شارح الدرس: البُعد العمودي بين النقاط والمستويات الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب البُعد العمودي بين مستوًى ونقطة، والبُعد العمودي بين مستوًى وخط مستقيم يوازيها، والبُعد العمودي بين مستويَيْن متوازيَيْن باستخدام صيغة.

لإيجاد أقصر مسافة بين نقطة وخط مستقيم، علينا أولًا معرفة المقصود بأقصر مسافة بين هذين العنصرين الهندسيين. وللقيام بذلك، نلاحظ أولًا أنه إذا كانت النقطة 𞸌󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒١١١ تقع على المستوى 󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃=٠، فإن المسافة بين هذين العنصرين تساوي صفرًا. بالتالي سنفترض أن النقطة لا تقع على المستوى.

لإيجاد أقصر مسافة بين هذين العنصرين، دعونا نفكر أولًا في المسافة بين 𞸌 والنقطة 𞸓 على المستوى.

يمكننا إثبات أن هذه ليست هي أقصر مسافة بين 𞸌 والمستوى من خلال رسم المثلث القائم الزاوية التالي.

نختار النقطة 𞸒 على المستوى بحيث تكون القطعة المستقيمة 𞸌𞸒 عمودية على المستوى. نلاحظ أن 𞸌𞸓 هو وتر المثلث القائم الزاوية؛ ما يعني أنه لا بد أن يكون أطول من الضلعين الآخرين. وهذا يعني تحديدًا أن طول 𞸌𞸒 أقصر من طول 𞸌𞸓. يمكننا رسم هذا المثلث لأي نقطة 𞸓 على المستوى، حيث يكون 𞸌𞸒 أقصر مسافة بين النقطة 𞸌 والمستوى.

نسمي هذا بالبُعد العمودي بين النقطة والمستوى؛ لأن 𞸌𞸒 عمودي على المستوى. ويمكننا إيجاد هذه المسافة بإيجاد إحداثيات 𞸒، لكن هناك طريقة أسهل لذلك.

لحساب هذه المسافة، سنبدأ بجعل 󰌑𞸓𞸌𞸒=𝜃، 󰍻𞸌𞸒󰍻=𞸐. كما سنتناول أيضًا المتجهين 󰄮󰄮𞸌𞸓، 󰄮󰄮󰄮𞸌𞸒.

نلاحظ في الشكل أن 𞸐 هو طول الضلع المجاور للزاوية 𝜃 في المثلث القائم الزاوية، وهذا يوضح لنا أن: لااورلا𝜃==𞸐󰍼󰄮󰄮𞸌𞸓󰍼.

على وجه التحديد، نحصل على المعادلة: 󰍼󰄮󰄮𞸌𞸓󰍼𝜃=𞸐.

يمكننا تكوين معادلة أخرى تتضمن التعبير: 󰍼󰄮󰄮𞸌𞸓󰍼𝜃 بتذكر الخاصية التالية عن المتجهات.

تعريف: حاصل الضرب القياسي لمتجهين

إذا كان 𝜃 قياس الزاوية بين المتجهين: 󰄮𞸋، 󰄮𞸏، فإن: 󰄮𞸋󰄮𞸏=󰍼󰄮𞸋󰍼󰍼󰄮𞸏󰍼𝜃.

بتطبيق هذه الخاصية على المتجهين: 󰄮󰄮󰄮𞸌𞸒، 󰄮󰄮𞸌𞸓، نحصل على: 󰄮󰄮󰄮𞸌𞸒󰄮󰄮𞸌𞸓=󰍼󰄮󰄮󰄮𞸌𞸒󰍼󰍼󰄮󰄮𞸌𞸓󰍼𝜃.

يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لنحصل على: 󰄮󰄮󰄮𞸌𞸒󰄮󰄮𞸌𞸓󰍼󰄮󰄮󰄮𞸌𞸒󰍼=󰍼󰄮󰄮𞸌𞸓󰍼𝜃=𞸐.

لكن لا يمكننا إيجاد قيمة هذا التعبير مباشرةً؛ لأننا لا نعرف إحداثيات 𞸒. يمكننا تجنب ذلك بتذكُّر أن 󰄮󰄮󰄮𞸌𞸒 عمودي على المستوى، ويمكننا إيجاد متجه آخر عمودي على المستوى.

تذكر أن المتجه (󰏡،𞸁،𞸢) عمودي على المستوى 󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃=٠. إذن، بما أن (󰏡،𞸁،𞸢)، 󰄮󰄮󰄮𞸌𞸒 عموديان على المستوى، فإن (󰏡،𞸁،𞸢)󰄮󰄮󰄮𞸌𞸒.

تذكر أننا نقول إن المتجهين متوازيان إذا كان كل منهما حاصل ضرب أحدهما في كمية قياسية غير صفرية للآخر، وسنسمي هذه الكمية القياسية 𞸊: 󰄮󰄮󰄮𞸌𞸒=𞸊(󰏡،𞸁،𞸢).

يمكننا استخدام هذا لإيجاد البُعد العمودي 𞸐. يمكننا أولًا التعويض بهذا التعبير في معادلة حاصل الضرب القياسي ثم التبسيط: 𞸐=󰄮󰄮󰄮𞸌𞸒󰄮󰄮𞸌𞸓󰍼󰄮󰄮󰄮𞸌𞸒󰍼=𞸊(󰏡،𞸁،𞸢)󰄮󰄮𞸌𞸓𞸊(󰏡،𞸁،𞸢)=𞸊(󰏡،𞸁،𞸢)󰄮󰄮𞸌𞸓|𞸊|(󰏡،𞸁،𞸢).

بعد ذلك، علينا الانتباه عند تبسيط 𞸊|𞸊|؛ لأننا لا نعرف ما إذا كانت قيمة 𞸊 سالبة أم موجبة. لكننا نعلم أن 𞸐 طول، ومن ثَمَّ يجب أن يكون موجبًا. يعني هذا أنه يمكننا أخذ القيمة المطلقة لطرفي هذه المعادلة: 𞸐=𞸊(󰏡،𞸁،𞸢)󰄮󰄮𞸌𞸓|𞸊|(󰏡،𞸁،𞸢)،|𞸐|=󰎁𞸊(󰏡،𞸁،𞸢)󰄮󰄮𞸌𞸓|𞸊|(󰏡،𞸁،𞸢)󰎁.

يمكننا بعد ذلك تبسيط هذه المعادلة باستخدام خواص القيمة المطلقة: 𞸐=󰍻𞸊(󰏡،𞸁،𞸢)󰄮󰄮𞸌𞸓󰍻|𞸊|(󰏡،𞸁،𞸢)=|𞸊|󰍻(󰏡،𞸁،𞸢)󰄮󰄮𞸌𞸓󰍻|𞸊|(󰏡،𞸁،𞸢)=󰍻(󰏡،𞸁،𞸢)󰄮󰄮𞸌𞸓󰍻(󰏡،𞸁،𞸢).

يمكننا ترك التعبير الدال على 𞸐 بهذه الصورة؛ ولكن يمكن تبسيطه أكثر من ذلك. تذكر أن 𞸓 هي أي نقطة على المستوى؛ لنفترض أن: 𞸓=󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٢٢٢.

يمكننا إيجاد مركبات 󰄮󰄮𞸌𞸓: 󰄮󰄮𞸌𞸓=󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒=󰁓𞸎𞸎،𞸑𞸑،𞸏𞸏󰁒.٢٢٢١١١٢١٢١٢١

يمكننا بعد ذلك التعويض بهذا التعبير في معادلة التعبير عن 𞸐 وإيجاد حاصل الضرب القياسي: 𞸐=󰍻(󰏡،𞸁،𞸢)󰄮󰄮𞸌𞸓󰍻(󰏡،𞸁،𞸢)=󰍸(󰏡،𞸁،𞸢)󰁓𞸎𞸎،𞸑𞸑،𞸏𞸏󰁒󰍸(󰏡،𞸁،𞸢)=󰍸󰏡󰁓𞸎𞸎󰁒+𞸁󰁓𞸑𞸑󰁒+𞸢󰁓𞸏𞸏󰁒󰍸(󰏡،𞸁،𞸢)=󰍸󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏󰁓󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏󰁒󰍸(󰏡،𞸁،𞸢).٢١٢١٢١٢١٢١٢١٢٢٢١١١

وأخيرًا، سنستخدم حقيقة أن 𞸓 تقع في المستوى 󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃=٠، وهذا يعني أن: 󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃=٠.٢٢٢

يمكننا إعادة ترتيب هذا لنجد أن: 󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏=𞸃.٢٢٢

بالتعويض بهذا في معادلة التعبير عن: 𞸐 وبالتبسيط، نحصل على: 𞸐=󰍸󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏󰁓󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏󰁒󰍸|(󰏡،𞸁،𞸢)=󰍸𞸃󰁓󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏󰁒󰍸(󰏡،𞸁،𞸢)=󰍸󰁓𞸃+󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏󰁒󰍸(󰏡،𞸁،𞸢)=󰍸󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃󰍸(󰏡،𞸁،𞸢)=󰍸󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃󰍸󰋴󰏡+𞸁+𞸢.٢٢٢١١١١١١١١١١١١١١١٢٢٢

يمكننا تلخيص هذه النتيجة كما يلي.

تعريف: المسافة بين نقطة ومستوى

أقصر مسافة (أو البُعد العمودي)، 𞸐، بين النقطة 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒١١١ والمستوى 󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃=٠ تُعطى بالصيغة: 𞸐=󰍸󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃󰍸󰋴󰏡+𞸁+𞸢.١١١٢٢٢

لنتناول مثالًا على كيفية استخدام هذه الصيغة لإيجاد البُعد العمودي بين نقطة ومستوى مُعطى على الصورة العامة.

مثال ١: إيجاد المسافة بين نقطة ومستوى

أوجد المسافة بين النقطة (٥،٨،٦) والمستوى ٢𞸎+𞸑+٢𞸏=٧.

الحل

نريد إيجاد المسافة بين نقطة ومستوى. وللقيام بذلك، علينا أولًا أن نتذكر أن المسافة بين نقطة ومستوى تعني البُعد العمودي؛ لأن هذه هي أقصر مسافة بين هذين العنصرين.

لإيجاد البُعد العمودي، علينا أن نتذكر الصيغة التالية.

البُعد العمودي، 𞸐، بين النقطة 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒١١١ والمستوى 󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃=٠ يُعطى بالصيغة: 𞸐=󰍸󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃󰍸󰋴󰏡+𞸁+𞸢.١١١٢٢٢

لدينا: 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒=(٥،٨،٦)١١١ وعلينا إعادة كتابة معادلة المستوى: ٢𞸎+𞸑+٢𞸏=٧٢𞸎+𞸑+٢𞸏٧=٠.

إذن 󰏡=٢، 𞸁=١، 𞸢=٢، 𞸃=٧.

بالتعويض بهذه القيم في الصيغة لدينا، نحصل على: 𞸐=󰍸󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃󰍸󰋴󰏡+𞸁+𞸢=|(٢)(٥)+(١)(٨)+(٢)(٦)٧|󰋴(٢)+١+٢=|٧١|󰋴٩=٧١٣.١١١٢٢٢٢٢٢وةل

يمكننا إضافة وحدات الطول إلى هذه القيمة لأنها تمثل طولًا.

بذلك نكون قد أوجدنا أن المسافة بين النقطة (٥،٨،٦) والمستوى ٢𞸎+𞸑+٢𞸏=٧ تساوي ٧١٣وةل.

في المثال التالي، سنتناول كيف يمكننا تطبيق هذه الصيغة لإيجاد المسافة بين نقطة ومستوى مُعطى على الصورة المتجهة.

مثال ٢: إيجاد المسافة بين نقطة ومستوى

أوجد المسافة بين النقطة (٢،١،٣) والمستوى 󰄮𞸓(٢،٢،١)=٣.

الحل

نريد إيجاد المسافة بين نقطة ومستوى. وللقيام بذلك، علينا أن نتذكر أن المسافة، 𞸐، بين النقطة 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒١١١ والمستوى 󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃=٠ تُعطى بالصيغة: 𞸐=󰍸󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃󰍸󰋴󰏡+𞸁+𞸢.١١١٢٢٢

لا يمكننا تطبيق هذه الصيغة مباشرةً لأن المستوى مُعطًى على الصورة المتجهة. ومن ثَمَّ، لتطبيق الصيغة لدينا، علينا تحويل المستوى إلى الصورة العامة لمعادلة المستوى.

لفعل ذلك، نعوض بـ 󰄮𞸓=(𞸎،𞸑،𞸏) في المعادلة المتجهة للمستوى: 󰄮𞸓(٢،٢،١)=٣(𞸎،𞸑،𞸏)(٢،٢،١)=٣٢𞸎+٢𞸑+𞸏=٣.

بعد ذلك، نطرح ٣ من كلا طرفي المعادلة: ٢𞸎+٢𞸑+𞸏٣=٠.

والآن بعد أن أصبح لدينا معادلة المستوى على الصورة العامة، يمكننا تطبيق صيغة المسافة. لدينا 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒=(٢،١،٣)١١١، 󰏡=٢، 𞸁=٢، 𞸢=١، 𞸃=٣، وبالتعويض بهذه القيم، نحصل على: 𞸐=󰍸󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃󰍸󰋴󰏡+𞸁+𞸢=|(٢)(٢)+(٢)(١)+(١)(٣)٣|󰋴(٢)+٢+١=|٦|󰋴٩=٢١١١٢٢٢٢٢٢وةل ويمكننا إضافة وحدات الطول إلى هذه القيمة لأننا نعلم أنها تمثل طولًا.

بذلك نكون قد أوجدنا أن المسافة بين النقطة (٢،١،٣) والمستوى 󰄮𞸓(٢،٢،١)=٣ تساوي ٢وةل.

في المثال السابق، أوجدنا المسافة بين نقطة ومستوى مُعطى على الصورة المتجهة عن طريق إيجاد معادلة المستوى على الصورة العامة. يمكننا استخدام هذه الطريقة لإيجاد صيغة للمسافة بين نقطة ومستوى على الصورة المتجهة.

يمكننا دائمًا إعادة كتابة المستوى الذي معادلته 󰄮𞸓(󰏡،𞸁،𞸢)=𞸃 على الصورة: 󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃=٠. وبتطبيق صيغة البُعد العمودي، نحصل على النتيجة التالية.

النظرية: المسافة بين نقطة ومستوى على الصورة المتجهة

أقصر مسافة (أو البُعد العمودي)، 𞸐، بين النقطة 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒١١١ والمستوى 󰄮𞸓(󰏡،𞸁،𞸢)=𞸃 تُعطى بالصيغة: 𞸐=󰍸󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃󰍸󰋴󰏡+𞸁+𞸢.١١١٢٢٢

كان بإمكاننا استخدام هذه النتيجة لإيجاد المسافة المُعطاة في المثال الثاني مباشرةً.

يمكننا استخدام هذه الطريقة نفسها لإيجاد المسافة بين خط مستقيم ومستوى. أولًا، إذا كان الخط المستقيم والمستوى غير متوازيين أو غير مختلفين، فإنهما يتقاطعان، أي إن المسافة بينهما تساوي صفرًا. ثانيًا، إذا كان الخط المستقيم والمستوى متوازيين ومختلفين، فيمكننا إثبات أن أقصر مسافة بينهما هي البُعد العمودي بين أي نقطة على الخط المستقيم والمستوى. لنفكر في المسافة بين النقطة العشوائية 𞸌 على الخط المستقيم والنقطة العشوائية الأخرى 𞸓 على المستوى الموازي للخط المستقيم.

نلاحظ أن 𞸌𞸓 هو وتر المثلث القائم الزاوية، إذن تكون هذه المسافة دائمًا أكبر من البُعد العمودي بين النقطة 𞸌 والمستوى. وأخيرًا، بما أن الخط المستقيم والمستوى متوازيان، فإن المسافة بينهما ثابتة؛ لذا يمكننا اختيار أي نقطة 𞸌 على الخط المستقيم وستكون المسافة ثابتة؛ ما يعني أنه يمكننا استخدام صيغة المسافة بين نقطة ومستوى.

النظرية: المسافة بين خط مستقيم ومستوى على الصورة المتجهة

أقصر مسافة (أو البُعد العمودي)، 𞸐، بين خط مستقيم ومستوى متوازيين، حيث 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒١١١هي أي نقطة تقع على الخط المستقيم ومعادلة المستوى هي 󰄮𞸓(󰏡،𞸁،𞸢)=𞸃، تُعطى بالصيغة: 𞸐=󰍸󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃󰍸󰋴󰏡+𞸁+𞸢.١١١٢٢٢

في المثالين التاليين، سنتناول كيف يمكننا تطبيق هذه العملية لإيجاد المسافة بين خط مستقيم يوازي مستوى وهذا المستوى.

مثال ٣: إيجاد المسافة بين خط مستقيم ومستوى

أوجد البُعد العمودي بين الخط المستقيم 󰄮𞸓=(١،٢،٤)+𞸍(٢،١،٤) والمستوى 󰄮𞸓(٢،٠،١)=١.

الحل

يطلب منا السؤال إيجاد البُعد العمودي بين خط مستقيم ومستوى. علينا تحديد ما إذا كانا متقاطعين أم لا؛ ولفعل ذلك، يجب أولًا إعادة كتابة معادلة الخط المستقيم على الصورة: 󰄮𞸓=(١٢𞸍،٢+𞸍،٤+٤𞸍).

بعد ذلك، نعوض بهذا في معادلة المستوى: (١٢𞸍،٢+𞸍،٤+٤𞸍)(٢،٠،١)=١٢(١٢𞸍)+٠(٢+𞸍)+١(٤+٤𞸍)=١٢٤𞸍+٤+٤𞸍=١٦=١.

لا تكون هذه المعادلة صحيحة لكل قيم 𞸍، إذن الخط المستقيم والمستوى لا يتقاطعان. ومن ثَمَّ، فهما متوازيان.

بدلًا من ذلك، يمكننا إثبات أن الخط المستقيم والمستوى متوازيان بإثبات أن المتجه العمودي على المستوى ومتجه الاتجاه للخط المستقيم متعامدان، ويمكننا فعل ذلك بحساب حاصل ضربهما القياسي: (٢،١،٤)(٢،٠،١)=(٢×٢)+(١×٠)+(٤×١)=٤+٤=٠.

إذن، الخط المستقيم يكون عمودي على المتجه العمودي على المستوى؛ ومن ثَمَّ فإن الخط المستقيم والمستوى يكونان متوازيان.

نتذكر أن المسافة بين أي خط مستقيم ومستوى تساوي المسافة بين أي نقطة على المستقيم والمستوى. نعلم أن النقطة (١،٢،٤) تقع على الخط المستقيم؛ لأن هذا هو متجه الموضع عند 𞸍=٠، وأن البُعد العمودي، 𞸐، بين النقطة 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒١١١ والمستوى 󰄮𞸓(󰏡،𞸁،𞸢)=𞸃 يُعطى بالصيغة: 𞸐=󰍸󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃󰍸󰋴󰏡+𞸁+𞸢.١١١٢٢٢

نعوض بـ 󰏡=٢، 𞸁=٠، 𞸢=١، 𞸃=١، 𞸎=١١، 𞸑=٢١، 𞸏=٤١ في الصيغة لنحصل على: 𞸐=|(٢)(١)+(٠)(٢)+(١)(٤)١|󰋴(٢)+(٠)+(١)=|٥|󰋴٥=󰋴٥.٢٢٢

وبالتالي، فإن المسافة بين الخط المستقيم والمستوى تساوي 󰋴٥ وحدة طول.

مثال ٤: إيجاد المسافة بين خط مستقيم ومستوى

أوجد المسافة بين الخط المستقيم 𞸎١٢=𞸑٢٤=𞸏+٥٢ والمستوى ٣𞸎٢𞸑+𞸏=٢. قرِّب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.

الحل

يطلب منا السؤال إيجاد البُعد العمودي بين خط مستقيم ومستوى. علينا تحديد ما إذا كانا متقاطعين أم لا. نتحقق أولًا ممَّا إذا كان الخط المستقيم والمستوى متوازيين. ولكي يكون الخط المستقيم والمستوى متوازيين، يجب أن يتعامد متجه اتجاه الخط المستقيم على المتجه العمودي على المستوى. يمكننا التحقق من ذلك بحساب حاصل ضربهما القياسي. متجه اتجاه الخط المستقيم هو (٢،٤،٢) والمتجه العمودي على المستوى هو (٣،٢،١)؛ ما يعطينا: (٢،٤،٢)(٣،٢،١)=(٢×٣)+󰁓٤×(٢)󰁒+(٢×١)=٦٨+٢=٠.

وبما أن هذا يساوي صفرًا، فإن الخط المستقيم يتعامد على المتجه العمودي على المستوى، وهو ما يعني أنهما متوازيان.

نتذكر أن المسافة بين أي خط مستقيم ومستوى متوازيين هي نفسها المسافة بين أي نقطة على الخط المستقيم والمستوى. بمساواة كل جزء من المعادلة الكارتيزية للخط المستقيم بصفر ثم الحل، نجد أن النقطة (١،٢،٥) تقع على الخط المستقيم. نعلم أيضًا أن المسافة، 𞸐، بين النقطة 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒١١١ والمستوى 󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃=٠ تُعطى بالصيغة: 𞸐=󰍸󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃󰍸󰋴󰏡+𞸁+𞸢.١١١٢٢٢

بالتعويض بـ 𞸎=١١، 𞸑=٢١، 𞸏=٥١، 󰏡=٣، 𞸁=٢، 𞸢=١، 𞸃=٢ في هذه الصيغة، نحصل على: 𞸐=|٣(١)+(٢)(٢)+(١)(٥)+٢|󰋴٣+(٢)+١=|٤|󰋴٤١١٫١.٢٢٢وةل

إذن المسافة بين الخط المستقيم والمستوى لأقرب منزلة عشرية هي ١٫١ وحدة طول.

يمكننا أيضًا استخدام الصيغتين لإيجاد المسافة بين مستويين متوازيين. وللقيام بذلك، يمكننا محاولة إيجاد المسافة بين نقطة عشوائية على كل مستوى، وسنسميهما: 𞸌، 𞸓.

لكن إذا قارَنَّا هذه المسافة بالبُعد العمودي، فسنلاحظ أن 𞸌𞸓 هو وتر المثلث القائم الزاوية؛ ما يعني أنه أطول من البُعد العمودي. وهذا ينطبق على أي نقطتين نختارهما. بعبارة أخرى، أقصر مسافة بين مستويين متوازيين هي البُعد العمودي. وفي الواقع، بما أن المسافات بين المستويات المتوازية تظل ثابتة، يمكننا اختيار أي نقطة 𞸌 لتكون هي نقطة البداية. ومن ثَمَّ، يمكننا استخدام صيغتيْ إيجاد المسافة بين نقطة ومستوى لإيجاد المسافة بين مستويين متوازيين.

في المثال الأخير، سنتناول كيف نطبق هذه الطريقة لإيجاد المسافة بين مستويين متوازيين.

مثال ٥: إيجاد المسافة بين مستويين

أوجد المسافة بين المستويين 𞸎٢𞸑٢𞸏=٢، ٢𞸎٤𞸑٤𞸏=٣.

الحل

نريد إيجاد المسافة بين مستويين. ولفعل ذلك، سنبدأ بالتحقق مما إذا كان المستويان متوازيين، ويمكننا بعد ذلك تطبيق صيغة البُعد العمودي.

نتذكر أن المستويين يكونان متوازيين، إذا كان المتجه العمودي على أحد المستويين موازيًا للمتجه العمودي على المستوى الآخر. المتجه العمودي على كل مستوى يُعطى بالمعاملات؛ إذن المتجهان العموديان على المستويين هما: (١،٢،٢)، (٢،٤،٤)، وكل منهما هو حاصل ضرب الآخر في عدد ثابت. ومن ثَمَّ، فإن المستويين متوازيان.

نريد إيجاد نقطة على أحد المستويين، ولفعل ذلك، يمكننا التعويض بـ 𞸎=٠، 𞸑=٠ في معادلة المستوى الأول: ٠٢(٠)٢𞸏=٢٢𞸏=٢𞸏=١.

هذا يعني أن النقطة (٠،٠،١) تقع في المستوى الأول. ولإيجاد المسافة بين المستويين، سنوجِد المسافة بين النقطة (٠،٠،١) والمستوى ٢𞸎٤𞸑٤𞸏=٣.

نتذكر أن البُعد العمودي 𞸐، بين النقطة 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒١١١ والمستوى 󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃=٠ يُعطى بالصيغة: 𞸐=󰍸󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃󰍸󰋴󰏡+𞸁+𞸢.١١١٢٢٢

لتطبيق ذلك، علينا إعادة كتابة معادلة المستوى بطرح ٣ من كلا طرفي المعادلة: ٢𞸎٤𞸑٤𞸏٣=٠.

هذا يعطينا: 󰏡=٢، 𞸁=٤، 𞸢=٤، 𞸃=٣. وبالتعويض بهذه القيم والنقطة لدينا في الصيغة، نحصل على: 𞸐=󰍸󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃󰍸󰋴󰏡+𞸁+𞸢=|(٢)(٠)+(٤)(٠)+(٤)(١)+(٣)|󰋴(٢)+(٤)+(٤)=|٧|󰋴٦٣=٧٦.١١١٢٢٢٢٢٢وةل

يمكننا إضافة وحدات الطول إلى هذه القيمة لأننا نعرف أنها تمثل طولًا.

بذلك نكون قد أوجدنا أن المسافة بين المستويين 𞸎٢𞸑٢𞸏=٢، ٢𞸎٤𞸑٤𞸏=٣ تساوي ٧٦وةل.

دعونا نختتم بتلخيص بعض النقاط المهمة في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • المسافة، 𞸐، بين النقطة 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒١١١ والمستوى 󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃=٠ تُعطى بالصيغة: 𞸐=󰍸󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃󰍸󰋴󰏡+𞸁+𞸢.١١١٢٢٢
  • المسافة، 𞸐، بين النقطة 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒١١١ والمستوى 󰄮𞸓(󰏡،𞸁،𞸢)=𞸃 تُعطى بالصيغة: 𞸐=󰍸󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃󰍸󰋴󰏡+𞸁+𞸢.١١١٢٢٢
  • المسافة بين خط مستقيم موازٍ لمستوى وهذا المستوى تساوي المسافة بين أي نقطة على الخط المستقيم والمستوى.
  • المسافة بين مستويين متوازيين تساوي المسافة بين أي نقطة على أي مستوى منهما والمستوى الأخرى.
  • البُعد العمودي بين نقطة ومستوى هو أقصر مسافة بين هذين العنصرين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.