تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: تطبيقات التكامل غير المحدَّد الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم التكامل غير المحدَّد للتعبير عن دالة، بمعلومية معدَّل تغيُّرها.

في هذه المرحلة، يجب أن نكون على دراية بالدوال ومشتقاتها. لكن، أحيانًا لا يكون مُعطى لدينا تعبير للدالة، 󰎨(𞸎). ففي بعض الأحيان، لا يكون مُعطى لنا سوى تعبير لمعدَّل تغيُّر هذه الدالة، 󰎨(𞸎). في هذه الحالة، لإيجاد الدالة الأصلية، علينا إيجاد المشتقات العكسية، ولفعل ذلك، علينا استخدام التكامل.

عندما بدأنا نتعلَّم كيف نُوجِد التكامل، لاحظنا أنه يمكن استخدام التكامل غير المحدَّد لإيجاد المشتقات العكسية.

على سبيل المثال، نعلم أنه إذا كان: 𞸑=𞸎،٢ فيمكننا إيجاد تكامل هذا التعبير باستخدام قاعدة القوة للتكامل: 󰏅𞸎𞸃𞸎=𞸎٣+𞸖.٢٣

يُسمَّى التعبير 𞸎٣+𞸖٣ الصورة العامة للمشتقة العكسية لدالتنا الأصلية 𞸎٢؛ لأنها مشتقة عكسية لأيِّ قيمة لـ 𞸖.

لتوضيح ذلك، يمكننا اشتقاق 𞸎٣+𞸖٣ بالنسبة إلى 𞸎: 𞸃𞸃𞸎󰃁𞸎٣+𞸖󰃀=𞸎،٣٢ وبذلك نستعيد دالتنا الأصلية.

لكن هذا ليس كل شيء فيما يتعلَّق بالتكامل. يمكننا فعل الشيء نفسه تمامًا، لكن سنبدأ هذه المرة بالآتي: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸎.٢

يمكننا بعد ذلك اتباع نفس الخطوات لنجد أن: 𞸃𞸃𞸎󰃁𞸎٣+𞸖󰃀=𞸎.٣٢

في كلتا هاتين المعادلتين، نشتق دالة لنحصل على 𞸎٢؛ بعبارة أخرى، 𞸑=𞸎٣+𞸖٣. إن التكامل والتفاضل عمليتان عكسيتان إحداهما للأخرى، وهذا في الواقع نتيجة مباشرة للنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.

لذلك، إذا بدأنا بكتابة تعبير لمشتقة الدالة 󰎨(𞸎)، فإننا نعلم أن 󰎨(𞸎) هي المشتقة العكسية لـ 󰎨(𞸎). إذن، يمكننا أن نجرِّب استخدام التكامل غير المحدَّد لإيجاد تعبير لـ 󰎨(𞸎). بالطبع عندما نفعل ذلك سنُوجِد المشتقة العكسية العامة، التي ستتضمَّن ثابتًا مجهولًا، 𞸖.

تذكَّر أن مشتقة أي ثابت تساوي صفرًا؛ لذلك 𞸖 يمكن أن يكون أيَّ عدد حقيقي. هذا يعني أنه لإيجاد قيمة 𞸖، فإننا نحتاج إلى مزيد من المعلومات حول المنحنى. هذه المعلومات الإضافية عادةً ما تكون نقطةً تقع على المنحنى؛ ويشار إلى هذا أحيانًا بالشرط الابتدائي أو الشرط الحدي. يمكننا بعد ذلك التعويض بقيمتَي 𞸎، 𞸑 المناظرتين في المعادلة لإيجاد قيمة 𞸖.

هيا نتناول بعض الأمثلة على استخدام هذه الطريقة لإيجاد دالة بمعلومية مشتقتها ونقطة تقع على المنحنى.

مثال ١: إيجاد معادلة منحنى بمعلومية تعبير لميل مماسه ونقطة تقع على المنحنى

أوجد معادلة المنحنى الذي يمر بالنقطة (٢،١)، إذا كان ميل مماس المنحنى عند أي نقطة عليه يساوي ١١𞸎٢.

الحل

نعلم أن ميل مماس المنحنى يساوي ١١𞸎٢، لكننا نعلم أيضًا أن ميل مستقيم المماس عند أي قيمة لـ 𞸎 لا بد أن يساوي 𞸃𞸑𞸃𞸎 (معدَّل تغيُّر 𞸑 بالنسبة إلى 𞸎).

إذن: 𞸃𞸑𞸃𞸎=١١𞸎.٢

علينا إيجاد تعبير للمنحنى 𞸑. بما أن مشتقة 𞸑 تساوي ١١𞸎٢، إذن يجب أن تكون أيضًا المشتقة العكسية لـ ١١𞸎٢ تساوي 𞸑.

يمكننا محاولة إيجاد هذه المشتقة العكسية باستخدام التكامل غير المحدَّد: 𞸑=󰏅١١𞸎𞸃𞸎.٢

ويمكننا إيجاد قيمة هذا التكامل باستخدام قاعدة القوة للتكامل: 𞸑=󰏅١١𞸎𞸃𞸎=١١٣𞸎+𞸖.٢٣

وبذلك، نكون قد أوجدنا حلًّا عامًّا للمنحنى، يتضمَّن ثابت التكامل 𞸖. لإيجاد قيمة 𞸖، يمكننا استخدام حقيقة أن المنحنى يمر بالنقطة (٢،١).

ومن ثَمَّ، لا بد أن تتحقَّق المعادلة عند 𞸎=٢، 𞸑=١: ١=١١٣(٢)+𞸖١=٨٨٣+𞸖𞸖=٥٨٣.٣

وأخيرًا، نعوِّض بقيمة 𞸖 هذه في معادلة المنحنى لنحصل على: 𞸑=١١٣𞸎٥٨٣.٣

في المثال السابق، أوجدنا الحل العام 𞸑=١١٣𞸎+𞸖٣. وهذا يكون المشتقة العكسية لأيِّ قيمة لـ 𞸖. يمكننا أيضًا أن نرسم هذا المنحنى لبعض قيم 𞸖، ونلاحظ ما يحدث للميل.

نلاحِظ أن المنحنيات على هذه الصورة عبارة عن انتقالات رأسية بعضها لبعض، وأن الانتقال الرأسي لن يُغيِّر ميل المنحنى عند أيِّ قيمة محدَّدة لـ 𞸎. على سبيل المثال، نرى أن كلَّ منحنى من المنحنيات الثلاثة الموضَّحة له الميل نفسه عند 𞸎=٠.

المنحنى 𞸑=١١٣𞸎٥٨٣٣ هو المنحنى الوحيد على هذه الصورة الذي يمر بالنقطة (٢،١)؛ إذن فهو الحل الخاص.

في المثال التالي، سنرى أنه لا يمكننا دائمًا استخدام التكامل مباشرةً؛ عادةً ما نحتاج إلى استخدام بعض الطرق لتسهيل التكامل.

مثال ٢: إيجاد معادلة منحنى بمعلومية تعبير لميل مماسه باستخدام التكامل والمتطابقات المثلثية

أوجد معادلة المنحنى، علمًا بأن ميل المماس يساوي ٥󰂔𞸎٢󰂓٢، وأن المنحنى يمر بنقطة الأصل.

الحل

أولًا، علمنا أن ميل المماس للمنحنى عند قيمة ما لـ 𞸎 يساوي ٥󰂔𞸎٢󰂓٢. تذكَّر أن ميل مستقيم المماس للمنحنى يُعبَّر عنه أيضًا بـ 𞸃𞸑𞸃𞸎 (معدَّل تغيُّر 𞸑 بالنسبة إلى 𞸎).

إذن، نعلم من السؤال أن: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٥󰂔𞸎٢󰂓،٢ وعلينا إيجاد المعادلة 𞸑=󰎨(𞸎) للمنحنى.

نعلم أن 󰎨(𞸎)=٥󰂔𞸎٢󰂓٢، إذن، بعبارة أخرى، نحن نبحث عن مشتقة عكسية لـ ٥󰂔𞸎٢󰂓٢. إحدى الطرق للقيام بذلك هي استخدام التكامل غير المحدَّد: 𞸑=󰏅٥󰂔𞸎٢󰂓𞸃𞸎.٢

بما أننا لا نعرف كيف نُوجِد تكامل هذه الدالة بطريقة مباشرة، إذن بدلًا من ذلك، سنستخدم متطابقة ضعف الزاوية لجيب التمام: (٢𝜃)١٢𝜃.٢

نعيد ترتيب ذلك لنجد أن: ٢𝜃١(٢𝜃)٢، ثم نعوِّض بـ 𝜃=𞸎٢ لنحصل على: ٢󰂔𞸎٢󰂓١(𞸎)٢.

والآن بعد أن أعدنا كتابة الدالة التي سنُجري تكاملها على هذه الصورة، يمكننا إيجاد التكامل غير المحدَّد لهذا التعبير: 𞸑=󰏅٥󰂔𞸎٢󰂓𞸃𞸎=󰏅٥󰃁١(𞸎)٢󰃀𞸃𞸎=٥󰏅١(𞸎)٢𞸃𞸎=٥󰃁𞸎٢(𞸎)٢󰃀+𞸖=٥𞸎٢٥(𞸎)٢+𞸖.٢

هذا يعني أننا أوجدنا الآن حلًّا عامًّا للمنحنى مع ثابت التكامل 𞸖. لإيجاد قيمة 𞸖، علينا أن نتذكَّر أننا نعلم أن المنحنى يمر بنقطة الأصل.

إذن يمكننا التعويض بـ 𞸎=٠، 𞸑=٠ في معادلة المنحنى: ٠=٥(٠)٢٥(٠)٢+𞸖، وهو ما يعطينا: 𞸖=٠.

بالتعويض بـ 𞸖=٠ في المعادلة العامة للمنحنى، نكون قد أوضحنا أن معادلة المنحنى المحدَّد الذي يمر بالنقطة (٠،٠) يجب أن تكون: 𞸑=٥٢𞸎٥(𞸎)٢.

مثال ٣: إيجاد قيمة دالة بمعلومية تعبير لميلها باستخدام التكامل غير المحدَّد

إذا كان الميل عند (𞸎،𞸑) هو ٣𞸤٣𞸎، 󰎨(٠)=٣، فأوجد 󰎨(٣).

الحل

لدينا في السؤال ميل المنحنى. نعلم أيضًا قيمة مخرجة واحدة للدالة عند قيمة معطاة لـ 𞸎، علينا استخدام ذلك لإيجاد قيمة 󰎨(٣).

أولًا، بما أن لدينا ميل المنحنى الذي يمثِّل الدالة 󰎨، إذن يمكننا كتابة ذلك على الصورة 󰎨(𞸎)=٣𞸤٣𞸎.

علينا إيجاد 󰎨(𞸎)، وهي المشتقة العكسية لـ ٣𞸤٣𞸎. يمكننا إيجاد ذلك باستخدام التكامل غير المحدَّد: 󰎨(𞸎)=󰏅٣𞸤𞸃𞸎=𞸤+𞸖.٣𞸎٣𞸎

لذا يجب أن يكون 󰎨(𞸎)=𞸤+𞸖٣𞸎، لكل قيمة 𞸖. لإيجاد قيمة 𞸖، يمكننا استخدام حقيقة أن 󰎨(٠)=٣.

وهذا يعطينا: ٣=󰎨(٠)=𞸤+𞸖=١+𞸖.٣𞸎

إذن: 𞸖=٤، ويمكننا التعويض بذلك في المعادلة 󰎨(𞸎)، وهو ما يعطينا: 󰎨(𞸎)=𞸤٤.٣𞸎

أخيرًا، يطلب منا السؤال إيجاد قيمة 󰎨(٣)؛ لذلك ليس علينا سوى التعويض بـ 𞸎=٣ في دالتنا: 󰎨(٣)=𞸤٤=𞸤٤=٤+١𞸤.٣(٣)٩٩

يعطينا ذلك الإجابة النهائية: 󰎨(٣)=٤+١𞸤٩.

حتى الآن، تضمَّنت جميع الأمثلة إيجاد دالة من مشتقتها، لكن هذا ليس الشيء الوحيد الذي يمكننا فعله. تذكَّر أن المشتقات يمكن استخدامها أيضًا لإيجاد نقاط التحوُّل في الدوال، والنقاط التي يتغيَّر عندها اتجاه تقعُّر المنحنى.

هذا يعني أنه عندما تكون لدينا مشتقة دالة، يمكننا استخدام التكامل غير المحدَّد لمساعدتنا في إيجاد معادلة المنحنى. يمكننا بعد ذلك استخدام المشتقة المعطاة بالإضافة إلى معادلة المنحنى لإيجاد النقاط الحرجة.

نتناول مثالًا لدينا فيه ميل المنحنى، وعلينا إيجاد إحداثيات القيم القصوى المحلية.

مثال ٤: إيجاد القيم العظمى والصغرى المحلية لدالة بمعلومية ميل مماسها ونقطة تقع على المنحنى باستخدام التكامل

أوجد القيم العظمى والصغرى المحلية للمنحنى المار بالنقطة (١،٧)، إذا كان ميل المماس عند أي نقطة عليه هو ٦󰁓𞸎+٤𞸎+٣󰁒٢.

الحل

أول ما علينا ملاحظته هو أن السؤال يخبرنا أن ميل المماس للمنحنى عند أي نقطة عليه هو ٦󰁓𞸎+٤𞸎+٣󰁒٢. وهذا يعني أن: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٦󰁓𞸎+٤𞸎+٣󰁒.٢

علينا إيجاد القيم العظمى والصغرى المحلية للمنحنى؛ وللقيام بذلك، علينا أن نتذكَّر أننا نحصل على القيم القصوى المحلية دائمًا عند النقاط الحرجة في الدالة (حيث تساوي المشتقة صفرًا أو تكون غير موجودة). في هذه الحالة، المشتقة المعطاة هي كثيرة الحدود، التي نعلم أنها مُعرَّفة جيدًا لجميع قيم 𞸎. إذن، لإيجاد النقاط الحرجة، علينا فقط إيجاد قيم 𞸎 التي تساوي المشتقة عندها صفرًا: ٦󰁓𞸎+٤𞸎+٣󰁒=٠،𞸎+٤𞸎+٣=٠،(𞸎+٣)(𞸎+١)=٠،𞸎+٣=٠،𞸎+١=٠.٢٢

إذن النقاط الحرجة للمنحنى تكون عند 𞸎=٣، 𞸎=١. لكننا لم ننتهِ بعدُ؛ فالسؤال يطلب منا إيجاد قيمة 𞸑 للقيم القصوى المحلية، ولإجراء ذلك، علينا إيجاد تعبير للمنحنى.

بما أن المنحنى مشتقة عكسية لـ ٦󰁓𞸎+٤𞸎+٣󰁒٢، إذن نُوجِد معادلته باستخدام التكامل غير المحدَّد: 𞸑=󰏅٦󰁓𞸎+٤𞸎+٣󰁒𞸃𞸎=٦󰏅𞸎+٤𞸎+٣𞸃𞸎=٦󰃁𞸎٣+٤𞸎٢+٣𞸎󰃀+𞸖=٢𞸎+٢١𞸎+٨١𞸎+𞸖.٢٢٣٢٣٢

هذا يعني أنه يجب أن نحصل على 𞸑=٢𞸎+٢١𞸎+٨١𞸎+𞸖٣٢، لكل قيمة 𞸖. لإيجاد قيمة 𞸖، علينا استخدام حقيقة أن المنحنى يمر بالنقطة (١،٧): ٧=٢(١)+٢١(١)+٨١(١)+𞸖٧=٢+٢١٨١+𞸖𞸖=٥١.٣٢

يمكننا بعد ذلك التعويض بقيمة 𞸖 هذه مرة أخرى في معادلة المنحنى، وهو ما يعطينا: 𞸑=٢𞸎+٢١𞸎+٨١𞸎+٥١.٣٢

نريد إيجاد القيم القصوى المحلية؛ لذا علينا البدء بإيجاد قيمة المنحنى عند النقطتين الحرجتين.

𞸎=١: 𞸑=٢(١)+٢١(١)+٨١(١)+٥١=٧.٣٢

𞸎=٣: 𞸑=٢(٣)+٢١(٣)٢+٨١(٣)+٥١=٥١.٣

قد نرغب في التوقُّف هنا؛ ولكن من الهام جدًّا أن نتحقَّق من أن هذه هي القيم القصوى المحلية حقًّا وليست نقاط الانقلاب، ونحدِّد نوع هذه القيم القصوى. هناك بعض الخيارات المختلفة للقيام بذلك؛ على سبيل المثال، يمكننا استخدام اختبار المشتقة الأولى أو الثانية. لكن، بما أن المنحنى تكعيبي وله معامل رئيسي موجب ونقطتان حرجتان، إذن يمكننا رسم المنحنى.

بمعلومية شكل المنحنى، يمكننا ملاحظة أن أصغر قيمة لـ 𞸑 عند 𞸎=١، وأكبر قيمة لـ 𞸑 عند 𞸎=٣. وهذا يعطينا الإجابة النهائية: القيمة العظمى المحلية للمنحنى عند 𞸎=٣، والتي تساوي ١٥، والقيمة الصغرى المحلية للمنحنى عند 𞸎=١، والتي تساوي ٧.

وأخيرًا، قد نحتاج أيضًا إلى استخدام التكامل غير المحدَّد عدة مرات لإيجاد الدالة الأصلية. أحد الأمثلة الجيدة على ذلك، عندما تكون لدينا المشتقة الثانية للدالة ومطلوب منا إيجاد الدالة الأصلية؛ يمكننا إجراء التكامل مرةً واحدة لإيجاد دالة الميل، ثم إجراء التكامل مرةً أخرى لإيجاد الدالة الأصلية. نتناول مثالًا على ذلك.

مثال ٥: إيجاد معادلة منحنى بمعلومية مشتقته الثانية ومعادلة مماسه عند نقطة باستخدام التكامل

المشتقة الثانية للمنحنى هي ٦𞸎، ومعادلة المماس عند النقطة (٢،٤) هي ٦𞸎𞸑+٨=٠. أوجد معادلة المنحنى.

الحل

لدينا المشتقة الثانية للدالة ومطلوب منا إيجاد معادلة المنحنى الممثَّل بهذه الدالة. للقيام بذلك، علينا أن نتذكَّر ما تعنيه المشتقة الثانية للمنحنى: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸎󰃁𞸃𞸑𞸃𞸎󰃀.٢٢

يمكن إيجاد المشتقة الثانية للدالة من خلال اشتقاق المشتقة الأولى.

وهناك طريقة أخرى لصياغة ذلك، وهي أن 𞸃𞸑𞸃𞸎 هي المشتقة العكسية لـ 𞸃𞸑𞸃𞸎٢٢؛ لذا يمكننا محاولة إيجاد 𞸃𞸑𞸃𞸎 باستخدام التكامل: 𞸃𞸑𞸃𞸎=󰏅𞸃𞸑𞸃𞸎𞸃𞸎=󰏅٦𞸎𞸃𞸎=٣𞸎+𞸖.٢٢٢

عند هذه النقطة، لدينا خياران. يتمثَّل الخيار الأول في إيجاد تكامل دالة الميل العامة التي أوجدناها توًّا. وهذا يعطينا مجهولًا آخر في المعادلة. ويتمثَّل الخيار الثاني في إيجاد قيمة 𞸖 باستخدام معادلة مستقيم المماس للمنحنى. في هذه الحالة، من الأسهل التعامل مع مستقيم المماس؛ لأن لدينا هذه المعلومات بالفعل.

للقيام بذلك، تذكَّر أن لدينا 𞸃𞸑𞸃𞸎=٣𞸎+𞸖٢؛ وهذا يخبرنا بميل مستقيم المماس للمنحنى عند 𞸎. تخبرنا المسألة أيضًا بأن خط المماس لهذا المنحنى عند (٢،٤) معادلته هي ٦𞸎𞸑+٨=٠. وبهذا، يمكننا إيجاد ميل هذا المستقيم بكتابة المعادلة بصيغة الميل والمقطع: 𞸑=٦𞸎+٨، والتي توضِّح لنا أن: 𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾=٦.𞸎=٢

ومن ثَمَّ، فإن ميل مستقيم المماس عند 𞸎=٢ هو ٦. يمكننا بعد ذلك التعويض بـ 𞸎=٢ في المعادلة العامة التي أوجدناها لـ 𞸃𞸑𞸃𞸎.

بما أننا نعرف أن قيمة 𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾=٦𞸎=٢، إذن يمكننا استخدامها لإيجاد قيمة المجهول: ٦=٣(٢)+𞸖،𞸖=٦.٢

هذا يعني أننا قد أوضحنا أن: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٣𞸎٦.٢

يمكننا الآن محاولة إيجاد معادلة المنحنى. سنفعل ذلك بتذكُّر أن 𞸑 مشتقة عكسية لـ 𞸃𞸑𞸃𞸎: 𞸑=󰏅𞸃𞸑𞸃𞸎𞸃𞸎=󰏅󰁓٣𞸎٦󰁒𞸃𞸎=𞸎٦𞸎+𞸊.٢٣

وبذلك، نكون قد أوضحنا أن الحل العام للمنحنى هو 𞸑=𞸎٦𞸎+𞸊٣ لكل قيمة 𞸊.

يمكننا إيجاد قيمة 𞸊 باستخدام حقيقة أن المنحنى يمر بالنقطة (٢،٤). بالتعويض بهذه القيم في معادلة المنحنى، نحصل على: ٤=(٢)٦(٢)+𞸊٤=٨+٢١+𞸊𞸊=٨.٣

وأخيرًا، نعوِّض بقيمة 𞸊 هذه في معادلة المنحنى لنحصل على الإجابة النهائية: 𞸑=𞸎٦𞸎٨.٣

دعونا نختم الآن باسترجاع بعض النقاط التي تناولناها.

النقاط الرئيسية

  • يمكن استخدام التكامل غير المحدَّد لإيجاد المشتقة العكسية العامة للدالة.
  • إذا علمنا أن 𞸃𞸑𞸃𞸎=󰎨(𞸎)، فإن هذا يعني أن: 𞸑=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=𞸓(𞸎)+𞸖.
  • يمكننا إيجاد قيمة ثابت التكامل، ومن ثَمَّ المشتقة العكسية المحدَّدة، إذا كانت لدينا نقطة تقع على المنحنى.
  • عندما تكون لدينا إحداثيات نقطة تقع على المنحنى، يشار إلى ذلك باعتباره شرطًا ابتدائيًّا أو شرطًا حديًّا.
  • عند التعامل مع المشتقات ذات الرتب العليا، فقد نحتاج إلى استخدام التكامل المتعدِّد (و/أو الشروط الحدية) لإيجاد المشتقة العكسية الصحيحة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.