شارح الدرس: تطبيقات هندسية على المتجهات الرياضيات • الصف الأول الثانوي

مثال ١: استخدام المتجهات لإيجاد إحداثيات رءوس المستطيل

مستطيل فيه إحداثيات النقاط ، ، هي: ، ، على الترتيب. استخدم المتجهات لإيجاد قيمة ، وإحداثيات النقطة .

الحل

بما أن هذا السؤال يطلب منَّا تحديدًا أن نستخدم المتجهات، سنبدأ بتحويل هذه المسألة إلى مسألة تتضمَّن متجهات. وعندما نفعل ذلك، من المُستحسَن بوجه عامٍّ أن نرسم المعطيات. نبدأ بالنقاط ، ، ، ، في مستطيل.

هذا يعطينا المستطيل ؛ حيث تقع النقطة على مسافةِ وحدةٍ واحدةٍ أسفلَ ، مجاورة للنقطة . لكي نستخدم المتجهات للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نبدأ بالتعويض عن أضلاع المستطيل بالمتجهات التي تقع بين الرءوس المتجاورة في المستطيل.

نجد أن ، . يمكننا أن نلاحظ أيضًا أن الضلعين المتقابلين لهما المقدار نفسه؛ لأنهما متقابلان في المستطيل. وبما أن لهما نفس المقدار والاتجاه، إذن:

والآن، نستخدم الإحداثيات المعطاة لإيجاد هذه المتجهات:

وبالمثل:

لإيجاد قيمة ، علينا الاستعانة بحقيقة أن جميع الزوايا الداخلية للمستطيل تساوي ، وحقيقة أن رأسي. وبما أن عمودي على متجه رأسي، فلا بد أن يكون أفقيًّا، بعبارة أخرى لا بد أن تساوي مركِّبته الرأسية صفرًا. بوضع المركِّبة الرأسية تساوي صفرًا نحصل على:

إذن، إحداثيات هي: . يمكننا الاستعانة بحقيقة أن لإيجاد إحداثيات . بالتعويض بـ في المتجه ، نحصل على:

وهذا يساوي ، إذن:

بالتعويض بذلك في نحصل على:

بإعادة الترتيب، نحصل على:

إذن إحداثيات هي: .

وبهذا نكون قد أوضحنا أن: ، .

مثال ٢: إيجاد الكمية القياسية التي تحقِّق عملية معطاة على متجهات ممثَّلة في شكل

باستخدام المعطيات في الشكل الآتي، أوجد قيمة ؛ حيث .

الحل

لنبدأ بدراسة المعادلة المتجهة:

يمكننا تبسيط هذه المعادلة بملاحظة أن: .

هذا يعني أننا نريد إيجاد قيمة ؛ بحيث يكون:

نحن نعلم أن بإمكاننا إيجاد قيمة لأن . لإيجاد هذه القيمة لـ ، نلاحظ أن: . يمكننا بعد ذلك تطبيق خاصية هندسية مفيدة. لدينا قياسَا الزاويتين المتناظرتين الآتيتين في الشكل:

وهذا يعني أن المثلث والمثلث لهما الزوايا الداخلية نفسها. بعبارة أخرى، هذان المثلثان متشابهان. وعلى وجه التحديد، يمكننا استخدام حقيقة أن نسبة أطوال الأضلاع المتناظرة هي نفسها في المثلثات المتشابهة.

وهذا يعني أن:

يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لنجد أن: وهو ما يعني أن:

لقد اخترنا هذه الأضلاع بالتحديد لأننا نعرف مقدار ثلاثٍ من هذه القيم من الشكل:

وبالتعويض بذلك في المعادلة، نحصل على:

ومن ثَمَّ، فإن قيمة هي: .

مثال ٣: إيجاد قيمة ناقصة باستخدام المتجهات

في المثلث ، ؛ حيث . إذا كان ، فأوجد قيمة .

الحل

نبدأ برسم المعطيات، بدءًا من المثلث .

نضيف نقطة، ، إلى الضلع ؛ بحيث يصبح .

كما هو موضَّح أعلاه، يمكن أن نقول إن ، و لبعض القيم .

نريد إيجاد قيمة ؛ حيث . هذا يعني أننا نريد كتابة معادلة تتضمَّن كلًّا من هذه المتجهات. سنبدأ بإيجاد مقدار للمتجه من خلال الاستعانة بالشكل الآتي:

نلاحظ أن ، ومقدار هذا يشبه المقدار الموجود على الطرف الأيسر من المعادلة. بالتعويض بمقدار في هذه المعادلة نحصل على:

يمكننا بعد ذلك التبسيط:

علينا الآن تحديد الضرب في عدد ثابت للمتجهات تُعطينا عند جمعها معًا، ويمكننا القيام بذلك باستخدام الشكل:

أولًا:

يمكننا كتابة بدلالة بملاحظة أن ، لهما الاتجاه نفسه؛ حيث ، .

تذكَّر أن أيَّ متجهين يكونان متساويين إذا كان لهما المقدار والاتجاه نفسه. مقدار يساوي في مقدار . إذا ضربنا في سيكون مقدار المتجه الناتج هو نفس مقدار . إذن:

لقد أوضحنا للتوِّ أن:

بعد ذلك، نساوي مقدارَي هذين المتجهين لـ ، ونحصل على:

وأخيرًا، يمكننا مساواة المعاملات القياسية للمتجهات:

هذا النظام له حلٌّ واحد، وهو: .

مثال ٤: استخدام المتجهات لإيجاد إحداثيات رأس في مربع ما ومساحته

مربع، فيه إحداثيات النقاط ، ، هي: ، و . استخدم المتجهات لإيجاد إحداثيات النقطة ، ومساحة المربع.

الحل

نريد استخدام المتجهات لإيجاد إحداثيات النقطة الناقصة في مربع. لنبدأ برسم النقاط المعطاة، والنقطة .

بما أن هذا الشكل مربع، فإننا نعرف أن كلَّ ضلعين متقابلين متوازيان وأن طوليَهما متساويان. بما أن لدينا إحداثيات ، ، يمكننا إيجاد المتجهين ، . بعد ذلك، نمثِّل المربع كما هو موضَّح:

لدينا:

توجد طريقتان لإيجاد إحداثيات . يمكننا الاستعانة بحقيقة أن ، ونكتبها بدلالة نقطة البداية ونقطة النهاية:

نعوِّض بعد ذلك بمتجهات الموضع، ونحلُّ: .

ومن ثَمَّ، فإن إحداثيات النقطة هي: .

ويمكننا أيضًا أن نلاحظ من الشكل أن: . هذا يعطينا:

ومن ثَمَّ، فإن إحداثيات النقطة هي: .

وأخيرًا، لإيجاد مساحة المربع، علينا تربيع طول أحد الأضلاع. يمكننا إيجاد طول الضلع عن طريق حساب مقدار المتجه :

إذن تُعطى مساحة المربع بالعلاقة:

ومن ثَمَّ فإن إحداثيات النقطة هي: ، ومساحة المربع تساوي ٨ وحدات مربعة.

مثال ٥: استخدام المتجهات لإيجاد مساحة شبه منحرف قائم الزاوية

شبه منحرف رءوسه ، ، ، . إذا كان ، فأوجد مساحة شبه المنحرف.

الحل

نريد إيجاد مساحة شبه المنحرف، ولدينا إحداثيات الرءوس، والضلعان المتوازيان، والضلع العمودي. نبدأ برسم هذه المعطيات.

لإيجاد مساحة شبه المنحرف، نتذكَّر صيغة مساحة شبه المنحرف. إذا كان ، هما طولَا الضلعين المتوازيين في شبه المنحرف، هو الارتفاع العمودي؛ إذن:

في شبه المنحرف، طولَا الضلعين المتوازيين هما: ، ، والارتفاع العمودي يساوي .

هذا يعني أن مساحة شبه المنحرف تُعطى بالعلاقة:

يمكننا إيجاد هذه المتجهات باستخدام إحداثيات النقاط المعطاة:

إذن، أطوال الأضلاع تساوي:

وأخيرًا، نعوِّض بهذه الأطوال في صيغة مساحة شبه المنحرف:

ومن ثَمَّ، فإن مساحة شبه المنحرف تساوي ٢٤٨ وحدة مساحة.