شارح الدرس: تطبيقات على الحركة بعجلة منتظمة الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: إيجاد المسافة التي قطعها سائق دراجة يتحرَّك بعجلة منتظمة ثم بسرعة منتظمة

نزل درَّاج من قمة تل بعجلة تتزايد بمقدار ٠٫٥ م/ث^٢. في وقت وصوله إلى قاعدة التل، كان يتحرك بسرعة١٫٥ م/ث. استمر الدرَّاج في التحرك بهذه السرعة لمدة ٩٫٥ ثوانٍ أخرى. أوجد المسافة الكلية التي قطعها الدرَّاج.

الحل

يمكن تقسيم حركة الدرَّاج إلى جزأين: الجزء الذي تحرك فيه الدرَّاج بعجلة منتظمة، والجزء الذي تحرك فيه الدرَّاج بسرعة منتظمة ومن ثم كانت العجلة تساوي صفرًا.

سننظر أولاً للجزء الذي يتحرك فيه الدرَّاج بعجلة تساوي صفرًا لأنه الأبسط، على الرغم من أنه الجزء الثاني من حركة الدرَّاج.

في وقت وصول الدرَّاج إلى قاعدة التل، كان يتحرَّك بسرعة ١٫٥ م/ث. استمر الدرَّاج في التحرك بهذه السرعة لمدة ٩٫٥ ثوانٍ. وعليه، فإن الإزاحة التي قطعها الدرَّاج في هذا الزمن تساوي:

وبينما يتحرك الدرَّاج لأسفل التل، تغيرت سرعته من صفر إلى١٫٥ م/ث. يمكن على الفور تحديد المسافة التي سيقطعها الدرَّاج خلال زيادة سرعته إذا كانت الفترة الزمنية التي تغيرت فيها السرعة معطاة، ولكن هذا لم يُذكر في السؤال. يمكن تحديد طول الفترة الزمنية باستخدام الصيغة: وجعْل هو المتغير التابع للصيغة، لنحصل على:

باستخدام القيم المذكورة في السؤال، يصبح لدينا:

الإزاحة التي قطعها الدرَّاج عند تحرُّكه بعجلة منتظمة في ٣ ثوانٍ، هي متوسط الإزاحة المقطوعة في٣ ثوانٍ بالسرعتين الابتدائية والنهائية، وتُعطى بالعلاقة:

وعليه، فإن الإزاحة الكلية للدرَّاج تساوي:

يمكن حل هذا المثال أيضًا باستخدام الصيغة: لنحصل على . يجب إعادة ترتيب المعادلة لتصبح المتغير التابع للصيغة. وبما أن تساوي صفرًا، فلنُجرِ هذه الخطوة كما يلي:

بالتعويض بالقيم المعلومة، نجد أن: وهو ما يساوي قيمة التي حددناها مسبقًا.

مثال ٢: إيجاد عجلة جسم يتسارع ثم يتباطأ بين نقطتين بمعلومية المسافة بينهما

بدأ قطار في التحرك من السكون في خط مستقيم بين محطتين. تحرك في أول ٨٠ ثانية بعجلة ثابتة مقدارها . ثم استمر في التحرك بالسرعة التي اكتسبها لمدة ٦٥ ثانية إضافية. أخيرًا، خفَّض سرعته بمعدل حتى وصل إلى السكون. إذا كانت المسافة بين المحطتين ٨٫٩ كم فأوجد مقدار والسرعة التي تحرك بها القطار في منتصف الرحلة.

الحل

تنقسم حركة القطار إلى ٣ أجزاء. في الجزء الأول، يتحرك القطار بعجلة منتظمة من السكون، وفي الجزء الثاني، لا يتحرك القطار بعجلة، وفي الجزء الثالث، يتحرك القطار بعجلة منتظمة حتى يصل إلى السكون.

في الجزء الأول من حركة القطار، يبدأ من السكون ويتحرك بعجلة منتظمة لمدة ٨٠ ثانية. ويمكننا إيجاد مقدار عجلة القطار بالعلاقة: وبعد التحرك بعجلة، تُعطى سرعة القطار بالعلاقة:

يبدأ القطار من السكون، إذن تساوي:

يمكن تحديد الإزاحة التي يقطعها القطار أثناء زيادة عجلته بإعادة ترتيب الصيغة: بحيث نجعل المتغير التابع في الصيغة. وبما أن تساوي صفراً، فلنُجرِ هذه الخطوة كما يلي: حيث هي الإزاحة التي قطعها القطار خلال الجزء الأول من حركته.

في الجزء الثاني من حركته، تَوقَّف القطار عن التحرك بعجلة. يتضح من ذلك أن سرعة القطار في الجزء الثاني من الحركة هي . وعليه فإن الإزاحة التي قطعها القطار في الجزء الثاني من حركته، أي تساوي:

في الجزء الثالث من حركة القطار، تُحدَّد إزاحة القطار مرة أخرى باستخدام الصيغة:

السرعة النهائية للقطار تساوي صفرًا، وسرعته الابتدائية تساوي. عجلة القطار يزداد مقدارها للضعف وتؤثر في الاتجاه المعاكس لسرعة القطار، ومن ثم فإن عجلة القطار في الجزء الثالث من حركته ستكون إشارتها سالبة. ومن ذلك، يمكن تحديد كما يلي:

أخبرنا السؤال أن إزاحة القطار خلال حركته بالكامل تساوي ٨٫٩ كم. والإزاحات ، ، ليست مقيسة بوحدة الكيلومتر، ولكنها بوحدة المتر. لذا، سنقوم بتحويل ٨٫٩ كم إلى ٨‎ ‎٩٠٠ م وهو ما يساوي مجموع إزاحات القطار خلال حركته بالكامل:

وأخيرًا، يمكن تحديد قيمة بجعلها المتغير التابع في الصيغة:

لقد أوضحنا سابقاً أن سرعة القطار في الجزء الثاني من حركته هي ، وعليه فإن السرعة التي تَحرَّك بها القطار في منتصف الرحلة تساوي:

مثال ٣: إزاحة جسم متحرك وصل إلى السكون

جسم كان يتحرك في خط مستقيم، قطع مسافة ٦٠ سم في٦ ثوانٍ بعجلة تسارعية منتظمة. محافِظًا على سرعته، قطع الجسم مسافة ٥٢ سم إضافية في٥ ثوانٍ. أخيرًا، بدأ الجسم التحرك بعجلة تقصيرية بانتظام بمعدل يساوي ضعف معدل العجلة التسارعية السابقة حتى وصل إلى السكون. أوجد المسافة الكلية التي قطعها الجسم.

الحل

يمكننا تقسيم حركة الجسم إلى ٣ أجزاء. في الجزء الأول، يتحرك الجسم بعجلة منتظمة، وفي الجزء الثاني لا يتحرك الجسم بعجلة، وفي الجزء الثالث يتحرك الجسم بعجلة منتظمة حتى يصل إلى السكون.

لم يُخبرنا السؤال بالسرعة الابتدائية للجسم، ولكننا علمنا أن إزاحة الجسم في الجزء الثاني من حركته كانت ٥٢ سم وقُطعت في ٥ ثوانٍ حيث حافظ الجسم على سرعته. وهذا يخبرنا بأن سرعة الجسم في الجزء الثاني من الحركة تساوي:

سرعة الجسم في الجزء الثاني من حركته تساوي حتمًا السرعة في نهاية الجزء الأول من حركته. ومن هذا المنطلق، يمكننا تحديد السرعة الابتدائية للجسم في الجزء الأول من حركته.

في الجزء الأول من حركة الجسم، قطع الجسم مسافة ٦٠ سم في٦ ثوانٍ. وبتطبيق الصيغة: وجعْل المتغير التابع في الصيغة، نحصل على:

وبالتعويض بالقيم المعلومة، نحصل على:

يمكننا الآن إيجاد العجلة في الجزء الأول من حركة الجسم، بتطبيق:

وبجعل المتغير التابع في الصيغة، نحصل على:

بالتعويض بالقيم المعلومة، نحصل على:

في الجزء الثالث من حركة الجسم، نطبق مرة أخرى الصيغة:

وبجعل المتغير التابع في الصيغة، نحصل على:

السرعة الابتدائية للجسم في الجزء الثالث من حركته تساوي سرعة الجسم في الجزء الثاني من حركته، والسرعة النهائية للجسم في الجزء الثالث من حركته تساوي صفرًا. وتكون عجلة الجسم في الجزء الثالث من حركته في الاتجاه المعاكس ل ـ، لذا تكون إشارتها سالبة، ويزداد مقدارها لضعف مقدار العجلة في الجزء الأول من حركة الجسم.

بالتعويض بقيم ، ، نحصل على: حيث هي إزاحة الجسم في الجزء الثالث من حركته.

علمنا أن الإزاحة التي قطعها الجسم في الجزء الأول من حركته تساوي ٦٠ سم، والإزاحة الذي قطعها الجسم في الجزء الثاني من حركته تساوي ٥٢ سم.

ووفقاً لما سبق، فإن الإزاحة الذي قطعها الجسم في الأجزاء الـ ٣ لحركته تساوي:

مثال ٤: دراسة حركة رصاص مطلقة أفقيًّا عند كتلتين خشبيتين مختلفتين

أُطلقت رصاصة أفقيًّا على قطعة من الخشب. بلغت سرعتها ٨٠ م/ث، واخترقت قطعة الخشب مسافة ٣٢ سم قبل أن تتوقف. بافتراض أن عجلتها منتظمة، أوجد قيمة بوحدة كم/ث^٢. إذا أُطلقت رصاصة أخرى تحت ظروف مشابهة على قطعة من الخشب بسمك ١٤ سم، فأوجد سرعة خروج الرصاصة من القطعة الخشبية.

الحل

بالنسبة إلى الرصاصة الأولى، علمنا أن سرعتها النهائية تساوي صفرًا. ولدينا السرعة الابتدائية والإزاحة، لذا يمكن تحديد العجلة باستخدام الصيغة: وبجعل المتغير التابع في الصيغة نحصل على:

تُقاس السرعة بوحدة متر لكل ثانية، وتُقاس الإزاحة بوحدة. متر لكل ثانية. للحصول على مقدار العجلة بوحدة متر لكل ثانية مربعة، نحول ٣٢ م/ث^٢

هذه القيمة كبيرة جدًّا ويمكن التعبير عنها على نحو أكثر دقة، لتكون كم/ث^٢. تتوافق القيمة السالبة مع كون عجلة الرصاصة في الاتجاه المعاكس لسرعتها الابتدائية.

بالنسبة إلى الرصاصة الثانية، تُستخدم قيمة نفسها، ولكن قيمة تغيرت. ونحول وحدة قياس الإزاحة الموجودة لدينا من ١٤ سم إلى متر م. تستخدم الصيغة نفسها التي استخدمناها في حالة الرصاصة الأولى، لكن هذه المرة نجعل المتغير التابع في الصيغة:

بالتعويض بالقيم المعلومة، نحصل على:

مثال ٥: إيجاد الزمن المستغرق لتحرُّك جسم ليلحق بآخر

مرَّت سيارة مسرعة، تتحرك بسرعة ٩٦ كم/س بسيارة شرطة. وبعد ١٢ ثانية بدأت سيارة الشرطة في مطاردتها. زادت سيارة الشرطة سرعتها بانتظام، وقطعت مسافة ١٣٤ م حتى بلغت سرعتها١١٤ كم/س. واستمرت محافظة على هذه السرعة، حتى بلغت السيارةَ المسرعةَ. أوجد الزمن الذي استغرقته سيارة الشرطة للحاق بالسيارة الأخرى منذ نقطة بدء حركة سيارة الشرطة.

الحل

يمكن الإجابة عن هذا السؤال على نحو أكثر سهولة بتتبع سرعة كل سيارة وإزاحتها في الأوقات المختلفة على حدة. يتتبع الجدول التالي التغيرات التي طرأت على السيارتين في الأوقات المختلفة.

في البداية، كانت سيارة الشرطة في حالة سكون وكان مقدار إزاحتها يساوي صفرًا، بينما كانت إزاحة السيارة المسرعة تساوي صفرًا، وسرعتها تساوي٩٦ كم/س.

الأزمنة الواردة في السؤال مقيسة بوحدة الثانية، والمسافات مقيسة بالأمتار، لذا من الأفضل التعبير عن السرعات بوحدة ثانية(ث)

السرعة المتجهة الابتدائية للسيارة المسرعة تساوي:

نضيف هذه المعلومة إلى الجدول.

لمدة ١٢ ثانية، ظلت السيارة المسرعة تتحرك بهذه السرعة بينما كانت سيارة الشرطة في حالة سكون. إزاحة السيارة المسرعة بعد ١٢ ثانية تساوي:

نضيف هذه المعلومة إلى الجدول.

عند ، بدأت سيارة الشرطة تتحرك بعجلة. بعد أن تحركت بعجلة، أصبحت تتحرك بسرعة ١١٤ كم/س. يمكن تحويل ذلك إلى وحدة متر لكل ثانية بالطريقة ذاتها التي اتبعناها لتحويل سرعة السيارة المسرعة:

لم يذكر السؤال الزمن الذي تحركت خلاله سيارة الشرطة بعجلة، ولكنه ذكر أن الإزاحة التي قطعتها سيارة الشرطة خلال حركتها بعجلة تساوي ١٣٤ م. بمعرفة ذلك، يمكننا تحديد الفترة الزمنية التي تحركت خلالها السيارة بعجلة من خلال تطبيق الصيغة:

علمًا بأن تساوي صفرًا، نحصل على:

عند إعادة ترتيب المعادلة لنجعل المتغير التابع في الصيغة، نحصل على:

نحصل على الزمن الذي تتوقف عنده سيارة الشرطة عن الحركة بعجلة من خلال

وفي الزمن الذي بدأت فيه سيارة الشرطة تتحرك بعجلة، زادت إزاحة السيارة المسرعة بمقدار:

والإزاحة الكلية للسيارة المسرعة في هذه اللحظة تساوي:

نضيف هذه المعلومة إلى الجدول.

بعد ذلك، أصبح للسيارتين سرعة ثابتة. الفترة الزمنية التي تلحق فيها سيارة الشرطة بالسيارة المسرعة عندما كانت السيارتان تتحركان بسرعة منتظمة هي الفترة الزمنية التي تتساوى فيها إزاحتا السيارتين.

يمكن تحديد هذه الفترة الزمنية بقسمة الفرق في الإزاحة المقطوعة لكلتا السيارتين على الفرق في سرعة السيارتين.

الفرق في إزاحتَي السيارتين يساوي:

والفرق في سرعة السيارتين يساوي:

والفترة الزمنية تساوي:

هذه الفترة الزمنية مُضافة إلى الفترة الزمنية اللازمة لكي تصل سيارة الشرطة إلى السرعة الثابتة، التي أوضحنا من قبل أنها تساوي ث.

وبجمع هاتين الفترتين الزمنيتين، نحصل على:

هناك طريقة أخرى يمكن بها الحصول على هذه النتيجة، وهي إيجاد المعادلة التي تربط بين ، لكل سيارة.

بالنسبة إلى السيارة المسرعة، المعادلة هي معادلة الحركة الثابتة بسرعة السيارة المسرعة:

يمكن كتابة معادلة مشابهة لسيارة الشرطة، ولكنها يجب أن تتضمن الإزاحة التي قطعتها السيارة المسرعة بعد مرورها بسيارة الشرطة، وذلك بعد أن تحركت السيارتان بسرعاتهما النهائية. وهذه الإزاحة تساوي:

وفيما يلي المعادلة الخاصة بسيارة الشرطة:

يمكننا الحصول على قيمة التي لحقت سيارةُ الشرطة خلالها بالسيارة المسرعة، عندما تكون قيمتا لكلتا السيارتين متساويتين، وهو ما يتمثل في:

يمكننا إعادة ترتيب ذلك كما يلي:

يجب إضافة الفترة الزمنية التي تحركت فيها سيارة الشرطة بعجلة إلى هذا الزمن، لنحصل على الزمن الكلي: