شارح الدرس: تساوي مصفوفتين الرياضيات • الصف الأول الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نتحقَّق من شروط تَساوي مصفوفتين.

نظرًا لأن الجبر الخطي يختلف عن الجبر التقليدي، فليس من المفاجئ وجود مفاهيم مختلفة اختلافًا جذريًّا. فمفاهيم مثل الرتبة والنوع والمدوَّر غير موجودة ببساطة في الجبر التقليدي. في الجبر التقليدي، تتساوى كميتان إذا كانت لهما القيمة نفسها. على سبيل المثال، إذا كان لدينا ، ، يمكننا القول بأن الكميتين متساويتان؛ ومن ثَمَّ نكتب .

وبدلًا من ذلك، إذا كان لدينا ، ، فيتَّضح أن هاتين الكميتين غير متساويتين؛ ومن ثَمَّ نكتب . لكن هاتين الكميتين مرتبطتان، ومن الأمثلة على ذلك القول بأن ، أو بأن . هذه ليست العلاقة الوحيدة بين ، في هذه الحالة؛ حيث يمكننا أن نقول أيضًا إن ، أو شيئًا أكثر تعقيدًا مثل . ويمكننا تكوين عدد لا نهائي من هذه العلاقات، ما دام طرفا المعادلة لهما القيمة نفسها.

لتعريف الجبر الخطي تعريفًا واضحًا، لا بد أن يكون لدينا تعريف للتساوي، يتيح لنا وصف العلاقات بين المصفوفات. إن مفهوم التساوي في الجبر التقليدي كما وضَّحناه سابقًا، أما الجبر الخطي، فعلينا أن نعتبر أن المصفوفات لديها عناصر متعدِّدة؛ ومن ثَمَّ يجب أن يراعي تعريفنا للتساوي ذلك.

بطريقة ما، هذا التعريف غير مفاجئ؛ لأنه لا توجد طريقة بديلة واضحة لوصف التساوي بين مصفوفتين. من ناحية أخرى، من الواضح أن تعريف التساوي هذا أكثر دقةً من ذلك المستخدَم في الجبر التقليدي، الذي لا يحتاج إلى مناقشة عناصر متعدِّدة.

نأمل أن يكون من الواضح في هذه المرحلة أن هناك شرطًا مباشرًا واحدًا، فإن لم يتحقَّق، فهذا يعني أن المصفوفتين لا يمكن أن تكونا متساويتين. إذا كنا نحاول المقارنة بين عناصر مصفوفتين تحتويان على عدد مختلف من الصفوف أو الأعمدة، فسنجد أن هذه مهمة مستحيلة، وهو ما يعني أن هاتين المصفوفتين لا يمكن أن تكونا متساويتين.

لاحِظ أن تطابُق رتبة مصفوفتين شرط أساسي للتساوي، لكنه ليس شرطًا كافيًا. فلا يعني مجرد تشارُك مصفوفتين الرتبة نفسها أنهما متساويتان تلقائيًّا. هذا أمر يسهل للغاية إثباته بالمصفوفتين الموضَّحتين أدناه:

تحتوي هاتان المصفوفتان على ٣ صفوف و٤ أعمدة؛ ومن ثَمَّ رتبة كلٍّ منهما هي . هاتان المصفوفتان بسيطتان للغاية أيضًا؛ حيث إن كل عنصر يساوي صفرًا باستثناء الذي لوَّناه. لكن، نظرًا لأن ، فهاتان المصفوفتان غير متساويتين؛ ومن ثَمَّ نكتب .

عند التعامل مع مصفوفات أكبر، يُطبَّق المبدأ نفسه وبالطريقة نفسها تمامًا، لكن مع إجراء عدد أكبر من المقارنات. من الناحية العملية، بدلًا من كتابة كل مقارنة، نستعرض المصفوفتين لإيجاد أي اختلاف بين أزواج العناصر. على سبيل المثال، انظر المصفوفتين اللتين لهما الرتبة :

نظرًا لأن هاتين المصفوفتين لهما الرتبة نفسها، فإننا نبحث عن أزواج العناصر المختلفة:

لدينا ، ، وهو ما يعطينا سببين يوضِّحان أن .

يوضِّح السؤال أعلاه كيف أن شرط تَساوي مصفوفتين مقيَّد للغاية. رتبة المصفوفتين في السؤال السابق كانت ؛ ومن ثَمَّ تحتوي كل مصفوفة منهما على ٤ عناصر. يمكننا بشكل مباشر أن نلاحظ أنه كان يوجد زوجان من العناصر متطابقان في كلتا المصفوفتين. وعلى الرغم من أننا وجدنا حالتين للتساوي، لكن لا يزال علينا التحقُّق من زوجَي العناصر المتبقيين. لو كان أيٌّ من زوجَي العناصر هذين غير متساويين، فإن المصفوفتين لن تكونا متساويتين، وفقًا للتعريف.

توضِّح الأمثلة الثلاثة الآتية كيف يمكن أن يعتمد التساوي بين المصفوفتين على الحساب الصحيح لمتغيِّرات متعدِّدة.

ظاهريًّا، التحقُّق من تَساوي مصفوفتين ليس سوى التحقُّق من حالات تَساوي متعدِّدة ومنفصلة عبر جميع عناصر المصفوفتين. وفي نهاية المطاف، يكون هذا التقييم البسيط تقييمًا دقيقًا للغاية؛ لأن التحقُّق من تَساوي مصفوفتين يستلزم بالفعل المقارنة بين جميع عناصر المصفوفتين المعنيَّتين. لكن الأمر يتغيَّر عندما نتعامل مع مصفوفات بها عناصر معظمها على صورة متغيِّرات، وأعداد أيضًا. تتيح لنا هذه المرونة، عند دمجها مع عمليات أخرى تعتمد على الجبر الخطي (مثل ضرب المصفوفات، ورفعها إلى قوى، وإيجاد معكوسها)، إنشاء مسائل رياضية أكثر تعقيدًا، كما رأينا سابقًا. على سبيل المثال، بعد التحقُّق من أن ضرب المصفوفات ينطبق، يمكن تحويل أنظمة المعادلات الخطية بأكملها إلى رموز بدلالة معادلات مصفوفية بسيطة، وهو ما يوفِّر صيغة مفيدة ومختصرة للتعامل مع هذه المفاهيم المتقدِّمة. على الرغم من أن تعريف تَساوي مصفوفتين قد يبدو غير ضروري أو لا قيمة له، فإنه ذو أهمية قصوى لفهم الجبر الخطي والعديد من الأدوات الرياضية التي لا غنى عنها التي قدَّمها هذا الجانب.