شارح الدرس: مخطط أرجاند | نجوى شارح الدرس: مخطط أرجاند | نجوى

شارح الدرس: مخطط أرجاند الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحدِّد الأعداد المركَّبة الممثَّلة في مخطَّط أرجاند، ونتعرَّف على خواصها الهندسية.

أحد أكثر الأمور المثيرة عن الأعداد المُركَّبة أنها تُقدِّم تفسيرًا هندسيًّا لعمليات حسابية مألوفة. عند التعامل مع الأعداد الحقيقية البحتة، يُمكِننا تمثيلها على خط أعداد أحادي البُعد. التفكير بمِثْل هذه الطريقة يُعطِينا منظورًا إضافيًّا لخواصها. لكن بعد التعرُّف على 𞸕، يُمكِننا إضافة بُعْد ثانٍ، واعتبار الأعداد المُركَّبة نِقاطًا في مستوًى، ومِنْ ثَمَّ نجد أن تصوُّر الأعداد المُركَّبة بهذه الطريقة يُعطِينا رؤية إضافية لاستكشاف خواصها.

تعريف مخطط أرجاند

يُمكِن تمثيل الأعداد المُركَّبة هندسيًّا على مستوًى ثنائي الأبعاد به محوران مُتعامِدان يُمثِّلان الجزأين الحقيقي والتخيلي للعدد على الترتيب. العدد المُركَّب 𞸏=𞸎+𞸑𞸕 يُمثَّل بواسطة النقطة (𞸎،𞸑) بالإحداثيات الديكارتية. يُشار إلى هذا المستوى بالمستوى المُركَّب، أو مستوى أرجاند، أو مخطط أرجاند.

مثال ١: إحداثيات الأعداد المُركَّبة على مخطط أرجاند

إذا كان العدد 𞸏=٨+𞸕 يُمثل على مخطط أرجاند بالنقطة 󰏡، فأوجد الإحداثيين الكارتيزيين لهذه النقطة.

الحل

نعلم من تعريف مخطط أرجاند أن العدد المُركَّب 𞸏=󰏡+𞸁𞸕 يُمثَّل بواسطة نقطة لها الإحداثيين الكارتيزيين (󰏡،𞸁). إذن يُمثَّل 𞸏 بالتقطة النقطة 󰏡(٨،١).

مثال ٢: تمثيل الأعداد المُركَّبة على مخطط أرجاند

سبعة أعداد مُركَّبة 𞸏١، 𞸏٢، 𞸏٣، 𞸏٤، 𞸏٥، 𞸏٦، 𞸏٧ مُمثَّلة على مخطط أرجاند.

  1. أيُّ الأعداد المُركَّبة يساوي ٣+٢𞸕؟
  2. ما العدد المُركَّب المُمثَّل بواسطة 𞸏٤؟
  3. أيُّ الأعداد المُركَّبة مُكوَّن من جزء حقيقي وجزء تخيُّلي متساويين؟
  4. ما العددان المُركَّبان اللذان يُشكِّلان زوجًا مُترافِقًا؟ وما العلاقة الهندسية التي تربطهما؟

الحل

الجزء الأول طبقًا لتعريف مخطط أرجاند، يُمثَّل العدد المُركَّب ٣+٢𞸕 بواسطة النقطة (٣،٢). بقراءة هذه الإحداثيات على المستوى، نجد أن ٣+٢𞸕=𞸏٣.

الجزء الثاني نبدأ في قراءة إحداثيات 𞸏٤ من مخطط أرجاند، وهي (٤،١)، أو هي التي طبقًا للتعريف تُمثِّل العدد المُركَّب ٤𞸕. إذن 𞸏=٤𞸕٣.

الجزء الثالث العدد المُركَّب الذي يتساوى فيه الجزء الحقيقي والجزء التخيُّلي يقع على المستقيم 𞸎=𞸑. عند رسم هذا الخط على مخطط أرجاند، نجد أن عددًا واحدًا فقط من هذه الأعداد يقع على هذا الخط، وهو: 𞸏٥.

الجزء الرابع تذكَّر أن مُرافِق العدد المُركَّب لـ 𞸏=󰏡+𞸁𞸕 هو 𞸏=󰏡𞸁𞸕. إذن يُمكِننا رسم 𞸏 عند النقطة (󰏡،𞸁)، ويُمكِننا رسم 𞸏 عند النقطة (󰏡،𞸁). بِناءً على ذلك، تُمثِّل النقطتان اللتان تمثلان عددًا مُركَّبا ومُرافِقه تكون لهما قيمة 𞸎 نفسها، لكن قِيَم 𞸑 تكون مختلفة في الإشارة. بالنظر إلى الشكل المُعطَى، نرى أنه لا يوجد سوى أربع نِقاط لها الأحداثي 𞸎 نفسه، وهي: 𞸏٢، 𞸏٥، 𞸏١، 𞸏٦. بالنظر إلى 𞸏٢، 𞸏٥، نجد أن الإحداثي 𞸑 للعدد 𞸏٢ هو ٣، والإحداثي 𞸑 للعدد 𞸏٥ هو ٢. إذن هذان العددان ليسا عددين مُركَّبين مُترافِقين، ولكن إذا نظرنا إلى 𞸏١، 𞸏٦، نجد أن الإحداثي 𞸑 للعدد 𞸏١ هو ٣، والإحداثي 𞸑 للعدد 𞸏٦ هو ٣. إذن هما عددان مُركَّبان مُترافِقان. إضافةً إلى ذلك، يُمكِن أن نُلاحِظ أنه بما أنهما عددان مُركَّبان مُترافِقان؛ إذن النقطتان 𞸏١، 𞸏٦ إحداهما انعكاس للأخرى حول المحور الحقيقي (المحور 𞸎).

باستخدام مخطط أرجاند، يُمكِننا تفسير جمع الأعداد المُركَّبة هندسيًّا. بالنسبة إلى العددين المُركَّبين 𞸏=󰏡+𞸁𞸕١، 𞸏=𞸢+𞸃𞸕٢، يُمكِن التعبير عن مجموعهما على الصورة: 𞸏+𞸏=(󰏡+𞸢)+(𞸁+𞸃)𞸕١٢. إذا رسمنا هذين العددين على مخطط أرجاند، فسنرسم النِّقاط (󰏡،𞸁)، (𞸢،𞸃)، (󰏡+𞸢،𞸁+𞸃). توضِّح هذه النِّقاط إذا نظرنا إليها نوعًا من التكافؤ بين الأعداد المُركَّبة والمتجهات. هذا في الواقع صحيح؛ حيث إن إجراء العمليات على الأعداد المُركَّبة باعتبارها متجهات على مخطط أرجاند يكون مفيدًا بدرجة كبيرة، خاصة في عمليات الجمع والطرح؛ إذ يُمكِننا اعتبار أن العددين المُركَّبين 𞸏١، 𞸏٢ يُمثِّلان المتجهين ذوَي المركبتين (󰏡،𞸁)، (𞸢،𞸃)، على الترتيب. بهذه الطريقة، يُمكِن تفسير جمع الأعداد المُركَّبة بأنه جمع متجهات. على سبيل المثال، يُمكِن تمثيل جمع العددين المُركَّبين ١+٢𞸕، ٣+𞸕 باستخدام قاعدة متوازي الأضلاع كالآتي:

يُمكِننا أيضًا استخدام التفسيرات الهندسية لفَهْم التحويلات على المستوى المُركَّب، كما سيوضِّح المثال الآتي:

مثال ٣: تفسير الجمع هندسيًّا

وضِّح التحويل الهندسي الذي يحدث عند تحويل الأعداد في المستوى المُركَّب إلى جمعها مع ٣٢𞸕.

الحل

للإجابة عن هذا السؤال، من المفيد تفسير الأعداد المُركَّبة بأنها متجهات في مخطط أرجاند. بهذه الطريقة، يُمكِن تفسير جمع الأعداد المُركَّبة بأنه جمع متجهات؛ حيث يُمكِن اعتبار جمع المتجه 󰏡 والمتجه الآخَر 󰄮󰄮𞸁 انتقالًا للمتجه 󰏡 إلى طرف نهاية المتجه 󰄮󰄮𞸁 أو العكس. بِناءً على ذلك، يُمكِن فَهْم التحويل الذي ينقل 𞸏 إلى 𞸏+٣٢𞸕 على أنه انتقال للمستوى المُركَّب بواسطة المتجه (٣،٢).

يُمكِن أن يكون تفسير الأعداد المُركَّبة بأنها متجهات مفيدًا أيضًا في إعطاء تفسير هندسي لضرب عدد مُركَّب في عدد حقيقي، كما سيوضِّح المثال الآتي:

مثال ٤: التفسير الهندسي للضرب في عدد حقيقي

الأعداد المُركَّبة الثلاثة 𞸏١، 𞸏٢، 𞸏٣ مُمثَّلة على مخطط أرجاند.

  1. أوجد صور النِّقاط 𞸏١، 𞸏٢، 𞸏٣ باستخدام التحويل الذي يحول 𞸏 إلى ٢𞸏.
  2. بتمثيل هذه النِّقاط على مخطط أرجاند، أو غيره، قدِّمْ تفسيرًا هندسيًّا للتحويل.

الحل

الجزء الأول نبدأ بإيجاد قِيَم 𞸏١، 𞸏٢، 𞸏٣ من خلال نِقاط تمثيلها على مخطط أرجاند. بما أن النقطة 𞸏١ توجد عند النقطة (٢،٠)، إذن لا بد أن تكون 𞸏=٢١. بالمثل، توجد النقطة 𞸏٢ عند النقطة (٠،١)؛ ومِن ثَمَّ تكون 𞸏=𞸕٢، وتوجد النقطة 𞸏٣ عند (٣،٢)؛ إذن تساوي 𞸏=٣+٢𞸕٣. لإيجاد صور هذه النِّقاط باستخدام التحويل الذي ينقل 𞸏 إلى ٢𞸏، علينا ببساطة الضرب في ٢. :إذن 𞸏=٢×٢=٤،𞸏=٢×𞸕=٢𞸕،𞸏=٢×(٣+٢𞸕)=٦+٤𞸕.󰍱١󰍱٢󰍱٣

الجزء الثاني تمثيل هذه النِّقاط على مخطط أرجاند موضَّح بالأسفل.

من الناحية البصرية، يُمكِننا أن نرى أن كلَّ نقطة تتحوَّل إلى نقطة تبعُد أكثر عن نقطة الأصل. في الواقع، عند التفكير في الأعداد المُركَّبة باعتبارها متجهات، يُمكِننا أن نرى أن كلَّ متجه يتحوَّل إلى متجه آخَر في الاتجاه نفسه، وطوله يزداد إلى الضِّعف. بِناءً على ذلك، يُمثِّل التحويل تمدُّدًا بمُعامِل قياس اثنين، ومركزه عند نقطة الأصل.

إن تفسير الأعداد المُركَّبة بأنها متجهات على مخطط أرجاند يُمكِّننا من تفسير الضرب في عدد حقيقي 𞸢 بأنه تمدُّد بمُعامِل قياس 𞸢، ومركزه عند نقطة الأصل. ينطبق هذا التفسير أيضًا على الأعداد السالبة؛ حيث يكون لدينا تمدُّد بمُعامِل قياس سالب 𞸢. يُمكِن أيضًا تفسير التمدُّدات بمُعامِل قياس سالب بأنها دوران بزاوية قياسها 𝜋 راديان، يعقبه تمدُّد بمُعامِل قياس مقداره |𞸢|.

سننتقل الآن إلى التفسير الهندسي للضرب في عدد تخيُّلي.

مثال ٥: التفسير الهندسي للضرب في ت

الأعداد المُركَّبة الأربعة 𞸏١، 𞸏٢، 𞸏٣، 𞸏٤ موضَّحة على مُخطَّط أرجاند.

  1. أوجد صور النِّقاط 𞸏١، 𞸏٢، 𞸏٣، 𞸏٤ طبقًا للتحويل الذي يُحوِّل 𞸏 إلى 𞸕𞸏.
  2. من خلال تمثيل هذه النِّقاط على مخطط أرجاند، أو بطريقة أخرى، اعطي تفسيرا هندسيا للتحويل.

الحل

الجزء الأول نبدأ بإيجاد قِيَم 𞸏١، 𞸏٢، 𞸏٣، 𞸏٤ من خلال نِقاط تمثيلها على مخطط أرجاند، كما هو موضَّح في الجدول.

النقطةالقيمة
𞸏١(٣،٠)𞸏=٣١
𞸏٢(٢،٣)𞸏=٢+٣𞸕٢
𞸏٣(٢،١)𞸏=٢𞸕٣
𞸏٤(٠،١)𞸏=𞸕٤

نضرب الآن كلَّ عدد مُركَّب في 𞸕 لإيجاد الصورة طبقًا للتحويل، كما هو موضَّح فيما يأتي: 𞸏=𞸕×٣=٣𞸕،𞸏=𞸕×(٢+٣𞸕)=٢𞸕+٣𞸕=٣+٢𞸕،𞸏=𞸕×(٢𞸕)=٢𞸕𞸕=١٢𞸕،𞸏=𞸕×𞸕=𞸕=١.١󰍱٢󰍱٢٣󰍱٢٤󰍱٢

الجزء الثاني باعتبار هذه الأعداد المُركَّبة متجهات على مخطط أرجاند، نُمثِّل كلَّ عدد مُركَّب بمتجهه. نرسم أيضًا سهمًا يُشِير إلى التحويل الذي حدث.

يُمكِن أن نرى أن صورة كلِّ نقطة تبعُد المسافة نفسها عن نقطة الأصل، لكنها تصنع زاوية مختلفة مع المحور الحقيقي. عندما ننظر إلى النِّقاط كلها معًا، نجد أنها قد حدث لها جميعًا دوران بالزاوية نفسها. بالتحديد، يُمثِّل هذا التحويل دورانًا بزاوية قياسها 𝜋٢ راديان عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حول نقطة الأصل.

يوضِّح المثال السابق أن الضرب في 𞸕 يُمثِّل دورانًا عكس اتجاه دوران عقارب الساعة بزاوية قياسها 𝜋٢ راديان حول نقطة الأصل. بدمج ذلك مع التفسير الهندسي للضرب في عدد حقيقي، يُمكِننا تفسير الضرب في عدد تخيُّلي عام بأنه دوران يليه تمدُّد. باعتبار أن ١ هو حاصل ضرب 𞸕×𞸕، يُمكِننا التفكير في التحويل الذي يُمثِّل الضرب في ١ على أنه تحويل نحصل عليه من الضرب في 𞸕 مرتين. بِناءً على ذلك، يكون الضرب في ١ هو التحويل الذي نحصل عليه بالدوران عكس اتجاه دوران عقارب الساعة بزاوية قياسها 𝜋٢ مرتين؛ أي إنه الدوران بزاوية قياسها 𝜋 راديان. يُشبِه ذلك التفسير أن الضرب في ١ يُمثِّل تمدُّدًا بمُعامِل قياس ١.

لفَهْم الضرب والقسمة على أيِّ أعداد مُركَّبة افتراضية من الناحية الهندسية، علينا أولًا أن نفهم مقياس الأعداد المُركَّبة وسعتها.

نُنهِي هذا الشارح بالنظر إلى مثال أخير يوضِّح بعض الرُّؤى الهندسية المُثيرة للاهتمام التي يُمكِن اكتشافها عند النظر إلى الأعداد المُركَّبة على مخطط أرجاند.

مثال ٦: التفسير الهندسي لجذور العدد واحد

  1. أوجد جميع حلول 𞸏=١٦.
  2. بتمثيل الحلول على مخطط أرجاند، أو غير ذلك، صِف الخواص الهندسية لحلول 𞸏=١٦.

الحل

الجزء الأول إذا كان 𞸏 مرفوعًا للقوة السادسة، فمن المُتوقَّع أن يكون للمعادلة ستة جذور. بالفحص البسيط، يُمكِن أن نرى أن ١، ١ جذران. لكن، لإيجاد كلِّ الجذور، علينا أن نُلقِيَ نظرة لمعرفة إذا ما كان بإمكاننا تحليل المعادلة إلى الصورة التي يُمكِننا التعامل معها. سنبدأ بإعادة كتابة المعادلة على الصورة: 𞸏١=٠.٦

عند هذه النقطة، يُمكِن أن نرى أن هذه بالفعل حالة خاصة للفرق بين مربعين 󰏡𞸁=(󰏡𞸁)(󰏡+𞸁)٢٢؛ حيث 󰏡=𞸏٣، 𞸁=١. مِنْ ثَمَّ، يُمكِننا إعادة كتابة المعادلة على الصورة: 󰁓𞸏١󰁒󰁓𞸏+١󰁒=٠.٣٣

يُمكِننا الآن النظر إلى كلِّ عامل على حدة. سنبدأ بالعامل الأول، فنجد أن 𞸏=١ هو أحد الحلول. إذن نتمكَّن من أن نكتب 𞸏١=(𞸏١)󰁓󰏡𞸏+𞸁𞸏+𞸢󰁒.٣٢

بفك الطرف الأيمن، يُصبِح لدينا 𞸏١=󰏡𞸏+𞸁𞸏+𞸢𞸏󰏡𞸏𞸁𞸏𞸢.٣٣٢٢ بتجميع الحدود المُتشابِهة في الطرف الأيمن، يُصبِح لدينا 𞸏١=󰏡𞸏+(𞸁󰏡)𞸏+(𞸢𞸁)𞸏𞸢.٣٣٢ بمساواة المُعامِلات، يُمكِننا أن نُلاحِظ على الفَوْرِ أن 󰏡=١، 𞸢=١. إضافةً إلى ذلك، 𞸁󰏡=٠، 𞸢𞸁=٠، وبالتعويض بقيمتَي 󰏡، 𞸢، نجد أن 𞸁=١. إذن يكون لدينا ٠=𞸏١=(𞸏١)󰁓𞸏+𞸏+١󰁒.٣٢ يُمكِننا الآن إيجاد جذور المعادلة التربيعية 𞸏+𞸏+١٢. سنحُلُّ ذلك باستخدام القانون العام: 𞸏=𞸁±󰋴𞸁٤󰏡𞸢٢󰏡.٢ بالتعويض بقيمة 󰏡=𞸁=𞸢=١، يُصبِح لدينا 𞸏=١±󰋴١٤٢.٢ بالتبسيط، نحصل على: 𞸏=١٢±󰋴٣٢𞸕. بالمثل، يُمكِننا النظر إلى العامل الثاني 󰁓𞸏+١󰁒٣ من المعادلة (١). مرة أخرى، بمُجرَّد النظر، يُمكِننا أن نرى أن 𞸏=١ هو أحد الحلول. مِنْ ثَمَّ، يُمكِننا إعادة الكتابة كالآتي: 𞸏+١=(𞸏+١)󰁓󰏡𞸏+𞸁𞸏+𞸢󰁒.٣٢ باستخدام الطريقة نفسها كما سبق، نجد أن 󰏡=١، 𞸁=١، 𞸢=١. إذن يكون لدينا ٠=𞸏+١=(𞸏+١)󰁓𞸏𞸏+١󰁒.٣٢ يُمكِننا الآن إيجاد جذرَي المعادلة التربيعية 𞸏𞸏+١٢. باستخدام القانون العام؛ حيث 󰏡=𞸢=١، 𞸁=١، يُصبِح لدينا 𞸏=(١)±󰋴(١)٤٢.٢ بالتبسيط، نحصل على: 𞸏=١٢±󰋴٣٢𞸕. خلاصة القول: لقد أوجدنا ستة حلول هي: 𞸏=١،١،١٢+󰋴٣٢𞸕،١٢󰋴٣٢𞸕،١٢+󰋴٣٢𞸕،١٢󰋴٣٢𞸕.الجزء الثاني بتمثيل هذه النِّقاط على شكل أرجاند، نجد أن كلَّ الحلول تقع على مسافات متساوية بعضها من بعضٍ على دائرة الوحدة التي مركزها عند نقطة الأصل.

هناك طريقة أخرى لوصف هذه الحلول، وهي أنها توجد عند رءوس سداسي أضلاع منتظم مرسوم داخل دائرة الوحدة التي مركزها عند نقطة الأصل، وأحد رؤوسه تقع عند 𞸏=١.

النِّقاط الرئيسية

  • الأعداد المُركَّبة يُمكِن تفسيرها بأنها نِقاط أو متجهات على مخطط أرجاند.
  • يُمكِن تفسير الكثير من العمليات على الأعداد المُركَّبة هندسيًّا.

العمليةالتفسير الهندسي
جمع 𞸏=󰏡+𞸁𞸕انتقال بواسطة المتجه (󰏡،𞸁)
المُرافِقانعكاس حول المحور الحقيقي
الضرب في عدد حقيقي 𞸢تمدُّدٌ مركزه نقطة الأصل ومعامل قياسه 𞸢
الضرب في 𞸕دوران عكس اتجاه دوران عقارب الساعة بزاوية قياسها 𝜋٢ راديان مركزه نقطة الأصل

حمِّل تطبيق «نجوى كلاسيز»

احضر حصصك، ودردش مع معلمك وزملائك، واطَّلِع على أسئلة متعلقة بفصلك. حمِّل تطبيق «نجوى كلاسيز» اليوم!

التحميل على الكمبيوتر

Windows macOS Intel macOS Apple Silicon

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية