شارح الدرس: الجذور النونية للعدد واحد الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم نظرية ديموافر لإيجاد الجذور النونية للعدد واحد، ونعرف خواصها.

في الأعداد المركبة، تُعَد الجذور النونية للعدد واحد أعدادًا مركبة، ، تحقِّق العلاقة:

نحن نعلم أنه لا يوجد سوى حل حقيقي واحد لهذه المعادلة، وهو ، إذا كان عددًا صحيحًا فرديًّا؛ حيث يمكننا حل المعادلة عن طريق حساب الجذر النوني لكلا طرفَي المعادلة. أما إذا كان عددًا صحيحًا زوجيًّا، فيكون لدينا حلان لهما قيمتان حقيقيتان لهذه المعادلة، وهما ، .

من ناحية أخرى، إذا كان ، فإن هناك حلولًا أخرى لهذه المعادلة ليست أعدادًا حقيقية. على وجه التحديد، إذا كان ، فإننا نعلم أن حلول هذه المعادلة هي:

يمكننا أن نلاحظ نمطًا هنا. يتضح لنا أن هناك حلًّا واحدًا فقط للمعادلة ، وهو . ويوجد حلان حقيقيان، وهما ، للمعادلة . إضافةً إلى ذلك، لاحظنا أيضًا أن هناك ثلاثة حلول مختلفة للمعادلة . عند هذه المرحلة، يمكننا استنتاج أنه يوجد عدد من الحلول المختلفة للمعادلة .

يمكننا إثبات هذا الاستنتاج بتطبيق نظرية ديموافر للجذور.

في المثال الأول، سنستخدم نظرية ديموافر لحساب الجذور النونية للعدد واحد في الصورة القطبية.

في المثال السابق، أوجدنا الصورة القطبية للجذور النونية للعدد واحد بتطبيق نظرية ديموافر. وعلى وجه التحديد، لقد أثبتنا التخمين الذي ينص على أنه يوجد عدد من الحلول المركبة المختلفة للمعادلة . بعبارةٍ أخرى، يوجد عدد من الجذور النونية للعدد واحد.

باستخدام الصورة القطبية للجذور النونية للعدد واحد التي حصلنا عليها في المثال السابق، يمكننا كتابة الصورة الأسية أيضًا لجذور العدد واحد. تذكَّر أن الصورة الأسية لأي عدد مركب مقياسه وسعته هي ، وهو ما يعني أن الصورتين القطبية والأسية للعدد المركب مرتبطتان بالمتطابقة:

نلخِّص كلًّا من الصورتين القطبية والأسية للجذور النونية للعدد واحد فيما يأتي.

إن تعبيرات الجذور النونية للعدد واحد المذكورة فيما سبق تعبِّر عن مقاييس الأعداد المركبة وسعاتها. ويمكننا ملاحظة أن مقاييس كل الجذور النونية للعدد واحد تساوي ١، وهو ما يعني أنها تقع جميعها على دائرة الوحدة في مخطط أرجاند. يقع الجذر البديهي للعدد واحد؛ أيْ ١، عند تقاطع دائرة الوحدة مع الجزء الموجب من المحور الحقيقي في مخطط أرجاند. وتزداد سعة الجذور النونية للعدد واحد على صورة متتابعة حسابية تزداد بمقدار راديان. في مخطط أرجاند، هذا يعني أنه يمكننا تمثيل الجذور النونية للعدد واحد من خلال البدء بالعدد ١ والدوران عكس اتجاه دوران عقارب الساعة على دائرة الوحدة بمقدار على التوالي. إذا وَصَّلنا الجذور النونية المتتالية للعدد واحد بقطع مستقيمة، فسنحصل على مضلع منتظم مرسوم داخل دائرة الوحدة. هيا نلاحظ هذا النمط في المخططات الآتية لعدة قيم مختلفة لـ .

كما هو متوقَّع، تُشكِّل الجذور النونية للعدد واحد لكل رءوسًا لمضلعٍ منتظمٍ عدد أضلاعه مرسومٍ داخل دائرة الوحدة على مخطط أرجاند، مع وجود رأس عند الجذر البديهي ١.

ونلاحظ أن سعات الجذور النونية للعدد واحد لا تقع جميعها ضمن المدى القياسي، وهو راديان. على وجه التحديد، نلاحظ أن الجذور التكعيبية للعدد واحد في مخطط أرجاند تُمثِّلها القيم ١، ، . وسعة الجذر التكعيبي الأخير للعدد واحد تساوي ، وهو ما يقع خارج هذا المدى. بما أن قيمة هذه السعة أكبر من قيمة الحد العلوي ، إذن يمكننا الحصول على سعة مكافئة بطرح دورة كاملة، ومقدارها راديان، من هذه القيمة:

نلاحظ أن هذه السعة المكافئة تقع ضمن المدى القياسي ؛ ومن ثَمَّ، يمكننا استخدام هذه السعة لكتابة الجذر الثالث للعدد واحد على الصورة .

في المثال التالي، سنوجد الجذور الخماسية للعدد واحد؛ بحيث تقع سعاتها ضمن المدى القياسي، ونحسب مجموعها.

في المثال السابق، وجدنا أن مجموع الجذور الخماسية للعدد واحد يساوي صفرًا. وفي الواقع، هذه خاصية عامة للجذور النونية للعدد واحد، كما سنرى لاحقًّا.

في المثال التالي، سنتناول مقلوب الجذر النوني للعدد واحد.

مثال ٣: مقلوبات الجذور النونية للعدد واحد

افترض أن أحد الجذور النونية للعدد واحد.

1. أيٌّ من الآتي يُمثِّل العلاقة الصحيحة بين ، ؟
2. عبِّر عن بدلالة قوى موجبة لـ .

الحل

الجزء الأول

في هذا المثال، نجد أن لدينا ؛ حيث أحد الجذور النونية للعدد واحد. تذكَّر أن نظرية ديموافر للقوى الصحيحة تخبرنا أنه إذا كان العدد المركب ، فإن:

العدد الصحيح هنا هو . ونحن نعلم أيضًا أن مقياس الجذر النوني للعدد واحد يساوي ١. بعبارةٍ أخرى، ؛ حيث هي السعة. ومن ثَمَّ، بتطبيق نظرية ديموافر للقوى الصحيحة، نجد أن:

هذا هو العدد المركب الذي مقياسه ١ وسعته . وبما أن سعة هذا العدد المركب لها إشارة مختلفة عن سعة ، فهذا يعني أنهما يقعان على جانبين متقابلين من المحور الحقيقي في مخطط أرجاند.

كما لاحظنا في مخطط أرجاند السابق، هذا يعني أن الجزأين الحقيقيين للعددين المركبين ، متساويان، أما الجزآن التخيُّليان لهذين العددين المركبين فلهما إشارتان مختلفتان. بعبارةٍ أخرى، هذان عددان مركبان مترافقان. إذن:

وهذا هو الخيار (د).

الجزء الثاني

في هذا الجزء، نريد تعبيرًا على الصورة ؛ حيث عدد صحيح موجب. وبما أن جذر نوني للعدد واحد، إذن نعلم أن:

يمكننا ضرب طرفَي هذه المعادلة في ، ثم استخدام قاعدة الأسس لكتابة:

وبما أن عدد صحيح موجب، إذن:

في المثال السابق، لاحظنا أن مقلوب الجذر النوني للعدد واحد يساوي مرافقه المركب. وهذا يعني أن حاصل ضرب جذر العدد واحد في مرافقه يساوي ١.

لقد تناولنا حتى الآن خواص الجذور النونية للعدد واحد. بعض الجذور النونية للعدد واحد تكون مشتركة لقيم مختلفة لـ . وهذه الجذور تُسمَّى الجذور المشتركة للعدد واحد. في المثال التالي، سنتناول الجذور النونية للعدد واحد المشتركة بين قيم مختلفة لـ .

في المثال السابق، وجدنا أن جميع الجذور التكعيبية للعدد واحد هي جذور سداسية أيضًا للعدد واحد. يمكننا أيضًا ملاحظة هذه الحقيقة من منظور مختلف. الجذر التكعيبي للعدد واحد هو عدد مركب يحقِّق المعادلة ، أما الجذر السداسي للعدد واحد فهو عدد مركب للمعادلة . إذا حقَّق أيُّ عدد مركبٍ المعادلةَ ، يمكننا تربيع كلا طرفَي المعادلة ليصبح لدينا:

ومن ثَمَّ، إذا حقَّق أيُّ عدد مركبٍ المعادلةَ ، فإنه يحقِّق أيضًا المعادلة . وفي الحقيقة، يمكننا أن نعمِّم هذه العبارة على نحو أوسع. نفترض أن لدينا عددين صحيحين موجبين ، ؛ بحيث يقبل القسمة على ، وهو ما يعني أن ؛ حيث عدد صحيح موجب. إذ كان أحد الجذور «» للعدد واحد، فلا بد أن يحقِّق المعادلة . وبرفع كلا طرفَي المعادلة للأس ، نجد أن:

هذا يعني أن هو أحد الجذور النونية للعدد واحد أيضًا. وهذا يخبرنا بأنه إذا كان ، عددين صحيحين موجبين؛ حيث يقبل القسمة على ، فإن جميع الجذور «» للعدد واحد تكون جذورًا نونية للعدد واحد.

يمكننا استخدام هذه العبارة لإثبات نظرية أعم. هذه المرة، هيا نفترض أن لا يقبل القسمة على ، ولكن . هذا يعني أن عامل مشترك لكلٍّ من ، . ومن ثَمَّ، فجميع الجذور «» للعدد واحد هي أيضًا من الجذور «» والجذور النونية للعدد واحد. وفي الواقع، إنها الجذور المشتركة للعدد واحد، على وجه التحديد.

هيا نتناول مثالًا نُطَّبِق فيه هذه النظرية لحل مسألة هندسية.

في الأمثلة السابقة، حدَّدنا الجذور المشتركة للعدد واحد. سنتناول الآن تعريفًا آخر مهمًّا للجذور النونية للعدد واحد. لقد ذكرنا فيما سبق الجذور النونية للعدد واحد؛ حيث ، التي كانت مُمثَّلة على مخططات أرجاند. هيا نكتبها هنا؛ بحيث تقع سعة كلٍّ من جذور العدد واحد ضمن المدى القياسي .

الأعداد المكتوبة باللون الأحمر في الجدول السابق هي الجذور النونية للعدد واحد التي ظهرت كأحد الجذور «» للعدد واحد؛ حيث . على سبيل المثال، الجذر ؛ حيث ، مكتوب باللون الأحمر؛ لأن هذا الجذر ظهر كأحد جذور العدد واحد عندما كان ، . هذا يعني أن الأعداد المكتوبة باللون الأخضر هي جذور العدد واحد التي تظهر لأول مرة في القائمة. هذه الجذور للعدد واحد تُسمَّى الجذور البدائية للعدد واحد.

من خلال الجدول السابق، حدَّدنا جميع الجذور النونية البدائية للعدد واحد؛ حيث :

يمكننا أن نلاحظ أن الجذر النوني غير البديهي الأول للعدد واحد؛ حيث ، هو دائمًا جذر بدائي للعدد واحد.

توضِّح لنا هذه الخاصية أيضًا أن هناك دائمًا عددًا مركبًا يكافئ أحد الجذور النونية البدائية للعدد واحد. ولكن، علينا أن نضع في اعتبارنا أن أي جذر نوني بدائي للعدد واحد لأيِّ ليس وحيدًا، وهذه الخاصية توفِّر طريقة للحصول على جذر نوني بدائي واحد مُحدَّد للعدد واحد بدلًا من جميع الجذور الأخرى.

هيا نُثبِت هذه الخاصية من خلال توضيح أنه لا يوجد عدد صحيح موجب ، أقل من ؛ بحيث يكون . ولذلك، سنفكِّر في عدد صحيح اختياري يحقِّق المتباينة . إذن باستخدام نظرية ديموافر للقوى الصحيحة، يمكننا كتابة:

نلاحظ أيضًا أن الشرط يتضمَّن عندما نقسم كل جزء من المتباينة على . ومن ثَمَّ، نجد أن سعة العدد المركب المذكور سابقًا تحقِّق المتباينة:

بما أن سعة العدد ١ تساوي صفرًا أو أي مضاعف صحيح للقيمة ، فهذا يعني أن لأيِّ عدد صحيح يحقِّق المتباينة . بعبارةٍ أخرى، هو أصغر عدد صحيح موجب؛ حيث ، وهو ما يثبت تلك الخاصية.

إحدى الخواص المهمة أيضًا للجذر النوني البدائي للعدد واحد هي أنه يُنتج جميع الجذور النونية للعدد واحد من خلال حساب قوى متتالية.

يمكننا إثبات صحة هذه الخاصية من خلال توضيح الحقيقتين الآتيتين. افترض أن جذر نوني بدائي للعدد واحد. إذن:

• أيُّ قوة صحيحة لـ هي أيضًا جذر نوني للعدد واحد
• الأعداد المركبة أعداد مختلفة.

إذا عرفنا هاتين الحقيقتين، فسنعرف أن عددها من الجذور النونية المختلفة للعدد واحد، وهو ما يعني أن جميعها جذور نونية للعدد واحد.

لتوضيح العبارة الأولى، نفترض أن عدد صحيح اختياري. إذن، باستخدام قواعد الأسس، نحصل على:

نحن نعلم أن بما أن جذر نوني للعدد واحد. ومن ثَمَّ، فإن الطرف الأيسر من المعادلة السابقة يساوي ١. وبما أن ، إذن جذر نوني للعدد واحد. وهذا يُثبت العبارة الأولى اللازمة لإثباتنا.

لإثبات العبارة الثانية، يمكننا أن نبدأ بافتراض أن هذه العبارة خطأ. ومن ثم، يوجد عددان مختلفان غير سالبين ، ؛ حيث ، ، يحقِّقان:

نفترض أن ؛ وذلك لأن ترتيب هذين العددين الصحيحين أمر اختياري. إذن بقسمة طرفَي المعادلة على ، ثم استخدام قاعدة الأسس، يمكننا كتابة:

هذا يعني أن يحقِّق المعادلة ؛ حيث عدد صحيح موجب بافتراض أن . ومن ثَمَّ، هو أحد الجذور «» للعدد واحد؛ حيث . ومع ذلك، يتعارض هذا مع حقيقة أن جذر نوني بدائي للعدد واحد. وهذا يعني أنه لا يمكن الحصول على: لأيِّ عددين صحيحين غير سالبين ، أصغر من . بعبارةٍ أخرى، الأعداد أعداد مختلفة عددها . وهذا يُثبِت الخاصية المطلوبة.

هيا نتناول الآن بعض خواص الجذور النونية البدائية للعدد واحد.

بما أن الحدود الموجودة في الطرف الأيمن من المعادلة السابقة هي الجذور النونية للعدد واحد، إذن هذه العبارة تخبرنا بأن مجموع الجذور النونية للعدد واحد يساوي صفرًا لأي . تذكَّر أننا قد أثبتنا أن مجموع الجذور الخماسية للعدد واحد يساوي صفرًا في مثال ٢. ويمكننا استخدام حيلة جبرية مشابهة هنا لإثبات هذه العبارة.

لإثبات هذه الخاصية، هيا نبدأ بجعل الطرف الأيمن من المعادلة يساوي ثابتًا مجهولًا :

بضرب طرفَي هذه المعادلة في ، نحصل على:

بما أن جذر نوني للعدد واحد، فإننا نعلم أن . هذا يُعطينا:

يمكننا ملاحظة أن الطرفين الأيسرين من كلتا المعادلتين متساويان، وهو ما يوضِّح لنا أن:

بما أن جذر نوني بدائي للعدد واحد، إذن نعلم أن . هذا يعني أنه يمكننا قسمة طرفَي المعادلة السابقة على ، لنحصل على:

وهذا يُثبِت العبارة المطلوب إثباتها، التي تؤدي مباشرةً إلى النتيجة الآتية.

بما أن مجموع الأعداد المركبة يكافئ مجموع المتجهات هندسيًّا، إذن الخاصية المذكورة سابقًا تُعطينا جانبًا آخر لتماثل الجذور النونية للعدد واحد. لدينا تشبيه فيزيائي لذلك؛ إذا فكَّرنا في كل جذر من الجذور النونية للعدد واحد باعتباره متجهًا يُمثِّل مقدارًا واتجاهًا لقوة تؤثِّر على نقطة الأصل في مخطط أرجاند، فهذه الخاصية تخبرنا بأن التأثير المركب لجميع القوى عند نقطة الأصل يساوي صفرًا. بعبارةٍ أخرى، القوى التي تُمثِّلها الجذور النونية للعدد واحد تُشكِّل اتزانًا تامًّا.

هيا نتناول الآن مثالًا علينا فيه تطبيق هذه الخاصية على الجذور النونية البدائية للعدد واحد.

في المثال الأخير، سنستخدم خواص الجذور النونية للعدد واحد لحل مسألة.

هيا نختتم بتلخيص بعض المفاهيم المهمة التي تناولناها في هذا الشارح.