تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: الجذور النونية للعدد واحد الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم نظرية ديموافر لإيجاد الجذور النونية للعدد واحد، ونعرف خواصها.

في الأعداد المركبة، تُعَد الجذور النونية للعدد واحد أعدادًا مركبة، 𞸏، تحقِّق العلاقة: 𞸏=١،𞸍.𞸍يد

نحن نعلم أنه لا يوجد سوى حل حقيقي واحد لهذه المعادلة، وهو 𞸏=١، إذا كان 𞸍 عددًا صحيحًا فرديًّا؛ حيث يمكننا حل المعادلة عن طريق حساب الجذر النوني لكلا طرفَي المعادلة. أما إذا كان 𞸍 عددًا صحيحًا زوجيًّا، فيكون لدينا حلان لهما قيمتان حقيقيتان لهذه المعادلة، وهما 𞸏=١، 𞸏=١.

من ناحية أخرى، إذا كان 𞸍>٢، فإن هناك حلولًا أخرى لهذه المعادلة ليست أعدادًا حقيقية. على وجه التحديد، إذا كان 𞸍=٣، فإننا نعلم أن حلول هذه المعادلة هي: 𞸏󰃳١،١٢+󰋴٣٢𞸕،١٢󰋴٣٢𞸕󰃲.

يمكننا أن نلاحظ نمطًا هنا. يتضح لنا أن هناك حلًّا واحدًا فقط للمعادلة 𞸏=١١، وهو 𞸏=١. ويوجد حلان حقيقيان، وهما 𞸏=١، 𞸏=١ للمعادلة 𞸏=١٢. إضافةً إلى ذلك، لاحظنا أيضًا أن هناك ثلاثة حلول مختلفة للمعادلة 𞸏=١٣. عند هذه المرحلة، يمكننا استنتاج أنه يوجد عدد 𞸍 من الحلول المختلفة للمعادلة 𞸏=١𞸍.

يمكننا إثبات هذا الاستنتاج بتطبيق نظرية ديموافر للجذور.

نظرية: نظرية ديموافر للجذور

لأيِّ عدد مركب 𞸏=𞸓(𝜃+𞸕𝜃)، تُعطى الجذور النونية للعدد 𞸏 بالعلاقة: 𞸍󰋴𞸓󰃁󰃁𝜃+٢𝜋𞸊𞸍󰃀+𞸕󰃁𝜃+٢𝜋𞸊𞸍󰃀󰃀، حيث 𞸊=٠،١،،𞸍١.

في المثال الأول، سنستخدم نظرية ديموافر لحساب الجذور النونية للعدد واحد في الصورة القطبية.

مثال ١: الجذور النونية للعدد واحد

اكتب صيغة عامة لجذور 𞸏=١𞸍، موضِّحًا إجابتك في الصورة القطبية.

الحل

نتذكَّر أن نظرية ديموافر للجذور تنص على أن الجذور النونية لأي عدد مركب 𞸏=𞸓(𝜃+𞸕𝜃) تُعطى بالعلاقة: 𞸍󰋴𞸓󰃁󰃁𝜃+٢𝜋𞸊𞸍󰃀+𞸕󰃁𝜃+٢𝜋𞸊𞸍󰃀󰃀،𞸊=٠،١،،𞸍١.

ومن ثَمَّ، لكي نأخذ الجذر النوني للطرف الأيسر من المعادلة، وهو ١، يمكننا البدء بالتعبير عن العدد ١ على الصورة القطبية. ونحن نعلم أن مقياس العدد ١ يساوي ١، وبما أن ١ يقع على الجزء الموجب من المحور الحقيقي في مخطط أرجاند، إذن نعلم أيضًا أن سعة العدد ١ تساوي ٠ راديان. يمكننا كتابة الصورة القطبية للعدد ١ باستخدام القيمتين 𞸓=١، 𝜃=٠: ١=١(٠+𞸕٠).

وبتطبيق نظرية ديموافر للجذور، نجد أن الجذور النونية للعدد واحد تُعطى بالعلاقة: 𞸍󰋴١󰃁󰃁٢𝜋𞸊𞸍󰃀+𞸕󰃁٢𝜋𞸊𞸍󰃀󰃀=󰃁٢𝜋𞸊𞸍󰃀+𞸕󰃁٢𝜋𞸊𞸍󰃀، حيث 𞸊=٠،١،،𞸍١. ومن ثَمَّ، فإن جذور 𞸏=١𞸍 على الصورة القطبية هي: 󰃁٢𝜋𞸊𞸍󰃀+𞸕󰃁٢𝜋𞸊𞸍󰃀.

في المثال السابق، أوجدنا الصورة القطبية للجذور النونية للعدد واحد بتطبيق نظرية ديموافر. وعلى وجه التحديد، لقد أثبتنا التخمين الذي ينص على أنه يوجد عدد 𞸍 من الحلول المركبة المختلفة للمعادلة 𞸏=١𞸍. بعبارةٍ أخرى، يوجد عدد 𞸍 من الجذور النونية للعدد واحد.

باستخدام الصورة القطبية للجذور النونية للعدد واحد التي حصلنا عليها في المثال السابق، يمكننا كتابة الصورة الأسية أيضًا لجذور العدد واحد. تذكَّر أن الصورة الأسية لأي عدد مركب مقياسه 𞸓 وسعته 𝜃 هي 𞸓𞸤𞸕𝜃، وهو ما يعني أن الصورتين القطبية والأسية للعدد المركب مرتبطتان بالمتطابقة: 𞸓(𝜃+𞸕𝜃)=𞸓𞸤.𞸕𝜃

نلخِّص كلًّا من الصورتين القطبية والأسية للجذور النونية للعدد واحد فيما يأتي.

تعريف: الجذور النونية للعدد واحد على الصورتين القطبية والأسية

الجذور النونية للعدد واحد على الصورة القطبية هي: 𞸏󰃇١،󰃁٢𝜋𞸍󰃀+𞸕󰃁٢𝜋𞸍󰃀،،󰃁٢𝜋(𞸍١)𞸍󰃀+𞸕󰃁٢𝜋(𞸍١)𞸍󰃀󰃆.

الجذور النونية للعدد واحد على الصورة الأسية هي: 𞸏󰃇١،𞸤،،𞸤󰃆.٢𝜋𞸍٢𝜋(𞸍١)𞸍𞸕𞸕

وعلى وجه التحديد، الجذر ١ يُسمَّى الجذر النوني البديهي للعدد واحد.

إن تعبيرات الجذور النونية للعدد واحد المذكورة فيما سبق تعبِّر عن مقاييس الأعداد المركبة وسعاتها. ويمكننا ملاحظة أن مقاييس كل الجذور النونية للعدد واحد تساوي ١، وهو ما يعني أنها تقع جميعها على دائرة الوحدة في مخطط أرجاند. يقع الجذر البديهي للعدد واحد؛ أيْ ١، عند تقاطع دائرة الوحدة مع الجزء الموجب من المحور الحقيقي في مخطط أرجاند. وتزداد سعة الجذور النونية للعدد واحد على صورة متتابعة حسابية تزداد بمقدار ٢𝜋𞸍 راديان. في مخطط أرجاند، هذا يعني أنه يمكننا تمثيل الجذور النونية للعدد واحد من خلال البدء بالعدد ١ والدوران عكس اتجاه دوران عقارب الساعة على دائرة الوحدة بمقدار ٢𝜋𞸍 على التوالي. إذا وَصَّلنا الجذور النونية المتتالية للعدد واحد بقطع مستقيمة، فسنحصل على مضلع منتظم مرسوم داخل دائرة الوحدة. هيا نلاحظ هذا النمط في المخططات الآتية لعدة قيم مختلفة لـ 𞸍.

كما هو متوقَّع، تُشكِّل الجذور النونية للعدد واحد لكل 𞸍٣ رءوسًا لمضلعٍ منتظمٍ عدد أضلاعه 𞸍 مرسومٍ داخل دائرة الوحدة على مخطط أرجاند، مع وجود رأس عند الجذر البديهي ١.

ونلاحظ أن سعات الجذور النونية للعدد واحد لا تقع جميعها ضمن المدى القياسي، وهو ]𝜋،𝜋] راديان. على وجه التحديد، نلاحظ أن الجذور التكعيبية للعدد واحد في مخطط أرجاند تُمثِّلها القيم ١، 𞸤٢𝜋٣𞸕، 𞸤٤𝜋٣𞸕. وسعة الجذر التكعيبي الأخير للعدد واحد تساوي ٤𝜋٣، وهو ما يقع خارج هذا المدى. بما أن قيمة هذه السعة أكبر من قيمة الحد العلوي 𝜋، إذن يمكننا الحصول على سعة مكافئة بطرح دورة كاملة، ومقدارها ٢𝜋 راديان، من هذه القيمة: ٤𝜋٣٢𝜋=٤𝜋٣٦𝜋٣=٢𝜋٣.

نلاحظ أن هذه السعة المكافئة ٢𝜋٣ تقع ضمن المدى القياسي ]𝜋،𝜋]؛ ومن ثَمَّ، يمكننا استخدام هذه السعة لكتابة الجذر الثالث للعدد واحد على الصورة 𞸤٢𝜋٣𞸕.

في المثال التالي، سنوجد الجذور الخماسية للعدد واحد؛ بحيث تقع سعاتها ضمن المدى القياسي، ونحسب مجموعها.

مثال ٢: مجموع الجذور النونية للعدد واحد

  1. أوجد الجذور الخماسية للعدد واحد.
  2. ما قيمة مجموع هذه الجذور؟

الحل

الجزء الأول

نتذكَّر أن الجذور النونية للعدد واحد على الصورة القطبية هي 𞸤٢𞸊𝜋𞸍𞸕؛ حيث 𞸊=٠،١،،𞸍١. في هذا المثال، نريد إيجاد الجذور الخماسية للعدد واحد. ومن ثَمَّ، يمكننا كتابة الجذور الخماسية للعدد واحد من خلال التعويض بـ 𞸍=٥، 𞸊=١،٢،،٤ في هذا التعبير: 𞸊=٠𞸤=١،𞸊=١𞸤،𞸊=٢𞸤=𞸤،𞸊=٣𞸤=𞸤،𞸊=٤𞸤=𞸤.٠𞸕𞸕𞸕𞸕𞸕𞸕𞸕𞸕٢𝜋٥٢𝜋×٢٥٤𝜋٥٢𝜋×٣٥٦𝜋٥٢𝜋×٤٥٨𝜋٥

لعلنا نتذكَّر أن سعة العدد المركب، وفقًا لما هو متعارف عليه، يجب أن تقع ضمن المدى القياسي ]𝜋،𝜋]. سعتا الجذرين الخماسيين الأخيرين للعدد واحد هما ٦𝜋٥، ٨𝜋٥؛ أيْ إن كلًّا منهما لا تقع ضمن هذا المدى. بما أن قيمة كلٍّ من هاتين السعتين أكبر من قيمة الحد العلوي 𝜋، إذن يمكننا إيجاد سعتين مكافئتين من خلال طرح دورة كاملة، ومقدارها ٢𝜋 راديان، من قيمة كلٍّ منهما: ٦𝜋٥٢𝜋=٤𝜋٥٨𝜋٥٢𝜋=٢𝜋٥.

وباستخدام هاتين السعتين اللتين تقعان ضمن المدى القياسي، يمكننا كتابة الجذرين الخماسيين الأخيرين للعدد واحد على الصورة 𞸤٤𝜋٥، 𞸤٢𝜋٥. ومن ثَمَّ، فإن الجذور الخماسية للعدد واحد هي: ١،𞸤،𞸤،𞸤،𞸤.٢𝜋٥٤𝜋٥٤𝜋٥٢𝜋٥𞸕𞸕𞸕𞸕

الجزء الثاني

في هذا الجزء، علينا إيجاد مجموع الجذور. وسنوضِّح طريقتين مختلفتين لهذه العملية الحسابية. الطريقة الأولى ستتطلَّب استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد قيم نسب جيب التمام لزوايا غير خاصة، والطريقة الثانية ستتطلَّب استخدام حيلة جبرية ولن تتطلَّب استخدام الآلة الحاسبة. الطريقة الثانية تكون أسهل كثيرًا فَوْر أن نعرف الحيلة الجبرية.

الطريقة الأولى

علينا حساب: ١+𞸤+𞸤+𞸤+𞸤.٢𝜋٥٤𝜋٥٤𝜋٥٢𝜋٥𞸕𞸕𞸕𞸕

يمكننا إعادة ترتيب المجموع لكتابته على الصورة: ١+󰂔𞸤+𞸤󰂓+󰂔𞸤+𞸤󰂓.٢𝜋٥٢𝜋٥٤𝜋٥٤𝜋٥𞸕𞸕𞸕𞸕

تذكَّر خاصية الصورة الأسية للعدد المركب بالنسبة إلى مرافق العدد المركب، وهي: 𞸤=𞸤𞸕𝜃𞸕𝜃، لأي عدد حقيقي 𝜃. هذا يخبرنا أن العددين المركبين داخل كلٍّ من القوسين الموضَّحين هنا هما عددان مركبان مترافقان. ونحن نعلم أنه لأيِّ عدد مركب 𞸏، فإن 𞸏+𞸏=٢𞸏اءاـ؛ حيث اءاـ𞸏 هو الجزء الحقيقي للعدد المركب 𞸏. ومن ثَمَّ، يمكننا كتابة مجموع الجذور على الصورة: ١+٢𞸤+٢𞸤.اءاـاءاـ٢𝜋٥٤𝜋٥𞸕𞸕

يتبقَّى الآن إيجاد الجزأين الحقيقيين للعددين المركبين 𞸤٢𝜋٥، 𞸤٤𝜋٥. نتذكَّر أن أيَّ عدد مركب على الصورة الأسية يمكن التعبير عنه على الصورة القطبية بكتابة: 𞸓𞸤=𞸓(𝜃+𞸕𝜃)،𞸕𝜃 حيث 𞸓 هو المقياس، 𝜃 هي سعة العدد المركب. بالنسبة إلى العددين 𞸤٢𝜋٥𞸕، 𞸤٤𝜋٥𞸕، فإن مقياس كلٍّ من العددين المركبين يساوي ١، وهو ما يعني أن 𞸓=١ في كلتا الحالتين. يمكننا أيضًا ملاحظة أن 𝜃=٢𝜋٥ بالنسبة إلى العدد 𞸤٢𝜋٥𞸕، وأن 𝜃=٤𝜋٥ بالنسبة إلى العدد 𞸤٤𝜋٥𞸕. ومن ثَمَّ: 𞸤=٢𝜋٥+𞸕٢𝜋٥𞸤=٤𝜋٥+𞸕٤𝜋٥.٢𝜋٥٤𝜋٥𞸕𞸕

هذا يعني أن: اءاـاءاـ𞸤=٢𝜋٥،𞸤=٤𝜋٥.٢𝜋٥٤𝜋٥𞸕𞸕

وبالتعويض بهاتين القيمتين، يمكننا كتابة مجموع الجذور على الصورة: ١+٢٢𝜋٥+٢٤𝜋٥.

بما أن ٢𝜋٥، ٤𝜋٥ ليسا من الزوايا الخاصة في دائرة الوحدة، إذن لا يمكننا إيجاد قيمة دالة جيب التمام لأيٍّ من هاتين الزاويتين دون استخدام الآلة الحاسبة. باستخدام الآلة الحاسبة، يمكننا حساب أن: ٢𝜋٥=٦١٠٩٠٣٫٠،٤𝜋٥=٦١٠٩٠٨٫٠.

وبالتعويض بهاتين القيمتين في المجموع، نحصل على: ١+٢×٦١٠٩٠٣٫٠+٢×(٦١٠٩٠٨٫٠)=٠.

الطريقة الثانية

سنستخدم الآن حيلة جبرية لحساب المجموع. نبدأ بجعل المجموع يساوي ثابتًا مجهولًا 𞸖:

𞸖=١+𞸤+𞸤+𞸤+𞸤.٢𝜋٥٤𝜋٥٤𝜋٥٢𝜋٥𞸕𞸕𞸕𞸕()١

نضرب كلا طرفَي المعادلة السابقة في 𞸤٢𝜋٥𞸕. بعد ذلك، باستخدام خاصية الصورة الأسية 𞸤×𞸤=𞸤𝜃𞸕𝜃𞸕󰁓𝜃+𝜃󰁒𞸕١٢١٢، يمكننا كتابة: 𞸤𞸖=𞸤󰂔١+𞸤+𞸤+𞸤+𞸤󰂓=𞸤+𞸤+𞸤+𞸤+١.٢𝜋٥٢𝜋٥٢𝜋٥٤𝜋٥٤𝜋٥٢𝜋٥٢𝜋٥٤𝜋٥٦𝜋٥٢𝜋٥𞸕𞸕𞸕𞸕𞸕𞸕𞸕𞸕𞸕𞸕

ونحن نعلم أن 𞸤=𞸤٦𝜋٥٤𝜋٥𞸕𞸕 عن طريق طرح ٢𝜋 من سعة العدد المركب الأول. هذا يعني أن: 𞸤𞸖=𞸤+𞸤+𞸤+𞸤+١.٢𝜋٥٢𝜋٥٤𝜋٥٤𝜋٥٢𝜋٥𞸕𞸕𞸕𞸕𞸕

يمكننا ملاحظة أن الطرف الأيسر من المعادلة السابقة يساوي الطرف الأيسر من المعادلة (١). ومن ثَمَّ، بمساواة الطرفين الأيمنين من هاتين المعادلتين، نجد أن: 𞸤𞸖=𞸖.٢𝜋٥𞸕

وبإعادة ترتيب هذه المعادلة، نحصل على: 𞸤𞸖𞸖=٠،𞸖󰂔𞸤١󰂓=٠.٢𝜋٥٢𝜋٥𞸕𞸕

بما أن العدد المركب الموجود داخل القوسين في الطرف الأيمن من المعادلة السابقة لا يساوي صفرًا، إذن يمكننا قسمة طرفَي هذه المعادلة على هذا العدد لنحصل على: 𞸖=٠.

إذن مجموع الجذور الخماسية للعدد واحد يساوي صفرًا.

في المثال السابق، وجدنا أن مجموع الجذور الخماسية للعدد واحد يساوي صفرًا. وفي الواقع، هذه خاصية عامة للجذور النونية للعدد واحد، كما سنرى لاحقًّا.

في المثال التالي، سنتناول مقلوب الجذر النوني للعدد واحد.

مثال ٣: مقلوبات الجذور النونية للعدد واحد

افترض أن 𝜔 أحد الجذور النونية للعدد واحد.

  1. أيٌّ من الآتي يُمثِّل العلاقة الصحيحة بين 𝜔١، 𝜔؟
    1. 𝜔=𝜔١
    2. 𝜔=𝜔١
    3. 𝜔=(𝜔)١
    4. 𝜔=(𝜔)١
  2. عبِّر عن 𝜔١ بدلالة قوى موجبة لـ 𝜔.

الحل

الجزء الأول

في هذا المثال، نجد أن لدينا 𝜔١؛ حيث 𝜔 أحد الجذور النونية للعدد واحد. تذكَّر أن نظرية ديموافر للقوى الصحيحة تخبرنا أنه إذا كان العدد المركب 𞸏=𞸓𞸤𞸕𝜃، فإن: 𞸏=𞸓𞸤،𞸍.𞸍𞸍𞸕𞸍𝜃

العدد الصحيح هنا هو 𞸍=١. ونحن نعلم أيضًا أن مقياس الجذر النوني للعدد واحد يساوي ١. بعبارةٍ أخرى، 𝜔=𞸤𞸕𝜃؛ حيث 𝜃 هي السعة. ومن ثَمَّ، بتطبيق نظرية ديموافر للقوى الصحيحة، نجد أن: 𝜔=𞸤.١𞸕𝜃

هذا هو العدد المركب الذي مقياسه ١ وسعته 𝜃. وبما أن سعة هذا العدد المركب لها إشارة مختلفة عن سعة 𝜔، فهذا يعني أنهما يقعان على جانبين متقابلين من المحور الحقيقي في مخطط أرجاند.

كما لاحظنا في مخطط أرجاند السابق، هذا يعني أن الجزأين الحقيقيين للعددين المركبين 𝜔، 𝜔١ متساويان، أما الجزآن التخيُّليان لهذين العددين المركبين فلهما إشارتان مختلفتان. بعبارةٍ أخرى، هذان عددان مركبان مترافقان. إذن: 𝜔=(𝜔).١

وهذا هو الخيار (د).

الجزء الثاني

في هذا الجزء، نريد تعبيرًا على الصورة 𝜔=𝜔١𞸊؛ حيث 𞸊 عدد صحيح موجب. وبما أن 𝜔 جذر نوني للعدد واحد، إذن نعلم أن: 𝜔=١.𞸍

يمكننا ضرب طرفَي هذه المعادلة في 𝜔١، ثم استخدام قاعدة الأسس لكتابة: 𝜔𝜔=𝜔𝜔=𝜔.𞸍١١𞸍١١

وبما أن 𞸍١ عدد صحيح موجب، إذن: 𝜔=𝜔.١𞸍١

في المثال السابق، لاحظنا أن مقلوب الجذر النوني للعدد واحد يساوي مرافقه المركب. وهذا يعني أن حاصل ضرب جذر العدد واحد في مرافقه يساوي ١.

خاصية: مرافق جذر العدد واحد

افترض أن 𝜔 أحد الجذور النونية للعدد واحد. إذن: 𝜔×𝜔=𝜔×𝜔=١.١

لقد تناولنا حتى الآن خواص الجذور النونية للعدد واحد. بعض الجذور النونية للعدد واحد تكون مشتركة لقيم مختلفة لـ 𞸍. وهذه الجذور تُسمَّى الجذور المشتركة للعدد واحد. في المثال التالي، سنتناول الجذور النونية للعدد واحد المشتركة بين قيم مختلفة لـ 𞸍.

مثال ٤: العلاقة بين الجذور النونية للعدد واحد لقِيَم مختلفة لـ ن

  1. أوجد الجذور التكعيبية للعدد واحد.
  2. أوجد حلول 𞸏=١٦.
  3. ما العلاقة بين الجذور التكعيبية للعدد واحد والجذور السداسية للعدد واحد؟

الحل

الجزء الأول

نتذكَّر أن الجذور النونية للعدد واحد على الصورة القطبية تكون: 󰃁٢𝜋𞸊𞸍󰃀+𞸕󰃁٢𝜋𞸊𞸍󰃀،𞸊=٠،١،،𞸍١.

يمكننا إيجاد الجذور التكعيبية للعدد واحد عن طريق التعويض بالقيمة 𞸍=٣، وهو ما يعني أن علينا التعويض بـ 𞸊=٠،١،٢. هذا يُعطينا: ١،󰂔٢𝜋٣󰂓+𞸕󰂔٢𝜋٣󰂓󰂔٤𝜋٣󰂓+𞸕󰂔٤𝜋٣󰂓.،

بإيجاد تعبير مكافئ للجذر التكعيبي الأخير للعدد واحد؛ بحيث تقع سعته ضمن المدى القياسي ]𝜋،𝜋]، نجد أن الجذور التكعيبية الثلاثة للعدد واحد هي: ١،󰂔٢𝜋٣󰂓+𞸕󰂔٢𝜋٣󰂓،󰂔٢𝜋٣󰂓+𞸕󰂔٢𝜋٣󰂓.

الجزء الثاني

بطريقة مماثلة، يمكننا إيجاد الجذور السداسية للعدد واحد عن طريق التعويض بالقيمة 𞸍=٦؛ حيث 𞸊=٠،١،،٥، وهو ما يُعطينا: 󰂔٢𝜋𞸊٦󰂓+𞸕󰂔٢𝜋𞸊٦󰂓.

ومن ثَمَّ، بالتعبير عن ذلك؛ بحيث تقع كل سعة ضمن المدى القياسي، يصبح لدينا: ١،󰂔٢𝜋٦󰂓+𞸕󰂔٢𝜋٦󰂓،󰂔٢𝜋٣󰂓+𞸕󰂔٢𝜋٣󰂓،١،󰂔٢𝜋٣󰂓+𞸕󰂔٢𝜋٣󰂓،󰂔٢𝜋٦󰂓+𞸕󰂔٢𝜋٦󰂓.

الجزء الثالث

عند المقارنة بين الجذور التكعيبية للعدد واحد والجذور السداسية للعدد واحد، نجد أن جميع الجذور التكعيبية للعدد واحد هي أيضًا جذور سداسية للعدد واحد.

في المثال السابق، وجدنا أن جميع الجذور التكعيبية للعدد واحد هي جذور سداسية أيضًا للعدد واحد. يمكننا أيضًا ملاحظة هذه الحقيقة من منظور مختلف. الجذر التكعيبي للعدد واحد هو عدد مركب يحقِّق المعادلة 𞸏=١٣، أما الجذر السداسي للعدد واحد فهو عدد مركب 𞸏 للمعادلة 𞸏=١٦. إذا حقَّق أيُّ عدد مركبٍ المعادلةَ 𞸏=١٣، يمكننا تربيع كلا طرفَي المعادلة ليصبح لدينا: 󰁓𞸏󰁒=١𞸏=١.٣٢٢٦

ومن ثَمَّ، إذا حقَّق أيُّ عدد مركبٍ المعادلةَ 𞸏=١٣، فإنه يحقِّق أيضًا المعادلة 𞸏=١٦. وفي الحقيقة، يمكننا أن نعمِّم هذه العبارة على نحو أوسع. نفترض أن لدينا عددين صحيحين موجبين 𞸌، 𞸍؛ بحيث يقبل 𞸍 القسمة على 𞸌، وهو ما يعني أن 𞸍=𞸌𞸊؛ حيث 𞸊 عدد صحيح موجب. إذ كان 𞸏 أحد الجذور «𞸌» للعدد واحد، فلا بد أن يحقِّق المعادلة 𞸏=١𞸌. وبرفع كلا طرفَي المعادلة للأس 𞸊، نجد أن: 󰁓𞸏󰁒=١𞸏=١𞸏=١.𞸌𞸊𞸊𞸌𞸊𞸍

هذا يعني أن 𞸏 هو أحد الجذور النونية للعدد واحد أيضًا. وهذا يخبرنا بأنه إذا كان 𞸌، 𞸍 عددين صحيحين موجبين؛ حيث يقبل 𞸍 القسمة على 𞸌، فإن جميع الجذور «𞸌» للعدد واحد تكون جذورًا نونية للعدد واحد.

يمكننا استخدام هذه العبارة لإثبات نظرية أعم. هذه المرة، هيا نفترض أن 𞸍 لا يقبل القسمة على 𞸌، ولكن عمأ...(𞸌،𞸍)=𞸊. هذا يعني أن 𞸊 عامل مشترك لكلٍّ من 𞸌، 𞸍. ومن ثَمَّ، فجميع الجذور «𞸊» للعدد واحد هي أيضًا من الجذور «𞸌» والجذور النونية للعدد واحد. وفي الواقع، إنها الجذور المشتركة للعدد واحد، على وجه التحديد.

نظرية: الجذور المشتركة للعدد واحد عندما يكون العامل المشترك الأكبر لـ (م، ن) ≠ ١

افترض أن 𞸌، 𞸍 عددان صحيحان؛ حيث عمأ...(𞸌،𞸍)=𞸊. إذن الجذور المشتركة للعدد واحد بين الجذور النونية والجذور «𞸌» للعدد واحد هي الجذور «𞸊» للعدد واحد، على وجه التحديد.

هيا نتناول مثالًا نُطَّبِق فيه هذه النظرية لحل مسألة هندسية.

مثال ٥: عدد الرءوس المشتركة بين مضلعين مرسومين داخل دائرة

مضلعان منتظمان مرسومان داخل نفس الدائرة؛ حيث عدد أضلاع الأول ١‎ ‎٧٣١ ضلعًا، وعدد أضلاع الثاني ٤‎ ‎٠٣٩ ضلعًا. إذا كان المضلعان يشتركان في رأس واحد على الأقل، فما إجمالي عدد الرءوس المشتركة بينهما؟

الحل

تذكَّر أن الجذور النونية للعدد واحد على مخطط أرجاند تقع عند رءوس مضلع منتظم عدد أضلاعه 𞸍 مرسوم داخل دائرة الوحدة؛ حيث يقع أحد الرءوس عند ١. يمكننا وضع نظام إحداثي على هذا المستوى؛ بحيث تكون الدائرة المُعطاة هي دائرة الوحدة، والرأس المشترك هو النقطة (١،٠). ومن ثَمَّ، يمكننا التفكير في الرءوس باعتبارها أعدادًا مركبة على مخطط أرجاند.

في هذه الحالة، رءوس المضلع الذي له ١‎ ‎٧٣١ رأسًا هي جذور عددها ١٣٧١ للعدد واحد، أما رءوس المضلع الذي له ٤‎ ‎٠٣٩ ضلعًا فهي جذور عددها ٤‎ ‎٠٣٩ للعدد واحد.

نتذكَّر ذلك؛ لأيِّ عددين صحيحين موجبين 𞸌، 𞸍، فإن الجذور المشتركة للعدد واحد بين الجذور النونية والجذور «𞸌» للعدد واحد هي الجذور «𞸊» للعدد واحد؛ حيث عمأ...(𞸌،𞸍)=𞸊. في هذا المثال، 𞸌=١٣٧١، 𞸍=٩٣٠٤، ومن ثَمَّ، علينا إيجاد عمأ...(١٣٧١،٩٣٠٤). نلاحظ أن العدد الأول يقبل القسمة على ٣، والعدد الثاني يقبل القسمة على ٧. باستخدام هذين العاملين الأوَّليَّين، يمكننا كتابة هذين العددين على الصورة: ١٣٧١=٣×٧٧٥،٩٣٠٤=٧×٧٧٥.

نلاحظ هنا أن العدد ٥٧٧ عامل مشترك بين هذين العددين، وهو العامل الأكبر؛ لأن العاملين الأوَّليَّين الآخرين ٣ و٧ غير مشتركَين. وبذلك، نجد أن: 𞸊=...(١٣٧١،٩٣٠٤)=٧٧٥.عمأ

ومن ثَمَّ، فإن الرءوس المشتركة لهذين المضلعين تكون مُمثَّلة على مخطط أرجاند بجذور عددها ٥٧٧ للعدد واحد. ونحن نعلم أن هناك ٥٧٧ عددًا مركبًا بالضبط تمثِّلها جذور عددها ٥٧٧ للعدد واحد.

إذن، إذا اشترك مضلعان مرسومان داخل نفس الدائرة في رأس واحد على الأقل، فإن إجمالي عدد الرءوس المشتركة بينهما سيساوي ٥٧٧ رأسًا.

في الأمثلة السابقة، حدَّدنا الجذور المشتركة للعدد واحد. سنتناول الآن تعريفًا آخر مهمًّا للجذور النونية للعدد واحد. لقد ذكرنا فيما سبق الجذور النونية للعدد واحد؛ حيث 𞸍=٢،٣،،٧، التي كانت مُمثَّلة على مخططات أرجاند. هيا نكتبها هنا؛ بحيث تقع سعة كلٍّ من جذور العدد واحد ضمن المدى القياسي ]𝜋،𝜋].

𞸍الجذور النونية للعدد واحد
١١
٢١، ١
٣١، 𞸤٢𝜋٣𞸕، 𞸤٢𝜋٣𞸕
٤١، 𞸕، ١، 𞸕
٥١، 𞸤٢𝜋٥𞸕، 𞸤٤𝜋٥𞸕، 𞸤٤𝜋٥𞸕، 𞸤٢𝜋٥𞸕
٦١، 𞸤𝜋٣𞸕، 𞸤٢𝜋٣𞸕، ١، 𞸤٢𝜋٣𞸕، 𞸤𝜋٣𞸕
٧١، 𞸤٢𝜋٧𞸕، 𞸤٤𝜋٧𞸕، 𞸤٦𝜋٧𞸕، 𞸤٦𝜋٧𞸕، 𞸤٤𝜋٧𞸕، 𞸤٢𝜋٧𞸕

الأعداد المكتوبة باللون الأحمر في الجدول السابق هي الجذور النونية للعدد واحد التي ظهرت كأحد الجذور «𞸌» للعدد واحد؛ حيث 𞸌<𞸍. على سبيل المثال، الجذر 𞸤٢𝜋٣𞸕؛ حيث 𞸍=٦، مكتوب باللون الأحمر؛ لأن هذا الجذر ظهر كأحد جذور العدد واحد عندما كان 𞸌=٣، ٣<٦. هذا يعني أن الأعداد المكتوبة باللون الأخضر هي جذور العدد واحد التي تظهر لأول مرة في القائمة. هذه الجذور للعدد واحد تُسمَّى الجذور البدائية للعدد واحد.

تعريف: الجذور النونية البدائية للعدد واحد

الجذر النوني البدائي للعدد واحد هو عدد مركب 𝜔؛ حيث 𞸊=𞸍 هو أصغر عدد صحيح موجب يحقِّق المعادلة 𝜔=١𞸊. بعبارةٍ أخرى، الجذر النوني البدائي للعدد واحد هو جذر نوني للعدد واحد ليس من الجذور «𞸌» للعدد واحد لأيِّ عدد 𞸌<𞸍.

من خلال الجدول السابق، حدَّدنا جميع الجذور النونية البدائية للعدد واحد؛ حيث 𞸍=١،٢،،٧:

𞸍الجذور النونية البدائية للعدد واحد
١١
٢١
٣𞸤٢𝜋٣𞸕، 𞸤٢𝜋٣𞸕
٤𞸕، 𞸕
٥𞸤٢𝜋٥𞸕، 𞸤٤𝜋٥𞸕، 𞸤٤𝜋٥𞸕، 𞸤٢𝜋٥𞸕
٦𞸤𝜋٣𞸕، 𞸤𝜋٣𞸕
٧𞸤٢𝜋٧𞸕، 𞸤٤𝜋٧𞸕، 𞸤٦𝜋٧𞸕، 𞸤٦𝜋٧𞸕، 𞸤٤𝜋٧𞸕، 𞸤٢𝜋٧𞸕

يمكننا أن نلاحظ أن الجذر النوني غير البديهي الأول للعدد واحد؛ حيث 𞸍٢، هو دائمًا جذر بدائي للعدد واحد.

خاصية: الجذور النونية البدائية للعدد واحد

أيُّ عدد مركب على الصورة 𝜔=𞸤٢𝜋𞸍𞸕، لأيِّ عدد صحيح موجب 𞸍، هو جذر نوني بدائي للعدد واحد.

توضِّح لنا هذه الخاصية أيضًا أن هناك دائمًا عددًا مركبًا يكافئ أحد الجذور النونية البدائية للعدد واحد. ولكن، علينا أن نضع في اعتبارنا أن أي جذر نوني بدائي للعدد واحد لأيِّ 𞸍>٢ ليس وحيدًا، وهذه الخاصية توفِّر طريقة للحصول على جذر نوني بدائي واحد مُحدَّد للعدد واحد بدلًا من جميع الجذور الأخرى.

هيا نُثبِت هذه الخاصية من خلال توضيح أنه لا يوجد عدد صحيح موجب 𞸊، أقل من 𞸍؛ بحيث يكون 𝜔=١𞸊. ولذلك، سنفكِّر في عدد صحيح اختياري 𞸊 يحقِّق المتباينة ٠<𞸊<𞸍. إذن باستخدام نظرية ديموافر للقوى الصحيحة، يمكننا كتابة: 𝜔=𞸤.𞸊𞸕٢𝜋𞸊𞸍

نلاحظ أيضًا أن الشرط ٠<𞸊<𞸍 يتضمَّن ٠<𞸊𞸍<١ عندما نقسم كل جزء من المتباينة على 𞸍. ومن ثَمَّ، نجد أن سعة العدد المركب المذكور سابقًا تحقِّق المتباينة: ٠<٢𝜋𞸊𞸍=٢𝜋𞸊𞸍<٢𝜋.

بما أن سعة العدد ١ تساوي صفرًا أو أي مضاعف صحيح للقيمة ٢𝜋، فهذا يعني أن 𝜔١𞸊 لأيِّ عدد صحيح 𞸊 يحقِّق المتباينة ٠<𞸊<𞸍. بعبارةٍ أخرى، 𞸊=𞸍 هو أصغر عدد صحيح موجب؛ حيث 𝜔=١𞸊، وهو ما يثبت تلك الخاصية.

إحدى الخواص المهمة أيضًا للجذر النوني البدائي للعدد واحد هي أنه يُنتج جميع الجذور النونية للعدد واحد من خلال حساب قوى متتالية.

خاصية: الجذور النونية البدائية للعدد واحد

إذا كان 𝜔 جذرًا بدائيًّا للعدد واحد، فإن جميع الجذور النونية للعدد واحد هي: ١،𝜔،𝜔،،𝜔.٢𞸍١

يمكننا إثبات صحة هذه الخاصية من خلال توضيح الحقيقتين الآتيتين. افترض أن 𝜔 جذر نوني بدائي للعدد واحد. إذن:

  • أيُّ قوة صحيحة لـ 𝜔 هي أيضًا جذر نوني للعدد واحد
  • الأعداد المركبة ١،𝜔،𝜔،،𝜔٢𞸍١ أعداد مختلفة.

إذا عرفنا هاتين الحقيقتين، فسنعرف أن ١،𝜔،𝜔،،𝜔٢𞸍١ عددها 𞸍 من الجذور النونية المختلفة للعدد واحد، وهو ما يعني أن جميعها جذور نونية للعدد واحد.

لتوضيح العبارة الأولى، نفترض أن 𞸊 عدد صحيح اختياري. إذن، باستخدام قواعد الأسس، نحصل على: 󰁓𝜔󰁒=𝜔=󰁓𝜔󰁒.𞸊𞸍𞸊𞸍𞸍𞸊

نحن نعلم أن 𝜔=١𞸍 بما أن 𝜔 جذر نوني للعدد واحد. ومن ثَمَّ، فإن الطرف الأيسر من المعادلة السابقة يساوي ١. وبما أن 󰁓𝜔󰁒=١𞸊𞸍، إذن 𝜔𞸊 جذر نوني للعدد واحد. وهذا يُثبت العبارة الأولى اللازمة لإثباتنا.

لإثبات العبارة الثانية، يمكننا أن نبدأ بافتراض أن هذه العبارة خطأ. ومن ثم، يوجد عددان مختلفان غير سالبين 𞸌، 𞸊؛ حيث 𞸌<𞸍، 𞸊<𞸍، يحقِّقان: 𝜔=𝜔.𞸌𞸊

نفترض أن 𞸌<𞸊؛ وذلك لأن ترتيب هذين العددين الصحيحين أمر اختياري. إذن بقسمة طرفَي المعادلة على 𝜔𞸊، ثم استخدام قاعدة الأسس، يمكننا كتابة: 𝜔𝜔=١𝜔=١.𞸌𞸊𞸌𞸊

هذا يعني أن 𞸏=𝜔 يحقِّق المعادلة 𞸏=١𞸌𞸊؛ حيث 𞸌𞸊 عدد صحيح موجب بافتراض أن 𞸌>𞸊. ومن ثَمَّ، 𝜔 هو أحد الجذور «مك» للعدد واحد؛ حيث 𞸌𞸊<𞸍. ومع ذلك، يتعارض هذا مع حقيقة أن 𝜔 جذر نوني بدائي للعدد واحد. وهذا يعني أنه لا يمكن الحصول على: 𝜔=𝜔،𞸌𞸊 لأيِّ عددين صحيحين غير سالبين 𞸌، 𞸊 أصغر من 𞸍. بعبارةٍ أخرى، الأعداد ١،𝜔،𝜔،،𝜔٢𞸍١ أعداد مختلفة عددها 𞸍. وهذا يُثبِت الخاصية المطلوبة.

هيا نتناول الآن بعض خواص الجذور النونية البدائية للعدد واحد.

خاصية: مجموع قوى الجذور النونية البدائية للعدد واحد

نفترض أن 𝜔 جذر نوني بدائي للعدد واحد؛ حيث 𞸍٢. إذن: ١+𝜔+𝜔++𝜔=٠.٢𞸍١

بما أن الحدود الموجودة في الطرف الأيمن من المعادلة السابقة هي الجذور النونية للعدد واحد، إذن هذه العبارة تخبرنا بأن مجموع الجذور النونية للعدد واحد يساوي صفرًا لأي 𞸍٢. تذكَّر أننا قد أثبتنا أن مجموع الجذور الخماسية للعدد واحد يساوي صفرًا في مثال ٢. ويمكننا استخدام حيلة جبرية مشابهة هنا لإثبات هذه العبارة.

لإثبات هذه الخاصية، هيا نبدأ بجعل الطرف الأيمن من المعادلة يساوي ثابتًا مجهولًا 𞸖: 𞸖=١+𝜔+𝜔++𝜔.٢𞸍١

بضرب طرفَي هذه المعادلة في 𝜔، نحصل على: 𝜔𞸖=𝜔+𝜔++𝜔+𝜔.٢𞸍١𞸍

بما أن 𝜔 جذر نوني للعدد واحد، فإننا نعلم أن 𝜔=١𞸍. هذا يُعطينا: 𝜔𞸖=𝜔+𝜔++𝜔+١،𞸖=١+𝜔+𝜔++𝜔.٢𞸍١٢𞸍١

يمكننا ملاحظة أن الطرفين الأيسرين من كلتا المعادلتين متساويان، وهو ما يوضِّح لنا أن: 𝜔𞸖=𞸖𝜔𞸖𞸖=٠𞸖(𝜔١)=٠.

بما أن 𝜔 جذر نوني بدائي للعدد واحد، إذن نعلم أن 𝜔١. هذا يعني أنه يمكننا قسمة طرفَي المعادلة السابقة على (𝜔١)، لنحصل على: 𞸖=٠.

وهذا يُثبِت العبارة المطلوب إثباتها، التي تؤدي مباشرةً إلى النتيجة الآتية.

نتيجة: مجموع الجذور النونية للعدد واحد

مجموع الجذور النونية للعدد واحد، لأيِّ 𞸍٢، يساوي صفرًا.

بما أن مجموع الأعداد المركبة يكافئ مجموع المتجهات هندسيًّا، إذن الخاصية المذكورة سابقًا تُعطينا جانبًا آخر لتماثل الجذور النونية للعدد واحد. لدينا تشبيه فيزيائي لذلك؛ إذا فكَّرنا في كل جذر من الجذور النونية للعدد واحد باعتباره متجهًا يُمثِّل مقدارًا واتجاهًا لقوة تؤثِّر على نقطة الأصل في مخطط أرجاند، فهذه الخاصية تخبرنا بأن التأثير المركب لجميع القوى عند نقطة الأصل يساوي صفرًا. بعبارةٍ أخرى، القوى التي تُمثِّلها الجذور النونية للعدد واحد تُشكِّل اتزانًا تامًّا.

هيا نتناول الآن مثالًا علينا فيه تطبيق هذه الخاصية على الجذور النونية البدائية للعدد واحد.

مثال ٦: جمع قوى الجذور البدائية للعدد واحد

إذا كان 𝜔 جذرًا سداسيًّا بدائيًّا للعدد واحد، فأيُّ التعبيرات الآتية يكافئ 𝜔+𝜔+𝜔٢٣؟

  1. 𝜔+𝜔+𝜔٤٥٦
  2. ١٢󰁓𝜔+𝜔+𝜔󰁒٢٤٦
  3. ١𝜔𝜔٤٥
  4. 󰁓١+𝜔+𝜔󰁒٤٥
  5. ١

الحل

نتذكَّر أن أيَّ جذر نوني بدائي للعدد واحد يحقِّق المعادلة: ١+𝜔+𝜔++𝜔=٠.٢𞸍١

وبما أننا علمنا من السؤال أن 𝜔 جذر سداسي بدائي للعدد واحد، فإن 𞸍=٦. ومن ثَمَّ: ١+𝜔+𝜔+𝜔+𝜔+𝜔=٠.٢٣٤٥

يمكننا إعادة ترتيب المعادلة لإيجاد تعبير مكافئ للتعبير المُعطى: 𝜔+𝜔+𝜔=󰁓١+𝜔+𝜔󰁒.٢٣٤٥

وهذا هو الخيار (د).

في المثال الأخير، سنستخدم خواص الجذور النونية للعدد واحد لحل مسألة.

مثال ٧: تطبيقات الجذور النونية للعدد واحد

كم زوجًا من الأعداد الحقيقية (󰏡،𞸁) يُحقِّق العلاقة (󰏡+𞸁𞸕)=󰏡𞸁𞸕٠٢٠٢؟

الحل

تذكَّر خواص مقياس العدد المركب التي تنص على أن: 󰍸𞸏󰍸=|𞸏|،|𞸏|=󰍻𞸏󰍻.𞸍𞸍

إذا كتبنا 𞸏=󰏡+𞸁𞸕، يصبح لدينا 𞸏=󰏡𞸁𞸕؛ ومن ثَمَّ، فإن المعادلة المُعطاة هي 𞸏=𞸏٠٢٠٢. بأخذ المقياس لطرفَي هذه المعادلة، يصبح لدينا: 󰍸𞸏󰍸=󰍻𞸏󰍻.٠٢٠٢

بعد ذلك، باستخدام خواص المقياس المذكورة سابقًا، نحصل على: |𞸏|=|𞸏|.٠٢٠٢

ومن ثَمَّ، بطرح |𞸏| من كلا طرفَي المعادلة، نجد أن: |𞸏||𞸏|=٠،|𞸏|󰁓|𞸏|١󰁒=٠.٠٢٠٢٩١٠٢

إذن إما |𞸏|=٠ وإما |𞸏|=١. إذا كان |𞸏|=٠، فإن كلًّا من 󰏡، 𞸁 يساوي صفرًا؛ ومن ثَمَّ، فإن لدينا زوجًا واحدًا من الأعداد الحقيقية يحقِّق المعادلة في هذه الحالة. سنتناول الآن الحالة التي فيها |𞸏|=١. بضرب كلا طرفَي المعادلة الأصلية لدينا في 𞸏، نحصل على: 𞸏=𞸏𞸏.١٢٠٢

نتذكَّر أنه لأيِّ عدد مركب 𞸏، يكون 𞸏𞸏=|𞸏|٢. وبما أننا نعرف أن |𞸏|=١، إذن يمكننا إعادة كتابة المعادلة السابقة على الصورة: 𞸏=١.١٢٠٢

نحن نعلم أن حلول هذه المعادلات جذور عددها ١٢٠٢ للعدد واحد، ونعلم أيضًا أن هناك بالضبط ٢‎ ‎٠٢١ جذرًا مختلفًا للعدد واحد يحقِّق هذه المعادلة. من ثَمَّ، في الحالة التي فيها |𞸏|=١، يوجد ٢‎ ‎٠٢١ زوجًا (󰏡،𞸁) يحقِّق المعادلة.

إذن يوجد إجمالي ٢‎ ‎٠٢٢ زوجًا من الأعداد الحقيقية (󰏡،𞸁) التي تحقِّق العلاقة المُعطاة.

هيا نختتم بتلخيص بعض المفاهيم المهمة التي تناولناها في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • لأيِّ عدد صحيح موجب 𞸍، يوجد بالضبط عدد 𞸍 من الأعداد المركبة المختلفة، 𞸏، التي تحقِّق المعادلة 𞸏=١𞸍. والحلول المركبة لهذه المعادلة تُسمَّى الجذور النونية للعدد واحد.
  • الجذور النونية للعدد واحد على الصورة الأسية هي: 𞸏󰃇١،𞸤،،𞸤󰃆.٢𝜋𞸍٢𝜋(𞸍١)𞸍𞸕𞸕
  • الجذور النونية للعدد واحد؛ حيث 𞸍٣، تُشكِّل رءوس مضلع منتظم عدد أضلاعه 𞸍 مرسومٍ داخل دائرة الوحدة على مخطط أرجاند، مع وجود رأس يقع عند الجذر البديهي ١.
  • افترض أن 𞸌، 𞸍 عددان صحيحان موجبان؛ بحيث يكون عمأ...(𞸌،𞸍)=𞸊. إذن الجذور المشتركة للعدد واحد بين الجذور النونية والجذور «𞸌» للعدد واحد هي الجذور «𞸊» للعدد واحد.
  • الجذر النوني البدائي للعدد واحد هو عدد مركب 𝜔؛ حيث 𞸊=𞸍 هو أصغر عدد صحيح موجب يحقِّق المعادلة 𝜔=١𞸊. بعبارةٍ أخرى، الجذر النوني البدائي للعدد واحد هو جذر نونية للعدد واحد ليس من الجذور «𞸌» للعدد واحد لأيِّ عدد 𞸌<𞸍. وعلى وجه التحديد، أيُّ عدد مركب على الصورة 𝜔=𞸤٢𝜋𞸍𞸕 هو جذر نوني بدائي للعدد واحد.
  • إذا كان 𝜔 جذرًا بدائيًّا للعدد واحد، فإن جميع الجذور النونية للعدد واحد هي: ١،𝜔،𝜔،،𝜔.٢𞸍١ وهذا يحقِّق المعادلة: ١+𝜔+𝜔++𝜔=٠.٢𞸍١

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.