شارح الدرس: مجال ومدى الدالة الجذرية | نجوى شارح الدرس: مجال ومدى الدالة الجذرية | نجوى

شارح الدرس: مجال ومدى الدالة الجذرية الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد مجال دالة جذرية ومداها من خلال تمثيلها البياني أو قاعدة تعريفها.

على وجه التحديد، سنركِّز على مجال ومدى الدوال التي تتضمَّن جذور تربيعية وتكعيبية.

نبدأ بتذكُّر تعريفَي مجال الدالة ومداها.

نظرية: مجال الدالة ومداها

مجال الدالة 󰎨(𞸎) هو مجموعة كل قيم 𞸎 الممكنة؛ بحيث يكون التعبير 󰎨(𞸎) معرَّفًا.

مدى الدالة 󰎨(𞸎) هو مجموعة كل القيم الممكنة التي يمكن أن يأخذها التعبير 󰎨(𞸎)، عندما تكون 𞸎 أيَّ عدد من مجال الدالة.

على سبيل المثال، نتناول الدالة 󰎨(𞸎)=󰋴𞸎. إذا كان هناك عدد حقيقي 𞸑 يحقِّق 𞸑=󰋴𞸎، فلا بد أن يتحقَّق أن 𞸎=𞸑٢. نحن نعلم أن مربع أيِّ عدد حقيقي لا يكون سالبًا؛ ومن ثَمَّ، لا بد ألَّا تكون 𞸎 سالبة. هذا يخبرنا بأن مجال دالة الجذر التربيعي هو 𞸎٠، ويُعبَّر عنه في رمز الفترة على الصورة [٠،[.

التمثيل البياني لدالة الجذر التربيعي موضَّح في الآتي:

في الشكل السابق، دالة الجذر التربيعي ممثَّلة بيانيًّا على الفترة [٠،٢]. على الرغم من أن التمثيل البياني للدالة يصبح أكثر تسطُّحًا لقيم 𞸎 الكبيرة، فإنه يستمر في الزيادة دون حدٍّ. يمكننا ملاحظة هذا التأثير من خلال تمثيل دالة الجذر التربيعي بيانيًّا على فترة أكبر؛ مثل [٠،٠٠٠١].

يمكننا ملاحظة أن قيمة 𞸑 من التمثيل البياني تتزايد لقيم 𞸎 الكبيرة. في الواقع، إذا كان هناك أيُّ عدد موجب كبير 𞸑 نعرف أن 󰋴𞸑=𞸑٢. ونعرف أيضًا أن 󰋴٠=٠. ومن ثَمَّ، فإن مدى دالة الجذر التربيعي هو [٠،[.

نظرية: مجال دالة الجذر التربيعي ومداها

مجال ومدى دالة الجذر التربيعي، 󰎨(𞸎)=󰋴𞸎، هما [٠،[.

وبشكلٍ عام، يمكن تحديد مجال دالة الجذر التربيعي المركبة 󰋴𞸓(𞸎) عن طريق إيجاد قيم 𞸎 التي تحقِّق 𞸓(𞸎)٠.

نتناول بعض الأمثلة التي نُحدِّد فيها مجال ومدى الدوال التي تتضمَّن الجذر التربيعي.

مثال ١: إيجاد مجال الدوال الجذرية

افترض أن الدالة 󰎨(𞸎)=󰋴𞸎.

  1. أوجد مجال 󰎨(𞸎).
  2. أوجد مدى 󰎨(𞸎).

الحل

الجزء الأول

نتذكَّر أن الجذر التربيعي لا يمكن أن يتضمَّن عددًا سالبًا داخل الجذر. ومن ثَمَّ، يمكن إيجاد مجال الدالة المُعطاة بجعل المقدار داخل الجذر التربيعي أكبر من أو يساوي صفرًا. بعبارة أخرى: 𞸎٠.

وينتج عن هذا 𞸎٠، وهو ما يعني ]،٠] في رمز الفترة.

ويكون مجال 󰎨(𞸎) هو ]،٠].

الجزء الثاني

مدى الدالة هو مجموعة كل القيم الممكنة للدالة. نحن نعلم أن مدى دالة الجذر التربيعي 󰋴𞸎 هو [٠،[. بعبارة أخرى، لأيِّ عدد 𞸑 في الفترة [٠،[، يمكننا إيجاد عدد ما 𞸎 يحقِّق 𞸑=󰋴𞸎. وهذا يعني أن العدد 𞸎 يحقِّق: 󰎨(𞸎)=󰋴(𞸎)=󰋴𞸎=𞸑.

ومن ثَمَّ، فإن أيَّ عدد في الفترة [٠،[ هو قيمة ممكنة للدالة 󰎨(𞸎)=󰋴𞸎.

ويكون مدى 󰎨(𞸎) هو [٠،[.

نتناول مثالًا آخر للحصول على مجال دالة الجذر التربيعي المركبة.

مثال ٢: إيجاد مجال الدوال الجذرية

أوجد مجال الدالة 󰎨(𞸎)=󰋴٧𞸎٧.

الحل

تذكَّر أن مجال الدالة 󰋴𞸓(𞸎) هو مجموعة قيم 𞸎 التي تحقِّق: 𞸓(𞸎)٠.

في هذا المثال، 𞸓(𞸎)=٧𞸎٧. ومن ثَمَّ، فإن مجال هذه الدالة هو مجموعة قيم 𞸎 التي تحقِّق: ٧𞸎٧٠.

إعادة ترتيب هذه المتباينة ينتج عنه 𞸎١، ويُكتب ذلك على الصورة [١،[ في رمز الفترة.

ويكون مجال 󰎨(𞸎)=󰋴٧𞸎٧ هو [١،[.

في المثال التالي، نُحدِد التمثيل البياني الصحيح لدالة الجذر التربيعي المركبة بالنظر إلى مجالها ومداها.

مثال ٣: تحديد التمثيل البياني لدالة جذرية

أيٌّ ممَّا يلي هو التمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎)=󰋴١٢𞸎؟

الحل

هيا نستخدم مجال 󰎨(𞸎)=󰋴١٢𞸎 ومداها لتحديد التمثيل البياني. نعرف أن مجال 󰋴𞸓(𞸎) هو مجموعة قيم 𞸎 التي تحقِّق: 𞸓(𞸎)٠.

في هذا المثال، 𞸓(𞸎)=١٢𞸎. ومن ثَمَّ، فإن مجال هذه الدالة هو مجموعة قيم 𞸎 التي تحقِّق: ١٢𞸎٠.

إعادة ترتيب هذه المتباينة ينتج عنه 𞸎١٢، ويُكتب ذلك على الصورة 󰂖،١٢󰂖 في رمز الفترة. ومن ثَمَّ، يكون مجال 󰎨(𞸎) هو 󰂖،١٢󰂖.

تذكَّر أن مدى دالة الجذر التربيعي 󰋴𞸎 هو [٠،[. لقد لاحظنا أن 󰎨(𞸎)=󰋴𞸓(𞸎)؛ حيث 𞸓(𞸎)=١٢𞸎. وبما أن مدى 𞸓(𞸎)=١٢𞸎 هو كل الأعداد الحقيقية، إذن لا بد أن يكون مدى 󰋴𞸓(𞸎) هو نفس مدى 󰋴𞸎. وينتج عن ذلك مدى 󰎨(𞸎)، وهو [٠،[.

هيا نُحدِّد أيٌّ من التمثيلات البيانية يمثِّل دالة مجالها 󰂖،١٢󰂖 ومداها [٠،[. في كل تمثيل بياني مُعطى، يكون مجال الدالة الممثَّلة بيانيًّا هو الجزء من المحور الأفقي الذي يُوجَد عنده التمثيل البياني. وأيضًا، مدى الدالة هو الجزء من المحور الرأسي الذي يوجد عنده التمثيل البياني. ونحصل على مجال كل دالة ومداها باستخدام تمثيلها البياني.

  1. المجال: 󰂗١٢،󰂗، المدى: [٠،[
  2. المجال: 󰂖،١٢󰂖، المدى: ]،٠[
  3. المجال: ]،[، المدى: ]،[
  4. المجال: 󰂖،١٢󰂖، المدى: [٠،[
  5. المجال: 󰂗١٢،󰂗، المدى: [٠،[

ومن ثَمَّ، يكون التطابق الوحيد الممكن لـ 󰎨(𞸎)=󰋴١٢𞸎 هو الخيار د.

نتذكَّر أنه عند التعامل مع الدوال الكسرية، يجب أن نحرص على تقييد المجال للتأكُّد من أن الدالة في مقام الكسر لا يمكن أن تساوي صفرًا. هيا نوضِّح كيف نُوجِد مجال الدالة التي تكون عبارة عن نسبة بين دالتين مركبتين تتضمَّنان جذرًا تربيعيًّا.

مثال ٤: إيجاد مجال الدوال الكسرية

أوجد مجال الدالة 󰎨(𞸎)=󰋴𞸎+٧󰋴𞸎٥.

الحل

في الدالة المُعطاة، نلاحظ نوعين من القيود على المجال.

  • الجذر التربيعي: يوجد تعبيران 󰋴𞸎+٧، 󰋴𞸎٥. ونتذكَّر أن دالة الجذر التربيعي لا يمكن أن تتضمَّن عددًا سالبًا.
  • المقام: هذا هو التعبير 󰋴𞸎٥. نتذكَّر أن مقام الكسر لا يمكن أن يساوي صفرًا.

نبدأ بالنظر إلى القيود التي يفرضها الجذر التربيعي. لكي يكون 󰋴𞸎+٧ معرَّفًا تعريفًا جيدًا، نحتاج إلى أن يكون 𞸎+٧٠. وينتج عن ذلك 𞸎٧، وهي الفترة [٧،[.

لكي يكون 󰋴𞸎٥ معرَّفًا تعريفًا جيدًا، نحتاج إلى أن يكون 𞸎٥٠، وينتج عن ذلك 𞸎٥ أو [٥،[.

وأخيرًا، ننظر إلى المقام. وبما أن المقام لا يمكن أن يساوي صفرًا، إذن علينا استبعاد الحالة التي يكون فيها 󰋴𞸎٥=٠. تربيع طرفَي هذه المعادلة يعطينا 𞸎٥=٠، وينتج عن ذلك 𞸎=٥. ومن ثَمَّ، علينا اعتبار 𞸎٥.

مجال هذه الدالة هو مجموعة قيم 𞸎 التي تحقِّق جميع القيود الثلاثة: [٧،[،[٥،[،𞸎٥.

لمعرفة العلاقة بين هذه القيود الثلاثة، هيا نمثِّلها على خط الأعداد.

في الشكل السابق، يمثِّل اللون الأرجواني الفترة [٧،[، ويمثِّل اللون الأخضر الفترة [٥،[، وتمثِّل علامة X الحمراء القيد 𞸎٥. يمكننا أن نمثِّل فترة تحقِّق تقاطع هذه القيود في آنٍ واحد.

ومن ثَمَّ، يكون مجال 󰎨(𞸎) هو ]٥،[.

مثال ٥: إيجاد مجال الدوال الكسرية

أوجد مجال 󰎨(𞸎)=󰋴𞸎١󰋴٩𞸎󰋴𞸎٣.

الحل

في الدالة المُعطاة، نلاحظ نوعين من القيود على المجال.

  • الجذر التربيعي: تُوجَد التعبيرات الثلاثة 󰋴𞸎١، 󰋴٩𞸎، 󰋴𞸎٣. نتذكَّر أن دالة الجذر التربيعي لا يمكن أن تتضمَّن عددًا سالبًا.
  • المقام: هذا هو التعبير 󰋴٩𞸎󰋴𞸎٣. نتذكَّر أن مقام الكسر لا يمكن أن يساوي صفرًا.

نبدأ بتناول القيود التي يفرضها الجذر التربيعي. لكي يكون 󰋴𞸎١ معرَّفًا تعريفًا جيدًا، نحتاج إلى أن يكون 𞸎١٠. وينتج عن ذلك 𞸎١، وهي الفترة [١،[.

وبالمثل، التعبيران 󰋴٩𞸎، 󰋴𞸎٣ تنتج عنهما الفترتان ]،٩]، [٣،[ على الترتيب.

نتناول المقام بعد ذلك. وبما أن المقام لا يمكن أن يساوي صفرًا، إذن علينا استبعاد الحالة التي يكون عندها: 󰋴٩𞸎󰋴𞸎٣=٠.

يمكننا إضافة 󰋴𞸎٣ إلى طرفَي هذه المعادلة للحصول على: 󰋴٩𞸎=󰋴𞸎٣.

وبتربيع الطرفين، نحصل على: ٩𞸎=𞸎٣٢١=٢𞸎𞸎=٦.

ومن ثَمَّ، علينا اعتبار 𞸎٦.

لقد أوجدنا أربعة قيود على مجال 󰎨(𞸎): [١،[،]،٩]،[٣،[،𞸎٦.

هيا نرسم خط أعداد لتمثيل العلاقة بين هذه القيود بيانيًّا.

في الشكل السابق، يمثِّل اللون الأرجواني الفترة [١،[، ويمثِّل اللون الأخضر الفترة ]،٩]، ويمثِّل اللون الأزرق [٣،[، وتمثِّل علامة X الحمراء القيد 𞸎٦. يمكننا أن نمثِّل الفترة التي تحقِّق القيود الأربعة في آنٍ واحد.

ومن ثَمَّ، يكون مجال 󰎨(𞸎) هو [٣،٩]{٦}.

في الأمثلة السابقة، تناولنا مجال ومدى دوال الجذر التربيعي التي تتضمَّن المقادير الخطية 󰏡𞸎+𞸁. في المثال التالي، نُوجِد مجال ومدى دالة الجذر التربيعي المركبة؛ حيث يتضمَّن المقدار داخل الجذر التربيعي دالة القيمة المطلقة.

مثال ٦: إيجاد مجال الدوال الكسرية

افترض أن الدالة 󰎨(𞸎)=󰋴٤|𞸎٥|.

  1. أوجد مجال 󰎨(𞸎).
  2. أوجد مدى 󰎨(𞸎).

الحل

الجزء الأول

هيا نُوجِد مجال الدالة المُعطاة. نعرف أن مجال 󰋴𞸓(𞸎) هو مجموعة قيم 𞸎 التي تحقِّق: 𞸓(𞸎)٠.

في الدالة 󰎨(𞸎)، يُوجَد المقدار ٤|𞸎٥| أسفل الجذر التربيعي. ومن ثَمَّ، علينا إيجاد قيم 𞸎 التي تحقِّق: ٤|𞸎٥|٠.

لحل متباينة تتضمَّن قيمة مطلقة، نبدأ بجعل القيمة المطلقة بمفردها في أحد طرفَي المتباينة. بإضافة |𞸎٥| إلى طرفَي المتباينة، نحصل على: ٤|𞸎٥|.

يمكننا التفكير في ذلك من خلال حالتين منفصلتين. أولًا، ننظر إلى الحالة التي لا يكون فيها 𞸎٥ سالبًا. وبما أن القيمة المطلقة لا تغيِّر عددًا غير سالب، إذن المتباينة هي: ٤𞸎٥.

ثانيًا، نتناول الحالة التي يكون فيها 𞸎٥ سالبًا. بما أن القيمة المطلقة تلغي الإشارة السالبة، إذن يجب أن يكون المقدار 𞸎٥ يساوي ٤ على الأقل لتحقيق المتباينة ٤|𞸎٥|. بعبارة أخرى، 𞸎٥٤. بوضع الحالتين معًا، يكون ٤|𞸎٥| هو: ٤𞸎٥٤.

بإضافة ٥ إلى المتباينة نحصل على: ١𞸎٩.

ويكون مجال 󰎨(𞸎) هو [١،٩].

الجزء الثاني

هيا نُوجِد مدى 󰎨(𞸎). مدى الدالة هو مجموعة كل القيم الممكنة للدالة. يمكننا إيجاد مدى دالة ما بالنظر إلى أكبر وأصغر قيمتين ممكنتين لهذه الدالة. وبما أن أيَّ قيمة للدالة 󰎨(𞸎) تساوي الجذر التربيعي لعدد ما، إذن نعلم أنها لا يمكن أن تكون عددًا سالبًا. وبناءً على ذلك، فإن الصفر هو أصغر قيمة ممكنة للدالة إذا كان ذلك ممكنًا. لتحقيق ذلك، لا بد أن يساوي المقدار الموجود أسفل الجذر التربيعي صفرًا. وينتج عن ذلك: ٤=|𞸎٥|.

ويكون هذا ممكنًا عندما يكون 𞸎=١ أو 𞸎=٩. وهذا يعني أن أصغر قيمة ممكنة لـ 󰎨(𞸎) هي ٠.

لإيجاد أكبر قيمة ممكنة لـ 󰎨(𞸎)، نلاحظ أن |𞸎٥| عدد غير سالب. وبما أن المقدار داخل الجذر التربيعي هو ٤|𞸎٥|، إذن يكون للدالة أكبر قيمة عندما يكون |𞸎٥|=٠، وهو ما يحدث عندما يكون 𞸎=٥. في هذه الحالة، تكون قيمة الدالة هي 󰋴٤=٢. إذن أكبر قيمة ممكنة لـ 󰎨(𞸎) هي ٢.

ولكي نستنتج في النهاية أن مدى هذه الدالة هو [٠،٢]، علينا أن نتأكَّد من أن جميع القيم بين ٠ و٢ قيم ممكنة. إذا كانت 𞸑 هي أيُّ قيمة تقع بين ٠ و٢، فهيا نُوجِد العدد 𞸎 الذي يحقِّق 󰎨(𞸎)=𞸑. لدينا: 𞸑=󰋴٤|𞸎٥|.

بتربيع طرفَي المعادلة: 𞸑=٤|𞸎٥|.٢

وبإعادة ترتيب المعادلة: |𞸎٥|=٤𞸑.٢

وكما فعلنا من قبل، يمكننا تقسيم هذه المعادلة إلى حالتين، وذلك بناءً على إشارة 𞸎٥. لكن، بما أن علينا فقط إيجاد قيمة واحدة ممكنة لـ 𞸎، إذن نأخذ 𞸎٥>٠ فقط. في هذه الحالة، يكون لدينا: 𞸎٥=٤𞸑،٢ وينتج عن ذلك 𞸎=٩𞸑٢. هيا نتحقَّق ممَّا إذا كانت 󰎨󰁓٩𞸑󰁒=𞸑٢. بالتعويض بـ 𞸎=٩𞸑٢ في الدالة 󰎨(𞸎)، نحصل على: 󰎨󰁓٩𞸑󰁒=󰋴٤|(٩𞸑)٥|=󰋴٤|٤𞸑|.٢٢٢

نعلم أن ٠𞸑٢، ونعلم أيضًا أن ٤𞸑>٠٢؛ ومن ثَمَّ، يمكننا تجاهل القيمة المطلقة في 󰍸٤𞸑󰍸٢. وبتكملة ما بدأناه من الأعلى، نحصل على: =󰋴٤(٤𞸑)=󰋴٤٤+𞸑=󰋴𞸑.٢٢٢

بما أن 𞸑>٠، إذن 󰋴𞸑=𞸑٢. ومن ثَمَّ، فقد أوضحنا أنه لأي ٠𞸑٢، يكون لدينا 𞸎=٩𞸑٢ التي تحقِّق 󰎨(𞸎)=𞸑.

ويكون مدى 󰎨(𞸎) هو [٠،٢].

تناولنا العديد من الأمثلة حول مجال ومدى الدوال التي تتضمَّن الجذر التربيعي. وعلى عكس دوال الجذر التربيعي، فإن دوال الجذر التكعيبي لا تفرض أيَّ قيود على المجال أو المدى. فيما يلي التمثيل البياني لدالة الجذر التكعيبي ٣󰋴𞸎.

على عكس دالة الجذر التربيعي، نلاحظ أن الدالة تمتد إلى الجانبين الأيسر والأيمن للمحور 𞸑، وهو ما يشير إلى أن الجذر التكعيبي يمكن أن يأخذ أيَّ أعداد حقيقية. ونلاحظ أيضًا أن قيم 𞸑، تئول إلى موجب ما لا نهاية أو سالب ما لا نهاية عند التحرُّك إلى اليمين أو اليسار. وهذا يشير إلى أن مدى دالة الجذر التكعيبي هو جميع الأعداد الحقيقية.

نظرية: مجال دالة الجذر التكعيبي ومداها

مجال دالة الجذر التكعيبي، 󰎨(𞸎)=󰋴𞸎٣، أو مداها هو جميع الأعداد الحقيقية. هذا يُشار إليه بواسطة ]،[ أو 𞹇.

في المثال التالي، نُحدِّد مجال دالة الجذر التكعيبي التي يكون فيها المقدار أسفل الجذر التكعيبي خطيًّا، 󰏡𞸎+𞸁.

مثال ٧: إيجاد مجال دالة الجذر التكعيبي

عيِّن مجال الدالة 󰎨(𞸎)=󰋴٤𞸎+٣٣.

الحل

تذكَّر أن مجال ومدى دالة الجذر التكعيبي ٣󰋴𞸎 هما ]،[. بعبارة أخرى، دالة الجذر التكعيبي لا تفرض أيَّ قيود على المجال. بما أن المقدار، ٤𞸎+٣، أسفل الجذر التكعيبي ليس عليه أيُّ قيود تتعلَّق بالمجال، إذن لا تُوجَد أيُّ قيود على قيم 𞸎 الممكنة لهذه الدالة.

ومن ثَمَّ، يكون مجال 󰎨(𞸎)=󰋴٤𞸎+٣٣ هو جميع الأعداد الحقيقية، 𞹇.

في المثال الأخير، سنُوجِد مجال ومدى دالة تتضمَّن الجذرين التربيعي والتكعيبي.

مثال ٨: إيجاد مجال الدوال الكسرية

افترض أن الدالة 󰎨(𞸎)=󰋷٥٢١󰋴٢𞸎+٣٣.

  1. أوجد مجال 󰎨(𞸎).
  2. أوجد مدى 󰎨(𞸎).

الحل

الجزء الأول

هيا نُوجِد مجال 󰎨(𞸎). نتذكَّر قيود المجال لكلٍّ من الجذرين التربيعي والتكعيبي.

  • دالة الجذر التربيعي، 󰋴𞸎، مجالها [٠،[.
  • دالة الجذر التكعيبي، ٣󰋴𞸎، ليس لها قيود على المجال. ومجال دالة الجذر التكعيبي هو جميع الأعداد الحقيقية، أو 𞹇.

وبما أن الجذر التكعيبي لا يفرض أيَّ قيود على المجال، إذن علينا فقط التفكير في القيد المتعلِّق بالمقدار تحت الجذر التربيعي 󰋴٢𞸎+٣. وبجعل المقدار ٢𞸎+٣ غير سالب، نحصل على: ٢𞸎+٣٠.

بإعادة ترتيب هذه المتباينة، نحصل على 𞸎٥٫١.

ويكون مجال 󰎨(𞸎) هو [٥٫١،[.

الجزء الثاني

هيا نُوجِد مدى 󰎨(𞸎). أولًا، نتناول التعبير 󰋴٢𞸎+٣. تذكَّر أن مدى دالة الجذر التربيعي 󰋴𞸎 هو [٠،[. نلاحظ أن 󰋴٢𞸎+٣ يمكن كتابته على الصورة: 󰋴٢𞸎+٣=𞸓(٢𞸎+٣)،𞸓(𞸎)=󰋴𞸎.

بما أن مدى ٢𞸎+٣ هو جميع الأعداد الحقيقية، إذن لا بد أن يكون مدى 󰋴٢𞸎+٣ هو نفس مدى 𞸓(𞸎). ومن ثَمَّ، يكون مدى 󰋴٢𞸎+٣ هو [٠،[. وهذا يخبرنا أن المقدار 󰋴٢𞸎+٣ سيُنتِج قيمًا غير سالبة. وبناءً على ذلك، يمكن كتابة القيم الممكنة لـ 󰎨(𞸎)=󰋷٥٢١󰋴٢𞸎+٣٣ على الصورة: ٣󰋴٥٢١󰏡،󰏡٠.

تكون أكبر قيمة ممكنة لهذه الدالة عند 󰏡=٠، وهو ما يعطينا ٣󰋴٥٢١=٥. وبما أن أكبر قيمة للدالة هي ٥، ونحن نعرف أن دالة الجذر التكعيبي، ٣󰋴𞸎، تقترب من على يسار المحور 𞸑، إذن نستنتج أن مدى الدالة هو ]،٥]. هيا نبرِّر بعناية هذا الاستنتاج.

إذا كانت 𞸑 عددًا ما يحقِّق 𞸑٥، إذن علينا توضيح أن: 𞸑=󰋴٥٢١󰏡󰏡٠.٣

يمكننا أن نرفع طرفَي المعادلة للقوة التكعيبية للحصول على: 𞸑=٥٢١󰏡.٣

وبإعادة ترتيب هذه المعادلة، نحصل على: 󰏡=٥٢١𞸑.٣

وبما أن 𞸑٥، إذن يكون لدينا 𞸑٥٢١٣، وهو ما يعني 󰏡٠. وهذا يعني أن 𞸑 قيمة ممكنة للدالة ما دام أن 𞸑٥.

ويكون مدى 󰎨(𞸎) هو ]،٥].

هيا نختتم بتذكُّر بعض المفاهيم المهمة في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • مجال ومدى دالة الجذر التربيعي 󰎨(𞸎)=󰋴𞸎 هما [٠،[.
    وبشكلٍ عام، يمكن تحديد مجال دالة الجذر التربيعي المركبة 󰋴𞸓(𞸎) عن طريق إيجاد قيم 𞸎 التي تحقِّق 𞸓(𞸎)٠.
  • مجال ومدى دالة الجذر التكعيبي، 󰎨(𞸎)=󰋴𞸎٣، كلاهما جميع الأعداد الحقيقية. وهذا يُشار إليه بـ ]،[ أو 𞹇.
  • إذا كان مدى الدالة 𞸓(𞸎) هو جميع الأعداد الحقيقية، فإذن يكون مدى 󰋴𞸓(𞸎)، ٣󰋴𞸓(𞸎) هو [٠،[، 𞹇 على الترتيب.

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في الحصص المباشرة على نجوى كلاسيز وحقق التميز الدراسي بإرشاد وتوجيه من معلم خبير!

  • حصص تفاعلية
  • دردشة ورسائل
  • أسئلة امتحانات واقعية

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية