في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُعرِّف الأنواع المختلفة من المستويات الإحداثية، وكيف نُعرِّف إحداثيات نقطة، وكيف نُمثِّل النقاط على المستوى.
المستويات الإحداثية مُفيدة، خصوصًا في تحديد مواضع الأجسام باستخدام إحداثياتها. على كوكب الأرض، عادةً ما نَستخدِم نظام الإحداثيات الجغرافية (GCS) استنادًا إلى خطوط الطول وخطوط العَرْض. في الهندسة، نَستخدِم بشكلٍ عامٍّ مستوًى إحداثيًّا تكون فيه المحاور متعامِدة ومُقسَّمة إلى مسافات متساوية. في هذا الشارح، سنُلقِي نظرةً أكثر تفصيلًا على هذا المستوى الإحداثي المألوف، بالإضافة إلى بعض المستويات الإحداثية البديلة.
دعونا أولًا نُعرِّف المستوى الإحداثي بصفة عامَّة.
تعريف: المستوى الإحداثي
يتكوَّن المستوى الإحداثي من أيِّ ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة ؛ حيث هو ، و هو الذي يكون اتجاهه الموجب في اتجاه ، والمستقيم هو الذي يكون اتجاهه الموجب في اتجاه . طول القطعة المستقيمة وحدة طول ، وطول القطعة المستقيمة وحدة طول .
انطلاقًا من هذا التعريف، نلاحِظ أن المستوى الإحداثي العياري المتعامِد مستوًى إحداثي خاصٌّ؛ نظرًا لأن لدينا ، .
دعونا نختَرْ ثلاث نقاط عشوائية ليست على استقامة واحدة ، ، ؛ بحيث نعلم مواضعها في فضاءٍ، كما هو موضَّح.
إذا أردنا استخدامها لتكوين المستوى الإحداثي ، علينا رسم المستقيمين ، لتكوين المحورين ، وإنشاء شبكة بيانية ذات خطوط موازية لكِلا المحورين، وتفصل بينها وحدات الطول التي تُحدَّد من خلال ، .
يُمكننا أن نلاحِظ أن هذا المستوى الإحداثي غير عياري متعامِد؛ نظرًا لأن ، ليسا متعامِدين. وهذا النوع من المستويات الإحداثية يُسمَّى المستوى الإحداثي المائل.
المستوى الإحداثي المتعامِد هو المستوى الإحداثي الذي يكون فيه ، متعامدين.
ومن ثَمَّ، يكون لدينا ثلاثة أنواع مختلفة من المستويات الإحداثية التي سنحدِّدها الآن.
تعريف: أنواع المستويات الإحداثية (و؛ س، ص)
في مستوًى إحداثي مائل، ، غير متعامدين.
في مستوًى إحداثي متعامِد، .
في مستوًى إحداثي عياري متعامِد، ، .
من الجدير بالملاحَظة أنه من أجل التيسير، عادةً ما نُمثِّل المستويات الإحداثية باستخدام الأفقي ما أمكن ذلك؛ نظرًا لأن هذا يجعل التفسير البصري أسهل.
في المثال الأول، سنَستخدِم هذه التعريفات لتحديد الأنواع المختلفة من المستويات الإحداثية.
مثال ١: تحديد المستويات الإحداثية المتعامِدة والعيارية المتعامِدة والمائلة
مثلث متساوي الساقين به زاوية قائمة عند . النقاط ، ، نقاط منتصف القِطَع المستقيمة ، ، ، على الترتيب. 
- أيٌّ من المستويات الآتية المستوى الإحداثي العياري المتعامِد؟
- أيٌّ من المستويات الآتية متعامدٌ، لكنه ليس مستوًى إحداثيًّا عياريًّا متعامِدًا؟
- أيٌّ من المستويات الآتية المستوى الإحداثي المائل؟
الحل
الجزء الأول
تذكَّر أن النقطة الأولى التي تُعطَى في المستوى الإحداثي هي نقطة الأصل. والخط الذي يبدأ من نقطة الأصل إلى النقطة الثانية يُكوِّن ، والخط الذي يبدأ من نقطة الأصل إلى النقطة الثالثة يُكوِّن .
في المستوى الإحداثي العياري المتعامِد يكون المحوران متعامِدين، وتكون وحدات الطول المُعرَّفة على أنها المسافة بين كلٍّ من نقطة الأصل والنقطتين الثانية والثالثة على الترتيب متساوية.
لنتناول جميع الخيارات، ونُحدِّد إذا ما كان الشرط الأول (أيْ إن المحورين متعامدان) قد تحقَّق.
الخيار (أ) هو المستوى الإحداثي . المثلث قائم الزاوية عند ، وهو ما يعني أن الزاوية ليست زاوية قائمة. ومن ثَمَّ فإن المستقيمين ، ليسَا متعامِدين.
الخيار (ب) هو المستوى الإحداثي . بما أن زاوية قائمة، فإن المستقيمين ، متعامِدان.
الخيار (ج) هو المستوى الإحداثي . بما أن زاوية قائمة، فإن المستقيمين ، متعامِدان.
الخيار (د) هو المستوى الإحداثي . المثلث قائم الزاوية عند ، وهو ما يعني أن الزاوية ليست زاوية قائمة. ومن ثَمَّ فإن المستقيمين ، ليسَا متعامِدين.
الخيار (هـ) هو المستوى الإحداثي . المثلث قائم الزاوية عند ، وهو ما يعني أن الزاوية ليست زاوية قائمة. ومن ثَمَّ فإن المستقيمين ، ليسَا متعامِدين.
إذن يكون المحوران ، متعامِدين في الخيارين (ب)، (ج) فقط. علينا الآن أن نحدِّد إذا ما كان الشرط الثاني (أيْ إن وحدات الطول لكِلا المحورين متساوية) قد تَحقَّق في كِلا الخيارين. بالنسبة إلى الخيار (ب)، هذا يعني إذا ما كان ، وبالنسبة إلى الخيار (ج)، هذا يعني إذا ما كان .
بما أن المثلث متساوي الساقين وله زاوية قائمة عند ، فإن . النقطة هي نقطة منتصف ، والنقطة هي نقطة منتصف ، إذن . ومن ثَمَّ فإن هو المستوى الإحداثي العياري المتعامِد الوحيد. وهذا هو الخيار (ج).
الجزء الثاني
تذكَّر أنه في المستوى الإحداثي المتعامِد يكون المحوران متعامِدين. ونحن نعلم أيضًا أن المستوى الإحداثي عندما يكون غير عياري متعامِدٍ، يعني أن الطولين بين كلٍّ من نقطة الأصل والنقطة الثانية والثالثة، على الترتيب، غير متساويين.
كما في الجزء الأول، دعونا نتناول الخيارات، ونَستبعِد أولًا المستويات الإحداثية التي يكون فيها المحوران غير متعامِدين.
الخيار (أ) هو المستوى الإحداثي . بما أن زاوية قائمة، فإن المستقيمين ، متعامِدان.
الخيار (ب) هو المستوى الإحداثي . بما أن زاوية قائمة، فإن المستقيمين ، متعامِدان.
الخيار (ج) هو المستوى الإحداثي . متوسط المثلث المتساوي الساقين ؛ حيث ؛ ومن ثَمَّ فهو العمود المنصِّف للقطعة المستقيمة أيضًا. ومن ثَمَّ، فإن المستقيمين ، متعامِدان.
الخيار (د) هو المستوى الإحداثي . المثلث قائم الزاوية عند ، وهو ما يعني أن الزاوية ليست زاوية قائمة. ومن ثَمَّ، فإن المستقيمين ، ليسَا متعامِدين.
الخيار (هـ) هو المستوى الإحداثي . بما أن زاوية قائمة، فإن المستقيمين ، متعامِدان.
سنحذف الخيار (د) فقط؛ لأن مِحورَيْه ليسَا متعامِدين، ومن ثَمَّ لا يُمكن أن يكون نظامًا إحداثيًّا متعامِدًا.
دعونا نقارن بين وحدات الطول لكِلا المحورين.
الخيار (أ) هو المستوى الإحداثي . كما أوضحنا في الجزء الأول، فإن .
الخيار (ب) هو المستوى الإحداثي . كما أوضحنا في الجزء الأول، فإن .
الخيار (ج) هو المستوى الإحداثي . المثلث متساوي الساقين، إذن . علاوةً على ذلك، فإن هو منصِّف الزاوية أيضًا. ومن ثَمَّ فإن . ومن ثَمَّ فإن المثلث متساوي الساقين؛ أيْ .
الخيار (هـ) هو المستوى الإحداثي . لدينا ، ، إذن .
ومن ثَمَّ فإن هو المستوى الإحداثي المتعامِد. وهذا هو الخيار (هـ).
الجزء الثالث
علينا تحديد أيُّ المستويات هو المستوى الإحداثي المائل، وهذا يعني المستوى الذي يكون مِحوراه غير متعامِدين.
بالنظر إلى جميع الخيارات، نجد أن هو المستوى الإحداثي المائل الوحيد؛ نظرًا لأن المستقيمين ، ليسَا متعامِدين. وهذا هو الخيار (ب).
والآن بعد أن عرَّفنا هذه الأنواع الثلاثة المختلفة من المستويات الإحداثية، دعونا نُعرِّف الإحداثيات في المستوى الإحداثي .
تعريف: الإحداثيات
إذا كان لدينا المستوى الإحداثي ، فإن موضع أيِّ نقطة على المستوى يُوصَف باستخدام إحداثياتها المُشار إليها على هذا النحو .
هو العدد الحقيقي على لنقطة تقاطع المستقيم الذي يوازي ويمرُّ عبر النقطة .
هو العدد الحقيقي على لنقطة تقاطع الخط المستقيم الذي يوازي ويمرُّ عبر النقطة .
باستخدام هذا التعريف، يُمكننا تحديد الإحداثيات للنقطة على مستوًى إحداثي مائل، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.
من التعريف، من الجدير بالملاحَظة أن إحداثيات في المستوى الإحداثي هي ، وإحداثيات هي .
في المثال الآتي، سنَستخدِم فهْمنا للإحداثيات في مستوًى إحداثي عياري متعامِد.
مثال ٢: تحديد إحداثيات نقطة بمعلومية إحداثيات نقطة أخرى في مستوًى إحداثي
، نقطتان في مستوًى إحداثي عياري متعامِد، فيه الأفقي الموجب يُشير إلى اليمين، و الرأسي الموجب يُشير إلى الأعلى. تُعطي الشبكة البيانية وحدات الطول للمحورين. إذا كانت إحداثيات هي ، فما إحداثيات ؟
الحل
نحن نعلم أن النقطتين ، تقعان في مستوًى إحداثي عياري متعامِد؛ حيث تُعطَى وحدات الطول عن طريق الشبكة البيانية. لإيجاد إحداثيات النقطة ، سنحدِّد أولًا موضع نقطة الأصل للمستوى الإحداثي؛ أيْ ، وذلك باستخدام إحداثيات النقطة ، . تعني هذه الإحداثيات أن النقطة تقع على بُعد وحدة طول واحدة على يمين نقطة الأصل، ووحدتَيْ طول أعلى نقطة الأصل. بعبارة أخرى: تقع نقطة الأصل للمستوى الإحداثي على بُعد وحدة طول واحدة على يسار النقطة ووحدتَيْ طول أسفل النقطة .
يُمكننا الآن رسم مِحورَيِ المستوى الإحداثي وقراءة إحداثيات النقطة .
تكون النقطة على بُعد وحدة طول واحدة إلى يسار نقطة الأصل، وتقع على . ومن ثَمَّ فإن إحداثياتها هي .
في المثال السابق، تناولنا نقاطًا تقع في نظام إحداثي عياري متعامِد. وفي المثال الآتي، سنتناول الفروق بين الأنواع الثلاثة من المستويات الإحداثية.
مثال ٣: تحديد نوع شكل رباعي في أنواع مختلفة من المستويات الإحداثية
لدينا النقاط ، ، ، في مستوًى إحداثي.
- إذا كان المستوى الإحداثي مائلًا، فما الشكل الرباعي ؟
- شبه منحرف
- شكل طائرة ورقية
- مربع
- مستطيل
- متوازي أضلاع
- إذا كان المستوى الإحداثي متعامِدًا، فما الشكل الرباعي ؟
- شبه منحرف
- شكل طائرة ورقية
- مربع
- مستطيل
- إذا كان المستوى الإحداثي عياريًّا متعامِدًا، فما الشكل الرباعي ؟
- شبه منحرف
- شكل طائرة ورقية
- مربع
الحل
الجزء الأول
دعونا نرسم مستوًى إحداثيًّا مائلًا، ونحدِّد النقاط ، ، ، .
بما أن النقاط: ، من ناحية؛ ، من ناحية أخرى لكلِّ زوج نفس قيمة الإحداثي ، فإن . وبالمثل، بما أن النقاط: ، من ناحية؛ ، من ناحية أخرى لكلِّ زوج نفس قيمة الإحداثي نفسه، فإن . ومن ثَمَّ، يُمكننا استنتاج أن متوازي أضلاع (أي الخيار هـ).
الجزء الثاني
دعونا نُواصِل على النحو الوارد سابقًا، ونرسم مستوًى إحداثيًّا متعامِدًا، ونحدِّد النقاط ، ،، .
لنفس الأسباب التي وردت في المستوى الإحداثي المائل، فإن متوازي أضلاع. لكنه متوازي أضلاع خاص؛ نظرًا لأن المحورين ، متعامِدان. متوازي الأضلاع الذي به زاوية قائمة يكون مستطيلًا. ومن ثَمَّ، فإن مستطيل (أي الخيار د).
الجزء الثالث
أخيرًا: بالنسبة إلى المستوى الإحداثي العياري المتعامِد، فإننا نعلم الآن أن . ومن ثَمَّ فإن عبارة عن مستطيل خاص؛ حيث جميع أضلاعه متساوية؛ أيْ إنه مربع (الخيار ج).
دعونا ننتقل إلى المثال الآتي حيث علينا قراءة الإحداثيات في مستوًى إحداثي مائل، مع الانتباه إلى أن الشبكة البيانية في مستوًى إحداثي مائل تُكوِّن متوازيات أضلاع.
مثال ٤: إيجاد إحداثيات نقطة ما في أشكال متعدِّدة للمستوى الإحداثي
متوازي أضلاع، والنقاط ، ، ، نقاط منتصف القِطَع المستقيمة ، ، ، ، على الترتيب.
أوجد إحداثيات النقطة في كلٍّ من أنواع المستويات الإحداثية الآتية.
- المستوى الإحداثي
- المستوى الإحداثي
- المستوى الإحداثي
- المستوى الإحداثي
الحل
قبل البدء، دعونا نلاحِظ أنه بما أن متوازي أضلاع، والنقاط ، ، ، هي نقاط منتصف القِطَع المستقيمة ، ، ، ، فإن ، .
الجزء الأول
في المستوى الإحداثي ، هو نقطة الأصل، هو ؛ حيث هو وحدة الطول له، هو ؛ حيث هو وحدة الطول له. ومن ثَمَّ فإن إحداثيات النقطة هي ، وإحداثيات النقطة هي .
لإيجاد قيمة الإحداثي للنقطة ، علينا أن نبحث عن المستقيم الذي يوازي (أي المستقيم ) ويمرُّ عبر النقطة ؛ وهو المستقيم . إذْ إنه يَقطع (أي المستقيم ) عند النقطة ؛ حيث يُناظِر قيمة الإحداثي التي تساوي واحدًا.
لإيجاد قيمة الإحداثي للنقطة ، علينا أن نبحث عن المستقيم الذي يوازي (أي المستقيم ) ويمرُّ عبر النقطة ؛ وهو المستقيم . إذْ إنه يَقطع (أي المستقيم ) عند النقطة ؛ حيث يُناظِر قيمة الإحداثي التي تساوي واحدًا. إذن إحداثيات النقطة في المستوى الإحداثي هي .
الجزء الثاني
في المستوى الإحداثي ، هو نقطة الأصل. ومن ثَمَّ فإن إحداثيات هذه النقطة هي .
الجزء الثالث
في المستوى الإحداثي ، هو نقطة الأصل، هو ؛ حيث هو وحدة الطول له، هو ؛ حيث هو وحدة الطول له. ومن ثَمَّ فإن إحداثيات النقطة هي ، وإحداثيات النقطة هي .
المستقيم الذي يوازي ويمرُّ عبر النقطة هو . إذْ إنه يَقطع عند النقطة ، ليُعطِي قيمة الإحداثي التي تساوي واحدًا.
المستقيم الذي يوازي ويمرُّ عبر النقطة هو . إذْ إنه يَقطع عند النقطة ، ليُعطِي قيمة الإحداثي التي تساوي واحدًا.
ومن ثَمَّ فإن إحداثيات النقطة في المستوى الإحداثي هي .
الجزء الرابع
في المستوى الإحداثي ، هو نقطة الأصل، هو ؛ حيث هو وحدة الطول له، هو ؛ حيث هو وحدة الطول له. ومن ثَمَّ فإن إحداثيات النقطة هي ، إحداثيات النقطة هي .
المستقيم الذي يوازي ويمرُّ عبر النقطة هو . إذْ يَقطع عند . وبما أن هو نقطة منتصف ، إذن ؛ حيث يُناظِر قيمة الإحداثي التي تساوي اثنين.
المستقيم الذي يوازي ويمرُّ عبر النقطة هو . إذْ يَقطع عند النقطة . وبما أن هو نقطة منتصف ، إذن ؛ حيث يُناظِر قيمة الإحداثي التي تساوي اثنين.
ومن ثَمَّ فإن إحداثيات النقطة في المستوى الإحداثي هي .
في المثال الأخير، علينا تحديد إحداثيات نقطة مُعطاة في مستوًى إحداثي مُعرَّف حديثًا.
مثال ٥: تحديد نوع مستوًى إحداثي مُعطًى وإحداثيات نقطة في مستوًى إحداثي مختلف
لدينا النقاط ، ، في المستوى الإحداثي العياري المتعامِد . 
- ما نوع المستوى الإحداثي ؟
- ما إحداثيات النقطة في المستوى الإحداثي ؟
الحل
الجزء الأول
في المستوى الإحداثي ، هو نقطة الأصل، هو ؛ حيث هو وحدة طوله، هو ؛ حيث هو وحدة طوله. لتحديد نوع المستوى الإحداثي، علينا تحديد الآتي:
- إذا كان ، متعامِدين
- إذا كان .
نلاحِظ أن ، هما قطرَا مربع في الشبكة البيانية. ونحن نعلم أن قطر المربع هو محور تماثُل المربع، وهو ما يعني أن ، . إذن، بما أن ، نَجِد أن .
بالإضافة إلى ذلك، نظرًا إلى أن قطرَيِ المربع متساويان في الطول، وأن ، هما قطرَا مربعين متطابقين، فإن . ومن ثَمَّ يُمكننا استنتاج أن مستوًى إحداثي عياري متعامِد؛ وذلك لأن محورَيْه متعامِدان ولهما وحدة الطول نفسها.
الجزء الثاني
لإيجاد إحداثيات النقطة في المستوى الإحداثي ، علينا رسم المستقيمين الموازيين لكلٍّ من المحورين ، اللذين يمرَّان عبر النقطة .
المستقيم الذي يوازي يمرُّ عبر النقطة ، ويَقطع عند النقطة ، ليُعطِينا قيمة الإحداثي التي تساوي واحدًا.
المستقيم الذي يوازي يمرُّ عبر النقطة ويَقطع عند نقطة تَبعُد عن نقطة الأصل ضِعْف طول (أيْ إن القطعة المستقيمة التي تبدأ من نقطة الأصل إلى نقطة التقاطع هذه تساوي ضِعْف طول قطر الشبكة التربيعية)، ويكون على الجانب الموجب من (أيْ على نفس جانب ). ومن ثَمَّ فإنه يُناظِر قيمة الإحداثي التي تساوي اثنين.
ومن ثَمَّ فإن إحداثيات النقطة في المستوى الإحداثي هي .
هيا نختم بتلخيص بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- يتكوَّن المستوى الإحداثي من أيِّ ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة ؛ حيث هو ، و هو الذي يكون اتجاهه الموجب في اتجاه ، والمستقيم هو الذي يكون اتجاهه الموجب في اتجاه . طول القطعة المستقيمة هو وحدة طول ، وطول القطعة المستقيمة هو وحدة طول .
- يُسمَّى النظام الإحداثي القياسي الذي نَستخدِمه في الرياضيات النظام الإحداثي العياري المتعامِد، لكن هناك ثلاثة أنواع رئيسية من المستويات الإحداثية: المستوى المائل؛ حيث ، غير متعامِدين، والمستوى المتعامِد؛ حيث ، متعامِدان، والمستوى العياري المتعامِد، وهو مستوًى متعامِد مع إضافة الشرط الذي ينصُّ على أن .
- إذا كان لدينا المستوى الإحداثي ، فإن موضع أيِّ نقطة على المستوى يُوصَف باستخدام إحداثياتها المُشار إليها على هذا النحو . هو العدد الحقيقي على لنقطة تقاطع المستقيم الذي يوازي ويمرُّ عبر النقطة . هو العدد الحقيقي على لنقطة تقاطع المستقيم الذي يوازي ويمرُّ عبر النقطة .
