في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُجرِي عمليات على المتجهات بيانيًّا باستخدام قاعدتَي المثلث ومتوازي الأضلاع.
المتجهات هي كميات مُعرَّفة تعريفًا تامًّا من خلال مقدارها واتجاهها. نتذكَّر أنه يمكننا تمثيل المتجهات عن طريق قطعة مستقيمة موجَّهة في فضاء مناسب؛ حيث يخبرنا طول القطعة المستقيمة بمقدار المتجه، وتخبرنا نقطتَا البداية والنهاية باتجاه القطعة المستقيمة الموجَّهة. في هذا الفضاء يمكننا أن نفترض أن المتجهات تمثِّل الإزاحة ابتداءً من نقطة البداية إلى نقطة النهاية.
على سبيل المثال، يمكن تمثيل المتجه الذي يبدأ من إلى باعتباره القطعة المستقيمة الموجَّهة من إلى .
طول هذه القطعة المستقيمة هو مقدار ، الذي يُكتب على الصورة ، واتجاهها موضَّح من خلال السهم. حريٌّ بنا أن نؤكِّد على أن المتجه مُعرَّف تعريفًا تامًّا من خلال مقداره واتجاهه، وبناءً على ذلك، فإن أيَّ متجهين لهما نفس المقدار والاتجاه يكونان متساويين. على وجه التحديد، يمكننا رسم المتجه في أيِّ مكان على المستوى ؛ حيث لن يغيِّر هذا مقداره أو اتجاهه، ومن ثَمَّ سيظل المتجه كما هو.
يمكننا أيضًا تمثيل هذا المتجه بالتغيُّر الأفقي والتغيُّر الرأسي. إذا كان ، ؛ إذن يمكننا إيجاد التغيُّرات الأفقية والرأسية من الشكل (أو الإحداثيات) عند الانتقال من إلى .
التغيُّر في الإحداثي الأفقي هو ، والتغيُّر في الإحداثي الرأسي هو . ونكتب ذلك على الصورة . تخبرنا المركِّبة الأولى بالإزاحة الأفقية للمتجه، وتخبرنا المركِّبة الثانية بالإزاحة الرأسية للمتجه.
من شأن هذا أن يسمح لنا بجمع متجهين معًا. بالنسبة للإزاحة فإن مجموع أي متجهين سيساوي الإزاحة الكلية لكِلا المتجهين. وبالنسبة للمركِّبتين نتذكَّر أنه إذا كان لدينا ، ، فإن ؛ حيث نجمع المركِّبتين الأفقية والرأسية كلًّا على حدة. وسيسمح لنا هذا بجمع المتجهين معًا بيانيًّا.
على سبيل المثال، إذا كان لدينا المتجه ، فإنه يُمثِّل في هذا الفضاء الإزاحة من النقطة إلى النقطة . وبالمثل، المتجه يُمثِّل الإزاحة من النقطة إلى النقطة . ولا بد من أن يساوي مجموعهما؛ أي ، الإزاحة الكلية للمتجهين؛ أي الإزاحة من النقطة إلى النقطة ، ثم من النقطة إلى النقطة . هذا هو المتجه ، ويمكننا تمثيل ذلك بيانيًّا.
يمكننا ملاحظة أن الإزاحة من إلى تساوي الإزاحة من إلى ، ثم من إلى ؛ حيث إن نقطتَي بدايتيهما ونهايتيهما متطابقتان. ويُشار إلى ذلك عادة باسم «قاعدة المثلث للمتجهات». يمكننا أن نشير إلى تلك القاعدة كما يلي.
قاعدة المثلث للمتجهات
لأيِّ ثلاث نقاط ، ، ، يكون لدينا: كما هو موضَّح في الشكل.
استنادًا إلى قاعدة المثلث؛ إذا كان لدينا متجهان ، ممثَّلين بيانيًّا، يمكننا إذن جمع هذين المتجهين معًا من خلال رسم نقطة نهاية لتكون نقطة بداية ، كما هو موضَّح أدناه.
قبل أن نرى كيفية تطبيق هذه القاعدة على المسائل التي تتضمَّن المتجهات، ثمة قاعدة أخرى يمكننا توضيحها. انظر إلى متوازي الأضلاع .
في متوازي الأضلاع تكون الأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية في الطول؛ ومن ثَمَّ:
يمكننا تطبيق قاعدة المثلث للمتجهات على هذا الشكل بافتراض أن هذه الأضلاع متجهات، وبإضافة المتجه إلى الشكل، كما هو موضَّح.
بتطبيق قاعدة المثلث للمتجهات على النقاط ، ، ، يصبح لدينا:
نحن نعرف أن لأنهما متساويان في المقدار، ولهما الاتجاه نفسه. يمكننا ملاحظة ذلك بيانيًّا؛ حيث يمكننا نقل المتجهين بوضع أحدهما فوق الآخَر. التعويض بذلك في المعادلة يعطينا:
يُعرَف هذا باسم «قاعدة متوازي الأضلاع للمتجهات»، ويمكننا تلخيصها كما يلي.
قاعدة متوازي الأضلاع للمتجهات
للمتجهين ، اللذين لهما نقطة البداية نفسها، ، فإن: حيث هي النقطة التي تجعل متوازي أضلاع، كما هو موضَّح في الشكل التالي:
بما أن للمتجهات عدة استخدامات، على سبيل المثال، باعتبارها طريقة لإيجاد محصِّلة القوى أو حل مسائل هندسية؛ يمكننا التفكير في قاعدتَي المثلث ومتوازي الأضلاع إجمالًا من خلال المجال الذي نتعامل معه. ومع ذلك، فمن الأسهل عادةً تحويل المسألة إلى متجهات.
لنبدأ بتناول بعض الأمثلة على جمع المتجهات معًا بيانيًّا.
مثال ١: إيجاد مركِّبتَي مجموع متجهين نقطةُ نهاية أحدهما هي نقطةُ بداية الآخَر على مخطَّط
توضِّح شبكة مربعات الوحدة المتجهين ، .
ما مركِّبتا ؟
ما مركِّبتا ؟
ما مركِّبتا ؟
الحل
الجزء الأول
نتذكَّر أن مركِّبتَي أي متجه ممثَّل بيانيًّا هما الإزاحة الأفقية والإزاحة الرأسية في هذا الفضاء. على وجه التحديد، بالنسبة للمتجه من إلى ، فإن مركِّبتيه تساويان الفرق في الإحداثيات:
توجد عدة طرق نستخدمها لإيجاد مركِّبتَي المتجه . على سبيل المثال، يمكننا تطبيق نظام إحداثي على شبكة مربعات الوحدة. ولكنَّ هذا ليس ضروريًّا. بدلًا من ذلك، علينا فقط معرفة الإزاحة الأفقية والإزاحة الرأسية عند التحرُّك من نقطة بداية إلى نقطة نهاية . لنبدأ بالإزاحة الأفقية.
بالانتقال من ذيل المتجه إلى رأسه نتحرَّك ثلاثة مربعات. وبما أن هذه مربعات وحدة، وأننا نتحرَّك إلى اليمين؛ يمكننا كتابة ذلك على صورة إزاحة مقدارها ثلاث وحدات في الاتجاه الموجب.
يمكننا فعل الأمر نفسه مع الإزاحة الرأسية.
نلاحظ أننا نتحرَّك وحدتين لأعلى، ومن ثَمَّ تكون الإزاحة وحدتين في الاتجاه الموجب. وهذا يعطينا مركِّبتَي المتجه. تذكَّر أننا لا نحتاج إلى تضمين الرمز الموجب؛ وبهذا نحصل على:
الجزء الثاني
يمكننا اتباع الخطوات نفسها مع المتجه .
أولًا، نلاحظ أننا نتحرَّك وحدتين إلى اليمين؛ إذن المركِّبة الأولى للمتجه تساوي ٢. علينا أن ننتبه عند التحقُّق من الإزاحة الرأسية للمتجه؛ لأننا نتحرَّك لأسفل، وعليه ستكون القيمة سالبة.
بالانتقال من ذيل المتجه إلى رأسه نتحرَّك ثلاث وحدات لأسفل. وبناءً عليه، فإن المركِّبة الرأسية للمتجه ستساوي . ومن ثَمَّ:
الجزء الثالث
هناك طريقتان يمكننا استخدامهما لجمع المتجهين معًا.
في البداية، نتذكَّر أننا نجمع المتجهين معًا من خلال جمع مركِّبتيهما، ثم نستخدم الإجابات التي حصلنا عليها في أول جزأين من السؤال؛ وهذا يعطينا:
لكنَّ هذا الناتج يعتمد على إيجاد مركِّبتي المتجهين بشكل صحيح، وعدم ارتكاب أيِّ أخطاء في العملية الحسابية. فكلما طُلِب منَّا جمع المزيد من المتجهات، ازدادت المسألة تعقيدًا. بدلًا من ذلك، يمكننا أيضًا جمع المتجهين معًا بيانيًّا.
بما أننا نجمع مركِّبتَي كل متجه على حِدة، فإنه يمكننا جمع المتجهين باستخدام «طريقة الرأس والذيل». نحن نرسم المتجهين بحيث تحاذي رأس أحد المتجهين ذيل الآخر؛ ومن ثم يكون مجموع المتجهين يساوي المتجه من نقطة بداية المتجه الأول إلى نقطة نهاية المتجه الثاني. وبما أن المتجهين قد رُسمَا بهذه الطريقة بالفعل، فإنه يصبح لدينا ما يلي:
المتجه يمثِّله الضلع الثالث في المثلث؛ لأن اتجاهَي المتجهين ، متطابقان. يمكننا إيجاد مركِّبتَي باستخدام المخطَّط.
بتتبُّع حركة المتجه ، نتحرَّك ٥ وحدات إلى اليمين ووحدة واحدة لأسفل؛ ومن ثَمَّ فإن المركِّبة الأفقية تساوي ٥، والمركِّبة الرأسية تساوي ؛ وهذا يعطينا:
يمكننا ملاحظة أن هذا يتَّفق مع العملية الحسابية المباشرة التي أجريناها سابقًا.
مثال ٢: إيجاد مجموع متجهين معطيين بيانيًّا
أيُّ تمثيل بياني يُمثِّل ؛ حيث ، ؟
الحل
بما أننا نعرف مركِّبتي المتجهين ، ، فإنه يمكننا جمع المتجهين من خلال جمع مركِّبتيهما للحصول على:
بالنظر إلى الخيارات، يمكننا ملاحظة أن الخيار (أ) هو الوحيد الذي يحتوي على ، ، ؛ إذن هذا الخيار هو الإجابة الصحيحة. تكمن مشكلة الإجابة عن السؤال بهذه الطريقة في أنه غالبًا ما يُطلَب منَّا جمع المتجهين معًا بيانيًّا دون أن تكون لدينا الخيارات؛ لذلك سنرسم المخطَّط بأنفسنا.
يمكننا البدء برسم المتجه ، والمتجه على المخطَّط؛ حيث نتذكَّر أن المركِّبة الأولى تخبرنا بالإزاحة الأفقية، والمركِّبة الثانية تخبرنا بالإزاحة الرأسية. وتجدر أيضًا بنا ملاحظة أنه يمكننا رسم المتجهين في أيِّ مكان على المستوى. ومع ذلك، فمن أجل التبسيط سنبدأ برسم المتجهين من نقطة الأصل. أولًا، سيتحرَّك المتجه ثلاث وحدات إلى اليمين، وأربع وحدات لأعلى، ليعطينا الشكل التالي:
يمكننا فعل الأمر نفسه مع المتجه الذي يتحرَّك أربع وحدات إلى اليمين، ووحدة واحدة لأعلى، كما هو موضَّح.
وتجدر الإشارة إلى أنه نظرًا لأننا بدأنا المتجهين من نقطة الأصل، فإن إحداثيات نقطتَي نهايتيهما ستكون مساوية للمركِّبتين المناظرتين لكل متجه؛ ويطلق عليهما عادةً اسم «متجهَي الموضع».
لجمع هذين المتجهين معًا بيانيًّا، نبدأ برسمهما بحيث تكون نقطة نهاية أحد المتجهين هي نقطة بداية المتجه الآخَر. سنُحرِّك المتجه لتكون نقطة بدايته عند ؛ حيث سيتحرَّك ٤ وحدات إلى اليمين، ووحدة واحدة لأعلى، وهو ما يعطينا التالي:
وأخيرًا، تخبرنا قاعدة المثلث للمتجهات بأن مجموع هذين المتجهين يساوي المتجه الذي نقطة بدايته ، ونقطة نهايته ؛ نظرًا لأن هذين المتجهين مرسومان بطريقة الرأس والذيل، وهو ما يعطينا ما يلي:
نلاحظ من المخطَّط أن يتحرَّك ٧ وحدات إلى اليمين، و٥ وحدات لأعلى؛ إذن ، وهذا ما يوضَّحه الخيار (أ).
في الأمثلة السابقة استخدمنا التمثيلات البيانية ومركِّباتها لحلِّ المسائل. في المثال التالي لن نستخدم إلا التمثيل البياني للمتجهات لحلِّ مسألة هندسية.
مثال ٣: تحديد القطر الصحيح في قانون متوازي الأضلاع
ما المتجه الذي يكافئ ؟
الحل
الشكل الرباعي له أضلاع متقابلة في صورة متجهات متساوية. وبما أن المتجهات المتساوية لها نفس المقدار والاتجاه، فإنه يمكننا أن نستنتج أن هو متوازي أضلاع. نحن نريد تطبيق قاعدة متوازي الأضلاع للمتجهات لجمع هذين المتجهين. ولنفعل ذلك، نلاحظ أن هو المتجه من إلى ؛ ومن ثَمَّ:
وبالمثل:
إذن، تخبرنا قاعدة متوازي الأضلاع لجمع المتجهات بأنه إذا كان ، لهما نقطة البداية نفسها ؛ إذن: حيث هي النقطة التي تجعل متوازي أضلاع. والمتجه هو قطر متوازي الأضلاع، كما هو موضَّح.
إذن، .
باستخدام المثال السابق، يمكننا توضيح نتيجة مفيدة من متوازي الأضلاع الذي رسمناه.
بتطبيق قاعدة المثلث للمتجهات على النقاط ، ، ، يصبح لدينا:
وبدلالة ، ، يوضِّح هذا أن:
بعبارة أخرى، يمثِّل هذا توضيحًا هندسيًّا لخاصية الإبدال لعملية جمع المتجهات.
حتى الآن لم نتناول إلا جمع متجهين معًا. سنتناول الآن مثالًا مطلوب منَّا فيه إيجاد الفرق بين متجهين.
مثال ٤: تحديد التمثيل البياني الصحيح للفرق بين متجهين
أيُّ متوازيات الأضلاع الآتية يوضِّح طريقة صحيحة للحصول على ؟
الحل
لطرح متجهين بيانيًّا سنستخدم نتيجتين. في البداية، يمكننا إعادة كتابة التعبير على صورة مجموع متجهين:
وهذا يخبرنا بأن الفرق بين ، هو نفسه مجموع ، ، ونحن نعرف كيف نجمع متجهين معًا بيانيًّا باستخدام قاعدتَي المثلث ومتوازي الأضلاع. بما أن الخيارات تحتوي على متوازيات أضلاع، فسنستخدم قاعدة متوازي الأضلاع.
تخبرنا قاعدة متوازي الأضلاع لجمع المتجهات بأنه إذا كان ، متجهين لهما نقطة البداية نفسها، وهي ؛ إذن: حيث هي النقطة التي تجعل متوازي أضلاع، كما هو موضَّح في الشكل التالي:
إذا أسمينا المتجهين اللذين يمثِّلان ضلعَي متوازي الأضلاع ، ، فسيصبح لدينا ما يلي:
وبما أن ، فإنه يمكننا التعويض عن المتجه الذي يٌمثِّل القطر بـ ؛ وهو نفسه الخيار (ج).
يمكننا بعد ذلك طرح السؤال التالي: إذا كان لدينا المتجهان ، ممثَّلين بيانيًّا، فكيف يمكننا إيجاد ؟ لكي نفعل ذلك، سنبدأ برسم ، لتكون لدينا نقطة البداية نفسها، لنقُلْ ، وسنُسمِّي أيضًا نقطتَي نهاية المتجهين ، ، كما هو موضَّح.
نريد تحديد أن . تذكَّر أن: وأن ضرب متجه في يغيِّر اتجاهه ولا يغيِّر مقداره. في هذا الشكل، هذا يعني أن هو المتجه من إلى ، كما هو موضَّح.
ومن ثَمَّ، يمكننا ملاحظة أن نقطة نهاية هي نقطة بداية ؛ وبناءً عليه يمكننا جمع هذين المتجهين باستخدام قاعدة المثلث لجمع المتجهات، ويصبح لدينا ما يلي:
يمكننا بعد ذلك استخدام خاصية الإبدال لعملية جمع المتجهات لكتابة . وهذا يعني أن:
ومن ثَمَّ، يمكننا تمثيل ذلك بيانيًّا كما هو موضَّح.
لنتناول الآن بعض الأمثلة على تطبيق هذا الاستنتاج لطرح متجهين معطيين بيانيًّا.
مثال ٥: إيجاد الفرق بين متجهين ممثَّلين بيانيًّا
أيٌّ من الآتي يُكافِئ ؟
الحل
المطلوب منَّا هو إيجاد الفرق بين متجهين. لفعل ذلك، نبدأ بملاحظة أن ضرب متجه في يغيِّر اتجاهه دون مقداره؛ ومن ثَمَّ:
وبناءً على ذلك، فإن:
يمكننا رسم هذين المتجهين على الشكل.
وبما أن نقطة نهاية هي نقطة بداية ، فإنه يمكننا أن نجمع هذين المتجهين باستخدام قاعدة المثلث لجمع المتجهات التي تخبرنا بأن: وهو ما يمكننا تمثيله على الشكل.
لكن، هذا ليس أحد الخيارات المعطاة. علينا أيضًا استخدام حقيقة أن هو متوازي أضلاع أضلاعه المتقابلة متساوية في الطول ومتوازية. إذن:
نريد إيجاد متجه يكافئ التعبير المعطى باستخدام الشكل. لفعل ذلك، نلاحظ أولًا أنه لأي متجه ، فإن سيكون له الاتجاه نفسه ونصف المقدار. سنبدأ بإيجاد متجه يكافئ . يمكننا فعل ذلك بأن نتذكَّر أولًا أن ؛ ومن ثَمَّ:
يمكننا إضافة هذين المتجهين إلى الشكل.
لجمع المتجهين معًا بيانيًّا يمكننا استخدام قاعدة متوازي الأضلاع للمتجهات. بما أن المتجهين لهما نقطة البداية نفسها، فإن مجموعهما سيساوي قطر متوازي الأضلاع.
ومن ثَمَّ:
نريد إيجاد هذا المتجه؛ ولذا نريد متجهًا في نفس اتجاه ، وله نصف مقداره. بما أن هي نقطة تنصيف ، فثمة خياران لدينا؛ حيث سيكون للمتجهين ، نفس اتجاه ، ونصف مقداره.
ومن ثَمَّ:
إذن، الإجابة هي الخيار (ب): .
جدير بالملاحظة أنه يمكننا تطبيق هذه القواعد لجمع المتجهات عدة مرات. على سبيل المثال، انظر إلى الشكل التالي:
إذا أردنا إيجاد ، فإنه يمكننا إجراء ذلك بتطبيق قاعدة المثلث لجمع المتجهات مرتين. أولًا، لدينا ، كما هو موضَّح في الشكل التالي:
يمكننا بعد ذلك جمع ، باستخدام قاعدة المثلث لجمع المتجهات. وبذلك، يصبح لدينا ، كما هو موضَّح.
ومن ثَمَّ:
يمكننا التفكير في هذا الشكل بيانيًا على صورة المتجهات الثلاثة ، ، المرسومة كلها بطريقة الرأس والذيل؛ ومن ثَمَّ فإن مجموع تلك المتجهات هو المتجه الذي نقطة بدايته ، ونقطة نهايته . يمكننا تطبيق هذا الاستنتاج نفسه على أشكال أكثر تعقيدًا كما سنرى في المثال الأخير.
مثال ٧: تبسيط مجموع متجهات تمثِّل أضلاع مضلَّع
أكمل: في الشكل التالي، .
الحل
نبدأ بإضافة جميع المتجهات الموضَّحة في عملية الجمع إلى الشكل.
هناك طريقتان يمكننا من خلالهما إيجاد هذا المجموع؛ يمكننا فعل ذلك مباشرةً من خلال تذكُّر أن مجموع أيِّ عدد من المتجهات المرسومة بطريقة الرأس والذيل ستكون له نقطة بداية المتجه الأول ونقطة نهاية المتجه الأخير. في هذا الشكل، سيكون هذا هو المتجه ، كما هو موضَّح.
قد يكون من الأسهل التفكير في ذلك على أنه تتبُّع لحركة المتجهات من حتى . وبذلك، يصبح لدينا: وهو الخيار (ب).
لمعرفة سبب صحة ذلك، علينا تطبيق قاعدة المثلث التي تنصُّ على أنه بالنسبة لأيِّ نقاط ، ، ، فإن:
يمكننا تطبيق هذه القاعدة على أول متجهين في المجموع للحصول على: ومن ثَمَّ:
يمكننا بعد ذلك تطبيق قاعدة المثلث مرة أخرى، ونلاحظ أن: ومن ثَمَّ:
وأخيرًا، نطبِّق قاعدة المثلث مرة أخرى للحصول على: وبناءً عليه:
إذن، الإجابة هي الخيار (ب): .
دعونا نختم هذا الشارح بتلخيص بعض النقاط المهمة فيه.
النقاط الرئيسية
تخبرنا قاعدة المثلث للمتجهات بأنه لأيِّ ثلاث نقاط ، ، ، يكون لدينا:
تسمح لنا قاعدة المثلث للمتجهات بجمع متجهين بيانيًّا برسمهما؛ بحيث تكون نقطة بداية المتجه الأول هي نقطة نهاية المتجه الثاني.
تخبرنا قاعدة متوازي الأضلاع للمتجهات بأن:
حيث هي النقطة التي تجعل متوازي أضلاع.
تسمح لنا قاعدة متوازي الأضلاع للمتجهات بجمع المتجهين معًا بيانيًّا عن طريق رسمهما؛ بحيث يكون لهما نقطة البداية نفسها. ومن ثَمَّ، تُعطى محصِّلتهما بدلالة قطر متوازي الأضلاع الناتج عن جمع المتجهين.
يمكننا طرح متجهين باستخدام حقيقة أنه لأيِّ ثلاث نقاط ، ، ، يكون لدينا:
انضم إلى نجوى كلاسيز
شارك في الحصص المباشرة على نجوى كلاسيز وحقق التميز الدراسي بإرشاد وتوجيه من مدرس خبير!
