شارح الدرس: المشتقة الثانية والمشتقات ذات الرتب العليا الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إيجاد المشتقة الثانية لدالة كثيرة الحدود

إذا كانت ، فأوجد .

الحل

يعني أن علينا اشتقاق مرتين بالنسبة إلى . دالة كثيرة الحدود في ، ويمكننا اشتقاق كثيرات الحدود حدًّا بحد باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق: لـ ، :

يمكننا البدء بالاشتقاق مرة واحدة لإيجاد :

بعد ذلك، لإيجاد علينا اشتقاق هذا التعبير مرة أخرى:

ومن ثَمَّ:

مثال ٢: إيجاد قيمة المشتقة الثانية للدالة عند نقطة مُعطاة

أوجد قيمة المشتقة الثانية للدالة عند النقطة .

الحل

نُوجِد المشتقة الثانية لـ باشتقاق الدالة لنحصل على ، ثم الاشتقاق مرة أخرى لنحصل على . للقيام بذلك، نبدأ بإعادة كتابة التعبير:

يمكننا اشتقاق هذا التعبير باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق: لـ :

ومن ثَمَّ:

يمكننا الاشتقاق مرة أخرى لإيجاد :

وأخيرًا، يَطلب السؤال إيجاد قيمة المشتقة الثانية عند النقطة ؛ أي عند . نعوِّض بهذه القيمة في التعبير:

إذن قيمة المشتقة الثانية للدالة عند النقطة هي .

مثال ٣: إيجاد المشتقة الثانية للدوال النسبية

إذا كانت ، فأوجد .

الحل

لإيجاد علينا اشتقاق بالنسبة إلى مرتين. بما أن لدينا دالة نسبية، إذن يمكننا إيجاد المشتقة الأولى باستخدام قاعدة القسمة.

إذا كانت ، دالتين قابلتين للاشتقاق، فإن:

لدينا:

وبما أنهما دالتان كثيرتا الحدود، إذن الدالتان قابلتان للاشتقاق؛ ومن ثَمَّ، يمكننا اشتقاقها باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق: لـ :

وهذا يعطينا:

بالتعويض بتعبيرات ، ، ، في قاعدة خارج القسمة، يصبح لدينا:

علينا اشتقاق هذا التعبير لإيجاد . وبما أن هذه دالة نسبية، إذن سنفعل ذلك مرة أخرى باستخدام قاعدة القسمة. وهذا يعطينا:

لمساعدتنا في اشتقاق ، سنوزِّع الأس:

يمكننا بعد ذلك اشتقاق الدالتين باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق:

بالتعويض بتعبيرات ، ، ، في قاعدة خارج القسمة، يصبح لدينا:

ومن ثَمَّ:

مثال ٤: إيجاد المعاملات المجهولة في تعبير الدالة بمعلومية قيمتَي المشتقتين الثانية والثالثة للدالة

إذا كانت ، ، ، فأوجد ، .

الحل

نريد تحديد معامِلَي الحدين في الدالة . لدينا معلومات عن المشتقة الثالثة لـ ، ، والمشتقة الثانية .

نبدأ بإيجاد تعبيرات هذه المشتقات ذات الرتب العليا. تذكَّر أنه لإيجاد علينا اشتقاق مرتين، ولإيجاد علينا اشتقاق ثلاث مرات.

يمكننا اشتقاق كثيرة حدود باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق: :

بتطبيق هذا، يصبح لدينا:

وبالاشتقاق مرةً أخرى يكون لدينا:

ثم نشتق مرة أخرى أخيرة ونحصل على:

تذكَّر، ، ونعلم أن هذا يساوي . ويعطينا هذا:

وتخبرنا المسألة أيضًا أن ؛ ما يعني أنه عند إيجاد قيمة المشتقة الثانية عند ، يجب أن نحصل على . ومن ثَمَّ:

بالتعويض بـ في هذه المعادلة، يصبح لدينا:

ومن ثَمَّ، نكون قد أوضحنا أن ، .

مثال ٥: إيجاد المشتقة النونية لتعبير

أوجد عن طريق إيجاد بعض المشتقات الأولى وملاحظة النمط الذي تتبعه.

الحل

نريد أن نُوجِد ، وهي المشتقة ٥١ لـ بالنسبة إلى . يمكننا إيجاد هذا التعبير عن طريق اشتقاق الدالة ٥١ مرة؛ لكننا نلاحظ وجود نمط في المشتقات.

نبدأ بتذكُّر نتائج مشتقات الدوال المثلثية الآتية:

يعطينا هذا المشتقة الأولى لـ :

نُوجِد المشتقة الثانية لـ باشتقاق المشتقة الأولى بالنسبة إلى :

باتباع الطريقة نفسها، نجد أن:

ومن ثَمَّ، فإن المشتقة الرابعة لدالة الجيب تساوي دالة الجيب نفسها. وهذا يعني أن كل ٤ مرات من اشتقاق دالة الجيب، نحصل على دالة الجيب. وبما أن ٤٨ من مضاعفات العدد ٤، إذن:

ولإيجاد المشتقة ٥١، علينا الاشتقاق ٣ مرات أخرى:

ومن ثَمَّ:

مثال ٦: إيجاد المشتقة الثالثة للدوال المثلثية باستخدام قاعدة الضرب

أوجد المشتقة الثالثة للدالة .

الحل

لإيجاد المشتقة الثالثة للدالة، علينا اشتقاقها ٣ مرات. بما أن لدينا حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق، إذن نُوجِد قيمة المشتقة الأولى باستخدام قاعدة الضرب:

إذا كانت ، قابلتين للاشتقاق، فإن:

نجعل:

يمكننا اشتقاق هاتين الدالتين كلٌّ على حدة:

بالتعويض بهذين التعبيرين في قاعدة الضرب، نحصل على:

علينا اشتقاق هذا التعبير مرة أخرى لإيجاد المشتقة الثانية:

وعلينا استخدام قاعدة الضرب مرة أخرى للاشتقاق، وهذه المرة:

يمكننا اشتقاق كلِّ دالة على حدة:

بالتعويض بهذين التعبيرين في قاعدة الضرب، نحصل على:

ومن ثَمَّ:

علينا الاشتقاق مرة أخرى لإيجاد المشتقة الثالثة:

بما أننا نعرف بالفعل أن ، إذن نعيد كتابة هذه المشتقة:

إذن:

مثال ٧: إيجاد المشتقة الثانية لدوال جذرية

إذا كانت ، فأوجد .

الحل

لإيجاد ، علينا اشتقاق بالنسبة إلى مرتين. بما أن لدينا تركيبًا لدوال قابلة للاشتقاق، إذن يمكننا اشتقاق ذلك باستخدام قاعدة السلسلة، إلا أننا سنستخدم قاعدة القوة العامة.

إذا كانت دالة قابلة للاشتقاق، ، فإن:

بدايةً، علينا إعادة كتابة الدالة:

نجعل ، ، وبما أن دالة خطية، إذن يكون ميل هذا الخط المستقيم. ومن ثَمَّ، .

بالتعويض بهذين التعبيرين في قاعدة القوة العامة يصبح لدينا:

ولإيجاد المشتقة الثانية، علينا اشتقاق هذا التعبير:

يمكننا فعل ذلك باستخدام قاعدة القوة العامة؛ نجعل ، ، وهو ما يعطينا:

مثال ٨: إيجاد المشتقة الثانية للدوال المثلثية باستخدام قاعدة السلسلة

إذا كانت ، فأوجد .

الحل

لإيجاد ، علينا اشتقاق بالنسبة إلى مرتين. سنبدأ بإيجاد المشتقة الأولى؛ وذلك باسترجاع نتيجة مشتقة الدالة المثلثية الآتية. لأيِّ ثابت :

نفترض أن ، ونأخذ العامل الثابت ٤ خارج المشتقة، وهو ما يعطينا:

علينا اشتقاق هذا مرة أخرى لإيجاد المشتقة الثانية. بما أن هذا تركيب من دوال قابلة للاشتقاق، إذن نشتق هذه الدالة باستخدام قاعدة السلسلة:

إذا كانت قابلة للاشتقاق عند ، قابلة للاشتقاق عند ، فإن:

بجعل ، ، نحصل على:

لاستخدام قاعدة السلسلة، علينا اشتقاق ، باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق، ولأيِّ ثابت :

وبالتعويض بذلك في صيغة قاعدة السلسلة، نحصل على:

وأخيرًا، نعوِّض بـ ، لنحصل على: