شارح الدرس: البُعد العمودي بين النقاط والمستويات الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب البُعد العمودي بين مستوًى ونقطة، والبُعد العمودي بين مستوًى وخط مستقيم يوازيها، والبُعد العمودي بين مستويَيْن متوازيَيْن باستخدام صيغة.

لإيجاد أقصر مسافة بين نقطة وخط مستقيم، علينا أولًا معرفة المقصود بأقصر مسافة بين هذين العنصرين الهندسيين. وللقيام بذلك، نلاحظ أولًا أنه إذا كانت النقطة تقع على المستوى ، فإن المسافة بين هذين العنصرين تساوي صفرًا. بالتالي سنفترض أن النقطة لا تقع على المستوى.

لإيجاد أقصر مسافة بين هذين العنصرين، دعونا نفكر أولًا في المسافة بين والنقطة على المستوى.

يمكننا إثبات أن هذه ليست هي أقصر مسافة بين والمستوى من خلال رسم المثلث القائم الزاوية التالي.

نختار النقطة على المستوى بحيث تكون القطعة المستقيمة عمودية على المستوى. نلاحظ أن هو وتر المثلث القائم الزاوية؛ ما يعني أنه لا بد أن يكون أطول من الضلعين الآخرين. وهذا يعني تحديدًا أن طول أقصر من طول . يمكننا رسم هذا المثلث لأي نقطة على المستوى، حيث يكون أقصر مسافة بين النقطة والمستوى.

نسمي هذا بالبُعد العمودي بين النقطة والمستوى؛ لأن عمودي على المستوى. ويمكننا إيجاد هذه المسافة بإيجاد إحداثيات ، لكن هناك طريقة أسهل لذلك.

لحساب هذه المسافة، سنبدأ بجعل ، . كما سنتناول أيضًا المتجهين ، .

نلاحظ في الشكل أن هو طول الضلع المجاور للزاوية في المثلث القائم الزاوية، وهذا يوضح لنا أن:

على وجه التحديد، نحصل على المعادلة:

يمكننا تكوين معادلة أخرى تتضمن التعبير: بتذكر الخاصية التالية عن المتجهات.

بتطبيق هذه الخاصية على المتجهين: ، ، نحصل على:

يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لنحصل على:

لكن لا يمكننا إيجاد قيمة هذا التعبير مباشرةً؛ لأننا لا نعرف إحداثيات . يمكننا تجنب ذلك بتذكُّر أن عمودي على المستوى، ويمكننا إيجاد متجه آخر عمودي على المستوى.

تذكر أن المتجه عمودي على المستوى . إذن، بما أن ، عموديان على المستوى، فإن .

تذكر أننا نقول إن المتجهين متوازيان إذا كان كل منهما حاصل ضرب أحدهما في كمية قياسية غير صفرية للآخر، وسنسمي هذه الكمية القياسية :

يمكننا استخدام هذا لإيجاد البُعد العمودي . يمكننا أولًا التعويض بهذا التعبير في معادلة حاصل الضرب القياسي ثم التبسيط:

بعد ذلك، علينا الانتباه عند تبسيط ؛ لأننا لا نعرف ما إذا كانت قيمة سالبة أم موجبة. لكننا نعلم أن طول، ومن ثَمَّ يجب أن يكون موجبًا. يعني هذا أنه يمكننا أخذ القيمة المطلقة لطرفي هذه المعادلة:

يمكننا بعد ذلك تبسيط هذه المعادلة باستخدام خواص القيمة المطلقة:

يمكننا ترك التعبير الدال على بهذه الصورة؛ ولكن يمكن تبسيطه أكثر من ذلك. تذكر أن هي أي نقطة على المستوى؛ لنفترض أن: .

يمكننا إيجاد مركبات :

يمكننا بعد ذلك التعويض بهذا التعبير في معادلة التعبير عن وإيجاد حاصل الضرب القياسي:

وأخيرًا، سنستخدم حقيقة أن تقع في المستوى ، وهذا يعني أن:

يمكننا إعادة ترتيب هذا لنجد أن:

بالتعويض بهذا في معادلة التعبير عن: وبالتبسيط، نحصل على:

يمكننا تلخيص هذه النتيجة كما يلي.

لنتناول مثالًا على كيفية استخدام هذه الصيغة لإيجاد البُعد العمودي بين نقطة ومستوى مُعطى على الصورة العامة.

في المثال التالي، سنتناول كيف يمكننا تطبيق هذه الصيغة لإيجاد المسافة بين نقطة ومستوى مُعطى على الصورة المتجهة.

في المثال السابق، أوجدنا المسافة بين نقطة ومستوى مُعطى على الصورة المتجهة عن طريق إيجاد معادلة المستوى على الصورة العامة. يمكننا استخدام هذه الطريقة لإيجاد صيغة للمسافة بين نقطة ومستوى على الصورة المتجهة.

يمكننا دائمًا إعادة كتابة المستوى الذي معادلته على الصورة: . وبتطبيق صيغة البُعد العمودي، نحصل على النتيجة التالية.

كان بإمكاننا استخدام هذه النتيجة لإيجاد المسافة المُعطاة في المثال الثاني مباشرةً.

يمكننا استخدام هذه الطريقة نفسها لإيجاد المسافة بين خط مستقيم ومستوى. أولًا، إذا كان الخط المستقيم والمستوى غير متوازيين أو غير مختلفين، فإنهما يتقاطعان، أي إن المسافة بينهما تساوي صفرًا. ثانيًا، إذا كان الخط المستقيم والمستوى متوازيين ومختلفين، فيمكننا إثبات أن أقصر مسافة بينهما هي البُعد العمودي بين أي نقطة على الخط المستقيم والمستوى. لنفكر في المسافة بين النقطة العشوائية على الخط المستقيم والنقطة العشوائية الأخرى على المستوى الموازي للخط المستقيم.

نلاحظ أن هو وتر المثلث القائم الزاوية، إذن تكون هذه المسافة دائمًا أكبر من البُعد العمودي بين النقطة والمستوى. وأخيرًا، بما أن الخط المستقيم والمستوى متوازيان، فإن المسافة بينهما ثابتة؛ لذا يمكننا اختيار أي نقطة على الخط المستقيم وستكون المسافة ثابتة؛ ما يعني أنه يمكننا استخدام صيغة المسافة بين نقطة ومستوى.

في المثالين التاليين، سنتناول كيف يمكننا تطبيق هذه العملية لإيجاد المسافة بين خط مستقيم يوازي مستوى وهذا المستوى.

يمكننا أيضًا استخدام الصيغتين لإيجاد المسافة بين مستويين متوازيين. وللقيام بذلك، يمكننا محاولة إيجاد المسافة بين نقطة عشوائية على كل مستوى، وسنسميهما: ، .

لكن إذا قارَنَّا هذه المسافة بالبُعد العمودي، فسنلاحظ أن هو وتر المثلث القائم الزاوية؛ ما يعني أنه أطول من البُعد العمودي. وهذا ينطبق على أي نقطتين نختارهما. بعبارة أخرى، أقصر مسافة بين مستويين متوازيين هي البُعد العمودي. وفي الواقع، بما أن المسافات بين المستويات المتوازية تظل ثابتة، يمكننا اختيار أي نقطة لتكون هي نقطة البداية. ومن ثَمَّ، يمكننا استخدام صيغتيْ إيجاد المسافة بين نقطة ومستوى لإيجاد المسافة بين مستويين متوازيين.

في المثال الأخير، سنتناول كيف نطبق هذه الطريقة لإيجاد المسافة بين مستويين متوازيين.

دعونا نختتم بتلخيص بعض النقاط المهمة في هذا الشارح.