في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحدِّد السرعات باستخدام التمثيلات البيانية للمسافة مقابل الزمن.
لعلنا نتذكَّر أنه في التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن، يمثِّل الخط المستقيم المار بمجموعة من النقاط الممثَّلة على التمثيل البياني سرعةً ما.
يوضِّح الشكل الآتي تمثيلًا بيانيًّا للمسافة مقابل الزمن. في هذا التمثيل البياني، يوجد خطان.
نلاحظ أن الخط المتقطِّع يمثِّل سرعة أكبر من الخط المنقَّط.
بالنسبة إلى الخط المتقطِّع، كان هناك تغيُّر أكبر في المسافة مقارنةً بالخط الأحمر. يبدأ الخطان من القيمة الزمنية نفسها وينتهيان عند القيمة الزمنية نفسها.
لا تُوجَد أعداد على محور المسافة أو الزمن في التمثيل البياني. وهذا يعني أنه لا تُوجَد طريقة لمعرفة قيمة السرعة لكلا الخطين. يمكننا فقط القول إن سرعة الخط المتقطِّع يجب أن تكون أكبر من سرعة الخط الأحمر.
نتناول الآن تمثيلًا بيانيًّا للمسافة مقابل الزمن به أعداد على محورَيْه. نُسمِّي هذا التمثيل البياني تمثيلًا بيانيًّا ذا مقياس. ويوضِّح الشكل الآتي مثالًا.
نظرًا لأن التمثيل البياني ذو مقياس، يمكننا الآن عد المسافات المقطوعة، والزمن المستغرَق لقطع هذه المسافات.
نتناول الخط المتقطِّع أولًا.
الخط المتقطِّع له نقطة بداية ونقطة نهاية. ويوضِّح الشكل الآتي هاتين النقطتين.
بدايةً، نتناول ما توضِّحه لنا نقطتا البداية والنهاية بشأن المسافة المقطوعة.
تناظر كلٌّ من نقطتَي البداية والنهاية عددًا على محور المسافة في التمثيل البياني. ويوضِّح الشكل الآتي ذلك.
يمكننا أن نلاحظ أن نقطة البداية تناظر مسافة مقدارها ٠ متر، ونقطة النهاية تناظر مسافة مقدارها ٥ أمتار.
نسمِّي ٠ متر المسافة الابتدائية، ونسمِّي ٥ أمتار المسافة النهائية.
نقارِن الآن المسافة النهائية والمسافة الابتدائية لنحصل على مقدار التغيُّر في المسافة. ويوضِّح الشكل الآتي ذلك.
يمكننا أن نلاحظ أن المسافة النهائية التي مقدارها ٥ أمتار أكبر من المسافة الابتدائية. والتغيُّر في المسافة يساوي ٥ أمتار.
يمكننا كتابة ذلك على الصورة: حيث يمثِّل التغيُّر في المسافة.
لمعرفة السرعة، يجب أن نعرف أيضًا مقدار الزمن الذي تغيَّرت خلاله المسافة بمقدار ٥ أمتار.
ننظر مرة أخرى إلى نقطة بداية الخط المستقيم ونقطة نهايته الموضَّحتين في الشكل الآتي.
ما فعلناه للتو لمعرفة مقدار التغيُّر في المسافة يمكننا فعله أيضًا لمعرفة مقدار التغيُّر في الزمن. ويوضِّح الشكل الآتي ذلك.
من الزمن الابتدائي والزمن النهائي، يمكننا إيجاد التغيُّر في الزمن. ويوضِّح الشكل الآتي ذلك.
يمكننا أن نلاحظ أن الزمن النهائي الذي مقداره ٥ ثوانٍ أكبر من الزمن الابتدائي. والتغيُّر في الزمن يساوي ٥ ثوانٍ.
يمكننا كتابة ذلك على الصورة: حيث يمثِّل التغيُّر في الزمن.
الآن، لدينا كافة المعلومات اللازمة لإيجاد قيمة السرعة الممثَّلة بالخط المتقطِّع.
ويمكننا أن نتذكَّر أن السرعة المتوسطة لجسم، ، تُعطَى بالمعادلة:
لقد أوجدنا للتو قيمتَي و للخط المتقطِّع. وباستخدام هاتين القيمتين، نجد أن:
يمكننا ملاحظة أن:
إذن قيمة السرعة تساوي ١.
يجب أيضًا تحديد وحدة السرعة. وتُعطى وحدة السرعة بالعلاقة:
الوحدة هي م/ث. وبالكلمات، تُكتب هذه الوحدة «متر لكل ثانية».
السرعة تساوي مترًا واحدًا لكل ثانية أو ١ م/ث.
يوضِّح الشكل الآتي هذه السرعة.
نكرِّر الآن جميع هذه الخطوات للخط المنقَّط. يوضِّح الشكل الآتي ذلك الخط.
ويمكننا أن نلاحظ أن: وأن:
وفي المعادلة: يمكننا التعويض بهاتين القيمتين. وهذا يُعطينا:
وهذه السرعة موضَّحة في الشكل الآتي.
نلاحظ هنا أن قيمة سرعة الخط المنقَّط أقل من قيمة سرعة الخط المتقطِّع. ويوضِّح الشكل الآتي ذلك.
يمثِّل التغيُّر في المسافة مقسومًا على التغيُّر في الزمن في التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن ميل المنحنى.
وهذا يعني أن ميل المنحنى في التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن يساوي سرعة الجسم الممثَّلة حركته بالخط المستقيم الذي يوضِّح التغيُّر في المسافة مع تغيُّر الزمن.
نتدرَّب ببعض الأمثلة على إيجاد السرعة باستخدام التمثيلات البيانية للمسافة مقابل الزمن.
مثال ١: إيجاد المسافة المقطوعة بسرعة ثابتة باستخدام تمثيل بياني للمسافة مقابل الزمن
يوضِّح التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن جسمًا يتحرَّك بسرعة ثابتة.
- ما المسافة التي قطعها الجسم بين ٠ ثانية وثانية واحدة؟
- ما المسافة التي قطعها الجسم بين ٤ ثوانٍ و٥ ثوانٍ؟
الحل
الجزء ١
عند الزمن ٠ ثانية المسافة المقطوعة هي ٠ متر.
وعند الزمن ثانية واحدة المسافة المقطوعة هي متر واحد.
يمكن حساب المسافة المقطوعة بين ٠ ثانية وثانية واحدة بالعلاقة:
تتغيَّر المسافة بمقدار متر واحد.
الجزء ٢
عند الزمن ٤ ثوانٍ المسافة المقطوعة هي ٤ أمتار.
وعند الزمن ٥ ثوانٍ المسافة المقطوعة هي ٥ أمتار.
يمكن حساب المسافة المقطوعة بين ٤ ثوانٍ و٥ ثوانٍ بالعلاقة:
تتغيَّر المسافة بمقدار متر واحد.
وهذا يماثل التغيُّر في المسافة بين ٠ ثانية وثانية واحدة. فالتغيُّرات المتساوية في الزمن متوقَّعة هنا. التغيُّر في الزمن بين ٤ ثوانٍ و٥ ثوانٍ يساوي التغيُّر في الزمن بين ٠ ثانية وثانية واحدة. في كل حالة، يزيد الزمن بمقدار ثانية واحدة.
الجسم لديه سرعة ثابتة؛ لذا، يجب أن يكون لديه تغيُّرات متساوية في المسافة مقابل تغيُّرات متساوية في الزمن خلال حركته.
في التفسيرات الموضَّحة في الشارح، التمثيل البياني مقسَّم إلى مربعات.
يمثِّل الطول الرأسي للمربع الواحد تغيُّرًا في المسافة بمقدار متر واحد.
ويمثِّل الطول الأفقي للمربع الواحد تغيُّرًا في الزمن بمقدار ثانية واحدة.
وليس ضروريًّا أن تكون هاتان القيمتان هما المستخدمتان في مقياس محورَي التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن.
نتناول الآن مثالًا لا يساوي فيه المقياس على محورَي التمثيل البياني مترًا واحدًا لكل مربع على محور المسافة أو ثانية واحدة لكل مربع على محور الزمن.
مثال ٢: إيجاد السرعة باستخدام التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن
يوضِّح التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن جسمًا يتحرَّك بسرعة ثابتة. ما سرعة الجسم؟
الحل
يمكن إيجاد سرعة الجسم بقسمة المسافة التي يقطعها الجسم على الزمن المستغرَق لقطع هذه المسافة.
يمكننا أن نلاحظ من التمثيل البياني أن الخط المستقيم الذي يمثِّل السرعة يمر بأركان مجموعة من المربعات الموجودة على التمثيل البياني الموضَّحة في الشكل الآتي.
بالنظر إلى محور المسافة، نلاحظ أن المربع الأول يبدأ عند ٠ متر، والمربع الثاني يبدأ عند ١٠ أمتار، والمربع الثالث يبدأ عند ٢٠ مترًا، وهكذا.
تزيد المسافة بمقدار ١٠ أمتار لكل مربع.
بالنظر إلى محور الزمن، نلاحظ أن المربع الأول يبدأ عند ٠ ثانية، والمربع الثاني يبدأ عند ١٠ ثوانٍ، والمربع الثالث يبدأ عند ٢٠ ثانية، وهكذا.
يزيد الزمن بمقدار ١٠ ثوانٍ لكل مربع.
وهذا يوضِّح لنا أن كل زيادة في المسافة بمقدار ١٠ أمتار تناظرها زيادة في الزمن بمقدار ١٠ ثوانٍ.
وتساوي سرعة الجسم التغيُّر في المسافة مقسومًا على التغيُّر في الزمن. ويُمكن إيجاد ذلك بالعلاقة:
السرعة لها قيمة ووحدة. ويمكن إيجاد قيمة السرعة بالعلاقة:
ويمكن إيجاد وحدة السرعة بالعلاقة:
إذن السرعة تساوي ١ م/ث.
نتناول الآن مثالًا لا تكون فيه تغيُّرات المسافة المقطوعة والزمن المستغرَق ممثَّلةً بمقياس متساوٍ على محورَي التمثيل البياني.
مثال ٣: إيجاد السرعة باستخدام التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن
يوضِّح التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن جسمًا يتحرَّك بسرعة ثابتة. ما سرعة الجسم؟
الحل
يمكن إيجاد سرعة الجسم بقسمة المسافة التي يقطعها الجسم على الزمن المستغرَق لقطع هذه المسافة.
يمكننا أن نلاحظ من التمثيل البياني أن الخط المستقيم الذي يمثِّل السرعة يمر بأركان مجموعة من المربعات الموجودة على التمثيل البياني الموضَّحة في الشكل الآتي.
بالنظر إلى محور المسافة، نلاحظ أن المربع الأول يبدأ عند ٠ متر، والمربع الثاني يبدأ عند مترين، والمربع الثالث يبدأ عند ٤ أمتار، وهكذا.
تزيد المسافة بمقدار مترين لكل مربع.
بالنظر إلى محور الزمن، نلاحظ أن المربع الأول يبدأ عند ٠ ثانية، والمربع الثاني يبدأ عند ثانية واحدة، والمربع الثالث يبدأ عند ثانيتين، وهكذا.
يزيد الزمن بمقدار ثانية واحدة لكل مربع.
من المهم جدًّا أن نفهم ما يعنيه هذا؛ فرغم أن أطوال الأضلاع الرأسية والأفقية للمربعات متساوية، فإنها لا تمثِّل تغيُّرات متساوية المقدار.
فكل زيادة في المسافة بمقدار مترين على هذا التمثيل البياني تناظرها زيادة في الزمن بمقدار ثانية واحدة.
تساوي سرعة الجسم التغيُّر في المسافة مقسومًا على التغيُّر في الزمن. ويُمكن إيجاد ذلك بالعلاقة:
السرعة لها قيمة ووحدة. ويمكن إيجاد قيمة السرعة بالعلاقة:
ويمكن إيجاد وحدة السرعة بالعلاقة:
إذن السرعة تساوي ٢ م/ث.
نتناول مثالًا تكون فيه قيم تغيُّرات المسافة المقطوعة والزمن المستغرَق قيمًا مختلفة.
مثال ٤: إيجاد السرعة باستخدام التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن
يوضِّح التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن جسمًا يتحرَّك بسرعة ثابتة. ما سرعة الجسم؟
الحل
يمكن إيجاد سرعة الجسم بقسمة المسافة التي يقطعها الجسم على الزمن المستغرَق لقطع هذه المسافة.
يمكننا أن نلاحظ من التمثيل البياني أن الخط المستقيم الذي يمثِّل السرعة يمر بأركان مجموعة من المستطيلات الموضَّحة على التمثيل البياني في الشكل الآتي.
بالنظر إلى محور المسافة، نلاحظ أن المستطيل الأول يبدأ عند ٠ متر، والمستطيل الثاني يبدأ عند مترين، والمستطيل الثالث يبدأ عند ٤ أمتار، وهكذا.
تزيد المسافة بمقدار مترين لكل مستطيل.
بالنظر إلى محور الزمن، نلاحظ أن المستطيل الأول يبدأ عند ٠ ثانية، والمستطيل الثاني يبدأ عند ثانية واحدة، وهكذا.
يزيد الزمن بمقدار ثانية واحدة لكل مستطيل.
وهذا يوضِّح لنا أن كل زيادة في المسافة بمقدار مترين تناظرها زيادة في الزمن بمقدار ثانية واحدة.
تساوي سرعة الجسم التغيُّر في المسافة مقسومًا على التغيُّر في الزمن. ويُمكن إيجاد ذلك بالعلاقة:
السرعة لها قيمة ووحدة. ويمكن إيجاد قيمة السرعة بالعلاقة:
ويمكن إيجاد وحدة السرعة بالعلاقة:
إذن السرعة تساوي ٢ م/ث.
نتناول مثالًا آخر مشابهًا.
مثال ٥: إيجاد السرعة باستخدام التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن
يوضِّح التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن جسمًا يتحرَّك بسرعة ثابتة. ما سرعة الجسم؟
الحل
يمكن إيجاد سرعة الجسم بقسمة المسافة التي يقطعها الجسم على الزمن المستغرَق لقطع هذه المسافة.
يمكننا أن نلاحظ من التمثيل البياني أن الخط المستقيم الذي يمثِّل السرعة يمر بأركان مجموعة من المستطيلات الموضَّحة على التمثيل البياني في الشكل الآتي.
بالنظر إلى محور المسافة، نلاحظ أن المستطيل الأول يبدأ عند ٠ متر، والمستطيل الثاني يبدأ عند متر واحد، والمستطيل الثالث يبدأ عند مترين، وهكذا.
تزيد المسافة بمقدار متر واحد لكل مستطيل.
بالنظر إلى محور الزمن، نلاحظ أن المستطيل الأول يبدأ عند ٠ ثانية، والمستطيل الثاني يبدأ عند ثانيتين، وهكذا.
يزيد الزمن بمقدار ثانيتين لكل مستطيل.
وهذا يوضِّح لنا أن كل زيادة في المسافة بمقدار متر واحد تناظرها زيادة في الزمن بمقدار ثانيتين.
تساوي سرعة الجسم التغيُّر في المسافة مقسومًا على التغيُّر في الزمن. ويُمكن إيجاد ذلك بالعلاقة:
السرعة لها قيمة ووحدة. ويمكن إيجاد قيمة السرعة بالعلاقة:
ويمكن إيجاد وحدة السرعة بالعلاقة:
إذن السرعة تساوي ٠٫٥ م/ث.
نلخِّص الآن ما تعلَّمناه في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- يمكن استخدام التمثيل البياني ذي المقياس للمسافة مقابل الزمن لإيجاد سرعة ثابتة.
- السرعة الممثَّلة بخط مستقيم على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن تساوي ميل المنحنى.
- ميل المنحنى في التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن يساوي التغيُّر في المسافة مقسومًا على التغيُّر في الزمن. يمكن كتابة هذا على الصورة: حيث يمثِّل السرعة، ويمثِّل التغيُّر في المسافة، ويمثِّل التغيُّر في الزمن.
- يمكن أن يكون لمقياسَي المسافة والزمن على محورَي التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن أي قيم.
