢٦𞸎(٢𞸎+٧).٢٢٢٢٣٣٢٢٢٢

علينا اشتقاق هذا التعبير لإيجاد 𞸃𞸑𞸃𞸎٢٢. وبما أن هذه دالة نسبية، إذن سنفعل ذلك مرة أخرى باستخدام قاعدة القسمة. وهذا يعطينا: 𞸏=٢٦𞸎،𞹟=󰁓٢𞸎+٧󰁒.٢٢

لمساعدتنا في اشتقاق 𞹟، سنوزِّع الأس:𞹟=󰁓٢𞸎+٧󰁒=٤𞸎+٨٢𞸎+٩٤.٢٢٤٢

يمكننا بعد ذلك اشتقاق الدالتين باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق:𞸃𞸏𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸎(٢٦𞸎)=٢٦𞸃𞹟𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸎󰁓٤𞸎+٨٢𞸎+٩٤󰁒=٦١𞸎+٦٥𞸎=٨𞸎󰁓٢𞸎+٧󰁒.٤٢٣٢

بالتعويض بتعبيرات 𞸏، 𞹟، 𞸃𞸏𞸃𞸎، 𞸃𞹟𞸃𞸎 في قاعدة خارج القسمة، يصبح لدينا: 𞸃𞸑𞸃𞸎=󰁓٢𞸎+٧󰁒(٢٦)(٢٦𞸎)󰁓٨𞸎󰁓٢𞸎+٧󰁒󰁒󰁓(٢𞸎+٧)󰁒=٢٦󰁓٢𞸎+٧󰁒󰁓󰁓٢𞸎+٧󰁒٨𞸎󰁒(٢𞸎+٧)=٢٦󰁓٧٦𞸎󰁒(٢𞸎+٧).٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٤٢٢٣

ومن ثَمَّ: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٢٦󰁓٧٦𞸎󰁒(٢𞸎+٧).٢٢٢٢٣

في المثال التالي، نستخدم معرفتنا بالمشتقات ذات الرتب العليا لدالة لتحديد قيم معاملات الدالة.

مثال ٤: إيجاد المعاملات المجهولة في تعبير الدالة بمعلومية قيمتَي المشتقتين الثانية والثالثة للدالة

إذا كانت 𞸑=󰏡𞸎+𞸁𞸎٣٢، 𞸑=٨١، 󰃄𞸃𞸑𞸃𞸎󰃃=٤١٢٢𞸎=٢، فأوجد 󰏡، 𞸁.

الحل

نريد تحديد معامِلَي الحدين في الدالة 𞸑. لدينا معلومات عن المشتقة الثالثة لـ 𞸑، 𞸑، والمشتقة الثانية 𞸃𞸑𞸃𞸎٢٢.

نبدأ بإيجاد تعبيرات هذه المشتقات ذات الرتب العليا. تذكَّر أنه لإيجاد 𞸃𞸑𞸃𞸎٢٢ علينا اشتقاق 𞸑 مرتين، ولإيجاد 𞸑 علينا اشتقاق 𞸑 ثلاث مرات.

يمكننا اشتقاق كثيرة حدود باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق: 󰏡،𞸍𞹇: 𞸃𞸃𞸎󰁓󰏡𞸎󰁒=󰏡𞸍𞸎.𞸍𞸍١

بتطبيق هذا، يصبح لدينا: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸎󰁓󰏡𞸎+𞸁𞸎󰁒=٣󰏡𞸎+٢𞸁𞸎.٣٢٢

وبالاشتقاق مرةً أخرى يكون لدينا: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸎󰁓٣󰏡𞸎+٢𞸁𞸎󰁒=٦󰏡𞸎+٢𞸁.٢٢٢

ثم نشتق مرة أخرى أخيرة ونحصل على: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸎(٦󰏡𞸎+٢𞸁)=٦󰏡.٣٣

تذكَّر، 𞸑=𞸃𞸑𞸃𞸎٣٣، ونعلم أن هذا يساوي ٨١. ويعطينا هذا: ٦󰏡=٨١󰏡=٣.

وتخبرنا المسألة أيضًا أن 󰃄𞸃𞸑𞸃𞸎󰃃=٤١٢٢𞸎=٢؛ ما يعني أنه عند إيجاد قيمة المشتقة الثانية عند 𞸎=٢، يجب أن نحصل على ٤١. ومن ثَمَّ: ٤١=󰃄𞸃𞸑𞸃𞸎󰃃=٦󰏡(٢)+٢𞸁=٢١󰏡+٢𞸁.٢٢𞸎=٢

بالتعويض بـ 󰏡=٣ في هذه المعادلة، يصبح لدينا: ٤١=٢١(٣)+٢𞸁٤١=٦٣+٢𞸁٢٢=٢𞸁١١=𞸁.

ومن ثَمَّ، نكون قد أوضحنا أن 󰏡=٣، 𞸁=١١.

في المثال التالي، نكتشف نمطًا لتحديد مشتقة من الرتبة العليا لدالة مثلثية.

مثال ٥: إيجاد المشتقة النونية لتعبير

أوجد 𞸃𞸃𞸎(𞸎)١٥١٥ عن طريق إيجاد بعض المشتقات الأولى وملاحظة النمط الذي تتبعه.

الحل

نريد أن نُوجِد 𞸃𞸃𞸎(𞸎)١٥١٥، وهي المشتقة ٥١ لـ 𞸎 بالنسبة إلى 𞸎. يمكننا إيجاد هذا التعبير عن طريق اشتقاق الدالة ٥١ مرة؛ لكننا نلاحظ وجود نمط في المشتقات.

نبدأ بتذكُّر نتائج مشتقات الدوال المثلثية الآتية: 𞸃𞸃𞸎(𞸎)=𞸎𞸃𞸃𞸎(𞸎)=𞸎.،

يعطينا هذا المشتقة الأولى لـ 𞸎:𞸃𞸃𞸎(𞸎)=𞸎.

نُوجِد المشتقة الثانية لـ 𞸎 باشتقاق المشتقة الأولى بالنسبة إلى 𞸎:𞸃𞸃𞸎(𞸎)=𞸃𞸃𞸎(𞸎)=𞸎.٢٢

باتباع الطريقة نفسها، نجد أن: 𞸃𞸃𞸎(𞸎)=𞸃𞸃𞸎(𞸎)=𞸎،𞸃(𞸃𞸎(𞸎)=𞸃𞸃𞸎(𞸎)=𞸎.٣٣٤٤

ومن ثَمَّ، فإن المشتقة الرابعة لدالة الجيب تساوي دالة الجيب نفسها. وهذا يعني أن كل ٤ مرات من اشتقاق دالة الجيب، نحصل على دالة الجيب. وبما أن ٤٨ من مضاعفات العدد ٤، إذن: 𞸃𞸃𞸎(𞸎)=𞸃𞸃𞸎󰃁𞸃𞸃𞸎(𞸎)󰃀=𞸎.٨٤٨٤٤٤٤٤

ولإيجاد المشتقة ٥١، علينا الاشتقاق ٣ مرات أخرى:𞸃𞸃𞸎(𞸎)=𞸃𞸃𞸎󰃁𞸃𞸃𞸎(𞸎)󰃀=𞸃𞸃𞸎(𞸎)=𞸎.١٥١٥٣٣٨٤٨٤٣٣

ومن ثَمَّ:𞸃𞸃𞸎(𞸎)=𞸎.١٥١٥

قد نحتاج إلى استخدام قواعد المشتقات عدة مرات لإيجاد بعض المشتقات ذات الرتب العليا، كما سنرى في المثالين الآتيين.

مثال ٦: إيجاد المشتقة الثالثة للدوال المثلثية باستخدام قاعدة الضرب

أوجد المشتقة الثالثة للدالة 𞸑=٤٤𞸎٢𞸎.

الحل

لإيجاد المشتقة الثالثة للدالة، علينا اشتقاقها ٣ مرات. بما أن لدينا حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق، إذن نُوجِد قيمة المشتقة الأولى باستخدام قاعدة الضرب:

إذا كانت 𞸏(𞸎)، 𞹟(𞸎) قابلتين للاشتقاق، فإن: 𞸃𞸃𞸎(𞸏(𞸎)𞹟(𞸎))=𞸏(𞸎)𞹟(𞸎)+𞸏(𞸎)𞹟(𞸎).

نجعل: 𞸏(𞸎)=٤٤𞸎𞹟(𞸎)=٢𞸎.،

يمكننا اشتقاق هاتين الدالتين كلٌّ على حدة: 𞸏(𞸎)=٤٤𞹟(𞸎)=٢٢𞸎.،

بالتعويض بهذين التعبيرين في قاعدة الضرب، نحصل على: 𞸃𞸃𞸎(٤٤𞸎٢𞸎)=٤٤٢𞸎+(٤٤𞸎)(٢٢𞸎)=٤٤٢𞸎+٨٨𞸎٢𞸎.

علينا اشتقاق هذا التعبير مرة أخرى لإيجاد المشتقة الثانية:𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸎(٤٤٢𞸎+٨٨𞸎٢𞸎)=𞸃𞸃𞸎(٤٤٢𞸎)+𞸃𞸃𞸎(٨٨𞸎٢𞸎)=٨٨٢𞸎+𞸃𞸃𞸎(٨٨𞸎٢𞸎).٢٢

وعلينا استخدام قاعدة الضرب مرة أخرى للاشتقاق، وهذه المرة: 𞸏(𞸎)=٨٨𞸎𞹟(𞸎)=٢𞸎.،

يمكننا اشتقاق كلِّ دالة على حدة:𞸏(𞸎)=٨٨𞹟(𞸎)=٢٢𞸎.،

بالتعويض بهذين التعبيرين في قاعدة الضرب، نحصل على: 𞸃𞸃𞸎(٨٨𞸎٢𞸎)=٨٨٢𞸎+٨٨𞸎(٢٢𞸎)=٨٨٢𞸎٦٧١𞸎٢𞸎.

ومن ثَمَّ: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٨٨٢𞸎+٨٨٢𞸎٦٧١𞸎٢𞸎=٦٧١٢𞸎٦٧١𞸎٢𞸎.٢٢

علينا الاشتقاق مرة أخرى لإيجاد المشتقة الثالثة: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸎(٦٧١٢𞸎٦٧١𞸎٢𞸎)=𞸃𞸃𞸎(٦٧١٢𞸎)𞸃𞸃𞸎(٦٧١𞸎٢𞸎)=٢٥٣٢𞸎𞸃𞸃𞸎(٦٧١𞸎٢𞸎).٣٣

بما أننا نعرف بالفعل أن 𞸃𞸃𞸎(٤٤𞸎٢𞸎)، إذن نعيد كتابة هذه المشتقة:𞸃𞸑𞸃𞸎=٢٥٣٢𞸎𞸃𞸃𞸎(٦٧١𞸎٢𞸎)=٢٥٣٢𞸎٤𞸃𞸃𞸎(٤٤𞸎٢𞸎)=٢٥٣٢𞸎٤(٤٤٢𞸎+٨٨𞸎٢𞸎)=٢٥٣𞸎٢𞸎٨٢٥٢𞸎.٣٣

إذن: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٢٥٣𞸎٢𞸎٨٢٥٢𞸎.٣٣

مثال ٧: إيجاد المشتقة الثانية لدوال جذرية

إذا كانت 𞸑=󰋴𞸎٩، فأوجد 𞸃𞸑𞸃𞸎٢٢.

الحل

لإيجاد 𞸃𞸑𞸃𞸎٢٢، علينا اشتقاق 𞸑 بالنسبة إلى 𞸎 مرتين. بما أن لدينا تركيبًا لدوال قابلة للاشتقاق، إذن يمكننا اشتقاق ذلك باستخدام قاعدة السلسلة، إلا أننا سنستخدم قاعدة القوة العامة.

إذا كانت 𞸏(𞸎) دالة قابلة للاشتقاق، 𞸖𞹇، فإن: 𞸃𞸃𞸎󰁓[𞸏(𞸎)]󰁒=𞸖𞸏(𞸎)[𞸏(𞸎)].𞸖𞸖١

بدايةً، علينا إعادة كتابة الدالة:𞸑=󰋴𞸎٩=(𞸎٩).١٢

نجعل 𞸖=١٢، 𞸏(𞸎)=𞸎٩، وبما أن 𞸏(𞸎) دالة خطية، إذن 𞸏(𞸎) يكون ميل هذا الخط المستقيم. ومن ثَمَّ، 𞸏(𞸎)=١.

بالتعويض بهذين التعبيرين في قاعدة القوة العامة يصبح لدينا: 𞸃𞸑𞸃𞸎=󰂔١٢󰂓(١)(𞸎٩)=١٢(𞸎٩).١٢١٢

ولإيجاد المشتقة الثانية، علينا اشتقاق هذا التعبير:𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸎󰂔١٢(𞸎٩)󰂓=١٢𞸃𞸃𞸎󰂔(𞸎٩)󰂓.٢٢١٢١٢

يمكننا فعل ذلك باستخدام قاعدة القوة العامة؛ نجعل 𞸏(𞸎)=𞸎٩، 𞸖=١٢، وهو ما يعطينا: 𞸃𞸑𞸃𞸎=١٢𞸃𞸃𞸎󰂔(𞸎٩)󰂓=١٢󰂔󰂔١٢󰂓(١)(𞸎٩)󰂓=١٤(𞸎٩).٢٢١٢٣٢٣٢

في المثال الأخير، سنستخدم قاعدة السلسلة لإيجاد المشتقة الثانية لدالة مثلثية.

مثال ٨: إيجاد المشتقة الثانية للدوال المثلثية باستخدام قاعدة السلسلة

إذا كانت 𞸑=٤٩𞸎٥، فأوجد 𞸑.

الحل

لإيجاد 𞸑، علينا اشتقاق 𞸑 بالنسبة إلى 𞸎 مرتين. سنبدأ بإيجاد المشتقة الأولى؛ وذلك باسترجاع نتيجة مشتقة الدالة المثلثية الآتية. لأيِّ ثابت 𞸖: 𞸃𞸃𞸎(𞸖𞸎)=𞸖𞸖𞸎.٢

نفترض أن 𞸖=٩٥، ونأخذ العامل الثابت ٤ خارج المشتقة، وهو ما يعطينا: 𞸑=٤𞸃𞸃𞸎󰂔٩𞸎٥󰂓=٤󰂔٩٥٩𞸎٥󰂓=٦٣٥٩𞸎٥.٢٢

علينا اشتقاق هذا مرة أخرى لإيجاد المشتقة الثانية. بما أن هذا تركيب من دوال قابلة للاشتقاق، إذن نشتق هذه الدالة باستخدام قاعدة السلسلة:

إذا كانت 𞸏 قابلة للاشتقاق عند 𞸎٠، 𞹟 قابلة للاشتقاق عند 𞸏󰁓𞸎󰁒٠، فإن: 𞸃𞸃𞸎󰁓𞸏󰁓𞹟󰁓𞸎󰁒󰁒󰁒=󰃄𞸃𞸏𞸃𞹟×𞸃𞹟𞸃𞸎󰃃.٠𞸎=𞸎٠

بجعل 𞸏(𞹟)=𞹟٢، 𞹟(𞸎)=٩𞸎٥، نحصل على: 𞸑=٦٣٥𞸏(𞹟(𞸎)).

لاستخدام قاعدة السلسلة، علينا اشتقاق 𞸏، 𞹟 باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق، ولأيِّ ثابت 𞸖: 𞸃𞸃𞸎(𞸖𞸎)=𞸖𞸖𞸎𞸖𞸎،𞸃𞸏𞸃𞹟=٢𞹟،𞸃𞹟𞸃𞸎=٩٥󰂔٩𞸎٥󰂓󰂔٩𞸎٥󰂓.

وبالتعويض بذلك في صيغة قاعدة السلسلة، نحصل على: 𞸑=٦٣٥󰃁𞸃𞸏𞸃𞹟×𞸃𞹟𞸃𞸎󰃀=٦٣٥󰂔٢𞹟×٩٥󰂔٩𞸎٥󰂓󰂔٩𞸎٥󰂓󰂓=٨٤٦٥٢𞹟󰂔٩𞸎٥󰂓󰂔٩𞸎٥󰂓.

وأخيرًا، نعوِّض بـ 𞹟=󰂔٩𞸎٥󰂓، لنحصل على: 𞸑=٨٤٦٥٢󰂔٩𞸎٥󰂓󰂔٩𞸎٥󰂓.٢

هيا ننهِ هذا الشارح بتلخيص بعض النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • يمكننا اشتقاق الدوال عدة مرات لإيجاد المشتقات ذات الرتب العليا.
  • المشتقة ا للدالة 𞸑=󰎨(𞸎) يمكن كتابتها على أيٍّ من الصور الآتية:
    • 𞸃𞸑𞸃𞸎𞸍𞸍،
    • 󰎨(𞸎)(𞸍)،
    • 󰎨(𞸎)󰍱󰍱؛ حيث يظهر رمز الشرطة 𞸍 من المرات.
  • يمكننا تمثيل إيجاد مشتقة الدالة 𞸑=󰎨(𞸎) باستخدام رمزين مختلفين. على سبيل المثال، للمشتقة الثانية عند 𞸎=󰏡 يمكننا كتابة:
    • 󰃄𞸃𞸑𞸃𞸎󰃃٢٢𞸎=󰏡،
    • 󰎨(󰏡).

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.