شارح الدرس: الحركة بعجلة خلال الزمن الفيزياء • الصف الأول الثانوي

مثال ١: تحديد السرعة المتجهة والعجلة لجسمٍ يتحرَّك بعجلة

تتسارع سيارة بدءًا من الزمن . يوضِّح الشكل سرعة السيارة خلال فترات زمنية قدرها 2 s بعدما بدأت في التسارع.

• ما سرعة السيارة عند ؟
• ما عجلة السيارة؟

الحل

نلاحظ أن السرعة الابتدائية للسيارة تساوي صفرًا، وهو ما يعني أنها كانت في البداية في حالة سكون.

نلاحظ أيضًا أنه كلَّ ثانيتين تزداد سرعة السيارة بمقدار 5 m/s.

ذُكِر في المعطيات أن السيارة تتحرَّك بعجلة منتظمة، لذلك لا بد من أن يكون التغيُّر في سرعة السيارة خلال كلِّ فترة زمنية هو نفسه.

عند الزمن ، عدد الفترات الزمنية التي مقدارها ثانية والتي تسارعت فيها السيارة نحصل عليه بواسطة:

وعليه، لا بد من أن يكون إجماليُّ الزيادة في سرعة السيارة:

السرعة الابتدائية للسيارة تساوي صفرًا، ومن ثَمَّ فإن سرعة السيارة بعد التحرُّك بعجلة لمدة 6 ثوانٍ هي: 15 m/s.

اتجاه تغيُّر سرعة السيارة هو اتجاه عجلة السيارة. هذا الاتجاه موضَّح في السؤال؛ لذا علينا أن نحدِّد مقدار العجلة فقط.

ترتبط عجلة الجسم، ، بالتغيُّر في سرعة الجسم المتجهة، ، والفترة الزمنية التي تتغيَّر السرعة خلالها، ، من خلال المعادلة:

بالتعويض بالقيم المعطاة في السؤال نجد أن:

مثال ٢: تحديد مقدار زيادة سرعة جسمٍ يتحرَّك بعجلة

يتحرَّك جسم بعجلة تساوي 5 m/s² لمدة 0.25 s. ما مقدار الزيادة في سرعته؟

الحل

اتجاه تغيُّر سرعة الجسم هو اتجاه عجلة الجسم. هذا الاتجاه غير مذكور ضمن معطيات السؤال الذي يسأل فقط عن «مقدار» تغيُّر السرعة.

ترتبط عجلة الجسم، ، بالتغيُّر في سرعة الجسم المتجهة، ، والفترة الزمنية التي تتغيَّر السرعة خلالها، ، من خلال المعادلة:

بضرب هذه المعادلة في نحصل على:

الزيادة في سرعة جسمٍ يتسارع تساوي عجلة الجسم مضروبة في الزمن الذي يتسارع خلاله.

بالتعويض بالقيم المعطاة في السؤال نحصل على:

مثال ٣: تحديد مقدار زيادة سرعة جسمٍ يسقط سقوطًا حرًّا

يهبط لاعبُ قفزٍ مظلِّي لأسفل بعجلة مقدارها 9.8 m/s². ما مقدار الزيادة في سرعته لأسفل خلال 0.67 ثانية؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

اتجاه تغيُّر سرعة اللاعب هو نفسه اتجاه عجلة اللاعب، أي رأسيًّا لأسفل.

ترتبط عجلة الجسم، ، بالتغيُّر في سرعة الجسم المتجهة، ، والفترة الزمنية التي تتغيَّر السرعة خلالها، ، من خلال المعادلة:

بضرب هذه المعادلة في نحصل على:

وبالتعويض بالقيم المعطاة في السؤال نحصل على:

بتقريب الناتج إلى أقرب منزلتين عشريتين، يصبح الحلُّ: 6.57 m/s².

مثال ٤: تحديد التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن بناءً على وصف حركة

اختر أفضل تمثيل بياني للسرعة المتجهة مقابل الزمن يطابق وصف الحركة الآتي:

يتحرَّك زورق بسرعة ثابتة في الماء، ثم يتسارع لفترة زمنية قصيرة، بعد ذلك يواصل الحركة بسرعة ثابتة أعلى.

الحل

علمنا من المعطيات أن الزورق يتحرَّك من البداية بسرعة ثابتة. يعني هذا أن سرعة الزورق لها مقدار ثابت في البداية. في أيٍّ من التمثيلات البيانية للسرعة مقابل الزمن، لا بد أن تكون لخطِّ أفضل مطابقةٍ قيمة ثابتة في البداية، وأن يكون أفقيًّا. ينطبق هذا على التمثيلين البيانيين (ج) و(هـ) فقط.

يتغيَّر خطُّ أفضل مطابقةٍ في التمثيلين البيانيين (ج) و(هـ) من الوضع الأفقي إلى الميل الموجب. في التمثيل البياني (ج) يكون الخط مستقيمًا، وفي التمثيل البياني (هـ) يكون الخط منحنيًا. يمكن أن يشير الخط المستقيم أو الخط المنحني إلى تسارع، وذلك لأن كلًّا منهما يمثِّل تغيُّرات في السرعة. يناظر الخط المستقيم قيمة ثابتة للعجلة، في حين يناظر الخط المنحني قيمة متغيِّرة للعجلة. لكنَّ السؤال لا يحدِّد ما إذا كانت عجلة الزورق ثابتة أم لا.

بعد تسارع الزورق، يتحرَّك مرة أخرى بسرعة ثابتة. إذن، لا بد من أن يكون ميل التمثيل البياني أفقيًّا عند الجزء الأخير من حركة الزورق. في التمثيل البياني (ج) الخط أفقي، وفي التمثيل البياني (هـ) يكون ميل الخط ثابتًا في الاتجاه الموجب وهو ما يعني أنه يكتسب عجلة.

إذن، فقط التمثيل البياني (ج) هو ما يوضِّح جسمًا يتحرَّك بسرعة ثابتة، ومن ثَمَّ يتسارع ليصل إلى سرعة ثابتة أكبر، ثم يواصل الحركة بهذه السرعة الثابتة الأكبر.

مثال ٥: تحديد العجلة المتوسطة لجسمٍ متحرِّك

اصطدمت ريح خلفية قوية بطائرة كانت تُحلِّق بسرعة 245 m/s. استمرَّت عاصفة الريح لمدة 2.7 ثانية وصارت سرعة الطائرة بعد ذلك 263 m/s. ما مقدار العجلة المتوسطة التي تحرَّكت بها الطائرة نتيجة عاصفة الريح؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.

الحل

اتجاه تغيُّر سرعة الجسم هو اتجاه عجلة الجسم. هذا الاتجاه هو اتجاه تحليق الطائرة.

يطلب منَّا السؤال إيجاد العجلة المتوسطة للطائرة أثناء عاصفة الريح. في هذا المثال، لن يهمَّ إذا ما حدَّدنا العجلة المتوسطة للطائرة أو العجلة الثابتة للطائرة؛ حيث إن العجلة المتوسطة تتحدَّد بالطريقة نفسها إذا كانت عجلة الطائرة ثابتة.

ترتبط عجلة الجسم، ، بالتغيُّر في سرعته، ، والفترة الزمنية التي تتغيَّر السرعة خلالها، ، من خلال المعادلة:

السرعة الابتدائية للطائرة هي: 245 m/s، والسرعة النهائية هي: 263 m/s. ومن ثَمَّ، فإن قيمة تُعطَى من خلال:

ذكر السؤال أن الزمن الذي استغرقته عاصفة الريح هو: 2.7 ثانية.

بالتعويض بهاتين القيمتين نحصل على:

بتقريب الناتج لأقرب منزلة عشرية يكون الحلُّ: 6.7 m/s².

مثال ٦: تحديد سرعة جسمٍ يتباطأ خلال فترات زمنية مختلفة

يوضِّح الشكل سرعة سيارة في أزمنة مختلفة. تسير السيارة بعجلة منتظمة.

• أوجد .
• أوجد .
• أوجد .

الحل

يوضِّح الشكل سرعة السيارة على فترات زمنية مقدارها ثانية بين ، . لكن لم يوضِّح الشكل موضع السيارة عند هذه الفترات.

تتحرَّك السيارة بعجلة منتظمة، ومن ثَمَّ فإن التغيُّر في سرعة السيارة لا بد من أن يكون هو نفسه خلال كلِّ فترة زمنية. تتباطأ سرعة السيارة بمقدار 5 m/s خلال كلِّ فترة زمنية موضَّحة.

قيمة هي السرعة عند ناقص 5 m/s. وتُعطَى من خلال:

هذه هي سرعة السيارة عند .

قيمة هي السرعة عند ناقص 5 m/s. وتُعطَى من خلال:

هذه هي سرعة السيارة عند . من المهمِّ أن نلاحظ أن السيارة في حالة سكون عند هذه اللحظة.

قيمة هي السرعة عند ناقص 5 m/s. وتُعطَى من خلال:

السرعة عند سالبة. وهذا يوضِّح أن اتجاه السرعة في عكس اتجاه السرعة الابتدائية. ومن ثَمَّ، نستنتج أن السيارة تتحرَّك في الاتجاه المعاكس عند قيم الأكبر من 8 ثوانٍ.

حلٌّ آخَر:

بما أن العجلة منتظمة، تظلُّ قيمتها ثابتة طوال حركة السيارة. ويمكننا حساب هذه العجلة باستخدام المعادلة:

بما أن العجلة ثابتة، يمكننا حساب a من خلال اختيار أيِّ فترة زمنية ، وحساب التغيُّر في السرعة خلال هذه الفترة الزمنية .

لنختر الفترة الزمنية بين ، ، ومن ثَمَّ سيكون ، ، m/s، m/s.

إذن:

لاحظ أن كون العجلة سالبة يعني أن سرعة السيارة تقلُّ بمرور الزمن.

لحساب السرعات المجهولة في السؤال، لنُعِدْ ترتيب معادلة العجلة لتصبح:

لإيجاد ، نلاحظ أن ، ، ، .

إذن:

بإضافة 10 إلى طرفَي المعادلة نحصل على:

إذن، ؛ وهي القيمة نفسها التي حصلنا عليها في الحلِّ الآخَر.

مثال ٧: تفسير تمثيل بياني للسرعة مقابل الزمن لجسم يتحرَّك بعجلة

أيٌّ من التوصيفات الآتية يُعدُّ أكثر مطابقة للحركة المبيَّنة في التمثيل البياني الموضَّح للسرعة مقابل الزمن؟

1. يسير جسم بعجلة في اتجاه معاكس لسرعته، ثم يتحرَّك بسرعة ثابتة، ثم يسير بعجلة في نفس الاتجاه الذي تسارع فيه ولكن بمعدَّل أكبر، ثم يتحرَّك بسرعة ثابتة أكبر.
2. يتحرَّك جسم بسرعة ثابتة، ثم يتوقَّف، ثم يبدأ التحرُّك بسرعة ثابتة قيمتها أقل، ثم يتوقَّف مرة أخرى.
3. يتباطأ جسم، ثم يتوقَّف، ثم يتباطأ بمعدَّل أكبر، ثم يتوقَّف مرة أخرى.
4. يتباطأ جسم، ثم يتوقَّف، ثم يتباطأ بمعدَّل أكبر في اتجاه معاكس للعجلة السابقة، ثم يتوقَّف مرة أخرى.
5. يتحرَّك جسم بعجلة في اتجاه معاكس لسرعته، ثم يتحرَّك بسرعة ثابتة، ثم يتحرَّك بعجلة في اتجاه معاكس لعجلته السابقة بمعدَّل أقل، ثم يتحرَّك بسرعة ثابتة أكبر.

الحل

بناءً على بداية التمثيل البياني، نستنتج أن ميل خطِّ أفضل مطابقةٍ سيكون سالبًا. ومن هذا المنطلَق، يمكننا استبعاد الخيار 2 على الفور؛ لأن الجسم لا يمكن أن تكون له سرعة ثابتة في البداية إذا كان مقدار سرعته يتناقص.

في جزء التمثيل البياني الذي يكون فيه خطُّ أفضل مطابقةٍ أفقيًّا وفوق محور الزمن، يتحرَّك الجسم بسرعة ثابتة لا تساوي صفرًا. وعليه، نحذف الخيارين 3 و4 على الفور، وهما اللذان ينصُّان على أن الجسم يتوقَّف بعد تباطئه الابتدائي.

وبذلك، يتبقى لدينا الخياران 1 و5 فقط، وهما متشابهان للغاية. الاختلاف الوحيد بين هذين الخيارين يتعلَّق بالجزء الثالث من التمثيل البياني الذي تتغيَّر فيه السرعة. في هذا الجزء من التمثيل البياني، يوضِّح الخيار 1 أن عجلة الجسم في نفس اتجاه عجلته الابتدائية، ويوضِّح الخيار 5 أن عجلة الجسم في الاتجاه المعاكس لعجلة الجسم الابتدائية.

في جزأي التمثيل البياني؛ حيث تتغيَّر السرعة، للخطِّ ميل لا يساوي صفرًا. يعني هذا أنهما في الحالتين، ميلان سالبان. وعليه، نستنتج أن اتجاه العجلة يظلُّ هو نفسه في الحالتين. الخيار 1 صحيح.