شارح الدرس: حجم المخروط | نجوى شارح الدرس: حجم المخروط | نجوى

شارح الدرس: حجم المخروط الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب حجم المخروط، ونحلُّ المسائل التي تتضمَّن مواقف حياتية.

تعريف: المخروط

المخروط هو شكل هندسي ثلاثي الأبعاد، أو جسم مجسَّم، له (بوجهٍ عام) «قاعدة» دائرية وسطح جانبي منحنٍ ينتهي عند رأس أو قمة واحدة.

المخروط القائم هو مخروط يقع رأسه أعلى مركز القاعدة. (عندما تكون القاعدة دائرية، يقع الرأس أعلى مركز الدائرة.)

ارتفاع المخروط هو المسافة من الرأس إلى القاعدة.

«راسم» المخروط هو المسافة من الرأس إلى أيِّ نقطة تقع على محيط القاعدة.

والآن، بعد أن عرفنا مفهوم المخروط، هيَّا نتعرَّف على حجمه.

تخيَّل أنه يمكننا ملْء مخروط بالكامل بالماء. إذا سكبنا هذا الماء في أسطوانة لها نفس قاعدة المخروط وارتفاعه، فسنلاحظ أن مستوى الماء يَصِل إلى ثُلث ارتفاع الأسطوانة بالضبط.

وهذه قاعدة عامة لأيِّ مخروط.

حجم المخروط

حجم المخروط يساوي ثُلث حجم أسطوانة لها نفس القاعدة والارتفاع:

تذكَّر أن مساحة أي دائرة نصْف قطرها 𞸓 تساوي 𞸌=𝜋𞸓ااة٢.

لنتناول الآن بعض الأمثلة.

مثال ١: إيجاد حجم مخروط

أوجد حجم المخروط الدائري القائم بدلالة 𝜋.

الحل

نعلم أن حجم المخروط يساوي ثُلث حجم أسطوانة لها نفس القاعدة والارتفاع؛ أي إن: 𞸇=١٣󰁓𞸌×𞸏󰁒.اوطاة

لإيجاد حجم هذا المخروط، علينا إيجاد مساحة القاعدة؛ أي الدائرة التي نصْف قطرها ٢٠ سم. وهذه المساحة تساوي 𞸌=𝜋𞸓ااة٢. بالتعويض بقيمة 𞸓، نجد أن:

إذن، حجم المخروط يساوي:

مثال ٢: إيجاد حجم مخروط بمعلومية قطره وارتفاعه

أوجد حجم المخروط. اكتب إجابتك بالملليمتر المكعب لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

حجم المخروط يساوي 𞸇=١٣󰁓𞸌×𞸏󰁒اوطاة؛ حيث 𞸌اة هي مساحة قاعدته الدائرية، 𞸏 هو ارتفاع المخروط. نلاحظ أن المخروط الموضَّح في الشكل لا يرتكز على قاعدته. وبوضع ذلك في الاعتبار، نستنتج أن ارتفاع المخروط؛ أي المسافة بين رأسه وقاعدته، تساوي ٦٣ مم، بينما قطر قاعدته يساوي ٥٨ مم. نحن نعلم أن مساحة القاعدة الدائرية تساوي: 𞸌=𝜋𞸓،اة٢ وعلمًا بأن نصْف القطر يساوي نصف طول القطر؛ أي ٢٩ مم، يُعطينا ذلك: 𞸌=𝜋٩٢=١٤٨𝜋.اة٢٢

بالتعويض بهذه القيمة وبالارتفاع في معادلة حجم المخروط، نجد أن: 𞸇=١٣(١٤٨×𝜋×٣٦).اوط

بحساب ذلك باستخدام الآلة الحاسبة وتقريبه لأقرب منزلتين عشريتين، نجد أن: 𞸇=٧٦٫٣٨٤٥٥.اوط٣

مثال ٣: إيجاد حجم مخروط بمعلومية ارتفاعه وراسمه

أوجد حجم المخروط الدائري القائم بدلالة 𝜋.

الحل

لإيجاد حجم المخروط، علينا إيجاد مساحة قاعدته الدائرية. لكننا لا نعرف قيمة نصْف القطر، بل نعرف ارتفاع المخروط وراسمه.

وإذ نُدرك أن هذين المستقيمين يكوِّنان مع نصْف قطر القاعدة الدائرية مثلثًا قائم الزاوية (لاحظ أننا نعرف أن الرأس يقع أعلى مركز القاعدة؛ لأن السؤال يُخبرنا أن المخروط قائم)، يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس؛ حيث نصْف قطر القاعدة الدائرية هو 𞸓، على النحو الآتي: 𞸓+٨٤=٠٦𞸓+٤٠٣٢=٠٠٦٣.٢٢٢٢

بطرح ٢‎ ‎٣٠٤ من كلا الطرفين، يصبح لدينا: 𞸓+٤٠٣٢٤٠٣٢=٠٠٦٣٤٠٣٢𞸓=٦٩٢١.٢٢

وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين، نحصل على: 󰋴𞸓=󰋴٦٩٢١𞸓=٦٣.٢

يمكننا الآن إيجاد حجم المخروط؛ حيث:

مثال ٤: إيجاد حجم المخروط بمعلومية نصْف قطره وارتفاعه

احسب حجم مخروط نصْف قطره ٣، وارتفاعه ١٤. قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

حجم المخروط يساوي 𞸇=١٣󰁓𞸌×𞸏󰁒اوطاة؛ حيث 𞸌اة هي مساحة قاعدته الدائرية، 𞸏 ارتفاعه. مساحة القاعدة الدائرية تساوي 𞸌=𝜋𞸓اة٢؛ حيث 𞸓 هو نصف قطر القاعدة الدائرية.

ومن ثَمَّ يصبح لدينا: 𞸇=١٣󰁓𝜋𞸓×𞸏󰁒.اوط٢

يخبرنا السؤال أن نصْف القطر يساوي ثلاثة، والارتفاع يساوي ١٤. وبالتعويض بهذه القِيَم، نجد أن: 𞸇=١٣󰁓𝜋×٣×٤١󰁒=٢٤𝜋.اوط٢

باستخدام الآلة الحاسبة وتقريب الناتج لأقرب منزلتين عشريتين، نجد أن: 𞸇=٥٩٫١٣١.اوط

في هذا السؤال، لا تُوجَد وحدة طول محدَّدة؛ ومن ثَمَّ يُخبرنا هذا ضمنيًّا أن جميع الأطوال مَقيسة بوحدة الطول نفسها، وستُقاس النتيجة التي حصلنا عليها بمكعب هذه الوحدة.

مثال ٥: إيجاد قطر مخروط بمعلومية حجمه وارتفاعه

مخروط حجمه ١٤٤𝜋 بوصة مكعبة، وارتفاعه ١٢ بوصة. أوجد قطره.

الحل

لدينا هنا حجم المخروط وارتفاعه، ونريد إيجاد قطره. لكي نفعل ذلك، علينا كتابة العلاقة بين حجم المخروط وارتفاعه ونصْف قطره. سيسمح لنا هذا بإيجاد نصْف قطر المخروط. وذلك يساوي نصف طول القطر؛ ومن ثَمَّ علينا مضاعفة نصْف القطر لإيجاد القطر.

لدينا:

وبالتعويض بقيمتَيْ حجم المخروط وارتفاعه في المعادلة، نجد أن:

بضرب ١٣ في ١٢ (بما أن عملية الضرب عملية إبدالية)، يصبح لدينا: ١٤٤𝜋=𝜋𞸓×٤.٢

وبقسمة الطرفين على ٤𝜋 يصبح لدينا: ١٤٤𝜋÷٤𝜋=𝜋𞸓×٤÷٤𝜋٥٢٫٠١١=𞸓.٢٢

وبأخذ الجذر التربيعي لطرفَي المعادلة نجد أن: 󰋴٥٢٫٠١١=󰋴𞸓٥٫٠١=𞸓.٢

ومن ثَمَّ، نصْف قطر المخروط يساوي ١٠٫٥ بوصات، وهذا يعني أن القطر يساوي ٢١ بوصة.

النقاط الرئيسية

  • المخروط هو شكل هندسي ثلاثي الأبعاد، أو جسم مجسَّم، له (بوجهٍ عام) قاعدة دائرية وسطح جانبي منحنٍ ينتهي عند رأس أو قمة واحدة.
  • المخروط القائم مخروط يقع رأسه أعلى مركز القاعدة. (عندما تكون القاعدة دائرية، يقع الرأس أعلى مركز الدائرة.)
  • ارتفاع المخروط هو المسافة بين الرأس والقاعدة. أمَّا «راسم» المخروط فهو المسافة من الرأس إلى أيِّ نقطة تقع على محيط القاعدة.
  • حجم المخروط يساوي ثُلث حجم الأسطوانة التي لها نفس القاعدة والارتفاع.

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في الحصص المباشرة على نجوى كلاسيز وحقق التميز الدراسي بإرشاد وتوجيه من معلم خبير!

  • حصص تفاعلية
  • دردشة ورسائل
  • أسئلة امتحانات واقعية

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية