تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: طاقة الحركة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب طاقة حركة جسم متحرِّك كتلته 𞸊، يتحرَّك بسرعة متجهة مقدارها 𞸏.

إذا كان هناك جسم يتحرَّك، فستكون له طاقة حركة. وكلما تحرَّك الجسم أسرع، زادت طاقة حركته.

يمكن زيادة طاقة حركة الجسم عن طريق بذل شغل عليه. وإذا أثَّرت قوة على جسم أثناء حركة هذا الجسم في مسار، فإننا نقول إن القوة تبذل شغلًا على الجسم. وإذا تسبَّبت القوة في تسارُع الجسم أيضًا، فستزداد سرعة الجسم، وتزداد أيضًا طاقة حركته.

تخيَّل أنك ترمي كرةً في حارة البولينج. عند رميك للكرة، فإنك تؤثِّر عليها بقوة. تتسبَّب هذه القوة في تسارُع الكرة؛ ومن ثَمَّ، فإنها تبذل شغلًا على الكرة، وهو ما يزيد طاقة حركتها.

ويمكن أيضًا تقليل طاقة حركة جسم عن طريق بذل شغل عليه. إذا أثَّرت القوة على جسم في الاتجاه المعاكس لحركته، فسيتباطأ الجسم. وعندما تقل سرعة الجسم، تقل طاقة حركته.

افترض وجود جسم كتلته 𞸊، يتحرَّك بسرعة متجهة 󰄮𞸏. تذكَّر أن سرعة الجسم تُعرَّف بواسطة مقدار سرعته المتجهة. وعادةً ما نمثِّل ذلك باختصار باستخدام الرمز 𞸏 الذي يمثِّل السرعة؛ ومن ثَمَّ، 󰍼󰄮𞸏󰍼=𞸏.

يمكن تعريف طاقة الحركة لهذا الجسم بالطريقة الآتية.

تعريف: طاقة الحركة

نحصل على طاقة الحركة، 𞸈، لجسم كتلته 𞸊، وسرعته المتجهة 󰄮𞸏، من العلاقة: 𞸈=١٢𞸊𞸏،٢ حيث تمثِّل 𞸏 السرعة التي يتحرَّك بها الجسم.

بالنظر إلى التعريف السابق، نجد أن طاقة الحركة تتناسب مع كتلة الجسم خطيًّا، وتتناسب أيضًا مع مربع سرعة الجسم.

قبل أن نستكمل، هيا نتناول كيفية الحصول على الصيغة المبسَّطة الموضَّحة بالأعلى باستخدام التعريف الاتجاهي لطاقة الحركة: 𞸈=١٢𞸊󰂔󰄮𞸏󰄮𞸏󰂓.

في هذا التعريف، نلاحظ أننا نحسب حاصل الضرب القياسي لمتجه السرعة في نفسه. ويمكن تمثيل هذا الضرب القياسي بصورة عامة كالآتي: 󰄮𞸏󰄮𞸏=󰍼󰄮𞸏󰍼󰍼󰄮𞸏󰍼(𝜃).

تمثِّل 𝜃 هنا الزاوية بين المتجهين، ولكن بما أن المتجهين متماثلان، فإنهما يُشيران إلى الاتجاه نفسه؛ ومن ثَمَّ، 𝜃=٠: 󰄮𞸏󰄮𞸏=󰍼󰄮𞸏󰍼󰍼󰄮𞸏󰍼(٠)=󰍼󰄮𞸏󰍼.٢

نعلم الآن أن إيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجه في نفسه يمكن الحصول عليه بتربيع مقدار المتجه. في الحالة التي لدينا، مقدار السرعة المتجهة هو السرعة؛ ومن ثَمَّ: 𞸈=١٢𞸊󰂔󰄮𞸏󰄮𞸏󰂓=١٢𞸊󰍼󰄮𞸏󰍼=١٢𞸊𞸏.٢٢

بناءً على هذا التعريف، تلاحظ أننا يمكننا حساب طاقة الحركة لجسم ما عندما تكون كتلة الجسم وسرعته مُعطاتين. وأيضًا في حال أن اتجاه حركة الجسم مجهول، ما زال بإمكاننا إيجاد طاقة الحركة.

ينبغي أيضًا الإشارة إلى أن طاقة الحركة هي كمية قياسية غير سالبة؛ وذلك لأن كتلة الجسم وسرعته بحد ذاتهما كميتان قياسيتان غير سالبتين.

هيا نتناول بعض الأمثلة.

مثال ١: إيجاد طاقة حركة جسم متحرِّك

جسم كتلته ٩٤٠ جم يتحرَّك بسرعة ٤ م/ث. أوجد طاقة حركته.

الحل

في هذا السؤال، لدينا قيمة كتلة الجسم وسرعته، ومطلوب منا إيجاد طاقة حركة الجسم. السرعة مُعطاة بالوحدة القياسية متر لكل ثانية، لكن الكتلة مُعطاة بوحدة جرام. نبدأ بتحويل ذلك إلى الوحدة القياسية كيلوجرام.

يُوجَد ١‎ ‎٠٠٠ جم في ١ كجم؛ لذا، علينا قسمة قيمة الكتلة على ١‎ ‎٠٠٠؛ إذن ٩٤٠ جم = ٠٫٩٤ كجم.

والآن، يمكننا التعويض بهاتين القيمتين عن كتلة الجسم وسرعته في معادلة إيجاد طاقة الحركة لجسم: 𞸈=١٢𞸊𞸏𞸈=١٢×٤٩٫٠×(٤/)𞸈=٢٥٫٧/.٢٢٢٢مثمث

والوحدة كيلوجرام ⋅ متر مربع لكل ثانية مربعة هي الوحدة القياسية للطاقة نفسها، جول، ورمزها أيضًا جول. إذن طاقة حركة الجسم تساوي ٧٫٥٢ جول.

في المثال التالي، نرى أن هذه العلاقة يمكن استخدامها بالعكس. عندما تكون طاقة الحركة للجسم مُعطاة إلى جانب كتلته أو سرعته، يمكننا إيجاد الكمية المتبقية.

مثال ٢: إيجاد سرعة جسم متحرِّك بمعلومية طاقة حركته

إذا كانت طاقة حركة رصاصة متحرِّكة كتلتها ١٥٣ كجم، في لحظة معيَّنة، تساوي ٧‎ ‎٠٠٠ جول، فأوجد سرعتها.

الحل

في هذا السؤال، لدينا قيمة كتلة الجسم وطاقة حركته، والمطلوب إيجاد سرعته. أولًا، هيا نأخذ معادلة إيجاد طاقة الحركة لجسم، ونُعيد ترتيبها لجعل 𞸏 المتغيِّر التابع: 𞸈=١٢𞸊𞸏٢𞸈𞸊=𞸏󰋺٢𞸈𞸊=𞸏𞸏=󰋺٢𞸈𞸊.٢٢

لاحِظ أننا نتعامل مع سرعة — كمية قياسية — لذلك نأخذ الجذر الموجب لهذا الجذر التربيعي. الآن، هيا نعوِّض بالقيم عن كلٍّ من 𞸈، 𞸊: 𞸏=󰋽٢×٠٠٠٧𞸏=٠٠٧.١٥٣

بما أن طاقة حركة الرصاصة مُعطاة بوحدة جول، وكتلتها مُعطاة بوحدة كيلوجرام، إذن تكون قيمة السرعة بوحدة متر لكل ثانية؛ وبناءً على ذلك، فإن سرعة الرصاصة تساوي ٧٠٠ م/ث.

في المثال السابق، جدير بالذكر أنه لكي نُوجِد سرعة الجسم باستخدام كتلته وكمية حركته، أخذنا الجذر التربيعي لكمية ما.

في العادة، يكون للجذر التربيعي حلان صحيحان؛ حل موجب وحل سالب. لكي نفهم سبب أن إجابتنا لن تكون 𞸏=±٠٠٧، علينا تذكُّر أن السرعة مُعرَّفة على أنها كمية قياسية غير سالبة. هذا يعني أنه عند إيجاد سرعة جسم ما، كما أوضحنا بالطريقة السابقة، يمكننا تجاهل الحل السالب.

في الأمثلة التالية، نتعامل مع متجهات السرعة. تذكَّر أن علينا الآن استخدام الصورة المتجهة لمعادلة طاقة الحركة: 𞸈=١٢𞸊󰂔󰄮𞸏󰄮𞸏󰂓=١٢𞸊󰍼󰄮𞸏󰍼.٢

عمليًّا، تكون السرعة المتجهة مُعطاة على صورة مثل: 󰄮𞸏=󰏡󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸁󰄮󰄮󰄮𞹑.

عند إيجاد طاقة الحركة، يمكن إيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجه في نفسه بطريقة مختصرة مفيدة. تُختَصر الحسابات في هذه الطريقة إلى إيجاد مجموع مربعَي معاملَي متجهَي الوحدة المتعامدين: 󰄮𞸏󰄮𞸏=󰍼󰄮𞸏󰍼=󰂔󰋴󰏡+𞸁󰂓=󰏡+𞸁.٢٢٢٢٢٢

نستخدم هذه الطريقة المختصرة في الأمثلة الآتية.

مثال ٣: إيجاد طاقة حركة جسم متحرِّك بمعلومية مركبتَي سرعته

جسم كتلته ٥٠٠ جم يتحرَّك بسرعة متجهة ثابتة 󰄮𞸏=(٢󰄮󰄮󰄮𞹎٣󰄮󰄮󰄮𞹑)/ث؛ حيث 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑 متجها وحدة متعامدان. أوجد طاقة حركة الجسم.

الحل

في هذا السؤال، لدينا كتلة الجسم وسرعته المتجهة في الصورة الإحداثية. يمكننا استخدام الصيغة: 𞸈=١٢𞸊󰄮𞸏󰄮𞸏 لإيجاد طاقة حركة الجسم. هيا نعوِّض بالقيمتين: 𞸈=١٢×٠٠٥×(٢󰄮󰄮󰄮𞹎٣󰄮󰄮󰄮𞹑)(٢󰄮󰄮󰄮𞹎٣󰄮󰄮󰄮𞹑)𞸈=١٢×٠٠٥×٣١𞸈=٠٥٢٣.

في هذه الحالة، لا نحتاج إلى إجراء أي تحويلات بين الوحدات. بما أن الكتلة مُعطاة بوحدة جرام، والسرعة مُعطاة بوحدة سنتيمتر لكل ثانية، إذن تكون وحدة الطاقة إرج التي رمزها أيضًا إرج. إذن طاقة حركة الجسم تساوي ٣‎ ‎٢٥٠ إرج.

إرج واحد يساوي ٠١٧ جول؛ ومن ثَمَّ، يمكننا كتابة هذه الإجابة أيضًا بوحدة جول؛ وذلك بضرب القيمة بوحدة إرج في ٠١٧. يمكننا أيضًا الحصول على الإجابة بوحدة جول بتحويل القيمتين المُعطاتين للكتلة والسرعة إلى الوحدتين القياسيتين كيلوجرام ومتر لكل ثانية على الترتيب. طاقة حركة الجسم بوحدة جول هي ٥٢٫٣×٠١٤ جول.

عندما تكون طاقة حركة الجسم وسرعته المتجهة مُعطاتين، يمكننا استخدام المعادلة لإيجاد الكتلة. كما رأينا في مثال ٢ في هذا الشارح، يمكننا إجراء ذلك بتعديل بسيط في ترتيب المعادلة: 𞸈=١٢𞸊󰍼󰄮𞸏󰍼٢𞸈󰍼󰄮𞸏󰍼=𞸊.٢٢

نوضِّح هذه الطريقة العكسية في المثال التالي، لكن قبل ذلك، يجب أن ننتبه إلى أن الطريقة العكسية لا يمكن استخدامها لإيجاد السرعة المتجهة للجسم عندما تكون طاقة حركته وكتلته مُعطاتين. نحاول إعادة ترتيب المعادلة لنفهم سبب ذلك: 𞸈=١٢𞸊󰍼󰄮𞸏󰍼٢𞸈𞸊=󰍼󰄮𞸏󰍼󰋺٢𞸈𞸊=󰍼󰄮𞸏󰍼.٢٢

في هذه المرحلة، أصبح من الواضح أننا يمكننا إيجاد مقدار السرعة المتجهة (أي السرعة) فقط باستخدام هذه المُعطيات. وبما أن طاقة الحركة نفسها كمية قياسية، إذن لا يمكن استخلاص أي معلومات متعلِّقة باتجاه حركة الجسم.

لهذا السبب، لا يمكننا الحصول على معلومات تتعلَّق بالاتجاه باستخدام 𞸈، 𞸊 فقط (كلتاهما كمية قياسية). وبالرغم من أنه يمكن إيجاد مقدار السرعة المتجهة بمفرده بناءً على المُعطيات (كما رأينا في مثال ٢)، فإن هناك عددًا لا نهائيًّا من الحالات الممكنة لاتجاه حركة الجسم. هذا يعني أن متجه السرعة لا يمكن إيجاده.

مثال ٤: إيجاد كتلة جسم بمعلومية طاقة حركته وسرعته المتجهة

يتحرَّك الجسم بسرعة ثابتة 󰄮𞸏=(٠٥٢󰄮󰄮󰄮𞹎٠٥٢󰄮󰄮󰄮𞹑)/ث؛ حيث 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑 متجها وحدة متعامدان. إذا كانت طاقة حركة الجسم تساوي ٤٫٨ جول، فأوجد كتلة الجسم.

الحل

لحل هذا السؤال، يمكننا استخدام معادلة طاقة الحركة، 𞸈، لجسم بمعلومية كتلته، 𞸊، وسرعته المتجهة، 󰄮𞸏: 𞸈=١٢𞸊󰄮𞸏󰄮𞸏.

وبما أننا نريد إيجاد الكتلة، إذن هيا نُعِدْ ترتيب المعادلة أولًا لجعل 𞸊 المتغيِّر التابع: ٢𞸈󰄮𞸏󰄮𞸏=𞸊.

لدينا هنا متجه يظهر في مقام الكسر. ومن غير الممكن قسمة كمية قياسية على متجه، لكننا لاحظنا أن لدينا بالفعل عملية ضرب قياسي لمتجه في نفسه في المقام. وحاصل الضرب القياسي هو كمية قياسية؛ لذا، فإننا بالفعل نقسم على كمية قياسية هنا.

للتأكُّد من الحصول على الكتلة بوحدة كيلوجرام، هيا نحوِّل 󰄮𞸏 لتكون بوحدة متر لكل ثانية. يوجد ١٠٠ سم في ١ م، إذن 󰄮𞸏=(٥٫٢󰄮󰄮󰄮𞹎٥٫٢󰄮󰄮󰄮𞹑)/مث.

والآن، نعوِّض بهذه القيم في المعادلة: 𞸊=٢×٨٫٤(٥٫٢󰄮󰄮󰄮𞹎٥٫٢󰄮󰄮󰄮𞹑)(٥٫٢󰄮󰄮󰄮𞹎٥٫٢󰄮󰄮󰄮𞹑)𞸊=٢×٨٫٤٥٫٢١𞸊=٨٦٧٫٠.

إذن كتلة الجسم تساوي ٠٫٧٦٨ كجم أو ٧٦٨ جم.

عمليًّا، قد نتعرَّض لأنظمة بها أكثر من جسم متحرِّك. عند التعامل مع تلك الأنظمة، قد يكون من المفيد استخدام السرعات المتجهة النسبية بدلًا ممَّا سبق.

تكون معادلة طاقة الحركة بالصورة المتوقَّعة عندما نُدخِل بها السرعة النسبية. في بعض الحالات، قد تُختَصر بها الحسابات أيضًا؛ وذلك يرجع إلى أن إيجاد طاقة الحركة لجسم متحرِّك بالنسبة إلى جسم متحرِّك آخر يُمكِّننا من ملاحظة صورة واضحة للطاقة التي قد تنتقل إذا تصادم الجسمان. نتناول مثالًا على حالة تمثِّل ذلك.

مثال ٥: إيجاد طاقة حركة قذيفة أُطلِقت باتجاه دبابة متحرِّكة بمعلومية سرعتهما المتجهة

أَطلَق مدفعٌ قذيفةً كتلتها ١٦ كجم، بسرعة ٢٨٥ م/ث، على دبابة تتحرَّك بسرعة ٧٢ كم/س في خط مستقيم باتجاه المدفع مباشرةً. أوجد طاقة حركة القذيفة بالنسبة إلى الدبابة.

الحل

لإيجاد طاقة حركة القذيفة بالنسبة إلى الدبابة، علينا أولًا إيجاد السرعة النسبية للقذيفة. تتحرَّك القذيفة والدبابة إحداهما باتجاه الأخرى، إذن لإيجاد السرعة النسبية للقذيفة، كل ما علينا فعله هو إضافة سرعة الدبابة إلى سرعة القذيفة. ومع ذلك، أُعطِيت السرعتان بوحدتين مختلفتين؛ لذا، هيا نحوِّل وحدة قياس سرعة الدبابة إلى متر لكل ثانية: ٧٢ كم/س هي ٧٢‎ ‎٠٠٠ م/س نفسها، وبما أنه يُوجَد ٣‎ ‎٦٠٠ ثانية في ساعة واحدة، إذن ٠٠٠٢٧/=(٠٠٠٢٧÷٠٠٦٣)/مسمث؛ ما يساوي ٢٠ م/ث.

إذن السرعة النسبية للقذيفة بالنسبة إلى الدبابة هي ٥٨٢/+٠٢/=٥٠٣/مثمثمث. يمكننا الآن استخدام معادلة طاقة الحركة لإيجاد طاقة حركة القذيفة بالنسبة إلى الدبابة: 𞸈=١٢𞸊𞸏𞸈=١٢×٦١×٥٠٣𞸈=٠٠٢٤٤٧.٢٢

بما أن الكتلة كانت بوحدة كيلوجرام، والسرعة بوحدة متر لكل ثانية، إذن طاقة الحركة ستكون بوحدة جول؛ ومن ثَمَّ، فإن طاقة حركة القذيفة تساوي ٧٤٤‎ ‎٢٠٠ جول.

وفي النهاية، إليك النقاط الرئيسية للمعلومات التي تناولناها في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • طاقة الحركة كمية قياسية غير سالبة.
  • نحصل على طاقة الحركة، 𞸈، لجسم كتلته 𞸊، وسرعته 𞸏، بواسطة: 𞸈=١٢𞸊𞸏.٢
  • إذا كان لدينا، بدلًا من ذلك، السرعة المتجهة، 󰄮𞸏، فيمكننا إيجاد طاقة الحركة باستخدام: 𞸈=١٢𞸊󰂔󰄮𞸏󰄮𞸏󰂓=١٢𞸊󰍼󰄮𞸏󰍼.٢
  • عندما تكون طاقة حركة الجسم وسرعته (أو متجه السرعة) مُعطاتين، يمكننا إيجاد كتلته.
  • عندما تكون طاقة حركة الجسم وكتلته مُعطاتين، يمكننا إيجاد سرعته، ولكن لا يمكن الحصول على اتجاه الحركة. ذلك يعني أن السرعة المتجهة لا يمكن إيجادها.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.