شارح الدرس: مخطط أرجاند الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إحداثيات الأعداد المُركَّبة على مخطط أرجاند

إذا كان العدد يُمثل على مخطط أرجاند بالنقطة ، فأوجد الإحداثيين الكارتيزيين لهذه النقطة.

الحل

نعلم من تعريف مخطط أرجاند أن العدد المُركَّب يُمثَّل بواسطة نقطة لها الإحداثيين الكارتيزيين . إذن يُمثَّل بالتقطة النقطة .

مثال ٢: تمثيل الأعداد المُركَّبة على مخطط أرجاند

سبعة أعداد مُركَّبة ، ، ، ، ، ، مُمثَّلة على مخطط أرجاند.

1. أيُّ الأعداد المُركَّبة يساوي ؟
2. ما العدد المُركَّب المُمثَّل بواسطة ؟
3. أيُّ الأعداد المُركَّبة مُكوَّن من جزء حقيقي وجزء تخيُّلي متساويين؟
4. ما العددان المُركَّبان اللذان يُشكِّلان زوجًا مُترافِقًا؟ وما العلاقة الهندسية التي تربطهما؟

الحل

الجزء الأول طبقًا لتعريف مخطط أرجاند، يُمثَّل العدد المُركَّب بواسطة النقطة . بقراءة هذه الإحداثيات على المستوى، نجد أن .

الجزء الثاني نبدأ في قراءة إحداثيات من مخطط أرجاند، وهي ، أو هي التي طبقًا للتعريف تُمثِّل العدد المُركَّب . إذن .

الجزء الثالث العدد المُركَّب الذي يتساوى فيه الجزء الحقيقي والجزء التخيُّلي يقع على المستقيم . عند رسم هذا الخط على مخطط أرجاند، نجد أن عددًا واحدًا فقط من هذه الأعداد يقع على هذا الخط، وهو: .

الجزء الرابع تذكَّر أن مُرافِق العدد المُركَّب لـ هو . إذن يُمكِننا رسم عند النقطة ، ويُمكِننا رسم عند النقطة . بِناءً على ذلك، تُمثِّل النقطتان اللتان تمثلان عددًا مُركَّبا ومُرافِقه تكون لهما قيمة نفسها، لكن قِيَم تكون مختلفة في الإشارة. بالنظر إلى الشكل المُعطَى، نرى أنه لا يوجد سوى أربع نِقاط لها الأحداثي نفسه، وهي: ، ، ، . بالنظر إلى ، ، نجد أن الإحداثي للعدد هو ٣، والإحداثي للعدد هو . إذن هذان العددان ليسا عددين مُركَّبين مُترافِقين، ولكن إذا نظرنا إلى ، ، نجد أن الإحداثي للعدد هو ٣، والإحداثي للعدد هو . إذن هما عددان مُركَّبان مُترافِقان. إضافةً إلى ذلك، يُمكِن أن نُلاحِظ أنه بما أنهما عددان مُركَّبان مُترافِقان؛ إذن النقطتان ، إحداهما انعكاس للأخرى حول المحور الحقيقي (المحور ).

مثال ٣: تفسير الجمع هندسيًّا

وضِّح التحويل الهندسي الذي يحدث عند تحويل الأعداد في المستوى المُركَّب إلى جمعها مع .

الحل

للإجابة عن هذا السؤال، من المفيد تفسير الأعداد المُركَّبة بأنها متجهات في مخطط أرجاند. بهذه الطريقة، يُمكِن تفسير جمع الأعداد المُركَّبة بأنه جمع متجهات؛ حيث يُمكِن اعتبار جمع المتجه والمتجه الآخَر انتقالًا للمتجه إلى طرف نهاية المتجه أو العكس. بِناءً على ذلك، يُمكِن فَهْم التحويل الذي ينقل إلى على أنه انتقال للمستوى المُركَّب بواسطة المتجه .

مثال ٤: التفسير الهندسي للضرب في عدد حقيقي

الأعداد المُركَّبة الثلاثة ، ، مُمثَّلة على مخطط أرجاند.

1. أوجد صور النِّقاط ، ، باستخدام التحويل الذي يحول إلى .
2. بتمثيل هذه النِّقاط على مخطط أرجاند، أو غيره، قدِّمْ تفسيرًا هندسيًّا للتحويل.

الحل

الجزء الأول نبدأ بإيجاد قِيَم ، ، من خلال نِقاط تمثيلها على مخطط أرجاند. بما أن النقطة توجد عند النقطة ، إذن لا بد أن تكون . بالمثل، توجد النقطة عند النقطة ؛ ومِن ثَمَّ تكون ، وتوجد النقطة عند ؛ إذن تساوي . لإيجاد صور هذه النِّقاط باستخدام التحويل الذي ينقل إلى ، علينا ببساطة الضرب في ٢. :إذن

الجزء الثاني تمثيل هذه النِّقاط على مخطط أرجاند موضَّح بالأسفل.

من الناحية البصرية، يُمكِننا أن نرى أن كلَّ نقطة تتحوَّل إلى نقطة تبعُد أكثر عن نقطة الأصل. في الواقع، عند التفكير في الأعداد المُركَّبة باعتبارها متجهات، يُمكِننا أن نرى أن كلَّ متجه يتحوَّل إلى متجه آخَر في الاتجاه نفسه، وطوله يزداد إلى الضِّعف. بِناءً على ذلك، يُمثِّل التحويل تمدُّدًا بمُعامِل قياس اثنين، ومركزه عند نقطة الأصل.

مثال ٥: التفسير الهندسي للضرب في ت

الأعداد المُركَّبة الأربعة ، ، ، موضَّحة على مُخطَّط أرجاند.

1. أوجد صور النِّقاط ، ، ، طبقًا للتحويل الذي يُحوِّل إلى .
2. من خلال تمثيل هذه النِّقاط على مخطط أرجاند، أو بطريقة أخرى، اعطي تفسيرا هندسيا للتحويل.

الحل

الجزء الأول نبدأ بإيجاد قِيَم ، ، ، من خلال نِقاط تمثيلها على مخطط أرجاند، كما هو موضَّح في الجدول.

نضرب الآن كلَّ عدد مُركَّب في لإيجاد الصورة طبقًا للتحويل، كما هو موضَّح فيما يأتي:

الجزء الثاني باعتبار هذه الأعداد المُركَّبة متجهات على مخطط أرجاند، نُمثِّل كلَّ عدد مُركَّب بمتجهه. نرسم أيضًا سهمًا يُشِير إلى التحويل الذي حدث.

يُمكِن أن نرى أن صورة كلِّ نقطة تبعُد المسافة نفسها عن نقطة الأصل، لكنها تصنع زاوية مختلفة مع المحور الحقيقي. عندما ننظر إلى النِّقاط كلها معًا، نجد أنها قد حدث لها جميعًا دوران بالزاوية نفسها. بالتحديد، يُمثِّل هذا التحويل دورانًا بزاوية قياسها راديان عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حول نقطة الأصل.

مثال ٦: التفسير الهندسي لجذور العدد واحد

1. أوجد جميع حلول .
2. بتمثيل الحلول على مخطط أرجاند، أو غير ذلك، صِف الخواص الهندسية لحلول .

الحل

الجزء الأول إذا كان مرفوعًا للقوة السادسة، فمن المُتوقَّع أن يكون للمعادلة ستة جذور. بالفحص البسيط، يُمكِن أن نرى أن ١، جذران. لكن، لإيجاد كلِّ الجذور، علينا أن نُلقِيَ نظرة لمعرفة إذا ما كان بإمكاننا تحليل المعادلة إلى الصورة التي يُمكِننا التعامل معها. سنبدأ بإعادة كتابة المعادلة على الصورة:

عند هذه النقطة، يُمكِن أن نرى أن هذه بالفعل حالة خاصة للفرق بين مربعين ؛ حيث ، . مِنْ ثَمَّ، يُمكِننا إعادة كتابة المعادلة على الصورة:

يُمكِننا الآن النظر إلى كلِّ عامل على حدة. سنبدأ بالعامل الأول، فنجد أن هو أحد الحلول. إذن نتمكَّن من أن نكتب

بفك الطرف الأيمن، يُصبِح لدينا بتجميع الحدود المُتشابِهة في الطرف الأيمن، يُصبِح لدينا بمساواة المُعامِلات، يُمكِننا أن نُلاحِظ على الفَوْرِ أن ، . إضافةً إلى ذلك، ، ، وبالتعويض بقيمتَي ، ، نجد أن . إذن يكون لدينا يُمكِننا الآن إيجاد جذور المعادلة التربيعية . سنحُلُّ ذلك باستخدام القانون العام: بالتعويض بقيمة ، يُصبِح لدينا بالتبسيط، نحصل على: بالمثل، يُمكِننا النظر إلى العامل الثاني من المعادلة (١). مرة أخرى، بمُجرَّد النظر، يُمكِننا أن نرى أن هو أحد الحلول. مِنْ ثَمَّ، يُمكِننا إعادة الكتابة كالآتي: باستخدام الطريقة نفسها كما سبق، نجد أن ، ، . إذن يكون لدينا يُمكِننا الآن إيجاد جذرَي المعادلة التربيعية . باستخدام القانون العام؛ حيث ، ، يُصبِح لدينا بالتبسيط، نحصل على: خلاصة القول: لقد أوجدنا ستة حلول هي: الجزء الثاني بتمثيل هذه النِّقاط على شكل أرجاند، نجد أن كلَّ الحلول تقع على مسافات متساوية بعضها من بعضٍ على دائرة الوحدة التي مركزها عند نقطة الأصل.

هناك طريقة أخرى لوصف هذه الحلول، وهي أنها توجد عند رءوس سداسي أضلاع منتظم مرسوم داخل دائرة الوحدة التي مركزها عند نقطة الأصل، وأحد رؤوسه تقع عند .