شارح الدرس: خط الانحدار باستخدام المربعات الصُّغرى الرياضيات

مثال ١: إيجاد خط انحدار باستخدام المربعات الصغرى بمعلومية جدول بيانات يلخِّص مجاميع القيم المرصودة

استخدم المعلومات الموضَّحة في الجدول لإيجاد معادلة خط انحدار على باستخدام المربعات الصغرى. اكتب المعادلة على الصورة ؛ حيث ، مقرَّبان لأقرب ثلاث منازل عشرية.

الحل

لإيجاد خط انحدار باستخدام المربعات الصغرى ، يجب أن نُوجِد الميل، ، والجزء المقطوع من المحور ؛ أي . للقيام بذلك، نستخدم الصيغتين: حيث الوسط الحسابي لقيم ، الوسط الحسابي لقيم .

عدد أزواج البيانات في مجموعة البيانات هو ، وفي الصف الأخير من الجدول، لدينا المجاميع التي نحتاج إليها. هذه المجاميع هي ، ، ، . وبما أننا بحاجة إلى إيجاد الميل، وهو ، لحساب قيمة ، إذن نستخدم أولًا القيم المُعطاة لإيجاد :

لحساب قيمة الجزء المقطوع من المحور ؛ أي ، نحتاج إلى إيجاد الوسطين الحسابيين لقيم ، . وهما:

يمكننا الآن أن نستخدم هاتين القيمتين، في صورة كسر لضمان الدقة، مع قيمة الميل لإيجاد :

ومن ثَمَّ، مع وضع حد المتغيِّر أولًا، فإن خط الانحدار باستخدام المربعات الصغرى هو .

مثال ٢: حساب معامل الانحدار لنموذج انحدار المربعات الصغرى باستخدام الملخَّصات الإحصائية

 في مجموعة البيانات المُعطاة: ، ، ، ، ، . احسب قيمة معامل الانحدار في نموذج انحدار المربعات الصغرى . قرِّب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

الحل

لحساب معامل الانحدار من الملخَّصات الإحصائية المُعطاة، يمكننا استخدام الصيغة:

بالتعويض عن قيم ، ، ، ، ، نحصل على:

ومن ثَمَّ، فإن معامل الانحدار مُقرَّبًا لأقرب ثلاث منازل عشرية.

مثال ٣: حساب معادلة خط انحدار باستخدام المربعات الصغرى

يوضِّح شكل الانتشار الآتي مجموعة بيانات يبدو نموذج الانحدار الخطي مناسبًا لها.

البيانات المُستخدَمة في تكوين شكل الانتشار هذا مُعطاة في الجدول الآتي:

احسب باستخدام المربعات الصغرى معادلة خط انحدار على ، مقرِّبًا معامل الانحدار لأقرب جزء من ألف.

الحل

معادلة خط الانحدار باستخدام المربعات الصغرى هي ؛ حيث الميل أو معامل الانحدار هو:

الجزء المقطوع من المحور يُعطَى بالعلاقة ؛ حيث الوسط الحسابي لقيم ، الوسط الحسابي لقيم . لدينا ثمانية أزاوج من البيانات ؛ ومن ثَمَّ، . لإيجاد المعاملين ، ، نبدأ بكتابة البيانات في جدول يحتوي على أعمدة لحواصل ضرب ، ؛ حيث سنحتاج إلى استخدام مجاميع نواتجهما في حساباتنا. على سبيل المثال، في العمود الثالث، يكون العنصر الأول ، وهكذا لكل زوج .

الخطوة التالية هي جمع القيم في كل عمود؛ بحيث نحصل على المجاميع في الصف الأخير.

يمكننا الآن استخدام هذه المجاميع في صيغة لحساب ميل خط الانحدار:

لاحظ أنه، من خلال شكل الانتشار، نجد أنه مع زيادة قيم ، تقل قيم بشكل عام، وهذا يرجع إلى حقيقة أن قيمة الميل، ، سالبة. لإيجاد قيمة الثابت ، لا بد أن نحسب الوسطين الحسابيين ، . وباستخدام المجاميع الموجودة في الجدول، نجد أن:

ومن ثَمَّ، بوضع هذه القيم في الصورة الكسرية لضمان الدقة، إلى جانب قيمة ، التي تساوي ، فإن الجزء المقطوع من المحور هو:

إذن، بالتقريب إلى أقرب جزء من ألف، فإن معادلة خط انحدار على باستخدام المربعات الصغرى لهذه البيانات هي .

مثال ٤: إيجاد معادلة خط الانحدار في نموذج الانحدار

باستخدام المعلومات في الجدول، أوجد خط الانحدار . قرِّب ، لأقرب ٣ منازل عشرية.

الحل

نبدأ بتحديد أيٌّ من هذه المتغيِّرات هو المتغيِّر المستقل، وأيُّها المتغيِّر التابع. وبما أننا نتوقَّع أن تعتمد كمية المحصول الصيفي على مساحة الأرض التي يُزرَع فيها، إذن من المنطقي أن يكون المتغيِّر «الإنتاج» هو المتغيِّر التابع ، والمتغيِّر «الأرض» هو المتغيِّر المستقل .

لإيجاد معادلة خط الانحدار باستخدام المربعات الصغرى، ، لا بد أن نُوجِد قيمة الميل أو معامل الانحدار ، والجزء المقطوع من المحور ، وهو . لدينا عشرة أزواج من البيانات؛ أيْ عشرة قياسات للمتغيِّر المستقل «الأرض الزراعية بالفدان»، و١٠ قياسات للمتغيِّر التابع «محصول الصيف بالكيلوجرام»؛ ومن ثَمَّ، ، ويمكننا إذن استخدام الصيغة الآتية لحساب قيمة :

ومن ثَمَّ، علينا إيجاد المجاميع ، ، ، . نضع البيانات في جدول يحتوي على أعمدة بها قيم حواصل الضرب ، وكذلك قيم ؛ بحيث يصبح بإمكاننا حساب المجاميع المطلوبة بسهولة أكثر.

إذن قمنا بحساب المجاميع، الموجودة في الصف الأخير، لكل عمود، ويمكننا الآن استخدامهما في الصيغة لإيجاد :

الجزء المقطوع من المحور يُعطَى من العلاقة ؛ حيث الوسط الحسابي لقيم ، الوسط الحسابي لقيم . وهما:

لحساب بالتقريب إلى ثلاث منازل عشرية، نحتاج للتعويض بالقيمة الدقيقة لـ . هنا يمكننا التعويض بالكسر الدقيق أو بالعدد العشري المقرب إلى خمس منازل عشرية. من ثم، بحساب، نحصل على:

بتقريب قيمتَي معامل الانحدار والجزء المقطوع من المحور ، لأقرب ثلاث منازل عشرية، فإن خط الانحدار باستخدام المربعات الصغرى هو .

يمكننا تفسير ذلك على النحو الآتي: لكل وحدة إضافية من الأرض الزراعية بالفدان، نتوقَّع أن يزداد إنتاج محصول الصيف بمقدار ٠٫٢ كجم تقريبًا. يمكننا تفسير قيمة أيضًا؛ حيث تمثِّل الجزء المقطوع من المحور . لكن يجب علينا مراعاة أن يكون تفسيرنا منطقيًّا في سياق البيانات. في هذه الحالة، لدينا ، إذن يمكننا استنتاج أنه إذا لم تُوجَد أرض زراعية؛ أي ، فربما نتوقَّع أن نحصل على ١٦٨٫٥٨٢ كجم من المحصول الصيفي، وهو أمر غير منطقي من الناحية الفيزيائية. وربما نستنتج أننا بدأنا بكمية مقدارها ١٦٨٫٥٨٢ كجم من المحصول الصيفي من مصادر أخرى، لكن البيانات لا تعطينا هذه المعلومة. هذا يوضِّح ضرورة الانتباه عند التفكير في سلوك المتغيِّرات خارج نطاق البيانات المُعطاة.

مثال ٥: حساب القيمة التقديرية لمتغيِّر عند نقطة مُعطاة في نموذج انحدار

باستخدام بيانات الجدول، احسب قيمة عندما تكون . قرِّب إجابتك لأقرب عدد صحيح.

الحل

لدينا مجموعة بيانات ذات متغيِّرين تحتوي على ستة أزواج من القيم لكلٍّ من المتغيِّرين ، . لتقدير قيمة المناظرة لقيمة مُعطاة، بافتراض أن البيانات خطية تقريبًا، علينا أولًا إيجاد معادلة خط الانحدار، . للقيام بذلك، علينا أولًا حساب الميل باستخدام الصيغة الآتية:

هذا يتطلَّب إيجاد المجاميع ، ، ، ، وبوضع البيانات في جدول يحتوي على أعمدة بها قيم حواصل الضرب ، وكذلك قيم ، يمكننا حساب ذلك بسهولة.

بالتعويض بالمجاميع اللازمة في صيغة ، نحصل على:

الجزء المقطوع من المحور يحقق المعادلة ، وسنستخدم قيمة لحساب ذلك. لكن، في البداية يجب أن نتمكَّن من إيجاد الوسطين الحسابيين لكلٍّ من قيم ، . وهما:

بالتعويض بهذه القيم، نحصل على:

إذن خط الانحدار هو . وبالتعويض عن قيمة ، نجد أن:

ومن ثَمَّ، عند نُقدِّر أن لأقرب عدد صحيح.