شارح الدرس: الكينماتيكا الدورانية الفيزياء • الصف الأول الثانوي

مثال ١: تحويل الإزاحة الزاوية بالراديان إلى الدرجات

املأ الفراغ: الإزاحة الزاوية التي مقدارها راديان تساوي إزاحة زاوية قياسها . قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

نريد ملء الفراغ بالإزاحة الزاوية بالراديان التي تساوي الإزاحة الزاوية التي قياسها 155 درجة.

علينا تحويل الزاوية التي قياسها 155 درجة إلى زاوية مكافئة بالراديان.

لفعل ذلك، يُمكننا تذكُّر أن 360 درجة يساوي راديان، وهو ما يعني أن:

لأن هذا الكسر يساوي واحدًا، يُمكننا ضربه في 155 درجة دون أن يغيِّر قيمة الزاوية.

لكن الضرب في هذه النسبة سيغيِّر الوحدة التي كُتبت بها الزاوية من الدرجة إلى الراديان:

بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نجد أن:

مثال ٢: حساب العجلة الزاوية من معدَّل الدوران الزاوي

رأس حفار كان في البداية في حالة سكون. عند تشغيل الحفار، يدور الرأس بمعدَّل 47.5 دورة لكلِّ ثانية. يَصِل رأس الحفار إلى هذه السرعة في زمن مقداره 175 ms. ما العجلة الزاوية لرأس الحفار؟ قرِّب إجابتك لأقرب راديان لكلِّ ثانية مربعة.

الحل

نعلم من هذا السؤال أن هناك رأس حفار سرعته الزاوية 47.5 دورة لكلِّ ثانية. بداية من السكون، يَصِل رأس الحفار إلى هذه السرعة خلال 175 ms.

لإيجاد العجلة الزاوية لرأس الحفار، علينا إيجاد الإجابة بوحدة الراديان لكل ثانية مربعة، بدلًا من لفَّة لكل ثانية مربعة.

دعونا أولًا نحوِّل 47.5 دورة لكلِّ ثانية إلى راديان لكل ثانية.

هناك راديان في الدورة الكاملة. وهذا يعني أن هذه السرعة الزاوية تساوي راديان لكل ثانية، أو راديان لكل ثانية. لنُطلِق على هذه السرعة :

تزداد السرعة الزاوية لرأس الحفار من 0 إلى خلال 175 ms. هذا يعني أن الرأس له عجلة زاوية، تساوي بوجه عام المعدَّل الذي تتغيَّر به السرعة الزاوية مع الزمن. إذا أطلقنا على العجلة الزاوية ، فإن:

في هذه الحالة، ليس إلَّا ؛ لأن الحفار بدأ من السكون، و يساوي 175 ms.

يُمكننا بعد ذلك استكمال حساب :

قبل أن نُوجِد قيمة هذا الكسر، علينا أن نجعل وحدتي الزمن في البسط والمقام متوافقتين. نُحوِّل 175 ms إلى الزمن المكافئ بالثانية. بما أن:

بمعلومية ذلك، يُمكننا الآن كتابة: وإيجاد بوحدة الراديان لكل ثانية مربعة (rad/s²).

بالتقريب لأقرب راديان لكلِّ ثانية مربعة، فإن العجلة الزاوية لرأس الحفار تساوي 1‎ ‎705 rad/s².

مثال ٣: حساب الحركة الدورانية من السرعة الزاوية والعجلة الزاوية

تدور شفرات أحد توربينات الرياح الكبيرة دورةً كاملةً خلال 3.25 s عند تشغيله بالسرعة القصوى. العجلة الزاوية للتوربين عند زيادة سرعته لتَصِل إلى السرعة القصوى تساوي 0.124 rad/s². ما الزمن اللازم لتوربين ساكن في البداية ليَصِل إلى سرعة التشغيل القصوى له؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد الزمن اللازم لتدوير شفرات التوربين بعجلة من السكون إلى سرعة التشغيل القصوى.

يُمكننا أولًا ملاحَظة أن العجلة الزاوية للشفرات ثابتة. هذا يعني أن بإمكاننا استخدام معادلات الحركة الزاوية لوصْف دوران الشفرات.

تُوجَد أربع معادلات من هذا النوع، وسنختار المعادلة التي تتضمَّن المعلومات المُعطاة لنا، وتتضمَّن أيضًا المتغيِّر الذي نريد إيجاده، وهو الزمن .

نعرف العجلة الزاوية للتوربين، ونعرف أيضًا الزمن الذي تستغرقه شفرات التوربين لإكمال لفَّة كاملة بالسرعة القصوى.

تذكَّر أن السرعة الزاوية تُعرَّف بأنها التغيُّر في الإزاحة الزاوية مقسومًا على التغيُّر في الزمن. بما أننا نعرف الزمن اللازم ليُكمِل التوربين دورة كاملة بالسرعة القصوى، وأن لفَّة كاملة تساوي إزاحة زاوية مقدارها راديان، فيُمكننا كتابة السرعة الزاوية القصوى للتوربين على أنها:

بما أن التوربين يبدأ من السكون، يُمكننا اعتبار هذه السرعة سرعته النهائية. وهذا يُرشِدنا إلى اختيار معادلة الحركة الزاوية التي سنستخدمها. يُمكننا استخدام المعادلة: وإعادة ترتيبها لإيجاد الزمن .

دعونا نلاحِظ أولًا أن يساوي صفرًا. إذا قسمنا طرفي المعادلة بعد ذلك على العجلة الزاوية، فسنجد أن:

نعلم أن ، وقد وجدنا أن ، أو راديان لكل ثانية.

إذن:

تُلغَى وحدتا الراديان لكل ثانية من البسط والمقام، ونجد أن:

طلب منَّا السؤال تقريب الإجابة لأقرب منزلة عشرية. بالتقريب لأقرب منزلة عشرية، يكون الزمن اللازم لوصول التوربين إلى سرعة التشغيل القصوى هو 15.6 ثانية.

مثال ٤: تحديد عدد دورات جسم متدحرج

يتدحرج جذع شجرة مقطوع لأسفل منحدر في زمن قدره 7.2 s. كان الجذع ساكنًا في البداية عند قمة المنحدر، ثم أصبحت سرعته الزاوية 12 rad/s عند قاعدة المنحدر. ما عدد الدورات الكاملة التي يُكمِلها الجذع أثناء تدحرجه لأسفل المنحدر؟

الحل

يُمكننا التفكير في جذع الشجرة هذا باعتباره أسطوانة تتدحرج لأسفل المنحدر، كما هو موضَّح في الشكل. مع تدحرج الجذع، يدور بسرعة زاوية متزايدة. إن معدَّل زيادة السرعة الزاوية للجذع ثابت، مما يعني أن الجذع يتحرَّك بعجلة زاوية ثابتة. ومن ثَمَّ، يُمكن استخدام معادلات الحركة الزاوية لوصْف حركة الجذع.

هذه المعادلات هي:

نريد تحديد عدد الدورات التي يُكمِلها الجذع أثناء تدحرجه لأسفل المنحدر. يرتبط عدد الدورات التي يُكمِلها الجسم مع إزاحته الزاوية، الممثَّلة بالرمز . إذا أوجدنا ، سنتمكَّن من تحويلها إلى عدد الدورات.

في هذا المثال، نعرف السرعة الزاوية للجذع عند بداية تدحرجه ونهايته، ونعرف أيضًا مقدار الزمن الذي يستغرقه التدحرج. تُناظِر هذه القيم المتغيِّرات في المعادلة الرابعة للحركة الزاوية:

في هذه الحالة، السرعة الزاوية الابتدائية للجذع، ، تساوي صفرًا. والسرعة الزاوية النهائية للجذع، ، تساوي 12 راديان لكل ثانية (12 rad/s). يَستغرِق الجذع 7.2 ثوانٍ للوصول إلى السرعة الزاوية النهائية بدءًا من السكون، ونرمز لهذا الزمن بالرمز . بالتعويض بهذه القِيَم في معادلة الحركة الزاوية التي اخترناها، نحصل على:

تكافئ الدورة الكاملة للجسم دورانًا يبلغ بالضبط راديان. ولذلك، لحساب عدد الدورات التي يُكمِلها الجذع، نقسم الناتج بوحدة الراديان على راديان لكل دورة:

أَكمَل الجذع أقلَّ من سبع دورات كاملة بقليل أثناء تدحرجه. ومن ثَمَّ، فعدد الدورات الكاملة للجذع يساوي ستة.