شارح الدرس: تطبيقات هندسية على المتجهات الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم العمليات على المتجهات وخواصَّ المتجهات لحلِّ المسائل التي تتضمَّن أشكالًا هندسية.

قبل أن نبدأ مناقشة تطبيقات المتجهات على المسائل الهندسية، لنبدأ باستعراض بعض الخواصِّ المهمة للمتجهات.

نظرية: خواصُّ المتجهات

لأيِّ نقاط 󰏡، 𞸁، 𞸢:

  • 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁󰄮󰄮𞸅󰏡.
  • 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁+󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢=󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢.
  • 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡، بعبارة أخرى: 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁+󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡=٠.

لأيِّ متجهين 󰄮𞸋، 󰄮𞸏:

  • يكون المتجهان 󰄮𞸋، 󰄮𞸏 متوازيين عندما يكون أحدهما مساويًا لضرب عدد ثابت في الآخَر: 󰄮𞸋=𞸊󰄮𞸏،
  • يكون المتجهان متساويين إذا كان لهما نفس المقدار والاتجاه.

وأخيرًا، يمكننا العمل هندسيًّا مع المتجهات، أو التعامل مع مركِّباتها جبريًّا. أحيانًا تكون إحدى الطريقتين أسهل من الأخرى، لذا علينا التفكير في كِلا الخيارين لكلِّ مسألة.

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة على المسائل الهندسية التي يمكننا حلُّها باستخدام خواصِّ المتجهات.

مثال ١: استخدام المتجهات لإيجاد إحداثيات رءوس المستطيل

󰏡𞸁𞸢𞸃 مستطيل فيه إحداثيات النقاط 󰏡، 𞸁، 𞸢 هي: (٨١،٢)، (٨١،٣)، (٨،𞸊) على الترتيب. استخدم المتجهات لإيجاد قيمة 𞸊، وإحداثيات النقطة 𞸃.

الحل

بما أن هذا السؤال يطلب منَّا تحديدًا أن نستخدم المتجهات، سنبدأ بتحويل هذه المسألة إلى مسألة تتضمَّن متجهات. وعندما نفعل ذلك، من المُستحسَن بوجه عامٍّ أن نرسم المعطيات. نبدأ بالنقاط 󰏡(٨١،٢)، 𞸁(٨١،٣)، 𞸢(٨،𞸊)، 𞸃، في مستطيل.

هذا يعطينا المستطيل 󰏡𞸁𞸢𞸃؛ حيث تقع النقطة 𞸁 على مسافةِ وحدةٍ واحدةٍ أسفلَ 󰏡، 𞸢 مجاورة للنقطة 𞸁. لكي نستخدم المتجهات للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نبدأ بالتعويض عن أضلاع المستطيل بالمتجهات التي تقع بين الرءوس المتجاورة في المستطيل.

نجد أن 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢󰄮󰏡𞸃، 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁󰄮󰄮󰄮𞸃𞸢. يمكننا أن نلاحظ أيضًا أن الضلعين المتقابلين لهما المقدار نفسه؛ لأنهما متقابلان في المستطيل. وبما أن لهما نفس المقدار والاتجاه، إذن: 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢=󰄮󰏡𞸃،󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=󰄮󰄮󰄮𞸃𞸢.

والآن، نستخدم الإحداثيات المعطاة لإيجاد هذه المتجهات: 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁󰄮󰄮𞸅󰏡=(٨١،٣)(٨١،٢)=(٨١(٨١)،٣(٢))=(٠،١).

وبالمثل: 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢=󰄮󰄮󰄮𞸅𞸢󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁=(٨،𞸊)(٨١،٣)=(٨(٨١)،𞸊(٣))=(٠١،𞸊+٣).

لإيجاد قيمة 𞸊، علينا الاستعانة بحقيقة أن جميع الزوايا الداخلية للمستطيل تساوي ٠٩، وحقيقة أن 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 رأسي. وبما أن 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢 عمودي على متجه رأسي، فلا بد أن يكون أفقيًّا، بعبارة أخرى لا بد أن تساوي مركِّبته الرأسية صفرًا. بوضع المركِّبة الرأسية تساوي صفرًا نحصل على: 𞸊+٣=٠،𞸊=٣.

إذن، إحداثيات 𞸢 هي: (٨،٣). يمكننا الاستعانة بحقيقة أن 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢=󰄮󰏡𞸃 لإيجاد إحداثيات 𞸃. بالتعويض بـ 𞸊=٣ في المتجه 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢، نحصل على: 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢=(٠١،𞸊+٣)=(٠١،٠).

وهذا يساوي 󰄮󰏡𞸃، إذن: 󰄮󰏡𞸃=(٠١،٠).

بالتعويض بذلك في 󰄮󰏡𞸃=󰄮󰄮𞸅𞸃󰄮󰄮𞸅󰏡 نحصل على: (٠١،٠)=󰄮󰏡𞸃=󰄮󰄮𞸅𞸃󰄮󰄮𞸅󰏡=󰄮󰄮𞸅𞸃(٨١،٢).

بإعادة الترتيب، نحصل على: 󰄮󰄮𞸅𞸃=(٠١،٠)+(٨١،٢)=(٠١+(٨١)،٠+(٢))=(٨،٢).

إذن إحداثيات 𞸃 هي: (٨،٢).

وبهذا نكون قد أوضحنا أن: 𞸊=٣، 𞸃(٨،٢).

في المثال السابق، استخدمنا خواصَّ المتجهات إلى جانب معلوماتنا عن المستطيلات لحلِّ المسألة. لنتناول الآن مثالًا يتضمَّن قواعد هندسية أكثر تعقيدًا إلى جانب خواصِّ المتجهات.

مثال ٢: إيجاد الكمية القياسية التي تحقِّق عملية معطاة على متجهات ممثَّلة في شكل

باستخدام المعطيات في الشكل الآتي، أوجد قيمة 𞸍؛ حيث 󰄮󰏡𞸃+󰄮󰄮󰄮𞸃𞸤=𞸍󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢.

الحل

لنبدأ بدراسة المعادلة المتجهة: 󰄮󰏡𞸃+󰄮󰄮󰄮𞸃𞸤=𞸍󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢.

يمكننا تبسيط هذه المعادلة بملاحظة أن: 󰄮󰏡𞸃+󰄮󰄮󰄮𞸃𞸤=󰄮󰄮󰏡𞸤.

هذا يعني أننا نريد إيجاد قيمة 𞸍؛ بحيث يكون: 󰄮󰄮󰏡𞸤=𞸍󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢.

نحن نعلم أن بإمكاننا إيجاد قيمة 𞸍 لأن 󰄮󰄮󰏡𞸤󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢. لإيجاد هذه القيمة لـ 𞸍، نلاحظ أن: 󰄮󰄮󰄮𞸤𞸃󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁. يمكننا بعد ذلك تطبيق خاصية هندسية مفيدة. لدينا قياسَا الزاويتين المتناظرتين الآتيتين في الشكل:

𞹟󰌑󰏡𞸤𞸃=𞹟󰌑󰏡𞸢𞸁،𞹟󰌑󰏡𞸃𞸤=𞹟󰌑󰏡𞸁𞸢.

وهذا يعني أن المثلث 󰏡𞸃𞸤 والمثلث 󰏡𞸁𞸢 لهما الزوايا الداخلية نفسها. بعبارة أخرى، هذان المثلثان متشابهان. وعلى وجه التحديد، يمكننا استخدام حقيقة أن نسبة أطوال الأضلاع المتناظرة هي نفسها في المثلثات المتشابهة.

وهذا يعني أن: 󰍼󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁󰍼󰍼󰄮󰏡𞸃󰍼=󰍼󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢󰍼󰍼󰄮󰄮󰏡𞸤󰍼.

يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لنجد أن: 󰍼󰄮󰄮󰏡𞸤󰍼=󰍼󰄮󰏡𞸃󰍼󰍼󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁󰍼󰍼󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢󰍼، وهو ما يعني أن: 𞸍=󰍼󰄮󰏡𞸃󰍼󰍼󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁󰍼.

لقد اخترنا هذه الأضلاع بالتحديد لأننا نعرف مقدار ثلاثٍ من هذه القيم من الشكل: 󰍼󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁󰍼=٥١،󰍼󰄮󰏡𞸃󰍼=٥٫٧.

وبالتعويض بذلك في المعادلة، نحصل على: 𞸍=٥٫٧٥١=١٢.

ومن ثَمَّ، فإن قيمة 𞸍 هي: ١٢.

عندما تكون لدينا معادلة متجهة في سياق مسألة هندسية، يجب أن نرسم المعطيات لمساعدتنا في حلِّ المسألة. لنتناول بعض الأمثلة لكي نصبح أكثر دراية بهذا السياق.

مثال ٣: إيجاد قيمة ناقصة باستخدام المتجهات

في المثلث 󰏡𞸁𞸢، 𞸃𞸁𞸢؛ حيث 𞸁𞸃𞸃𞸢=٢٣. إذا كان ٣󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁+٢󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢=𞸊󰄮󰏡𞸃، فأوجد قيمة 𞸊.

الحل

نبدأ برسم المعطيات، بدءًا من المثلث 󰏡𞸁𞸢.

نضيف نقطة، 𞸃، إلى الضلع 𞸁𞸢؛ بحيث يصبح 𞸁𞸃𞸃𞸢=٢٣.

كما هو موضَّح أعلاه، يمكن أن نقول إن 󰍹󰄮󰄮󰄮𞸁𞸃󰍹=٢𞸓، و 󰍹󰄮󰄮󰄮𞸃𞸢󰍹=٣𞸓 لبعض القيم 𞸓>٠.

نريد إيجاد قيمة 𞸊؛ حيث ٣󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁+٢󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢=𞸊󰄮󰏡𞸃. هذا يعني أننا نريد كتابة معادلة تتضمَّن كلًّا من هذه المتجهات. سنبدأ بإيجاد مقدار للمتجه 󰄮󰏡𞸃 من خلال الاستعانة بالشكل الآتي:

نلاحظ أن 󰄮󰏡𞸃=󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁+󰄮󰄮󰄮𞸁𞸃، ومقدار 󰄮󰏡𞸃 هذا يشبه المقدار الموجود على الطرف الأيسر من المعادلة. بالتعويض بمقدار 󰄮󰏡𞸃 في هذه المعادلة نحصل على: ٣󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁+٢󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢=𞸊󰂔󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁+󰄮󰄮󰄮𞸁𞸃󰂓.

يمكننا بعد ذلك التبسيط: ٣󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁+٢󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢=𞸊󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁+𞸊󰄮󰄮󰄮𞸁𞸃٢󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢=(𞸊٣)󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁+𞸊󰄮󰄮󰄮𞸁𞸃󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢=(𞸊٣)٢󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁+𞸊٢󰄮󰄮󰄮𞸁𞸃.

علينا الآن تحديد الضرب في عدد ثابت للمتجهات تُعطينا 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢 عند جمعها معًا، ويمكننا القيام بذلك باستخدام الشكل:

أولًا: 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢=󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁+󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢.

يمكننا كتابة 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢 بدلالة 󰄮󰄮󰄮𞸁𞸃 بملاحظة أن 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢، 󰄮󰄮󰄮𞸁𞸃 لهما الاتجاه نفسه؛ حيث 󰍹󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢󰍹=٥𞸓، 󰍹󰄮󰄮󰄮𞸁𞸃󰍹=٢𞸓.

تذكَّر أن أيَّ متجهين يكونان متساويين إذا كان لهما المقدار والاتجاه نفسه. مقدار 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢 يساوي ٥٢ في مقدار 󰄮󰄮󰄮𞸁𞸃. إذا ضربنا 󰄮󰄮󰄮𞸁𞸃 في ٥٢ سيكون مقدار المتجه الناتج هو نفس مقدار 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢. إذن: 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢=٥٢󰄮󰄮󰄮𞸁𞸃.

لقد أوضحنا للتوِّ أن: 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢=󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁+󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢=󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁+٥٢󰄮󰄮󰄮𞸁𞸃.

بعد ذلك، نساوي مقدارَي هذين المتجهين لـ 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢، ونحصل على: 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁+٥٢󰄮󰄮󰄮𞸁𞸃=(𞸊٣)٢󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁+𞸊٢󰄮󰄮󰄮𞸁𞸃.

وأخيرًا، يمكننا مساواة المعاملات القياسية للمتجهات: ١=(𞸊٣)٢٥٢=𞸊٢.،

هذا النظام له حلٌّ واحد، وهو: 𞸊=٥.

مثال ٤: استخدام المتجهات لإيجاد إحداثيات رأس في مربع ما ومساحته

󰏡𞸁𞸢𞸃 مربع، فيه إحداثيات النقاط 󰏡، 𞸁، 𞸢 هي: (١،٨)، (٣،٠١) و (٥،٨). استخدم المتجهات لإيجاد إحداثيات النقطة 𞸃، ومساحة المربع.

الحل

نريد استخدام المتجهات لإيجاد إحداثيات النقطة الناقصة في مربع. لنبدأ برسم النقاط المعطاة، والنقطة 𞸃.

بما أن هذا الشكل مربع، فإننا نعرف أن كلَّ ضلعين متقابلين متوازيان وأن طوليَهما متساويان. بما أن لدينا إحداثيات 󰏡، 𞸁، 𞸢 يمكننا إيجاد المتجهين 󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡، 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢. بعد ذلك، نمثِّل المربع كما هو موضَّح:

لدينا: 󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡=(١،٨)(٣،٠١)=(٢،٢)،󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢=(٥،٨)(٣،٠١)=(٢،٢).

توجد طريقتان لإيجاد إحداثيات 𞸃. يمكننا الاستعانة بحقيقة أن 󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡=󰄮󰄮󰄮𞸢𞸃، ونكتبها بدلالة نقطة البداية ونقطة النهاية: 󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡=󰄮󰄮󰄮𞸢𞸃،󰄮󰄮𞸅󰏡󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁=󰄮󰄮𞸅𞸃󰄮󰄮󰄮𞸅𞸢.

نعوِّض بعد ذلك بمتجهات الموضع، ونحلُّ: (١،٨)(٣،٠١)=󰄮󰄮𞸅𞸃(٥،٨)،(١٣،٨+٠١)=󰄮󰄮𞸅𞸃(٥،٨)،(٢،٢)+(٥،٨)=󰄮󰄮𞸅𞸃،(٢+٥،٢٨)=󰄮󰄮𞸅𞸃󰄮󰄮𞸅𞸃=(٣،٦).

ومن ثَمَّ، فإن إحداثيات النقطة 𞸃 هي: (٣،٦).

ويمكننا أيضًا أن نلاحظ من الشكل أن: 󰄮󰄮𞸅𞸃=󰄮󰄮𞸅󰏡+󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢. هذا يعطينا: 󰄮󰄮𞸅𞸃=󰄮󰄮𞸅󰏡+󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢=(١،٨)+(٢،٢)=(٣،٦).

ومن ثَمَّ، فإن إحداثيات النقطة 𞸃 هي: (٣،٦).

وأخيرًا، لإيجاد مساحة المربع، علينا تربيع طول أحد الأضلاع. يمكننا إيجاد طول الضلع عن طريق حساب مقدار المتجه 󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡: 󰍼󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡󰍼=(٢،٢)=󰋴(٢)+٢=󰋴٨.٢٢

إذن تُعطى مساحة المربع بالعلاقة: ا=󰍼󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡󰍼=󰂔󰋴٨󰂓=٨.٢٢

ومن ثَمَّ فإن إحداثيات النقطة 𞸃 هي: (٣،٦)، ومساحة المربع 󰏡𞸁𞸢𞸃 تساوي ٨ وحدات مربعة.

لنتناول الآن مثالًا يتضمَّن مساحة شبه المنحرف باستخدام المتجهات.

مثال ٥: استخدام المتجهات لإيجاد مساحة شبه منحرف قائم الزاوية

󰏡𞸁𞸢𞸃 شبه منحرف رءوسه 󰏡(٤،٤١)، 𞸁(٤،٤)، 𞸢(٢١،٤)، 𞸃(٢١،٩). إذا كان 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁󰄮󰄮󰄮𞸃𞸢، 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁 فأوجد مساحة شبه المنحرف.

الحل

نريد إيجاد مساحة شبه المنحرف، ولدينا إحداثيات الرءوس، والضلعان المتوازيان، والضلع العمودي. نبدأ برسم هذه المعطيات.

لإيجاد مساحة شبه المنحرف، نتذكَّر صيغة مساحة شبه المنحرف. إذا كان 󰏡، 𞸁 هما طولَا الضلعين المتوازيين في شبه المنحرف، 𞸏 هو الارتفاع العمودي؛ إذن: ا=󰃁󰏡+𞸁٢󰃀𞸏.

في شبه المنحرف، طولَا الضلعين المتوازيين هما: 󰍼󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡󰍼، 󰍹󰄮󰄮󰄮𞸢𞸃󰍹، والارتفاع العمودي يساوي 󰍹󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁󰍹.

هذا يعني أن مساحة شبه المنحرف تُعطى بالعلاقة: ا(󰏡𞸁𞸢𞸃)=󰍼󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡󰍼+󰍹󰄮󰄮󰄮𞸢𞸃󰍹٢󰍹󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁󰍹.

يمكننا إيجاد هذه المتجهات باستخدام إحداثيات النقاط المعطاة: 󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡=(٤،٤١)(٤،٤)=(٠،٨١)،󰄮󰄮󰄮𞸢𞸃=(٢١،٩)(٢١،٤)=(٠،٣١)،󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁=(٤،٤)(٢١،٤)=(٦١،٠).

إذن، أطوال الأضلاع تساوي: 󰍼󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡󰍼=(٠،٨١)=󰋴٠+٨١=٨١،󰍹󰄮󰄮󰄮𞸢𞸃󰍹=(٠،٣١)=󰋴٠+٣١=٣١،󰍹󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁󰍹=(٦١،٠)=󰋴٦١+٠=٦١.٢٢٢٢٢٢

وأخيرًا، نعوِّض بهذه الأطوال في صيغة مساحة شبه المنحرف: ا(󰏡𞸁𞸢𞸃)=󰍼󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡󰍼+󰍹󰄮󰄮󰄮𞸢𞸃󰍹٢󰍹󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁󰍹=󰂔٨١+٣١٢󰂓٦١=٨٤٢.

ومن ثَمَّ، فإن مساحة شبه المنحرف 󰏡𞸁𞸢𞸃 تساوي ٢٤٨ وحدة مساحة.

في الأمثلة السابقة، أوضحنا العديد من الخواصِّ الهندسية للأشكال المعطاة باستخدام المتجهات. من الممكن أيضًا توضيح الخواصِّ الهندسية للأشكال بوجه عامٍّ باستخدام المتجهات.

على سبيل المثال، افترض أن لدينا متوازي أضلاع 󰏡𞸁𞸢𞸃 له قُطران، كما هو موضَّح:

يمكننا أن نوضِّح، باستخدام المتجهات، أن هذين القُطرين ينصِّفان أحدهما الآخَر. للقيام بذلك، سنرمز لنقطة منتصف 󰏡𞸢 بالرمز 𞸌. نلاحظ هنا أن 󰄮󰄮󰏡𞸌، 󰄮󰄮󰄮𞸌𞸢 سيكون لهما المقدار والاتجاه نفسه، وعليه: 󰄮󰄮󰏡𞸌=󰄮󰄮󰄮𞸌𞸢.

يمكننا بعد ذلك رسم المتجهين 󰄮󰄮󰄮𞸁𞸌، 󰄮󰄮𞸌𞸃. لكي تكون 𞸌 نقطة منتصف 𞸁𞸃 علينا إثبات أن هذين المتجهين متساويان. نضيف المتجهات إلى الشكل كما هو موضَّح أدناه:

من الشكل، يمكننا ملاحظة أن:

󰄮󰏡𞸃=󰄮󰄮󰏡𞸌+󰄮󰄮𞸌𞸃()١

، وأن

󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢=󰄮󰄮󰄮𞸁𞸌+󰄮󰄮󰄮𞸌𞸢.()٢

نتذكَّر أن كلَّ ضلعين متقابلين في متوازي الأضلاع لهما الطول نفسه ومتوازيان، إذن: 󰄮󰏡𞸃=󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢.

بالتعويض بالمقدارين من المعادلتين (١)، (٢) في المعادلة السابقة، نحصل على: 󰄮󰄮󰏡𞸌+󰄮󰄮𞸌𞸃=󰄮󰄮󰄮𞸁𞸌+󰄮󰄮󰄮𞸌𞸢.

󰄮󰄮󰏡𞸌، 󰄮󰄮󰄮𞸌𞸢 متساويان، إذن يمكننا حذف المتجهين المتساويين من كِلا طرفَي المعادلة، لنحصل على: 󰄮󰄮𞸌𞸃=󰄮󰄮󰄮𞸁𞸌.

وعلى وجه التحديد، هذا يعني أن مقداريهما واتجاهيهما متساويان، ومن ثَمَّ 𞸌 هي نقطة منتصفٍ لـ 𞸁𞸃.

ثمة مثال آخَر على خاصية هندسية يمكننا إثباتها باستخدام المتجهات، وهو العبارة التي تنصُّ على أن القطعة المستقيمة التي تصل بين منتصف ضلعَي مثلث تكون موازية للضلع الثالث. انظر المثلث 󰏡𞸁𞸢؛ حيث يُرمز لنقطتَي منتصف ضلعين بالرمزين 𞸃، 𞸤 كما هو موضَّح:

نريد أن نثبت أن: 󰄮󰄮󰄮𞸃𞸤󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁. من الشكل، لدينا: 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=󰄮󰏡𞸃+󰄮󰄮󰄮𞸃𞸤+󰄮󰄮󰄮󰄮𞸤𞸁.

بما أن 󰄮󰏡𞸃، 󰄮󰄮󰄮𞸃𞸢 لهما نفس المقدار والاتجاه: 󰄮󰏡𞸃=󰄮󰄮󰄮𞸃𞸢.

وبالمثل: 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸤𞸁=󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸤.

يمكننا التعويض بهذه القيم في مقدار المتجه 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 لنحصل على: 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=󰄮󰄮󰄮𞸃𞸢+󰄮󰄮󰄮𞸃𞸤+󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸤.

في هذا الشكل، يمكننا أيضًا أن نلاحظ أن: 󰄮󰄮󰄮𞸃𞸤=󰄮󰄮󰄮𞸃𞸢+󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸤.

بتطبيق هذه المتطابقة على مقدار المتجه 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁، نحصل على: 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=󰄮󰄮󰄮𞸃𞸢+󰄮󰄮󰄮𞸃𞸤+󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸤=󰁓󰄮󰄮󰄮𞸃𞸢+󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸤󰁒+󰄮󰄮󰄮𞸃𞸤=󰄮󰄮󰄮𞸃𞸤+󰄮󰄮󰄮𞸃𞸤=٢󰄮󰄮󰄮𞸃𞸤.

بما أن 󰄮󰄮󰄮𞸃𞸤 مضروب في عدد ثابت للمتجه 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁، فلا بد أن يكونا متوازيين. في الواقع، بأخذ مقدار كِلا طرفَي هذه المعادلة، نجد أن: 󰍼󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁󰍼=󰍹٢󰄮󰄮󰄮𞸃𞸤󰍹=٢󰍹󰄮󰄮󰄮𞸃𞸤󰍹.

يمكننا أن نلاحظ أيضًا أن 󰏡𞸁 يساوي ضعف طول 𞸃𞸤.

لنلخِّص بعضًا من أهم النقاط التي تعلَّمناها من هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • يمكننا تحويل المسائل التي تتضمَّن أشكالًا هندسية إلى مسائل تتضمَّن متجهات.
  • لأيِّ نقاط 󰏡، 𞸁، 𞸢: 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁+󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢=󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢.
  • إذا كان المتجهان 󰄮𞸋، 󰄮𞸏 متوازيين، إذن توجد كمية قياسية 𞸊؛ حيث: 󰄮𞸋=𞸊󰄮𞸏. على وجه التحديد، لأيِّ متجهين متوازيين 󰄮𞸋، 󰄮𞸏 لا يساويان صفرًا: 󰄮𞸋=±󰍼󰄮𞸋󰍼󰍼󰄮𞸏󰍼󰄮𞸏، حيث تكون الإشارة موجبة إذا كان اتجاهَا 󰄮𞸋، 󰄮𞸏 متساويين، وتكون الإشارة سالبة إذا كان اتجاهَاهما متضادين.
  • يمكننا إثبات العديد من العلاقات الهندسية باستخدام خواصِّ المتجهات.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.