شارح الدرس: خواص التكامل المحدَّد الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم خواص التكامل المحدد؛ مثل ترتيب حدود التكامل، وحدود التكامل التي لها القيمة نفسها، والمجموع، والفرق.

تتعلَّق التكاملات المحددة بمجموع كمية محددة، وترتبط ارتباطًا وثيقًا بالمشتقات العكسية. فالتكامل المحدد يوفر لنا أداة مفيدة تساعدنا في فهم ظواهر الحياة الواقعية وتمثيلها، ويظهر في العديد من المجالات بدءًا من الرياضيات البحتة، وله تطبيقات هندسية؛ مثل مساحة السطح والحجم، وصولًا إلى الفيزياء عند إيجاد كتلة الجسم أو الشغل المبذول أو الضغط الذي يؤثِّر على الجسم، وذلك كله على سبيل المثال لا الحصر.

التكامل المحدد للدالة من إلى يمكن تفسيره بأنه المساحة المحددة أسفل منحنى الدالة من إلى ؛ ويوضِّح الشكل الآتي تمثيلًا لهذا التكامل.

حسنًا، كيف يمكن تعريف التكامل المحدد؟ قبل أن نتناول التعريف الدقيق، نلاحظ هنا أنه يمكننا تقدير المساحة المحددة أسفل منحنى دالة ما ، والمحصورة بين ، ؛ وذلك بالقيام أولًا بتقسيم الفترة إلى عدد من الفترات الجزئية المتساوية العرض، ؛ حيث ، كما هو موضَّح في الشكل.

هذا يعطينا عدد من المستطيلات المتساوية العرض، ؛ حيث يُعطى ارتفاع كل مستطيل بقيمة الدالة عند كل نقطة، ، من نقطة الطرف الأيمن لكل فترة جزئية. وتكون مساحة كل مستطيل هي حاصل ضرب هذا الارتفاع في العرض؛ أي . يمكننا تقدير المساحة أسفل منحنى الدالة بجمع مساحات المستطيلات على هذه الصورة:

هذا يُعرَف أيضًا باسم «مجموع ريمان الأيمن». وكلما زاد عدد المستطيلات ، قل العرض ، ويقترب هذا التقدير من المساحة الحقيقية أسفل المنحنى. وفي الحقيقة، يُعرَّف التكامل المحدد، الذي يعطينا المساحة الفعلية أسفل المنحنى، بحساب نهاية هذا المجموع عند اقتراب عدد المستطيلات من ما لا نهاية.

لا يهم هنا أيُّ نقطة في الفترة الجزئية سنختارها. وذلك لأن الفرق أو العرض بين المجاميع هو ، وكذلك الفرق بين أيِّ نقطتين في الفترة. ويرجع السبب وراء ذلك إلى أن اختيار يكون عشوائيًّا، وهو ما يؤدِّي إلى الحصول على مجاميع ريمان مختلفة تقترب من القيمة نفسها. وعلى وجه التحديد، تُعطى الخيارات الشائعة وفقًا للآتي:

• إذا كان ؛ أي يتم إيجاد قيمة الدالة عند نقطة الطرف الأيمن لكل فترة جزئية، فسيكون لدينا مجموع ريمان الأيمن. والتكامل المحدد بدلالة هذا المجموع هو: هذا هو الخيار الذي يستخدمه أغلبنا عند إيجاد مجموع ريمان أو تكامل محدد، وذلك للتبسيط، وهو يتوافق مع المثال السابق؛ حيث يتم تقدير المساحة أسفل المنحنى باستخدام عدد من المستطيلات المتساوية العرض، وكذلك باستخدام الشكل التوضيحي والنهاية؛ حيث .
• إذا كان ؛ أي يتم إيجاد قيمة الدالة عند نقطة الطرف الأيسر لكل فترة جزئية، فسيكون لدينا مجموع ريمان الأيسر.
• إذا كان ؛ أي يتم إيجاد قيمة الدالة عند نقطة المنتصف لكل فترة جزئية، فسيكون لدينا مجموع ريمان باستخدام نقاط المنتصف.

دائمًا ما يساعد التكامل المحدد في إيجاد مساحة المنطقة المحددة أسفل المنحنى؛ فمساحة المنطقة فوق المحور ، التي تُعطى بالتكامل المحدد، تكون دائمًا موجبة، أما مساحة المنطقة أسفل المحور ، فتكون دائمًا سالبة، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

إذا كانت هناك بعض أجزاء من المنحنى تقع أسفل المحور ، وأخرى تقع أعلى المنحنى في الفترة ، فسيكون التكامل المحدد هو المساحة أعلى المحور ناقص المساحة أسفل المحور خلال الفترة .

عمليًّا، عادةً ما يتم إيجاد قيمة التكامل المحدد باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل عن طريق حساب المشتقة العكسية للدالة التي سيتم تكاملها وإيجاد الفرق عند حَدَّي التكامل.

يوضِّح الجزء الأول من النظرية أنه دائمًا ما تكون هناك مشتقات عكسية لـ عندما تكون الدالة متصلة، لكن الجزء الثاني من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل أشمل؛ لأنه لا يفترض أن دالة متصلة.

تحقِّق التكاملات المحددة أيضًا بعض الخواص المشابهة لخواص التكاملات غير المحددة والمشتقات والنهايات. دعونا نسترجع هذه الخواص؛ لأننا سنركِّز عليها في هذا الشارح.

الخاصية الثانية تتوافق مع التكامل المحدد للدالة الثابتة بين ، ، كما هو موضَّح في الشكل.

التكامل المحدد يجعل مساحة المنطقة المحددة أسفل المنحنى مساوية لمساحة المستطيل ذي البعدين ، ، وتكون لهذه المساحة إشارة.

يمكن توضيح الخواص الأخرى للتكامل المحدد من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل مباشرةً؛ فباستخدام الخاصية السابعة على سبيل المثال، يمكننا تقسيم التكامل وتطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل للحصول على:

هذه خاصية بديهية؛ وذلك لأن مساحة كل جزء من الأجزاء تُضاف ضمن المساحة الكلية على الفترة . يمكن توضيح ذلك على النحو الآتي.

إذا كانت لدينا دالة سيتم تكاملها على الفترة ، فبإمكاننا استخدام هذه الخواص لمساعدتنا في إيجاد قيمة التكامل بتبسيطه، ويتبع ذلك عادةً تطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.

هيا الآن نُوجِد قيمة التكامل المحدد لـ من إلى ، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

الدالة دالة فردية؛ لأنها تحقِّق شرط أن تكون . وبناءً على ذلك، فإنه باستخدام الخاصية رقم ١٢ للتكامل المحدد للدوال الفردية، يصبح لدينا:

ويمكن معرفة ذلك من التمثيل البياني؛ فناتج تكامل الجزء الأيمن من المحور؛ حيث ، يحذف تمامًا ناتج تكامل الجزء الأيسر؛ حيث ؛ وذلك لأن الأخير الموجود أسفل المحور يعطينا قيمة سالبة.

نفترض هنا أننا نريد إيجاد التكامل المحدد لـ من إلى ، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

إذا كان لدينا التكامل: الذي يمكننا إيجاده باستخدام التكامل بالتجزيء مرتين، فسيكون بإمكاننا إيجاد قيمة التكامل على الفترة باستخدام حقيقة أن الدالة دالة زوجية؛ لأنها تحقِّق شرط أن تكون . ومن ثَمَّ، نجد أنه باستخدام الخاصية رقم ١٢ للتكامل المحدد للدوال الزوجية، يصبح لدينا:

يمكن أيضًا معرفة ذلك من خلال التمثيل البياني؛ فناتج تكامل الجزء الأيمن من المحور؛ حيث ، يساوي ناتج تكامل الجزء الأيسر؛ حيث .

والآن، هيا نلقِ نظرة على بعض الأمثلة لنتدرَّب ونعمِّق فهمنا لخواص التكاملات المحددة.

في المثال الأول، نُوجِد قيمة تكامل محدد باستخدام خاصية عكس حَدَّي التكامل وإخراج الثابت عاملًا مشتركًا.

هيا الآن نلقِ نظرة على مثال نُوجِد فيه قيمة التكامل المحدد باستخدام خاصية جمع تكاملَي دالتين وخاصية تكامل ثابت على الفترة نفسها.

في المثال التالي، نُوجِد قيمة تكامل محدد باستخدام خاصية جمع تكاملَيْن محددَيْن وخاصية إخراج الثابت عاملًا مشتركًا.

نلقي نظرة الآن على مثال نُوجِد فيه حَدَّي التكامل؛ حيث تقع قيم الدالة التي سيتم تكاملها في فترة محددة.

في المثال التالي، نُوجِد قيمة التكامل المحدد باستخدام خاصية تقسيم التكامل على فترتين متجاورتين.

نلقي نظرة الآن على مثال نستخدم فيه خاصية تقسيم تكامل على فترات متجاورة للتعبير عن مجموع ثلاثة تكاملات محددة في صورة تكامل واحد. نستخدم أيضًا خاصية عكس حَدَّي التكامل.

في المثال التالي، نستخدم خاصية التكامل المحدد للدوال الزوجية على الفترة لإيجاد قيمة التكامل من قيمة محددة.

نلقي نظرة الآن على مثال نستخدم فيه خاصية التكامل المحدد للدوال الفردية على الفترة لإيجاد قيمة التكامل من قيمة محددة. سوف نستخدم أيضًا خاصية تقسيم التكامل على فترتين متجاورتين.

في المثال التالي، نستخدم خاصية التكامل المحدد للدوال الزوجية على الفترة لإيجاد قيمة التكامل من قيم محددة. نستخدم أيضًا خاصيَّتَي عكس حَدَّي التكامل وتقسيم التكامل على فترتين متجاورتين.

نلقي نظرة الآن على مثال نستخدم فيه خاصية التكامل المحدد للدوال الفردية على الفترة لإيجاد قيمة التكامل.

مثال ١٠: استخدام خاصية التكامل المحدد لدالة فردية لإيجاد قيمة تكامل

أوجد .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد قيمة التكامل المحدد لدالة فردية، كما هو موضَّح في التمثيل البياني، وذلك باستخدام خاصية التكامل للدوال الفردية على الفترة .

هيا أولًا نثبت أن الدالة التي سيتم تكاملها هي دالة فردية. باستخدام ، نجد أن:

خاصية التكامل المحدد التي سنستخدمها للدوال الفردية هي:

عند تطبيق هذه الخاصية، يمكننا إيجاد قيمة التكامل المُعطى كالآتي:

في المثال الأخير، سنستخدم خاصية التكامل المحدد للدوال الزوجية على الفترة والنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل لإيجاد قيمة التكامل المحدد.

مثال ١١: إيجاد قيمة التكامل المحدد لدالة أسية

أوجد قيمة .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد قيمة التكامل المحدد لدالة زوجية، كما هو موضَّح في التمثيل البياني، وذلك باستخدام خاصية التكامل للدوال الزوجية على الفترة .

هيا أولًا نثبت أن الدالة التي سيتم تكاملها هي بالفعل دالة زوجية. باستخدام خاصية الدوال الزوجية ، نجد أن:

خاصية التكامل المحدد التي سنستخدمها للدوال الزوجية هي:

عند تطبيق هذه الخاصية على التكامل المُعطى، يصبح لدينا:

نبدأ بإيجاد المشتقة العكسية لـ من تكامله غير المحدد:

وبالنسبة إلى التكامل المحدد، يمكننا تطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل التي توضِّح أنه إذا كانت دالة متصلة على الفترة ، ، فإن:

نلاحظ هنا أنه يمكننا تجاهل ثابت التكامل للمشتقة العكسية ؛ وذلك لأنه حُذِف في الفرق .

من الواضح أن الدالة التي سيتم تكاملها هي دالة متصلة ومعرَّفة لجميع القيم؛ حيث . وبناءً على ذلك، فإنه بإيجاد قيمة المشتقة العكسية عند الحدود وإيجاد الفرق بينها، نحصل على: