شارح الدرس: تطبيقات التكامل غير المحدَّد الرياضيات

مثال ١: إيجاد معادلة منحنى بمعلومية تعبير لميل مماسه ونقطة تقع على المنحنى

أوجد معادلة المنحنى الذي يمر بالنقطة ، إذا كان ميل مماس المنحنى عند أي نقطة عليه يساوي .

الحل

نعلم أن ميل مماس المنحنى يساوي ، لكننا نعلم أيضًا أن ميل مستقيم المماس عند أي قيمة لـ لا بد أن يساوي (معدَّل تغيُّر بالنسبة إلى ).

إذن:

علينا إيجاد تعبير للمنحنى . بما أن مشتقة تساوي ، إذن يجب أن تكون أيضًا المشتقة العكسية لـ تساوي .

يمكننا محاولة إيجاد هذه المشتقة العكسية باستخدام التكامل غير المحدَّد:

ويمكننا إيجاد قيمة هذا التكامل باستخدام قاعدة القوة للتكامل:

وبذلك، نكون قد أوجدنا حلًّا عامًّا للمنحنى، يتضمَّن ثابت التكامل . لإيجاد قيمة ، يمكننا استخدام حقيقة أن المنحنى يمر بالنقطة .

ومن ثَمَّ، لا بد أن تتحقَّق المعادلة عند ، :

وأخيرًا، نعوِّض بقيمة هذه في معادلة المنحنى لنحصل على:

مثال ٢: إيجاد معادلة منحنى بمعلومية تعبير لميل مماسه باستخدام التكامل والمتطابقات المثلثية

أوجد معادلة المنحنى، علمًا بأن ميل المماس يساوي ، وأن المنحنى يمر بنقطة الأصل.

الحل

أولًا، علمنا أن ميل المماس للمنحنى عند قيمة ما لـ يساوي . تذكَّر أن ميل مستقيم المماس للمنحنى يُعبَّر عنه أيضًا بـ (معدَّل تغيُّر بالنسبة إلى ).

إذن، نعلم من السؤال أن: وعلينا إيجاد المعادلة للمنحنى.

نعلم أن ، إذن، بعبارة أخرى، نحن نبحث عن مشتقة عكسية لـ . إحدى الطرق للقيام بذلك هي استخدام التكامل غير المحدَّد:

بما أننا لا نعرف كيف نُوجِد تكامل هذه الدالة بطريقة مباشرة، إذن بدلًا من ذلك، سنستخدم متطابقة ضعف الزاوية لجيب التمام:

نعيد ترتيب ذلك لنجد أن: ثم نعوِّض بـ لنحصل على:

والآن بعد أن أعدنا كتابة الدالة التي سنُجري تكاملها على هذه الصورة، يمكننا إيجاد التكامل غير المحدَّد لهذا التعبير:

هذا يعني أننا أوجدنا الآن حلًّا عامًّا للمنحنى مع ثابت التكامل . لإيجاد قيمة ، علينا أن نتذكَّر أننا نعلم أن المنحنى يمر بنقطة الأصل.

إذن يمكننا التعويض بـ ، في معادلة المنحنى: وهو ما يعطينا:

بالتعويض بـ في المعادلة العامة للمنحنى، نكون قد أوضحنا أن معادلة المنحنى المحدَّد الذي يمر بالنقطة يجب أن تكون:

مثال ٣: إيجاد قيمة دالة بمعلومية تعبير لميلها باستخدام التكامل غير المحدَّد

إذا كان الميل عند هو ، ، فأوجد .

الحل

لدينا في السؤال ميل المنحنى. نعلم أيضًا قيمة مخرجة واحدة للدالة عند قيمة معطاة لـ ، علينا استخدام ذلك لإيجاد قيمة .

أولًا، بما أن لدينا ميل المنحنى الذي يمثِّل الدالة ، إذن يمكننا كتابة ذلك على الصورة .

علينا إيجاد ، وهي المشتقة العكسية لـ . يمكننا إيجاد ذلك باستخدام التكامل غير المحدَّد:

لذا يجب أن يكون ، لكل قيمة . لإيجاد قيمة ، يمكننا استخدام حقيقة أن .

وهذا يعطينا:

إذن: ويمكننا التعويض بذلك في المعادلة ، وهو ما يعطينا:

أخيرًا، يطلب منا السؤال إيجاد قيمة ؛ لذلك ليس علينا سوى التعويض بـ في دالتنا:

يعطينا ذلك الإجابة النهائية: .

مثال ٤: إيجاد القيم العظمى والصغرى المحلية لدالة بمعلومية ميل مماسها ونقطة تقع على المنحنى باستخدام التكامل

أوجد القيم العظمى والصغرى المحلية للمنحنى المار بالنقطة ، إذا كان ميل المماس عند أي نقطة عليه هو .

الحل

أول ما علينا ملاحظته هو أن السؤال يخبرنا أن ميل المماس للمنحنى عند أي نقطة عليه هو . وهذا يعني أن:

علينا إيجاد القيم العظمى والصغرى المحلية للمنحنى؛ وللقيام بذلك، علينا أن نتذكَّر أننا نحصل على القيم القصوى المحلية دائمًا عند النقاط الحرجة في الدالة (حيث تساوي المشتقة صفرًا أو تكون غير موجودة). في هذه الحالة، المشتقة المعطاة هي كثيرة الحدود، التي نعلم أنها مُعرَّفة جيدًا لجميع قيم . إذن، لإيجاد النقاط الحرجة، علينا فقط إيجاد قيم التي تساوي المشتقة عندها صفرًا:

إذن النقاط الحرجة للمنحنى تكون عند ، . لكننا لم ننتهِ بعدُ؛ فالسؤال يطلب منا إيجاد قيمة للقيم القصوى المحلية، ولإجراء ذلك، علينا إيجاد تعبير للمنحنى.

بما أن المنحنى مشتقة عكسية لـ ، إذن نُوجِد معادلته باستخدام التكامل غير المحدَّد:

هذا يعني أنه يجب أن نحصل على ، لكل قيمة . لإيجاد قيمة ، علينا استخدام حقيقة أن المنحنى يمر بالنقطة :

يمكننا بعد ذلك التعويض بقيمة هذه مرة أخرى في معادلة المنحنى، وهو ما يعطينا:

نريد إيجاد القيم القصوى المحلية؛ لذا علينا البدء بإيجاد قيمة المنحنى عند النقطتين الحرجتين.

:

:

قد نرغب في التوقُّف هنا؛ ولكن من الهام جدًّا أن نتحقَّق من أن هذه هي القيم القصوى المحلية حقًّا وليست نقاط الانقلاب، ونحدِّد نوع هذه القيم القصوى. هناك بعض الخيارات المختلفة للقيام بذلك؛ على سبيل المثال، يمكننا استخدام اختبار المشتقة الأولى أو الثانية. لكن، بما أن المنحنى تكعيبي وله معامل رئيسي موجب ونقطتان حرجتان، إذن يمكننا رسم المنحنى.

بمعلومية شكل المنحنى، يمكننا ملاحظة أن أصغر قيمة لـ عند ، وأكبر قيمة لـ عند . وهذا يعطينا الإجابة النهائية: القيمة العظمى المحلية للمنحنى عند ، والتي تساوي ١٥، والقيمة الصغرى المحلية للمنحنى عند ، والتي تساوي ٧.

مثال ٥: إيجاد معادلة منحنى بمعلومية مشتقته الثانية ومعادلة مماسه عند نقطة باستخدام التكامل

المشتقة الثانية للمنحنى هي ، ومعادلة المماس عند النقطة هي . أوجد معادلة المنحنى.

الحل

لدينا المشتقة الثانية للدالة ومطلوب منا إيجاد معادلة المنحنى الممثَّل بهذه الدالة. للقيام بذلك، علينا أن نتذكَّر ما تعنيه المشتقة الثانية للمنحنى:

يمكن إيجاد المشتقة الثانية للدالة من خلال اشتقاق المشتقة الأولى.

وهناك طريقة أخرى لصياغة ذلك، وهي أن هي المشتقة العكسية لـ ؛ لذا يمكننا محاولة إيجاد باستخدام التكامل:

عند هذه النقطة، لدينا خياران. يتمثَّل الخيار الأول في إيجاد تكامل دالة الميل العامة التي أوجدناها توًّا. وهذا يعطينا مجهولًا آخر في المعادلة. ويتمثَّل الخيار الثاني في إيجاد قيمة باستخدام معادلة مستقيم المماس للمنحنى. في هذه الحالة، من الأسهل التعامل مع مستقيم المماس؛ لأن لدينا هذه المعلومات بالفعل.

للقيام بذلك، تذكَّر أن لدينا ؛ وهذا يخبرنا بميل مستقيم المماس للمنحنى عند . تخبرنا المسألة أيضًا بأن خط المماس لهذا المنحنى عند معادلته هي . وبهذا، يمكننا إيجاد ميل هذا المستقيم بكتابة المعادلة بصيغة الميل والمقطع: والتي توضِّح لنا أن:

ومن ثَمَّ، فإن ميل مستقيم المماس عند هو ٦. يمكننا بعد ذلك التعويض بـ في المعادلة العامة التي أوجدناها لـ .

بما أننا نعرف أن قيمة ، إذن يمكننا استخدامها لإيجاد قيمة المجهول:

هذا يعني أننا قد أوضحنا أن:

يمكننا الآن محاولة إيجاد معادلة المنحنى. سنفعل ذلك بتذكُّر أن مشتقة عكسية لـ :

وبذلك، نكون قد أوضحنا أن الحل العام للمنحنى هو لكل قيمة .

يمكننا إيجاد قيمة باستخدام حقيقة أن المنحنى يمر بالنقطة . بالتعويض بهذه القيم في معادلة المنحنى، نحصل على:

وأخيرًا، نعوِّض بقيمة هذه في معادلة المنحنى لنحصل على الإجابة النهائية: