شارح الدرس: طاقة الحركة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب طاقة حركة جسم متحرِّك كتلته ، يتحرَّك بسرعة متجهة مقدارها .

إذا كان هناك جسم يتحرَّك، فستكون له طاقة حركة. وكلما تحرَّك الجسم أسرع، زادت طاقة حركته.

يمكن زيادة طاقة حركة الجسم عن طريق بذل شغل عليه. وإذا أثَّرت قوة على جسم أثناء حركة هذا الجسم في مسار، فإننا نقول إن القوة تبذل شغلًا على الجسم. وإذا تسبَّبت القوة في تسارُع الجسم أيضًا، فستزداد سرعة الجسم، وتزداد أيضًا طاقة حركته.

تخيَّل أنك ترمي كرةً في حارة البولينج. عند رميك للكرة، فإنك تؤثِّر عليها بقوة. تتسبَّب هذه القوة في تسارُع الكرة؛ ومن ثَمَّ، فإنها تبذل شغلًا على الكرة، وهو ما يزيد طاقة حركتها.

ويمكن أيضًا تقليل طاقة حركة جسم عن طريق بذل شغل عليه. إذا أثَّرت القوة على جسم في الاتجاه المعاكس لحركته، فسيتباطأ الجسم. وعندما تقل سرعة الجسم، تقل طاقة حركته.

افترض وجود جسم كتلته ، يتحرَّك بسرعة متجهة . تذكَّر أن سرعة الجسم تُعرَّف بواسطة مقدار سرعته المتجهة. وعادةً ما نمثِّل ذلك باختصار باستخدام الرمز الذي يمثِّل السرعة؛ ومن ثَمَّ، .

يمكن تعريف طاقة الحركة لهذا الجسم بالطريقة الآتية.

بالنظر إلى التعريف السابق، نجد أن طاقة الحركة تتناسب مع كتلة الجسم خطيًّا، وتتناسب أيضًا مع مربع سرعة الجسم.

قبل أن نستكمل، هيا نتناول كيفية الحصول على الصيغة المبسَّطة الموضَّحة بالأعلى باستخدام التعريف الاتجاهي لطاقة الحركة:

في هذا التعريف، نلاحظ أننا نحسب حاصل الضرب القياسي لمتجه السرعة في نفسه. ويمكن تمثيل هذا الضرب القياسي بصورة عامة كالآتي:

تمثِّل هنا الزاوية بين المتجهين، ولكن بما أن المتجهين متماثلان، فإنهما يُشيران إلى الاتجاه نفسه؛ ومن ثَمَّ، :

نعلم الآن أن إيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجه في نفسه يمكن الحصول عليه بتربيع مقدار المتجه. في الحالة التي لدينا، مقدار السرعة المتجهة هو السرعة؛ ومن ثَمَّ:

بناءً على هذا التعريف، تلاحظ أننا يمكننا حساب طاقة الحركة لجسم ما عندما تكون كتلة الجسم وسرعته مُعطاتين. وأيضًا في حال أن اتجاه حركة الجسم مجهول، ما زال بإمكاننا إيجاد طاقة الحركة.

ينبغي أيضًا الإشارة إلى أن طاقة الحركة هي كمية قياسية غير سالبة؛ وذلك لأن كتلة الجسم وسرعته بحد ذاتهما كميتان قياسيتان غير سالبتين.

هيا نتناول بعض الأمثلة.

في المثال التالي، نرى أن هذه العلاقة يمكن استخدامها بالعكس. عندما تكون طاقة الحركة للجسم مُعطاة إلى جانب كتلته أو سرعته، يمكننا إيجاد الكمية المتبقية.

في المثال السابق، جدير بالذكر أنه لكي نُوجِد سرعة الجسم باستخدام كتلته وكمية حركته، أخذنا الجذر التربيعي لكمية ما.

في العادة، يكون للجذر التربيعي حلان صحيحان؛ حل موجب وحل سالب. لكي نفهم سبب أن إجابتنا لن تكون ، علينا تذكُّر أن السرعة مُعرَّفة على أنها كمية قياسية غير سالبة. هذا يعني أنه عند إيجاد سرعة جسم ما، كما أوضحنا بالطريقة السابقة، يمكننا تجاهل الحل السالب.

في الأمثلة التالية، نتعامل مع متجهات السرعة. تذكَّر أن علينا الآن استخدام الصورة المتجهة لمعادلة طاقة الحركة:

عمليًّا، تكون السرعة المتجهة مُعطاة على صورة مثل:

عند إيجاد طاقة الحركة، يمكن إيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجه في نفسه بطريقة مختصرة مفيدة. تُختَصر الحسابات في هذه الطريقة إلى إيجاد مجموع مربعَي معاملَي متجهَي الوحدة المتعامدين:

نستخدم هذه الطريقة المختصرة في الأمثلة الآتية.

عندما تكون طاقة حركة الجسم وسرعته المتجهة مُعطاتين، يمكننا استخدام المعادلة لإيجاد الكتلة. كما رأينا في مثال ٢ في هذا الشارح، يمكننا إجراء ذلك بتعديل بسيط في ترتيب المعادلة:

نوضِّح هذه الطريقة العكسية في المثال التالي، لكن قبل ذلك، يجب أن ننتبه إلى أن الطريقة العكسية لا يمكن استخدامها لإيجاد السرعة المتجهة للجسم عندما تكون طاقة حركته وكتلته مُعطاتين. نحاول إعادة ترتيب المعادلة لنفهم سبب ذلك:

في هذه المرحلة، أصبح من الواضح أننا يمكننا إيجاد مقدار السرعة المتجهة (أي السرعة) فقط باستخدام هذه المُعطيات. وبما أن طاقة الحركة نفسها كمية قياسية، إذن لا يمكن استخلاص أي معلومات متعلِّقة باتجاه حركة الجسم.

لهذا السبب، لا يمكننا الحصول على معلومات تتعلَّق بالاتجاه باستخدام ، فقط (كلتاهما كمية قياسية). وبالرغم من أنه يمكن إيجاد مقدار السرعة المتجهة بمفرده بناءً على المُعطيات (كما رأينا في مثال ٢)، فإن هناك عددًا لا نهائيًّا من الحالات الممكنة لاتجاه حركة الجسم. هذا يعني أن متجه السرعة لا يمكن إيجاده.

عمليًّا، قد نتعرَّض لأنظمة بها أكثر من جسم متحرِّك. عند التعامل مع تلك الأنظمة، قد يكون من المفيد استخدام السرعات المتجهة النسبية بدلًا ممَّا سبق.

تكون معادلة طاقة الحركة بالصورة المتوقَّعة عندما نُدخِل بها السرعة النسبية. في بعض الحالات، قد تُختَصر بها الحسابات أيضًا؛ وذلك يرجع إلى أن إيجاد طاقة الحركة لجسم متحرِّك بالنسبة إلى جسم متحرِّك آخر يُمكِّننا من ملاحظة صورة واضحة للطاقة التي قد تنتقل إذا تصادم الجسمان. نتناول مثالًا على حالة تمثِّل ذلك.

وفي النهاية، إليك النقاط الرئيسية للمعلومات التي تناولناها في هذا الشارح.