شارح الدرس: مساحة سطح الهرم الرياضيات

مثال ١: إيجاد مساحة السطح الجانبية لهرم رباعي

إذا طُوِي الشكل الآتي ليشكِّل هرمًا رباعيًّا، فأوجد مساحة سطحه الجانبية.

الحل

في هذا السؤال، لدينا شبكة هرم رباعي منتظم، وقد علمنا منها أن طول ضلع المربع يساوي ١٤ سم، والارتفاع الجانبي يساوي ١٥ سم.

إذن مساحة كلِّ وجهٍ مثلث الشكل هي:

وعليه فإن مساحة السطح الجانبية تساوي ٤ في مساحة كل وجه جانبي. وهو ما يعني: .

مثال ٢: إيجاد مساحة السطح الكلية لهرم مربع

أوجد مساحة سطح الهرم الرباعي الموضَّح، إذا كانت جميع أوجُهه المثلثية متطابقة.

الحل

مذكور هنا أن جميع الأوجُه المثلثية متطابقة؛ لذا فهو هرم منتظم. ومن ثَمَّ، فإن مساحة السطح الكلية للهرم هي:

القاعدة على شكل مربع طول ضلعه ٣٧ بوصة، ومساحته تُعطَى من خلال تربيع طول ضلعه :

هيَّا نُوجِد مساحة وجه جانبي واحد. كلُّ وجهٍ عبارة عن مثلث طول قاعدته يساوي ٣٧ بوصة، وارتفاعه يساوي ٤٤ بوصة. مساحته هي:

المساحة الكلية تساوي إذن:

مثال ٣: إيجاد مساحة السطح الكلية لهرم رباعي بمعلومية طول ضلع المربع والحرف الجانبي

أوجد مساحة السطح الكلية للشبكة الآتية، لأقرب جزء من مائة.

الحل

لدينا هنا شبكة هرم رباعي منتظم. نحن نعلم أن طول ضلع المربع يساوي ٢ سم، وطول ضلع المثلث غير المشترك مع المربع يساوي ٣٫١ سم.

لإيجاد مساحة السطح الكلية، علينا إيجاد الارتفاع الجانبي للهرم؛ أي ارتفاع الأوجُه الجانبية المثلثية.

وبما أن الوجه الجانبي مثلث متساوي الساقين، فإن ارتفاعه يَقسِم المثلث إلى مثلثين قائمَيِ الزاوية متطابقين. يُمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس على أحد هذين المثلثين القائمَيِ الزاوية؛ بحيث يكون ع. الارتفاع الجانبي للهرم، ويكون طول الضلع الآخَر نصف طول ضلع المربع (أي يساوي ١ سم): بطرح ١ من كل طرف، نحصل على: بأخذ الجذر التربيعي لكل طرف، نحصل على:

مساحة كل وجهٍ مثلثي هي:

مساحة المربع تساوي مربع طول ضلعه، إذن مساحة القاعدة (أي مربع طول ضلعه الذي يساوي ٢ سم) هي:

مساحة السطح الكلية هي:

مثال ٤: إيجاد مساحة السطح الكلية لهرم ثلاثي منتظم

أوجد المساحة الكلية للشبكة الآتية، لأقرب جزء من مائة.

الحل

لدينا هنا شبكة هرم منتظم: جميع الأوجه الجانبية على شكل مثلثات متساوية الأضلاع. كما أن الشبكة كلها عبارة عن مثلث متساوي الأضلاع؛ ومن ثَمَّ فإن كلَّ زاوية من زواياه تساوي ، والأوجُه الجانبية مثلثات متساوية الساقين بها زاوية قياسها ، وهو ما يعني أن قياس زاويتيها الأخريين يساوي نصف (أي: أيضًا): أي إنها مثلثات متساوية الأضلاع.

حتى الآن، لا نعرف نوع المثلث الذي يشكِّل القاعدة. لكن بما أن جميع المثلثات الجانبية مثلثات متساوية الأضلاع ومتطابقة، فإن المثلث الذي يتكوَّن من قواعد هذه المثلثات الجانبية الثلاث مثلث متساوي الأضلاع يُطابق المثلثات الجانبية.

ولإيجاد مساحة السطح الكلية لهذا الهرم، يُمكننا إمَّا إيجاد مساحة أحد هذه المثلثات المتساوية الأضلاع وضربها في ٤، وإمَّا إيجاد مساحة الشبكة الكلية مباشرة، وهو ما يمثِّل صورة مكبَّرة للمثلث المتساوي الأضلاع الأصغر بمعامل قياس مقداره ٢.

لنلقِ نظرةً على المثلث الأكبر (الشبكة الكلية). نحن نعلم أنه مثلث متساوي الأضلاع ارتفاعه ١٢ سم (أي ضِعف ارتفاع المثلث الأصغر). علينا إيجاد ارتفاعه.

بفرض أن هو طول ضلع المثلث الأصغر؛ يُمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم الزاوية الموضَّح في الشكل: وبطرح من كل طرف، نحصل على: وبقسمة كل طرف على ٣، نحصل على: وبأخذ الجذر التربيعي لكل طرف، نحصل على: لقد وجدنا أن قاعدة المثلث الأكبر هي:

ومن ثَمَّ، فإن مساحته تكون:

مثال ٥: إيجاد مساحة السطح الكلية لهرم رباعي منتظم بمعلومية مساحة سطحه الجانبية وارتفاعه

هرم رباعي مساحة سطحه الجانبية تساوي ٤٢ ياردة مربعة. إذا كان ارتفاعه الجانبي يساوي ٣ ياردات، فأوجد مساحة سطحه الكلية.

الحل

لدينا هنا هرم رباعي منتظم، فكلُّ وجه من أوجُهه على شكل مثلث متساوي الساقين قاعدته ، وهي ضلع من أضلاع قاعدة الهرم المربعة. وتُحدَّد مساحة كلِّ وجهٍ مثلثي عن طريق: حيث ارتفاع الوجه المثلثي؛ أي الارتفاع الجانبي للهرم. تُوجَد أربعة أوجُه جانبية مثلثية، إذن لدينا: ، وهو ما يُعطينا، عند التعويض عن بقيمة ٤٢ ياردة مربعة:

يُمكننا الآن إيجاد قيمة ، وهو طول ضلع القاعدة المربعة، ومن ثَمَّ، إيجاد مساحة القاعدة المربعة التي نريد أن نضيفها إلى المساحة الجانبية لإيجاد مساحة السطح الكلية.

هيَّا نبدأ بإيجاد . بالتعويض عن بمقدار ، ونعوِّض بقيمة ( ٣ ياردات ) في المعادلة التي في الأعلى، نحصل على: وبضرب كلا الطرفين في ٢، نجد: وبقسمة كلا الطرفين على ٣، نحصل على:

يُمكننا الآن إيجاد مساحة قاعدة الهرم:

مساحة السطح الكلية للهرم هي:

مساحة السطح الكلية للهرم الرباعي تساوي ٩١ ياردة مربعة.