تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: خواص التكامل المحدَّد الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم خواص التكامل المحدد؛ مثل ترتيب حدود التكامل، وحدود التكامل التي لها القيمة نفسها، والمجموع، والفرق.

تتعلَّق التكاملات المحددة بمجموع كمية محددة، وترتبط ارتباطًا وثيقًا بالمشتقات العكسية. فالتكامل المحدد يوفر لنا أداة مفيدة تساعدنا في فهم ظواهر الحياة الواقعية وتمثيلها، ويظهر في العديد من المجالات بدءًا من الرياضيات البحتة، وله تطبيقات هندسية؛ مثل مساحة السطح والحجم، وصولًا إلى الفيزياء عند إيجاد كتلة الجسم أو الشغل المبذول أو الضغط الذي يؤثِّر على الجسم، وذلك كله على سبيل المثال لا الحصر.

التكامل المحدد للدالة 󰎨(𞸎) من 𞸎=󰏡 إلى 𞸎=𞸁 يمكن تفسيره بأنه المساحة المحددة أسفل منحنى الدالة 󰎨(𞸎) من 𞸎=󰏡 إلى 𞸎=𞸁؛ ويوضِّح الشكل الآتي تمثيلًا لهذا التكامل.

حسنًا، كيف يمكن تعريف التكامل المحدد؟ قبل أن نتناول التعريف الدقيق، نلاحظ هنا أنه يمكننا تقدير المساحة المحددة أسفل منحنى دالة ما 𞸑=󰎨(𞸎)، والمحصورة بين 𞸎=󰏡، 𞸎=𞸁؛ وذلك بالقيام أولًا بتقسيم الفترة [󰏡،𞸁] إلى عدد 𞸍 من الفترات الجزئية المتساوية العرض، 󰁖𞸎،𞸎󰁕𞸋١𞸋؛ حيث 𞸋=١،،𞸍، كما هو موضَّح في الشكل.

هذا يعطينا عدد 𞸍 من المستطيلات المتساوية العرض، Δ𞸎؛ حيث يُعطى ارتفاع كل مستطيل بقيمة الدالة عند كل نقطة، 󰎨󰁓𞸎󰁒𞸋، من نقطة الطرف الأيمن لكل فترة جزئية. وتكون مساحة كل مستطيل هي حاصل ضرب هذا الارتفاع في العرض؛ أي 󰎨󰁓𞸎󰁒Δ𞸎𞸋. يمكننا تقدير المساحة أسفل منحنى الدالة 󰎨(𞸎) بجمع مساحات المستطيلات على هذه الصورة: ا󰎨󰁓𞸎󰁒Δ𞸎++󰎨󰁓𞸎󰁒Δ𞸎=󰌇󰎨󰁓𞸎󰁒Δ𞸎.١𞸍𞸍𞸋=١𞸋

هذا يُعرَف أيضًا باسم «مجموع ريمان الأيمن». وكلما زاد عدد المستطيلات 𞸍، قل العرض Δ𞸎، ويقترب هذا التقدير من المساحة الحقيقية أسفل المنحنى. وفي الحقيقة، يُعرَّف التكامل المحدد، الذي يعطينا المساحة الفعلية أسفل المنحنى، بحساب نهاية هذا المجموع عند اقتراب عدد المستطيلات من ما لا نهاية.

تعريف: التكامل المحدد

إذا كانت 󰎨 دالة متصلة ومعرَّفة على الفترة [󰏡،𞸁]، يمكننا تقسيم الفترة إلى عدد 𞸍 من الفترات الجزئية 󰁖𞸎،𞸎󰁕𞸋١𞸋 المتساوية العرض، Δ𞸎، واختيار نقاط 𞸎󰁖𞸎،𞸎󰁕𞸋𞸋١𞸋. ويُعرَّف التكامل المحدد من 𞸎=󰏡 إلى 𞸎=𞸁 بدلالة مجموع ريمان كالآتي: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰌇󰎨󰁓𞸎󰁒Δ𞸎،𞸁󰏡𞸍𞸍𞸋=١𞸋ـــــ حيث: 𞸎=󰏡+𞸋Δ𞸎،Δ𞸎=𞸁󰏡𞸍=𞸎𞸎𞸋𞸋𞸋١ وذلك بشرط أن تكون النهاية موجودة وتُعطي القيمة نفسها لجميع نقاط 𞸎󰁖𞸎،𞸎󰁕𞸋𞸋١𞸋.

لا يهم هنا أيُّ نقطة 𞸎𞸋 في الفترة الجزئية 󰁖𞸎،𞸎󰁕𞸋١𞸋 سنختارها. وذلك لأن الفرق أو العرض بين المجاميع هو Δ𞸎٠، وكذلك الفرق بين أيِّ نقطتين في الفترة. ويرجع السبب وراء ذلك إلى أن اختيار 𞸎𞸋 يكون عشوائيًّا، وهو ما يؤدِّي إلى الحصول على مجاميع ريمان مختلفة تقترب من القيمة نفسها. وعلى وجه التحديد، تُعطى الخيارات الشائعة وفقًا للآتي:

  • إذا كان 𞸎=𞸎𞸋𞸋؛ أي يتم إيجاد قيمة الدالة 󰎨 عند نقطة الطرف الأيمن لكل فترة جزئية، فسيكون لدينا مجموع ريمان الأيمن. والتكامل المحدد بدلالة هذا المجموع هو: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰌇󰎨󰁓𞸎󰁒Δ𞸎.𞸁󰏡𞸍𞸍𞸋=١𞸋ـــــ هذا هو الخيار الذي يستخدمه أغلبنا عند إيجاد مجموع ريمان أو تكامل محدد، وذلك للتبسيط، وهو يتوافق مع المثال السابق؛ حيث يتم تقدير المساحة أسفل المنحنى باستخدام عدد 𞸍 من المستطيلات المتساوية العرض، وكذلك باستخدام الشكل التوضيحي والنهاية؛ حيث 𞸍.
  • إذا كان 𞸎=𞸎𞸋𞸋١؛ أي يتم إيجاد قيمة الدالة 󰎨 عند نقطة الطرف الأيسر لكل فترة جزئية، فسيكون لدينا مجموع ريمان الأيسر.
  • إذا كان 𞸎=󰁓𞸎+𞸎󰁒٢𞸋𞸋𞸋١؛ أي يتم إيجاد قيمة الدالة 󰎨 عند نقطة المنتصف لكل فترة جزئية، فسيكون لدينا مجموع ريمان باستخدام نقاط المنتصف.

دائمًا ما يساعد التكامل المحدد في إيجاد مساحة المنطقة المحددة أسفل المنحنى؛ فمساحة المنطقة فوق المحور 𞸎، التي تُعطى بالتكامل المحدد، تكون دائمًا موجبة، أما مساحة المنطقة أسفل المحور 𞸎، فتكون دائمًا سالبة، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

إذا كانت هناك بعض أجزاء من المنحنى تقع أسفل المحور 𞸎، وأخرى تقع أعلى المنحنى في الفترة [󰏡،𞸁]، فسيكون التكامل المحدد هو المساحة أعلى المحور 𞸎 ناقص المساحة أسفل المحور 𞸎 خلال الفترة [󰏡،𞸁].

عمليًّا، عادةً ما يتم إيجاد قيمة التكامل المحدد باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل عن طريق حساب المشتقة العكسية للدالة التي سيتم تكاملها وإيجاد الفرق عند حَدَّي التكامل.

الجزء الثاني من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل (مسلَّمة نيوتن وليبنتز)

نفترض أن 󰎨 دالة ذات قيم حقيقية على الفترة المغلقة [󰏡،𞸁]، وأن 𞸕 مشتقة عكسية لـ 󰎨 في [󰏡،𞸁]: 𞸕(𞸎)=󰎨(𞸎).

إذا كانت 󰎨 قابلة للتكامل بجموع ريمان على الفترة [󰏡،𞸁]، فإن: 󰏅󰎨(𞸏)𞸃𞸏=[𞸕(𞸏)]=𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).𞸁󰏡𞸁󰏡

يوضِّح الجزء الأول من النظرية أنه دائمًا ما تكون هناك مشتقات عكسية لـ 󰎨 عندما تكون الدالة 󰎨 متصلة، لكن الجزء الثاني من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل أشمل؛ لأنه لا يفترض أن 󰎨 دالة متصلة.

تحقِّق التكاملات المحددة أيضًا بعض الخواص المشابهة لخواص التكاملات غير المحددة والمشتقات والنهايات. دعونا نسترجع هذه الخواص؛ لأننا سنركِّز عليها في هذا الشارح.

خواص التكامل المحدد

  1. يُعرَف المتغيِّر 𞸎 الذي يظهر في التكامل المحدد بأنه «المتغيِّر الوهمي»، ويمكننا استبدال آخر به لنحصل على النتيجة نفسها: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸏)𞸃𞸏.𞸁󰏡𞸁󰏡
  2. التكامل المحدد لأيِّ ثابت 𞸢𞹇 يتناسب مع عرض الفترة: 󰏅𞸢𞸃𞸎=𞸢(𞸁󰏡).𞸁󰏡
  3. حدود التكامل التي لها القيمة نفسها عند 𞸁=󰏡 تعني أن: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=٠.󰏡󰏡
  4. يمكننا تبديل حدود أيِّ تكامل محدد باستخدام العلاقة: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎.𞸁󰏡󰏡𞸁
  5. يمكننا تقسيم التكامل المحدد باستخدام المجموع أو الفرق: 󰏅(󰎨(𞸎)±𞸓(𞸎))𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎±󰏅𞸓(𞸎)𞸃𞸎.𞸁󰏡𞸁󰏡𞸁󰏡
  6. يمكننا إخراج الثابت 𞸢𞹇 عاملًا مشتركًا في التكامل المحدد: 󰏅𞸢󰎨(𞸎)𞸃𞸎=𞸢󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎.𞸁󰏡𞸁󰏡
  7. يمكننا أيضًا تقسيم التكامل ذي الحدين [󰏡،𞸁] لإحدى قيم 𞸢𞹇 على فترتين متجاورتين [󰏡،𞸢]، [𞸢،𞸁]: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎+󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎.𞸁󰏡𞸢󰏡𞸁𞸢
  8. إذا كانت 󰎨(𞸎)٠، فإن: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎٠.𞸁󰏡
  9. إذا كانت 󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)، فإن: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎󰏅𞸓(𞸎)𞸃𞸎.𞸁󰏡𞸁󰏡
  10. تُوجَد أيضًا خاصية المحدودية للتكامل؛ وتوضِّح أنه إذا كان 𞸌󰎨(𞸎)𞸍، فإن: 𞸌(𞸁󰏡)󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎𞸍(𞸁󰏡).𞸁󰏡
  11. تُعطى خاصية المقياس بالعلاقة: 󰍾󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎󰍾󰏅|󰎨(𞸎)|𞸃𞸎.𞸁󰏡𞸁󰏡
  12. هناك خاصيتان للدوال الزوجية والفردية عند التكامل على الفترة [󰏡،󰏡].
    بالنسبة إلى الدوال الزوجية 󰎨(𞸎)=󰎨(𞸎)، لدينا: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=٢󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎.󰏡󰏡󰏡٠ أما بالنسبة إلى الدوال الفردية 󰎨(𞸎)=󰎨(𞸎)، فلدينا: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=٠.󰏡󰏡

الخاصية الثانية تتوافق مع التكامل المحدد للدالة الثابتة 󰎨(𞸎)=𞸢 بين 𞸎=󰏡، 𞸎=𞸁، كما هو موضَّح في الشكل.

التكامل المحدد يجعل مساحة المنطقة المحددة أسفل المنحنى مساوية لمساحة المستطيل ذي البعدين |𞸢|، |𞸁󰏡|، وتكون لهذه المساحة إشارة.

يمكن توضيح الخواص الأخرى للتكامل المحدد من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل مباشرةً؛ فباستخدام الخاصية السابعة على سبيل المثال، يمكننا تقسيم التكامل وتطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل للحصول على: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎+󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=(𞸕(𞸢)𞸕(󰏡))+(𞸕(𞸁)𞸕(𞸢))=𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).𞸁󰏡𞸢󰏡𞸁𞸢

هذه خاصية بديهية؛ وذلك لأن مساحة كل جزء من الأجزاء تُضاف ضمن المساحة الكلية على الفترة [󰏡،𞸁]. يمكن توضيح ذلك على النحو الآتي.

إذا كانت لدينا دالة سيتم تكاملها على الفترة [󰏡،𞸁]، فبإمكاننا استخدام هذه الخواص لمساعدتنا في إيجاد قيمة التكامل بتبسيطه، ويتبع ذلك عادةً تطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.

هيا الآن نُوجِد قيمة التكامل المحدد لـ 󰎨(𞸎)=𞸎٥+𞸎٣٢ من 𞸎=٧ إلى 𞸎=٧، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

الدالة 󰎨 دالة فردية؛ لأنها تحقِّق شرط أن تكون 󰎨(𞸎)=󰎨(𞸎). وبناءً على ذلك، فإنه باستخدام الخاصية رقم ١٢ للتكامل المحدد للدوال الفردية، يصبح لدينا: 󰏅𞸎٥+𞸎𞸃𞸎=٠.٧٧٣٢

ويمكن معرفة ذلك من التمثيل البياني؛ فناتج تكامل الجزء الأيمن من المحور؛ حيث (𞸎>٠)، يحذف تمامًا ناتج تكامل الجزء الأيسر؛ حيث (𞸎<٠)؛ وذلك لأن الأخير الموجود أسفل المحور 𞸎 يعطينا قيمة سالبة.

نفترض هنا أننا نريد إيجاد التكامل المحدد لـ 󰎨(𞸎)=𞸎𞸎٢ من 𞸎=𝜋 إلى 𞸎=𝜋، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

إذا كان لدينا التكامل: 󰏅𞸎𞸎𞸃𞸎=٢𝜋،𝜋٠٢ الذي يمكننا إيجاده باستخدام التكامل بالتجزيء مرتين، فسيكون بإمكاننا إيجاد قيمة التكامل على الفترة [𝜋،𝜋] باستخدام حقيقة أن الدالة 󰎨 دالة زوجية؛ لأنها تحقِّق شرط أن تكون 󰎨(𞸎)=󰎨(𞸎). ومن ثَمَّ، نجد أنه باستخدام الخاصية رقم ١٢ للتكامل المحدد للدوال الزوجية، يصبح لدينا: 󰏅𞸎𞸎𞸃𞸎=٢󰏅𞸎𞸎𞸃𞸎=٤𝜋.𝜋𝜋٢𝜋٠٢

يمكن أيضًا معرفة ذلك من خلال التمثيل البياني؛ فناتج تكامل الجزء الأيمن من المحور؛ حيث (𞸎>٠)، يساوي ناتج تكامل الجزء الأيسر؛ حيث (𞸎<٠).

والآن، هيا نلقِ نظرة على بعض الأمثلة لنتدرَّب ونعمِّق فهمنا لخواص التكاملات المحددة.

في المثال الأول، نُوجِد قيمة تكامل محدد باستخدام خاصية عكس حَدَّي التكامل وإخراج الثابت عاملًا مشتركًا.

مثال ١: إيجاد قيمة تكامل محدد باستخدام خاصية عكس حَدَّي التكامل

إذا كان 󰏅𞸓(𞸎)𞸃𞸎=٠١٨٧، فأوجد قيمة 󰏅٧𞸓(𞸎)𞸃𞸎٧٨.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد قيمة تكامل محدد باستخدام خاصية عكس حَدَّي التكامل وخاصية إخراج الثابت عاملًا مشتركًا.

خاصيتا التكامل المحدد اللتان سنستخدمهما هما: 󰏅𞸢󰎨(𞸎)𞸃𞸎=𞸢󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎،𞸢𞹇،󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎.𞸁󰏡𞸁󰏡𞸁󰏡󰏡𞸁

عند تطبيق هاتين الخاصيتين، يمكننا تحديد قيمة التكامل المُعطى كالآتي: 󰏅٧𞸓(𞸎)𞸃𞸎=٧󰏅𞸓(𞸎)𞸃𞸎=٧󰏅𞸓(𞸎)𞸃𞸎=٧×٠١=٠٧.٧٨٧٨٨٧

هيا الآن نلقِ نظرة على مثال نُوجِد فيه قيمة التكامل المحدد باستخدام خاصية جمع تكاملَي دالتين وخاصية تكامل ثابت على الفترة نفسها.

مثال ٢: إيجاد قيمة تكامل محدد باستخدام خاصية جمع تكاملَي دالتين على الفترة نفسها

الدالة 󰎨 متصلة على الفترة [٤،٤] وتحقِّق 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=٩٤٠. حدِّد 󰏅[󰎨(𞸎)٦]𞸃𞸎٤٠.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد قيمة تكامل محدد باستخدام خاصية جمع تكاملَي دالتين وخاصية تكامل ثابت على الفترة نفسها.

خاصيتا التكامل المحدد اللتان سنستخدمهما هما: 󰏅[󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)]𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎󰏅𞸓(𞸎)𞸃𞸎،󰏅𞸢𞸃𞸎=𞸢(𞸁󰏡)،𞸢𞹇.𞸁󰏡𞸁󰏡𞸁󰏡𞸁󰏡

عند تطبيق هاتين الخاصيتين، يمكننا تحديد قيمة التكامل المُعطى كالآتي: 󰏅[󰎨(𞸎)٦]𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎󰏅٦𞸃𞸎=٩٦(٤٠)=٥١.٤٠٤٠٤٠

في المثال التالي، نُوجِد قيمة تكامل محدد باستخدام خاصية جمع تكاملَيْن محددَيْن وخاصية إخراج الثابت عاملًا مشتركًا.

مثال ٣: إيجاد قيمة تكامل محدد باستخدام خاصية جمع تكاملَيْن محددَيْن على الفترة نفسها

إذا كان 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=٢٨٥٤، 󰏅𞸓(𞸎)𞸃𞸎=٤٧٥٤، فأوجد 󰏅[٢󰎨(𞸎)٤𞸓(𞸎)]𞸃𞸎٥٤.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد قيمة تكامل محدد باستخدام خاصية جمع تكاملَي دالتَيْن وخاصية إخراج الثابت عاملًا مشتركًا.

خاصيتا التكامل المحدد اللتان سنستخدمهما هما: 󰏅[󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)]𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎󰏅𞸓(𞸎)𞸃𞸎،󰏅𞸢󰎨(𞸎)𞸃𞸎=𞸢󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎،𞸢𞹇.𞸁󰏡𞸁󰏡𞸁󰏡𞸁󰏡𞸁󰏡

عند تطبيق هاتين الخاصيتين، يمكننا تحديد قيمة التكامل المُعطى كالآتي: 󰏅[٢󰎨(𞸎)٤𞸓(𞸎)]𞸃𞸎=󰏅٢󰎨(𞸎)𞸃𞸎+󰏅٤𞸓(𞸎)𞸃𞸎=٢󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎٤󰏅𞸓(𞸎)𞸃𞸎=٢×٢٨٤×٤٧=٢٣١.٥٤٥٤٥٤٥٤٥٤

نلقي نظرة الآن على مثال نُوجِد فيه حَدَّي التكامل؛ حيث تقع قيم الدالة التي سيتم تكاملها في فترة محددة.

مثال ٤: إيجاد قيمة تكامل محدد باستخدام خاصية المحدودية للتكامل

افترض أنه في [٢،٥]، تقع قيم 󰎨 في الفترة [𞸌،𞸍]. بين أيِّ حدين يقع 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎٥٢؟

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد حَدَّي التكامل باستخدام الخاصية التي توضِّح أن قيم 󰎨 تقع في فترة محددة.

على وجه التحديد، توضِّح الخاصية الآتية أنه إذا كان 𞸌󰎨(𞸎)𞸍، فإن: 𞸌(𞸁󰏡)󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎𞸍(𞸁󰏡).𞸁󰏡

بتطبيق هذه الخاصية عند 󰏡=٢، 𞸁=٥، يصبح لدينا 𞸁󰏡=٧. وبناءً على ذلك، نجد أن: ٧𞸌󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎٧𞸍.٥٢

في المثال التالي، نُوجِد قيمة التكامل المحدد باستخدام خاصية تقسيم التكامل على فترتين متجاورتين.

مثال ٥: إيجاد قيمة تكامل محدد باستخدام خاصية جمع تكاملين محددين على فترتين متجاورتين

إذا كان 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=٤٫٢٢٥، 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=٤٫١١٥، فأوجد 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎٢١.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد قيمة تكامل محدد باستخدام خاصية تقسيم التكامل بين فترتين متجاورتين.

خاصية التكامل المحدد التي سنستخدمها هي: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎+󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎.𞸁󰏡𞸢󰏡𞸁𞸢

عند تطبيق هذه الخاصية والتعويض بالقيم المُعطاة، نجد لدينا: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎+󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎،٤٫٢=٤٫١+󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎،٢٥١٥٢١٢١ وعند إعادة الترتيب يصبح لدينا: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=٤٫٢+٤٫١=١.٢١

نلقي نظرة الآن على مثال نستخدم فيه خاصية تقسيم تكامل على فترات متجاورة للتعبير عن مجموع ثلاثة تكاملات محددة في صورة تكامل واحد. نستخدم أيضًا خاصية عكس حَدَّي التكامل.

مثال ٦: التعبير عن مجموع ثلاثة تكاملات محددة على فترات متجاورة في صورة تكامل واحد

الدالة 󰎨 متصلة على 𞹇. اكتب 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎+󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎٣٢٤٣٠٢ في صورة 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎𞸁󰏡.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد قيمة تكامل محدد باستخدام خاصية عكس حَدَّي التكامل وخاصية تقسيم التكامل بين فترتين متجاورتين.

خاصيتا التكامل المحدد اللتان سنستخدمهما هما: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎+󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎،󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎.𞸁󰏡𞸢󰏡𞸁𞸢𞸁󰏡󰏡𞸁

يمكننا تجميع الحدين الأوَّلين باستخدام الخاصية الأولى كالآتي: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎+󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎٣٢٤٣٤٢ وبإعادة كتابة الحد الثالث، يصبح لدينا: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎.٠٢٢٠

إذن، بتطبيق الخاصية الأولى مرة أخرى على الحدين المتبقيين، نحصل على: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎+󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎+󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎+󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎+󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎.٣٢٤٣٠٢٠٢٣٢٤٣٢٠٤٢٤٠

في المثال التالي، نستخدم خاصية التكامل المحدد للدوال الزوجية على الفترة [󰏡،󰏡] لإيجاد قيمة التكامل من قيمة محددة.

مثال ٧: التكامل المحدد للدوال الزوجية

إذا كانت الدالة الزوجية 󰎨 متصلة على الفترة [٤،٤]؛ حيث 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=٢٤٠، فأوجد قيمة 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎٤٤.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد قيمة تكامل محدد باستخدام خاصية التكامل للدوال الزوجية على الفترة [󰏡،󰏡].

خاصية التكامل المحدد التي سنستخدمها للدوال الزوجية 󰎨(𞸎)=󰎨(𞸎) هي: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=٢󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎.󰏡󰏡󰏡٠

عند تطبيق هذه الخاصية، يمكننا تحديد قيمة التكامل المُعطى كالآتي: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=٢󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=٤.٤٤٤٠

نلقي نظرة الآن على مثال نستخدم فيه خاصية التكامل المحدد للدوال الفردية على الفترة [󰏡،󰏡] لإيجاد قيمة التكامل من قيمة محددة. سوف نستخدم أيضًا خاصية تقسيم التكامل على فترتين متجاورتين.

مثال ٨: إيجاد التكامل المحدد لدالة فردية باستخدام خواص التكامل المحدد

الدالة 󰎨 فردية ومتصلة على [١،٧]، وتحقِّق 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=٧١٧١. أوجد 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎٧١.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد قيمة تكامل محدد باستخدام خاصية التكامل للدوال الفردية على الفترة [󰏡،󰏡]، وخاصية تقسيم التكامل بين فترتين متجاورتين.

خاصيتا التكامل المحدد اللتان سنستخدمهما للدوال الفردية 󰎨(𞸎)=󰎨(𞸎) هما: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=٠،󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎+󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎.󰏡󰏡𞸁󰏡𞸢󰏡𞸁𞸢

عند تطبيق هاتين الخاصيتين، يمكننا تحديد قيمة التكامل المُعطى كالآتي: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎+󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=٠٧١=٧١.٧١١١٧١

في المثال التالي، نستخدم خاصية التكامل المحدد للدوال الزوجية على الفترة [󰏡،󰏡] لإيجاد قيمة التكامل من قيم محددة. نستخدم أيضًا خاصيَّتَي عكس حَدَّي التكامل وتقسيم التكامل على فترتين متجاورتين.

مثال ٩: إيجاد التكامل المحدد لدالة زوجية باستخدام خواص التكامل المحدد

الدالة 󰎨 زوجية ومتصلة على [٨،٨]، وتحقِّق 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=٩١٨٨، 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=٣١٤٠. أوجد 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎٤٨.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد قيمة تكامل محدد باستخدام خاصية التكامل للدوال الزوجية على الفترة [󰏡،󰏡] وخاصية عكس حَدَّي التكامل وخاصية تقسيم التكامل بين فترتين متجاورتين.

خواص التكامل المحدد التي سنستخدمها للدوال الزوجية 󰎨(𞸎)=󰎨(𞸎) هي: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=٢󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎،󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎،󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎+󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎.󰏡󰏡󰏡٠𞸁󰏡󰏡𞸁𞸁󰏡𞸢󰏡𞸁𞸢

عند تطبيق الخاصيتين الثانية والثالثة، يمكننا كتابة التكامل المحدد كالآتي: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎+󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎.٤٨٠٨٤٠٠٨٠٤

يمكننا تحديد كل جزء من أجزاء التكاملات المُعطاة باستخدام تماثل الدوال الزوجية الموضح كالآتي: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎.󰏡٠٠󰏡

بتطبيق التماثل، يمكننا تحديد الجزء الأول كالآتي: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=٣١.٠٤٤٠

يمكننا تحديد الجزء الثاني بالطريقة نفسها. بتطبيق الخاصية الأولى، نلاحظ أن: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=٢󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=٩١،󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=٩١٢.٨٨٨٠٨٠

ووفقًا للتماثل، يكون لدينا: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=٩١٢.٠٨

ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد قيمة التكامل المُعطى كالآتي: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=٩١٢٣١=٧٢.٤٨٠٨٠٤

نلقي نظرة الآن على مثال نستخدم فيه خاصية التكامل المحدد للدوال الفردية على الفترة [󰏡،󰏡] لإيجاد قيمة التكامل.

مثال ١٠: استخدام خاصية التكامل المحدد لدالة فردية لإيجاد قيمة تكامل

أوجد 󰏅٩𞸎٦𞸎٢𞸎+٩𞸃𞸎١١٣٢.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد قيمة التكامل المحدد لدالة فردية، كما هو موضَّح في التمثيل البياني، وذلك باستخدام خاصية التكامل للدوال الفردية على الفترة [١،١].

هيا أولًا نثبت أن الدالة التي سيتم تكاملها هي دالة فردية. باستخدام 󰎨(𞸎)=󰎨(𞸎)، نجد أن: 󰎨(𞸎)=٩(𞸎)٦(𞸎)٢(𞸎)+٩=٩𞸎+٦𞸎٢𞸎+٩=󰃁٩𞸎٦𞸎٢𞸎+٩󰃀=󰎨(𞸎).٣٢٣٢٣٢

خاصية التكامل المحدد التي سنستخدمها للدوال الفردية هي: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=٠.󰏡󰏡

عند تطبيق هذه الخاصية، يمكننا إيجاد قيمة التكامل المُعطى كالآتي: 󰏅٩𞸎٦𞸎٢𞸎+٩𞸃𞸎=٠.١١٣٢

في المثال الأخير، سنستخدم خاصية التكامل المحدد للدوال الزوجية على الفترة [󰏡،󰏡] والنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل لإيجاد قيمة التكامل المحدد.

مثال ١١: إيجاد قيمة التكامل المحدد لدالة أسية

أوجد قيمة 󰏅𞸎𞸃𞸎١١٨٨.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد قيمة التكامل المحدد لدالة زوجية، كما هو موضَّح في التمثيل البياني، وذلك باستخدام خاصية التكامل للدوال الزوجية على الفترة [١،١].

هيا أولًا نثبت أن الدالة التي سيتم تكاملها هي بالفعل دالة زوجية. باستخدام خاصية الدوال الزوجية 󰎨(𞸎)=󰎨(𞸎)، نجد أن: 󰎨(𞸎)=(𞸎)=𞸎=󰎨(𞸎).٨٨٨٨

خاصية التكامل المحدد التي سنستخدمها للدوال الزوجية هي: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=٢󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎.󰏡󰏡󰏡٠

عند تطبيق هذه الخاصية على التكامل المُعطى، يصبح لدينا: 󰏅𞸎𞸃𞸎=٢󰏅𞸎𞸃𞸎.١١٨٨١٠٨٨

نبدأ بإيجاد المشتقة العكسية لـ 𞸎٨٨ من تكامله غير المحدد: 󰏅𞸎𞸃𞸎=𞸎٩٨+𞸖.٨٨٩٨

وبالنسبة إلى التكامل المحدد، يمكننا تطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل التي توضِّح أنه إذا كانت 󰎨 دالة متصلة على الفترة [󰏡،𞸁]، 𞸕(𞸎)=󰎨(𞸎)، فإن: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=[𞸕(𞸎)]=𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).𞸁󰏡𞸁󰏡

نلاحظ هنا أنه يمكننا تجاهل ثابت التكامل للمشتقة العكسية 𞸕(𞸎)؛ وذلك لأنه حُذِف في الفرق 𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).

من الواضح أن الدالة التي سيتم تكاملها هي دالة متصلة ومعرَّفة لجميع القيم؛ حيث 𞸎[٠،١]. وبناءً على ذلك، فإنه بإيجاد قيمة المشتقة العكسية عند الحدود وإيجاد الفرق بينها، نحصل على: 󰏅𞸎𞸃𞸎=٢󰏅𞸎𞸃𞸎=٢󰃄𞸎٩٨󰃃=٢󰃁(١)٩٨(٠)٩٨󰃀=٢٩٨.١١٨٨١٠٨٨٩٨١٠٩٨٩٨

النقاط الرئيسية

نوضِّح فيما يلي الخواص الأساسية للتكامل المحدد التي علينا معرفتها جيدًا:

  • تكامل ثابت ما يتناسب مع عرض الفترة: 󰏅𞸢𞸃𞸎=𞸢(𞸁󰏡).𞸁󰏡.
  • عكس حَدَّي التكامل يعني أن: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎.𞸁󰏡󰏡𞸁
  • بتوزيع المجموع أو الفرق على التكامل، نحصل على: 󰏅(󰎨(𞸎)±𞸓(𞸎))𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎±󰏅𞸓(𞸎)𞸃𞸎.𞸁󰏡𞸁󰏡𞸁󰏡
  • بإخراج الثابت من التكامل، نحصل على: 󰏅𞸢󰎨(𞸎)𞸃𞸎=𞸢󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎.𞸁󰏡𞸁󰏡
  • بتقسيم التكامل على فترتين متجاورتين، يكون لدينا: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎+󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎.𞸁󰏡𞸢󰏡𞸁𞸢
  • إذا كانت 󰎨(𞸎)٠، فإن: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎٠.𞸁󰏡
  • إذا كانت 󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)، فإن: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎󰏅𞸓(𞸎)𞸃𞸎.𞸁󰏡𞸁󰏡
  • إذا كانت 𞸌󰎨(𞸎)𞸍، فإن: 𞸌(𞸁󰏡)󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎𞸍(𞸁󰏡).𞸁󰏡
  • بالنسبة إلى الدوال الزوجية 󰎨(𞸎)=󰎨(𞸎)، نجد أن: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=٢󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎.󰏡󰏡󰏡٠ وبالنسبة إلى الدوال الفردية 󰎨(𞸎)=󰎨(𞸎)، نجد أن: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=٠.󰏡󰏡

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.