شارح الدرس: العمليات على الأحداث الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد احتمال الحدث المكمِّل لحدث ما، وتقاطع الأحداث واتحادها.

نبدأ هذا الشارح بتناول بعض التعريفات الأساسية للاحتمالات، بالإضافة إلى تمثيلها باستخدام شكل فن.

تعريف: الأحداث المكمِّلة

الحدث المكمِّل للحدث 󰏡 في فضاء العيِّنة 𞸐، الذي يُرمز إليه بـ 󰏡 أو 󰏡، هو مجموعة النواتج في 𞸐 التي ليست عناصر في المجموعة 󰏡. بعبارة أخرى، الحدث 󰏡󰍱 هو حدث عدم وقوع 󰏡.

تنص قاعدة احتمال الحدث المكمِّل على الآتي:𞸋󰁓󰏡󰁒=١𞸋(󰏡).󰍱

يمكن تمثيل الحدث المكمِّل للحدث 󰏡؛ أي 󰏡󰍱، باستخدام شكل فن، كما هو موضَّح في الآتي.

تعريف: تقاطع حدثين

تقاطع الحدثين 󰏡، 𞸁، الذي يُرمَز إليه بـ 󰏡𞸁، هو مجموعة جميع النواتج التي تمثِّل العناصر في كلتا المجموعتين 󰏡، 𞸁. بعبارة أخرى، 󰏡𞸁 هو حدث وقوع 󰏡، 𞸁 معًا.

يمكن تمثيل تقاطع الحدثين 󰏡، 𞸁؛ أي 󰏡𞸁، باستخدام شكل فن، كما هو موضَّح في الآتي.

تعريف: اتحاد حدثين

اتحاد الحدثين 󰏡، 𞸁، الذي يُرمز إليه بـ 󰏡𞸁، هو مجموعة جميع النواتج التي تمثِّل العناصر في إحدى المجموعتين 󰏡، 𞸁 أو في كلتيهما. بعبارة أخرى، 󰏡𞸁 هو حدث وقوع 󰏡 أو 𞸁 أو وقوع كلٍّ من 󰏡، 𞸁 معًا.

يمكن تمثيل اتحاد الحدثين 󰏡، 𞸁؛ أي 󰏡𞸁، باستخدام شكل فن كما هو موضَّح في الآتي.

يقودنا تعريف كلٍّ من تقاطع حدثين واتحاد حدثين إلى قاعدة مهمة من قواعد الاحتمال.

صيغة: قاعدة الجمع للاحتمالات

𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)+𞸋(𞸁)𞸋(󰏡𞸁)

يمكن توضيح ذلك باستخدام أشكال فن الآتية.

تقودنا المعلومات المذكورة سابقًا إلى ست صيغ أخرى يمكننا استخدامها لحل المسائل التي تتضمَّن الاحتمالات وتمثيلها باستخدام أشكال فن.

أولًا، لدينا الحدث المكمِّل لاتحاد الحدثين 󰏡، 𞸁: 𞸋(󰏡𞸁)=١𞸋(󰏡𞸁).󰍱

ثانيًا، لدينا الحدث المكمِّل لتقاطع الحدثين 󰏡، 𞸁: 𞸋(󰏡𞸁)=١𞸋(󰏡𞸁).󰍱

نتناول بعد ذلك احتمال وقوع حدث واحد فقط.

أولًا، هناك احتمال وقوع الحدث 󰏡 واحتمال عدم وقوع الحدث 𞸁. وهذا هو تقاطع الحدث 󰏡 والحدث المكمِّل للحدث 𞸁: 𞸋󰁓󰏡𞸁󰁒=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁).󰍱

ولدينا نتيجة لهذه الصيغة: 𞸋󰁓󰏡𞸁󰁒=𞸋(𞸁)𞸋(󰏡𞸁).󰍱

تمثِّل الصيغتان الأخيرتان هنا احتمالَي الحدثين المكمِّلين لصيغتَي الفرق: 𞸋󰁓󰏡𞸁󰁒=١𞸋󰁓󰏡𞸁󰁒󰍱󰍱

𞸋󰁓󰏡𞸁󰁒=١𞸋󰁓󰏡𞸁󰁒󰍱󰍱

سنتناول الآن بعض الأمثلة التي يمكننا فيها استخدام قواعد الاحتمال لإيجاد احتمالات الأحداث المكمِّلة وتقاطع الأحداث واتحادها.

مثال ١: استخدام قاعدة الجمع لإيجاد احتمال اتحاد حدثين

افترض أن 󰏡، 𞸁 حدثان لهما الاحتمالان 𞸋(󰏡)=٢٫٠، 𞸋(𞸁)=٧٤٫٠. إذا كان 𞸋(󰏡𞸁)=٨١٫٠، فأوجد 𞸋(󰏡𞸁).

الحل

نبدأ بتذكُّر أن قاعدة الجمع للاحتمالات تنص على أن: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)+𞸋(𞸁)𞸋(󰏡𞸁).

إذن: 𞸋(󰏡𞸁)=٢٫٠+٧٤٫٠٨١٫٠𞸋(󰏡𞸁)=٩٤٫٠.

يمكننا أيضًا توضيح ذلك باستخدام شكل فن. ولإكمال جميع أجزاء الشكل، نتذكَّر أن: 𞸋󰁓󰏡𞸁󰁒=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁).󰍱

إذن: 𞸋󰁓󰏡𞸁󰁒=٢٫٠٨١٫٠=٢٠٫٠.󰍱

وبالمثل: 𞸋󰁓󰏡𞸁󰁒=𞸋(𞸁)𞸋(󰏡𞸁).󰍱

إذن: 𞸋󰁓󰏡𞸁󰁒=٧٤٫٠٨١٫٠=٩٢٫٠.󰍱

ومن ثَمَّ، فإن: 𞸋(󰏡𞸁)=٢٠٫٠+٨١٫٠+٩٢٫٠=٩٤٫٠.

الإجابة: ٠٫٤٩

مثال ٢: استخدام قاعدة الجمع لإيجاد احتمال عدم وقوع أيِّ حدث من الحدثين

افترِض أن 󰏡، 𞸁 حدثان، 𞸋(󰏡)=٦٫٠، 𞸋(𞸁)=٥٫٠. إذا كان 𞸋(󰏡𞸁)=٤٫٠، فما احتمال عدم وقوع أيِّ حدث من الحدثين؟

الحل

نبدأ بتذكُّر أن قاعدة الجمع للاحتمالات تنص على أن: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)+𞸋(𞸁)𞸋(󰏡𞸁).

إذن: 𞸋(󰏡𞸁)=٦٫٠+٥٫٠٤٫٠𞸋(󰏡𞸁)=٧٫٠.

بعبارة أخرى، احتمال وقوع 󰏡 أو 𞸁 أو كلٍّ من 󰏡، 𞸁 معًا هو ٠٫٧.

احتمال عدم وقوع أيٍّ من الحدثين 󰏡، 𞸁 هو الحدث المكمِّل لاتحاد الحدثين 󰏡، 𞸁، كما هو موضَّح في شكل فن الآتي.

𞸋(󰏡𞸁)=١𞸋(󰏡𞸁)󰍱

إذن: 𞸋(󰏡𞸁)=١٧٫٠=٣٫٠.󰍱

الإجابة: ٠٫٣

مثال ٣: استخدام قاعدة الجمع لإيجاد احتمال اتحاد حدثين

افترِض أن 𞸎، 𞸑 حدثان لهما الاحتمالان 𞸋(𞸑)=١٣، 𞸋(𞸎)=𞸋󰁓𞸎󰁒󰍱.

إذا كان 𞸋(𞸎𞸑)=١٨، فأوجد 𞸋(𞸎𞸑).

الحل

نبدأ بتذكُّر أن ناتج جمع احتمال وقوع حدث واحتمال وقوع الحدث المكمِّل له يساوي ١: 𞸋󰁓𞸎󰁒=١𞸋(𞸎).󰍱

بما أن: 𞸋(𞸎)=𞸋󰁓𞸎󰁒،󰍱 إذن: ١𞸋(𞸎)=𞸋(𞸎)(𞸋(𞸎))١=٢𞸋(𞸎)(٢)١٢=𞸋(𞸎).ﺿإاا

بعد ذلك، نتذكَّر أن قاعدة الجمع للاحتمالات تنص على أن: 𞸋(𞸎𞸑)=𞸋(𞸎)+𞸋(𞸑)𞸋(𞸎𞸑).

إذن: 𞸋(𞸎𞸑)=١٢+١٣١٨=٢١٤٢+٨٤٢٣٤٢=٧١٤٢.

الإجابة: ٧١٤٢

في المثال التالي، سنستخدم قاعدة الجمع للاحتمالات للإجابة عن سؤال سياقي.

مثال ٤: إيجاد احتمال اتحاد حدثين

شاركت مجموعة مكوَّنة من ٦٨ طالبًا من طلاب المدارس في دراسة اسْتِقْصَائِيَّة حول القنوات التليفزيونية المُفضَّلة لديهم. أظهرت النتائج أن ٤٣ من الطلاب يشاهدون القناة 󰏡، ٢٦ يشاهدون القناة 𞸁، ١٢ يشاهدون كلتا القناتين. إذا اختير طالب عشوائيًّا من المجموعة، فما احتمال أن يكون مُشاهِدًا لإحدى القناتين على الأقل؟

الحل

أولًا، عَرَفنا أن ٤٣ طالبًا من إجمالي ٦٨ طالبًا شارك في الدراسة الاسْتِقْصَائِيَّة يشاهد القناة 󰏡؛ ومن ثَمَّ، فإن احتمال اختيار طالب عشوائيًّا يشاهد القناة 󰏡 هو: 𞸋(󰏡)=٣٤٨٦.

ثانيًا، هناك ٢٦ طالبًا من إجمالي ٦٨ طالبًا شارك في الدراسة المسحية يشاهد القناة 𞸁؛ ومن ثَمَّ، فإن احتمال اختيار طالب عشوائيًّا يشاهد القناة 𞸁 هو: 𞸋(𞸁)=٦٢٨٦.

وأخيرًا، هناك ١٢ طالبًا من إجمالي ٦٨ طالبًا شارك في الدراسة يشاهد كلتا القناتين 󰏡، 𞸁؛ ومن ثَمَّ، فإن احتمال اختيار طالب عشوائيًّا يشاهد كلتا القناتين هو: 𞸋(󰏡𞸁)=٢١٨٦.

نتذكَّر بعد ذلك أن قاعدة الجمع للاحتمالات تنص على أن: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)+𞸋(𞸁)𞸋(󰏡𞸁).

إذن: 𞸋(󰏡𞸁)=٣٤٨٦+٦٢٨٦٢١٨٦=٧٥٨٦.

يمكننا أيضًا توضيح ذلك باستخدام شكل فن. ولإكمال جميع أجزاء الشكل، نتذكَّر أن: 𞸋󰁓󰏡𞸁󰁒=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁).󰍱

إذن: 𞸋󰁓󰏡𞸁󰁒=٣٤٨٦٢١٨٦=١٣٨٦.󰍱

وبالمثل: 𞸋󰁓󰏡𞸁󰁒=𞸋(𞸁)𞸋(󰏡𞸁).󰍱

إذن: 𞸋󰁓󰏡𞸁󰁒=٦٢٨٦٢١٨٦=٤١٨٦.󰍱

ومن ثَمَّ، فإن: 𞸋(󰏡𞸁)=١٣٨٦+٢١٨٦+٤١٨٦=٧٥٨٦.

الإجابة: ٧٥٨٦

في المثال التالي، سنستخدم قاعدة الجمع للاحتمالات لحساب متغيِّر مجهول، 𞸎.

مثال ٥: إيجاد احتمال اتحاد حدثين

󰏡، 𞸁 حدثان في فضاء عيِّنة تجربة عشوائية؛ حيث 𞸋(󰏡)=٧٩𞸋(𞸁). احتمال وقوع أحد الحدثين 󰏡 أو 𞸁 على الأكثر يساوي ٠٫٥٦. احتمال وقوع أحد الحدثين 󰏡 أو 𞸁 على الأقل يساوي ٠٫٦٨. أوجد احتمال وقوع 󰏡 أو عدم وقوع 𞸁.

الحل

يمكننا البدء بجعل 𞸋(𞸁)=𞸎؛ ومن ثَمَّ، 𞸋(󰏡)=٧٩𞸎.

احتمال وقوع أحد الحدثين 󰏡 أو 𞸁 على الأقل يساوي ٠٫٦٨، 𞸋(󰏡𞸁)=٨٦٫٠.

ولكي يقع أحد الحدثين 󰏡 أو 𞸁 على الأكثر، يمكن أن يقع إما الحدث 󰏡، أو الحدث 𞸁، أو لا يقع أيٌّ منهما. يعني هذا أنه لا يمكن أن يقع كلا الحدثين 󰏡، 𞸁 في الوقت نفسه؛ لذا، فإن احتمال وقوع أحد الحدثين 󰏡 أو 𞸁 على الأكثر هو الحدث المكمِّل لتقاطع الحدثين؛ أي 𞸋(󰏡𞸁)󰍱. ومن ثَمَّ، فإن 𞸋(󰏡𞸁)=٦٥٫٠󰍱.

نحن نعلم أن: 𞸋(󰏡𞸁)=١𞸋(󰏡𞸁).󰍱

إذن: ٦٥٫٠=١𞸋(󰏡𞸁)𞸋(󰏡𞸁)=١٦٥٫٠=٤٤٫٠.

تنص قاعدة الجمع للاحتمالات على أن: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)+𞸋(𞸁)𞸋(󰏡𞸁).

إذن: ٨٦٫٠=٧٩𞸎+𞸎٤٤٫٠(٤٤٫٠)٢١٫١=٦١٩𞸎󰂔٦١٩󰂓٣٦٫٠=𞸎.ﺿإاا

وبناءً على ذلك، فإن 𞸋(𞸁)=٣٦٫٠، 𞸋(󰏡)=٧٩(٣٦٫٠)=٩٤٫٠.

نحن نريد إيجاد احتمال وقوع 󰏡 أو عدم وقوع 𞸁، وهو ما يمكن كتابته على الصورة 𞸋󰁓󰏡𞸁󰁒󰍱. وهذا يساوي ١𞸋󰁓󰏡𞸁󰁒󰍱.

بما أن: 𞸋󰁓󰏡𞸁󰁒=𞸋(𞸁)𞸋(󰏡𞸁)،󰍱 إذن: 𞸋󰁓󰏡𞸁󰁒=٣٦٫٠٤٤٫٠=٩١٫٠.󰍱

وبما أن: 𞸋󰁓󰏡𞸁󰁒=١𞸋󰁓󰏡𞸁󰁒،󰍱󰍱 إذن: 𞸋󰁓󰏡𞸁󰁒=١٩١٫٠=١٨٫٠.󰍱

ومن ثَمَّ، احتمال وقوع الحدث 󰏡 أو عدم وقوع الحدث 𞸁 هو ٠٫٨١.

الإجابة: ٠٫٨١

سنُنهي هذا الشارح بتلخيص بعض النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • الحدث المكمِّل للحدث 󰏡 في فضاء العيِّنة 𞸐، الذي يُرمَز إليه بـ 󰏡 أو 󰏡، هو مجموعة جميع النواتج في 𞸐 التي ليست عناصر في المجموعة 󰏡.
  • تقاطع الحدثين 󰏡، 𞸁، الذي يُرمز إليه بـ 󰏡𞸁، هو مجموعة جميع النواتج التي تمثِّل العناصر في كلتا المجموعتين 󰏡، 𞸁.
  • اتحاد الحدثين 󰏡، 𞸁، الذي يُرمَز إليه بـ 󰏡𞸁، هو مجموعة جميع النواتج التي تمثِّل العناصر في إحدى المجموعتين 󰏡، 𞸁 أو كلتيهما.
  • تنص قاعدة الجمع للاحتمالات على أن: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)+𞸋(𞸁)𞸋(󰏡𞸁).
  • تتضمَّن قواعد الاحتمال الأخرى الآتي: 𞸋(󰏡𞸁)=١𞸋(󰏡𞸁)،𞸋(󰏡𞸁)=١𞸋(󰏡𞸁)،𞸋󰁓󰏡𞸁󰁒=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁)،𞸋󰁓󰏡𞸁󰁒=𞸋(𞸁)𞸋(󰏡𞸁)،𞸋󰁓󰏡𞸁󰁒=١𞸋󰁓󰏡𞸁󰁒،𞸋󰁓󰏡𞸁󰁒=١𞸋󰁓󰏡𞸁󰁒.󰍱󰍱󰍱󰍱󰍱󰍱󰍱󰍱
  • يمكننا استخدام هذه القواعد إلى جانب شكل فن لإيجاد احتمال الحدث المكمِّل لحدث ما، وتقاطع الأحداث واتحادها لحل المسائل السياقية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.