شارح الدرس: مجال ومدى الدالة الجذرية الرياضيات

مثال ١: إيجاد مجال الدوال الجذرية

افترض أن الدالة .

1. أوجد مجال .
2. أوجد مدى .

الحل

الجزء الأول

نتذكَّر أن الجذر التربيعي لا يمكن أن يتضمَّن عددًا سالبًا داخل الجذر. ومن ثَمَّ، يمكن إيجاد مجال الدالة المُعطاة بجعل المقدار داخل الجذر التربيعي أكبر من أو يساوي صفرًا. بعبارة أخرى:

وينتج عن هذا ، وهو ما يعني في رمز الفترة.

ويكون مجال هو .

الجزء الثاني

مدى الدالة هو مجموعة كل القيم الممكنة للدالة. نحن نعلم أن مدى دالة الجذر التربيعي هو . بعبارة أخرى، لأيِّ عدد في الفترة ، يمكننا إيجاد عدد ما يحقِّق . وهذا يعني أن العدد يحقِّق:

ومن ثَمَّ، فإن أيَّ عدد في الفترة هو قيمة ممكنة للدالة .

ويكون مدى هو .

مثال ٢: إيجاد مجال الدوال الجذرية

أوجد مجال الدالة .

الحل

تذكَّر أن مجال الدالة هو مجموعة قيم التي تحقِّق:

في هذا المثال، . ومن ثَمَّ، فإن مجال هذه الدالة هو مجموعة قيم التي تحقِّق:

إعادة ترتيب هذه المتباينة ينتج عنه ، ويُكتب ذلك على الصورة في رمز الفترة.

ويكون مجال هو .

مثال ٣: تحديد التمثيل البياني لدالة جذرية

أيٌّ ممَّا يلي هو التمثيل البياني للدالة ؟

الحل

هيا نستخدم مجال ومداها لتحديد التمثيل البياني. نعرف أن مجال هو مجموعة قيم التي تحقِّق:

في هذا المثال، . ومن ثَمَّ، فإن مجال هذه الدالة هو مجموعة قيم التي تحقِّق:

إعادة ترتيب هذه المتباينة ينتج عنه ، ويُكتب ذلك على الصورة في رمز الفترة. ومن ثَمَّ، يكون مجال هو .

تذكَّر أن مدى دالة الجذر التربيعي هو . لقد لاحظنا أن ؛ حيث . وبما أن مدى هو كل الأعداد الحقيقية، إذن لا بد أن يكون مدى هو نفس مدى . وينتج عن ذلك مدى ، وهو .

هيا نُحدِّد أيٌّ من التمثيلات البيانية يمثِّل دالة مجالها ومداها . في كل تمثيل بياني مُعطى، يكون مجال الدالة الممثَّلة بيانيًّا هو الجزء من المحور الأفقي الذي يُوجَد عنده التمثيل البياني. وأيضًا، مدى الدالة هو الجزء من المحور الرأسي الذي يوجد عنده التمثيل البياني. ونحصل على مجال كل دالة ومداها باستخدام تمثيلها البياني.

1. المجال: ، المدى:
2. المجال: ، المدى:
3. المجال: ، المدى:
4. المجال: ، المدى:
5. المجال: ، المدى:

ومن ثَمَّ، يكون التطابق الوحيد الممكن لـ هو الخيار د.

مثال ٤: إيجاد مجال الدوال الكسرية

أوجد مجال الدالة .

الحل

في الدالة المُعطاة، نلاحظ نوعين من القيود على المجال.

• الجذر التربيعي: يوجد تعبيران ، . ونتذكَّر أن دالة الجذر التربيعي لا يمكن أن تتضمَّن عددًا سالبًا.
• المقام: هذا هو التعبير . نتذكَّر أن مقام الكسر لا يمكن أن يساوي صفرًا.

نبدأ بالنظر إلى القيود التي يفرضها الجذر التربيعي. لكي يكون معرَّفًا تعريفًا جيدًا، نحتاج إلى أن يكون . وينتج عن ذلك ، وهي الفترة .

لكي يكون معرَّفًا تعريفًا جيدًا، نحتاج إلى أن يكون ، وينتج عن ذلك أو .

وأخيرًا، ننظر إلى المقام. وبما أن المقام لا يمكن أن يساوي صفرًا، إذن علينا استبعاد الحالة التي يكون فيها . تربيع طرفَي هذه المعادلة يعطينا ، وينتج عن ذلك . ومن ثَمَّ، علينا اعتبار .

مجال هذه الدالة هو مجموعة قيم التي تحقِّق جميع القيود الثلاثة:

لمعرفة العلاقة بين هذه القيود الثلاثة، هيا نمثِّلها على خط الأعداد.

في الشكل السابق، يمثِّل اللون الأرجواني الفترة ، ويمثِّل اللون الأخضر الفترة ، وتمثِّل علامة X الحمراء القيد . يمكننا أن نمثِّل فترة تحقِّق تقاطع هذه القيود في آنٍ واحد.

ومن ثَمَّ، يكون مجال هو .

مثال ٥: إيجاد مجال الدوال الكسرية

أوجد مجال .

الحل

في الدالة المُعطاة، نلاحظ نوعين من القيود على المجال.

• الجذر التربيعي: تُوجَد التعبيرات الثلاثة ، ، . نتذكَّر أن دالة الجذر التربيعي لا يمكن أن تتضمَّن عددًا سالبًا.
• المقام: هذا هو التعبير . نتذكَّر أن مقام الكسر لا يمكن أن يساوي صفرًا.

نبدأ بتناول القيود التي يفرضها الجذر التربيعي. لكي يكون معرَّفًا تعريفًا جيدًا، نحتاج إلى أن يكون . وينتج عن ذلك ، وهي الفترة .

وبالمثل، التعبيران ، تنتج عنهما الفترتان ، على الترتيب.

نتناول المقام بعد ذلك. وبما أن المقام لا يمكن أن يساوي صفرًا، إذن علينا استبعاد الحالة التي يكون عندها:

يمكننا إضافة إلى طرفَي هذه المعادلة للحصول على:

وبتربيع الطرفين، نحصل على:

ومن ثَمَّ، علينا اعتبار .

لقد أوجدنا أربعة قيود على مجال :

هيا نرسم خط أعداد لتمثيل العلاقة بين هذه القيود بيانيًّا.

في الشكل السابق، يمثِّل اللون الأرجواني الفترة ، ويمثِّل اللون الأخضر الفترة ، ويمثِّل اللون الأزرق ، وتمثِّل علامة X الحمراء القيد . يمكننا أن نمثِّل الفترة التي تحقِّق القيود الأربعة في آنٍ واحد.

ومن ثَمَّ، يكون مجال هو .

مثال ٦: إيجاد مجال الدوال الكسرية

افترض أن الدالة .

1. أوجد مجال .
2. أوجد مدى .

الحل

الجزء الأول

هيا نُوجِد مجال الدالة المُعطاة. نعرف أن مجال هو مجموعة قيم التي تحقِّق:

في الدالة ، يُوجَد المقدار أسفل الجذر التربيعي. ومن ثَمَّ، علينا إيجاد قيم التي تحقِّق:

لحل متباينة تتضمَّن قيمة مطلقة، نبدأ بجعل القيمة المطلقة بمفردها في أحد طرفَي المتباينة. بإضافة إلى طرفَي المتباينة، نحصل على:

يمكننا التفكير في ذلك من خلال حالتين منفصلتين. أولًا، ننظر إلى الحالة التي لا يكون فيها سالبًا. وبما أن القيمة المطلقة لا تغيِّر عددًا غير سالب، إذن المتباينة هي:

ثانيًا، نتناول الحالة التي يكون فيها سالبًا. بما أن القيمة المطلقة تلغي الإشارة السالبة، إذن يجب أن يكون المقدار يساوي على الأقل لتحقيق المتباينة . بعبارة أخرى، . بوضع الحالتين معًا، يكون هو:

بإضافة ٥ إلى المتباينة نحصل على:

ويكون مجال هو .

الجزء الثاني

هيا نُوجِد مدى . مدى الدالة هو مجموعة كل القيم الممكنة للدالة. يمكننا إيجاد مدى دالة ما بالنظر إلى أكبر وأصغر قيمتين ممكنتين لهذه الدالة. وبما أن أيَّ قيمة للدالة تساوي الجذر التربيعي لعدد ما، إذن نعلم أنها لا يمكن أن تكون عددًا سالبًا. وبناءً على ذلك، فإن الصفر هو أصغر قيمة ممكنة للدالة إذا كان ذلك ممكنًا. لتحقيق ذلك، لا بد أن يساوي المقدار الموجود أسفل الجذر التربيعي صفرًا. وينتج عن ذلك:

ويكون هذا ممكنًا عندما يكون أو . وهذا يعني أن أصغر قيمة ممكنة لـ هي ٠.

لإيجاد أكبر قيمة ممكنة لـ ، نلاحظ أن عدد غير سالب. وبما أن المقدار داخل الجذر التربيعي هو ، إذن يكون للدالة أكبر قيمة عندما يكون ، وهو ما يحدث عندما يكون . في هذه الحالة، تكون قيمة الدالة هي . إذن أكبر قيمة ممكنة لـ هي ٢.

ولكي نستنتج في النهاية أن مدى هذه الدالة هو ، علينا أن نتأكَّد من أن جميع القيم بين ٠ و٢ قيم ممكنة. إذا كانت هي أيُّ قيمة تقع بين ٠ و٢، فهيا نُوجِد العدد الذي يحقِّق . لدينا:

بتربيع طرفَي المعادلة:

وبإعادة ترتيب المعادلة:

وكما فعلنا من قبل، يمكننا تقسيم هذه المعادلة إلى حالتين، وذلك بناءً على إشارة . لكن، بما أن علينا فقط إيجاد قيمة واحدة ممكنة لـ ، إذن نأخذ فقط. في هذه الحالة، يكون لدينا: وينتج عن ذلك . هيا نتحقَّق ممَّا إذا كانت . بالتعويض بـ في الدالة ، نحصل على:

نعلم أن ، ونعلم أيضًا أن ؛ ومن ثَمَّ، يمكننا تجاهل القيمة المطلقة في . وبتكملة ما بدأناه من الأعلى، نحصل على:

بما أن ، إذن . ومن ثَمَّ، فقد أوضحنا أنه لأي ، يكون لدينا التي تحقِّق .

ويكون مدى هو .

مثال ٧: إيجاد مجال دالة الجذر التكعيبي

عيِّن مجال الدالة .

الحل

تذكَّر أن مجال ومدى دالة الجذر التكعيبي هما . بعبارة أخرى، دالة الجذر التكعيبي لا تفرض أيَّ قيود على المجال. بما أن المقدار، ، أسفل الجذر التكعيبي ليس عليه أيُّ قيود تتعلَّق بالمجال، إذن لا تُوجَد أيُّ قيود على قيم الممكنة لهذه الدالة.

ومن ثَمَّ، يكون مجال هو جميع الأعداد الحقيقية، .

مثال ٨: إيجاد مجال الدوال الكسرية

افترض أن الدالة .

1. أوجد مجال .
2. أوجد مدى .

الحل

الجزء الأول

هيا نُوجِد مجال . نتذكَّر قيود المجال لكلٍّ من الجذرين التربيعي والتكعيبي.

• دالة الجذر التربيعي، ، مجالها .
• دالة الجذر التكعيبي، ، ليس لها قيود على المجال. ومجال دالة الجذر التكعيبي هو جميع الأعداد الحقيقية، أو .

وبما أن الجذر التكعيبي لا يفرض أيَّ قيود على المجال، إذن علينا فقط التفكير في القيد المتعلِّق بالمقدار تحت الجذر التربيعي . وبجعل المقدار غير سالب، نحصل على:

بإعادة ترتيب هذه المتباينة، نحصل على .

ويكون مجال هو .

الجزء الثاني

هيا نُوجِد مدى . أولًا، نتناول التعبير . تذكَّر أن مدى دالة الجذر التربيعي هو . نلاحظ أن يمكن كتابته على الصورة:

بما أن مدى هو جميع الأعداد الحقيقية، إذن لا بد أن يكون مدى هو نفس مدى . ومن ثَمَّ، يكون مدى هو . وهذا يخبرنا أن المقدار سيُنتِج قيمًا غير سالبة. وبناءً على ذلك، يمكن كتابة القيم الممكنة لـ على الصورة:

تكون أكبر قيمة ممكنة لهذه الدالة عند ، وهو ما يعطينا . وبما أن أكبر قيمة للدالة هي ٥، ونحن نعرف أن دالة الجذر التكعيبي، ، تقترب من على يسار المحور ، إذن نستنتج أن مدى الدالة هو . هيا نبرِّر بعناية هذا الاستنتاج.

إذا كانت عددًا ما يحقِّق ، إذن علينا توضيح أن:

يمكننا أن نرفع طرفَي المعادلة للقوة التكعيبية للحصول على:

وبإعادة ترتيب هذه المعادلة، نحصل على:

وبما أن ، إذن يكون لدينا ، وهو ما يعني . وهذا يعني أن قيمة ممكنة للدالة ما دام أن .

ويكون مدى هو .