في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحلُّ نظامًا من المعادلات الخطية باستخدام التعويض.
عندما يُطلَب منا حل نظام من المعادلات، فإن هذا يعني أننا نبحث عن مجموعة من القيم للمتغيِّرات، يمكنها أن تحقِّق كل معادلة في النظام. على سبيل المثال، هيا نتناول نظام المعادلتين الآتي:
نحن نريد إيجاد قيمة لـ وقيمة لـ لكي تتحقَّق كلتا المعادلتين. بعبارةٍ أخرى، نحن نبحث عن قيمتَيْن مجموعهما يساوي ٣، والفرق بينهما يساوي . ويمكننا أن نفعل ذلك باستخدام طريقة التجربة والخطأ، لكن هذه الطريقة لن تكون مناسبة عند حل أنظمة أكثر تعقيدًا.
بدلًا من ذلك، سنستخدم حقيقة أنه يمكننا حل أي معادلة خطية في متغيِّر واحد. هذا يعني أنه إذا تمكَّنَّا من إيجاد معادلة خطية في أيٍّ من المتغيِّرين، يمكننا حلُّها لإيجاد هذه القيمة. ولنفعل ذلك، نلاحظ أن المعادلتين صحيحتان؛ لذا يمكننا إعادة ترتيب إحدى المعادلتين لنجعل أحد المتغيِّرين هو المتغيِّر التابع. على سبيل المثال، يمكننا إعادة ترتيب المعادلة الأولى بطرح من كلا الطرفين، لنحصل على:
ومن ثَمَّ، إذا كان ، هما حل نظام المعادلتين لدينا، يجب أن يحقِّقا أيضًا هذه المعادلة. وبما أننا كتبنا بدلالة ، وكلتا المعادلتين صحيحة، إذن يمكننا التعويض بهذا التعبير في المعادلة الأخرى، لنحصل على:
بتوزيع الإشارة السالبة على القوسين ثم التبسيط، نحصل على:
وبقسمة كلا طرفَي المعادلة على ٢، نجد أن:
يمكننا بعد ذلك التعويض بقيمة هذه في أيٍّ من هاتين المعادلتين لإيجاد قيمة . إذا عوَّضنا بـ في المعادلة الأولى، نحصل على:
إذن ، هما حل نظام المعادلتين لدينا. يمكننا أيضًا التحقُّق من أن هاتين القيمتين هما حل نظام المعادلتين هذا بالتعويض بهاتين القيمتين في كلتا المعادلتين.
بالتعويض بـ ، في الطرف الأيمن من المعادلة الأولى، نحصل على: وهذا يساوي الطرف الأيسر.
وبالتعويض بـ ، في الطرف الأيمن من المعادلة الثانية، نحصل على: وهذا يساوي الطرف الأيسر. بما أن المعادلتين صحيحتان، إذن فقد أثبتنا أن هذا هو حل نظام المعادلتين لدينا.
هذه الطريقة في حل المعادلات تُسمَّى «التعويض»؛ لأننا نعوِّض بإعادة ترتيب إحدى المعادلتين في المعادلة الأخرى. وتجدر الإشارة إلى أنه لا يهمنا ما نختاره للتعويض؛ حيث يمكننا إعادة ترتيب المعادلة الأولى لنجعل المتغيِّر التابع أو إعادة ترتيب المعادلة الثانية لنجعل أو المتغيِّر التابع. في جميع هذه الحالات، سنحصل على الحل نفسه.
يمكننا تعميم هذه الطريقة لمحاولة حل أي نظام مكوَّن من معادلتين خطيتين في مجهولين.
خطوات: حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام التعويض
لحل نظام من المعادلات الخطية باستخدام التعويض، نستخدم الطريقة الآتية:
- نُعيد ترتيب إحدى المعادلتين لنجعل أحد المجهولين هو المتغيِّر التابع.
- نعوِّض بذلك في المعادلة الأخرى، ثم نحل المعادلة الخطية الناتجة في مجهول واحد.
- نعوِّض بقيمة هذا المجهول في إحدى المعادلتين، ثم نحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة المجهول الآخر.
- نتحقَّق من صحة الإجابة عن طريق التأكُّد من أن قيمتَي المجهولين تحقِّقان المعادلة الأخرى.
هيا نتناول مثالًا على تطبيق هذه العملية لحل نظام مكوَّن من معادلتين خطيتين في مجهولين.
مثال ١: إيجاد قيمة أحد المتغيِّرات في نظام من المعادلات الخطية
أوجد إذا كان ، .
الحل
مطلوبٌ منا في هذا السؤال إيجاد قيمة التي تحقِّق معادلتين خطيتين في مجهولين. نسترجع أنه يمكننا أن نفعل ذلك باستخدام التعويض. عادةً ما نبدأ بإعادة ترتيب إحدى المعادلتين لنجعل أحد المتغيِّرين هو المتغيِّر التابع، لكننا نلاحظ أن المعادلة الثانية لدينا، ، مكتوبة بالفعل على هذه الصورة. لذا، يمكننا التعويض بهذا التعبير لـ في المعادلة الأولى، لنحصل على:
وبتبسيط المعادلة، نحصل على:
بعد ذلك، نقسم كلا طرفَي المعادلة على ، لنجد أن:
في المثال الآتي، سنحل نظامًا مكوَّنًا من معادلتين خطيتين في مجهولين؛ ويكون علينا أولًا إعادة ترتيب إحدى المعادلتين لنجعل أحد المتغيِّرين هو المتغيِّر التابع.
مثال ٢: حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام التعويض
حل نظام المعادلتين الآتي:
الحل
مطلوبٌ منا في هذا السؤال حل نظام مكوَّن من معادلتين خطيتين في مجهولين؛ لذا نسترجع أنه يمكننا أن نفعل ذلك باستخدام التعويض. علينا أولًا إعادة ترتيب إحدى المعادلتين لنجعل أحد المتغيِّرين هو المتغيِّر التابع. ونلاحظ أن كلتا المعادلتين لدينا ليست على هذه الصورة؛ ومن ثَمَّ يمكننا اختيار أي معادلة وأي متغيِّر نريدهما؛ لذا هيا نُعِد ترتيب المعادلة الثانية لنجعل هو المتغيِّر التابع.
نطرح أولًا من كلا طرفَي المعادلة، لنحصل على:
بعد ذلك، نقسم كلا طرفَي المعادلة على ٤، لنحصل على:
يمكننا الآن التعويض بهذا التعبير لـ في المعادلة الأولى لتكوين معادلة بالكامل بدلالة . وبذلك، يصبح لدينا:
نوزِّع الآن ٥ على القوسين، لنحصل على:
وبتبسيط هذه المعادلة، يصبح لدينا:
نقسم بعد ذلك طرفَي المعادلة على ، لنجد أن:
يمكننا الآن إيجاد قيمة بالتعويض بـ في المعادلة الأولى، وسنحصل على:
نُضيف بعد ذلك ٢ إلى كلا طرفَي المعادلة، وهذا يُعطينا:
وأخيرًا، نقسم كلا طرفَي المعادلة على ٥، لنحصل على:
إذن ، هما حل نظام المعادلتين لدينا.
يمكننا التحقُّق من صحة هذا الحل عن طريق التعويض بهاتين القيمتين في المعادلتين للتأكُّد من أن المعادلتين صحيحتان.
بالتعويض بـ ، في الطرف الأيمن من المعادلة الأولى، يصبح لدينا:
هذا يساوي الطرف الأيسر من المعادلة؛ لذا فإن هذا الحل يحقِّق المعادلة الأولى.
بالتعويض بـ ، في الطرف الأيمن من المعادلة الثانية، يصبح لدينا:
هذا يساوي الطرف الأيسر من المعادلة؛ لذا فإن هذا الحل يحقِّق المعادلة الثانية.
إذن هذا يؤكِّد أن ، هما حل نظام المعادلتين لدينا.
مثال ٣: حل معادلتين آنيتين باستخدام التعويض
استخدم التعويض لحل المعادلتين الآنيتين:
الحل
لاستخدام التعويض لحل نظام مكوَّن من معادلتين، علينا أولًا إعادة ترتيب إحدى المعادلتين لنجعل أحد المتغيِّرين هو المتغيِّر التابع. في هذا المثال، نلاحظ أن هو المتغيِّر التابع في المعادلة الأولى؛ ومن ثَمَّ يمكننا حل نظام المعادلتين لدينا بالتعويض بهذا التعبير لـ في المعادلة الثانية. وهذا يُعطينا:
بالتوزيع على القوسين، نحصل على:
وبتجميع الحدود المتشابهة وإعادة ترتيب المعادلة، يصبح لدينا:
نقسم بعد ذلك كلا طرفَي المعادلة على ، لنحصل على:
وبعد ذلك، يمكننا إيجاد قيمة بالتعويض بـ في المعادلة الأولى، لنحصل على:
يمكننا أيضًا التحقُّق من صحة هذا الحل بالتعويض بـ في المعادلة الثانية؛ ومن ثَمَّ نحصل على:
وبطرح ١٢ من كلا طرفَي المعادلة، يصبح لدينا:
نقسم بعد ذلك كلا طرفَي المعادلة على ، لنحصل على:
بما أن هذه القيمة تُطابِق القيمة الأخرى لـ ، نكون قد أثبتنا أن هذه القيمة حلٌّ لنظام المعادلتين لدينا.
إذن حل المعادلتين هو ، .
مثال ٤: كتابة نظام من المعادلات الخطية في مجهولين وحله
عُمْر رجل يزيد بمقدار ٩ سنوات عن ضعف عُمْر ابنه. إذا كان مجموع عُمْرَيْهما ٥٧، فأوجد عُمْر كل واحد منهما.
الحل
هيا نبدأ بتحويل المُعطيات التي لدينا إلى معادلات. نفترض أن عُمْر الرجل ، وعُمْر ابنه . توضِّح لنا المُعطيات أن عُمْر الرجل يزيد بمقدار ٩ سنوات عن ضعف عُمْر ابنه؛ لذا إذا ضاعفنا عُمْر الابن ثم أضفنا إليه ٩، فسنحصل على عُمْر الرجل. يمكننا كتابة ذلك على صورة المعادلة:
نعلم أيضًا من المُعطيات أن مجموع عُمْرَيْهما يساوي ٥٧؛ ومن ثَمَّ فإن:
هذا نظام مكوَّن من معادلتين خطيتين في مجهولين؛ لذا يمكننا محاولة حله باستخدام التعويض. سنعوِّض بـ في المعادلة الثانية، لنحصل على:
يمكننا بعد ذلك تبسيط هذه المعادلة، لنحصل على:
نطرح بعد ذلك ٩ من كلا طرفَي المعادلة، ليصبح لدينا:
وأخيرًا، نقسم كلا طرفَي المعادلة على ٣، لنجد أن:
ومن ثَمَّ، عُمْر الابن ١٦ سنة. يمكننا إيجاد عمر الرجل باستخدام أيٍّ من المعادلتين. لذا نعوِّض بـ في المعادلة الأولى، ثم نحسب ذلك لنحصل على:
إذن عُمْر الابن ١٦ سنة، وعُمْر الرجل ٤١ سنة.
حسنًا، نلاحظ أن جميع أنظمة المعادلات التي تناولناها حتى الآن لها حلول وحيدة. لكن هذا لا ينطبق على كل أنظمة المعادلات. في الحقيقة، لدينا احتمالان آخران لهذه الأنظمة التي تتكوَّن من معادلتين خطيتين في مجهولين.
أولًا، قد لا يكون للنظام أيُّ حلول، وعندما يحدث ذلك، نُشير إلى هذا النظام على أنه «غير متسق». على سبيل المثال، هيا نتناول نظام المعادلتين الآتي:
يمكننا أن نلاحظ على الفور أن لدينا مشكلةً ما في هذا النظام؛ فإننا نبحث عن عددين مجموعهما يساوي ١ و٢ في الوقت نفسه، وهذا غير ممكن. لكن، هيا نحاول حل هذا النظام باستخدام التعويض لنرى ماذا سيحدث.
يمكننا إعادة ترتيب المعادلة الأولى لنجعل هو المتغيِّر التابع:
يمكننا بعد ذلك التعويض بهذا التعبير لـ في المعادلة الثانية، لنحصل على:
وبتبسيط المعادلة، يصبح لدينا:
نحن نعلم بالتأكيد أن ١ لا يساوي ٢. وهذا يعني أن الافتراض الأصلي الذي افترضناه كان خطأً؛ فلا توجد أيُّ قيم لـ ، يمكنها حل كلتا المعادلتين؛ لأننا لا يمكننا اختيار قيمتين لـ ، ، لنجعل ١ يساوي ٢.
ثانيًا، يمكن أن يكون للنظام عدد لا نهائي من الحلول. على سبيل المثال، هيا نتناول نظام المعادلتين الآتي:
مرةً أخرى، هيا نحاول حل هذا النظام باستخدام طريقة التعويض. يمكننا إعادة ترتيب المعادلة الأولى لنجعل هو المتغيِّر التابع، بإضافة إلى كلا الطرفين، وهذا يُعطينا:
يمكننا بعد ذلك التعويض بهذا التعبير لـ في المعادلة الثانية، لنحصل على:
وبتوزيع العامل ٢ على القوسين، يصبح لدينا:
يمكننا تبسيط هذه المعادلة، لنحصل على:
للوهلة الأولى، نلاحظ أن هذه المعادلة بديهية؛ فنحن نعلم أنها معادلة صحيحة. لكن يمكننا أيضًا قول إن هذه المعادلة صحيحة لأي قيمة لـ ؛ وهذا يوضِّح لنا أن أيَّ قيمة لـ يمكن أن تكون حلًّا لنظام المعادلتين هذا. ويمكننا تأكيد ذلك باختيار بعض القيم لـ .
هيا نفترض أن ؛ ومن ثَمَّ نحصل على:
إذن ، هما أحد حلول هذا النظام.
هيا نفترض الآن أن ؛ ومن ثَمَّ نحصل على:
إذن ، هما أحد حلول هذا النظام.
نلاحظ أن أيَّ حل للمعادلة هو حل لنظام المعادلتين بأكمله. ويمكننا توضيح سبب صحة ذلك بإخراج العامل ٢ من المعادلة الثانية بالطريقة الآتية:
بعبارةٍ أخرى، قد أوضحنا أن المعادلة الثانية هي مضاعف قياسي للمعادلة الأولى، ونُشير إلى أنظمة المعادلات التي على هذه الصورة بأنها «أنظمة غير مستقلة».
هيا نتناول الآن مثالًا علينا فيه حل نظام مكوَّن من معادلتين خطيتين في مجهولين، أو توضيح أنه لا يوجد أي حلول لهذا النظام.
مثال ٥: حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام التعويض إن وُجِد حلٌّ
حل نظام المعادلتين الآتي إن أمكن:
الحل
مطلوبٌ منا في هذا السؤال حل نظام مكوَّن من معادلتين خطيتين في مجهولين؛ لذا نسترجع أنه يمكننا محاولة حل هذا النظام باستخدام التعويض. علينا أولًا إعادة ترتيب إحدى المعادلتين لنجعل أحد المتغيِّرين هو المتغيِّر التابع. ونلاحظ أن كلتا المعادلتين مكتوبة بالفعل على هذه الصورة؛ لذا يمكننا ببساطة مساواة هذين التعبيرين لـ ؛ ومن ثَمَّ نحصل على:
بعد ذلك، نطرح من كلا طرفَي المعادلة، لنجد أن:
لا توجد قيم لـ أو تحقِّق هذه المعادلة؛ ومن ثَمَّ نستنتج أنه لا توجد حلول لنظام المعادلتين لدينا.
في المثال الآتي، سنوجد عدد حلول نظام مكوَّن من معادلتين خطيتين في مجهولين.
مثال ٦: إيجاد عدد حلول نظام من المعادلات
أوجد عدد حلول نظام المعادلتين الآتي:
الحل
مطلوبٌ منا في هذا السؤال حل نظام مكوَّن من معادلتين خطيتين في مجهولين؛ لذا نسترجع أنه يمكننا محاولة فعل ذلك باستخدام التعويض. علينا أولًا إعادة ترتيب إحدى المعادلتين لنجعل أحد المتغيِّرين هو المتغيِّر التابع. وبما أن معامل في المعادلة الأولى هو ١، إذن نُعيد ترتيب المعادلة الأولى لنجعل هو المتغيِّر التابع.
سنطرح من كلا طرفَي المعادلة الأولى، لنحصل على:
يمكننا بعد ذلك التعويض بهذا التعبير لـ في المعادلة الثانية بالطريقة الآتية:
بتوزيع العامل ٢ على القوسين، يصبح لدينا:
وبتبسيط المعادلة بعد ذلك، نجد أن:
بما أن هذه المعادلة صحيحة لأي قيمة لـ ، فنستنتج أن أيَّ قيمة لـ يمكن أن تُعطينا حلًّا لنظام المعادلتين لدينا.
ومن ثَمَّ، يوجد عدد لا نهائي من الحلول لنظام المعادلتين لدينا.
هيا نختتم هذا الشارح بتلخيص بعض النقاط المهمة التي تناولناها.
النقاط الرئيسية
- لحل نظام من المعادلات الخطية باستخدام التعويض، نستخدم الطريقة الآتية:
- نُعيد ترتيب إحدى المعادلتين لنجعل أحد المجهولين هو المتغيِّر التابع.
- نعوِّض بذلك في المعادلة الأخرى، ثم نحل المعادلة لإيجاد قيمة المجهول.
- نعوِّض بقيمة هذا المجهول في إحدى المعادلتين، ثم نحل المعادلة لإيجاد قيمة المجهول الآخر.
- نتأكَّد من أن قيمتَي المجهولين تحقِّقان المعادلة الأخرى.
- حل نظام من المعادلات باستخدام التعويض يُعطينا حلولًا دقيقة.
- يمكننا التحقُّق من صحة الحلول التي نحصل عليها بالتعويض بها في نظام المعادلات لدينا للتأكُّد من أنها تحقِّق المعادلات.
- ليس لكل أنظمة المعادلات حلول. إذا استخدمنا طريقة التعويض وحصلنا في النهاية على معادلة غير صحيحة، فلا توجد إذن حلول لنظام المعادلات لدينا، وسنُطلِق على ذلك «نظامًا غير متسق من المعادلات».
- الأنظمة المكوَّنة من معادلتين في مجهولين يمكن أن يكون لها عدد لا نهائي من الحلول. إذا استخدمنا طريقة التعويض وحصلنا في النهاية على معادلة صحيحة دائمًا، فسيكون هناك عدد لا نهائي من الحلول لهذه المعادلة؛ ويحدث ذلك عندما تكون كل معادلة مضاعفًا قياسيًّا للأخرى. ونُشير إلى هذه الأنظمة بأنها «أنظمة غير مستقلة من المعادلات».
