في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نستخدم التكامل لإيجاد الشغل المبذول بواسطة قوة متغيرة.
تذكر أنه بالنسبة إلى قوة ثابتة، ، تؤثر على جسمٍ ما عندما يتعرض لإزاحة، ، فإن الشغل المبذول، ، بواسطة القوة يساوي حاصل الضرب القياسي للقوة والإزاحة:
ويمكن كتابة هذا أيضًا على الصورة: حيث مقدار القوة، مقدار الإزاحة، هي الزاوية المحصورة بين القوة المؤثرة على الجسم وإزاحته.
إذا كانت ، ثابتتين؛ بعبارة أخرى مقدار القوة ثابت، والزاوية المحصورة بين القوة والإزاحة لا تتغير، فإن التمثيل البياني لـ مقابل سيبدو بهذا الشكل:
تظل ثابتة خلال المسار الذي يتخذه الجسم. الشغل المبذول بواسطة القوة يساوي المساحة الموجودة أسفل الخط. المساحة الموجودة أسفل الخط عبارة عن منطقة واحدة مستطيلة الشكل، لذا فإن المساحة تساوي طول المستطيل في عرضه: أو .
والآن، لنفترض أن تتغير أثناء حركة الجسم. لنفترض، في البداية، أن تزداد قبل الوصول إلى قيمة ثابتة. إذن، يبدو التمثيل البياني لـ مقابل بهذا الشكل:
والآن لإيجاد المساحة الموجودة أسفل الخط، أي الشغل المبذول، علينا تقسيم المساحة إلى منطقتين: شبه منحرف ومستطيل، وإيجاد مساحة كلٍّ منهما.
يمكننا أن نلاحظ أنه كلما أصبحت القوة المؤثرة على الجسم أكثر تعقيدًا، تَعَيَّن علينا تقسيم المساحة الموجودة أسفل الخط إلى مناطق أكثر لنتمكن من حساب المساحة الكلية، أي الشغل المبذول. إذا كانت القوة المؤثرة على جسم موضحَة من خلال دالة متصلة، كما هو موضح في التمثيل البياني التالي، فسيتعين علينا استخدام التكامل لإيجاد المساحة الموجودة أسفل المنحنى، ومن ثم الشغل المبذول.
لإيجاد المساحة الموجودة أسفل المنحنى في التمثيل البياني السابق، علينا أن نُكامِل بالنسبة إلى :
إذا كانت القوة والإزاحة في الاتجاه نفسه، فإن قياس الزاوية يساوي ٠ و يساوي ١، وهو ما يعني أنه يمكن تبسيط هذه الصيغة إلى:
بينما كان التعريف الأصلي للشغل المبذول بواسطة قوة، صحيحًا للقوى الثابتة، فقد توصلنا إلى صيغة للشغل المبذول بواسطة قوة متغيرة، ما دامت القوة في نفس اتجاه الإزاحة. وبهذا نكون توصلنا إلى تعريف أعمّ للشغل المبذول بواسطة قوة.
تعريف:
يُعطى الشغل المبذول بواسطة قوة مؤثرة على جسم بينما يتحرك الجسم في مسار موازٍ للقوة من خلال العلاقة: حيث هو الشغل المبذول، هو مقدار القوة التي تؤثر على الجسم، هي القطعة المستقيمة المتناهية الصغر من المسار.
دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.
مثال ١: حساب مقدار الشغل المبذول بواسطة قوة بمعلومية التعبير الدال على القوة
جسم يتحرك على المحور تحت تأثير القوة . إذا كانت حيث م إزاحة الجسم من نقطة الأصل، فأوجد الشغل المبذول بواسطة القوة على الجسم عندما يتحرك الجسم من إلى .
الحل
في هذه المسألة، تؤثر قوة متغيرة على جسم. كلً من حركة الجسم والقوة المؤثرة عليه على المحور ، لذا يمكننا استخدام الصيغة: لإيجاد الشغل المبذول على الجسم.
المطلوب منا هو إيجاد الشغل المبذول على الجسم عندما يتحرك بين ، ، وهو ما يعني أن هذا سيكون تكاملًا محددًا بحيث تكون هاتان القيمتان هما حدَّي التكامل. لنبدأ بالتعويض عن وكذلك عن هذين الحدين:
بتكامل ، نحصل على: وإذا أوجدنا قيمة هذا التعبير بين الحدين، فسنحصل على:
وبما أن مقيسة بوحدة نيوتن ، مقيسة بوحدة متر، فإن قيمة الشغل هذه تكون بوحدة نيوتن ⋅ متر، وهي تكافئ وحدة جول، وبذلك فإن الشغل المبذول يساوي ٧٢ جول.
مثال ٢: حساب مقدار الشغل المبذول بواسطة قوة بمعلومية التعبير الدال على القوة
تؤثر قوة متغيرة ، مقيسة بوحدة نيوتن على جسم، حيث . أوجد الشغل الذي تبذله هذه القوة في الفترة من إلى .
الحل
في هذه المسألة، تؤثر قوة متغيرة على جسم. حركة الجسم والقوة المؤثرة عليه كلتاهما في بُعد واحد، لذا يمكننا استخدام الصيغة: لإيجاد الشغل المبذول على الجسم.
المطلوب منا هو إيجاد الشغل المبذول على الجسم أثناء حركته بين ، . لفعل ذلك، يمكننا استخدام التكامل المحدد بحيث تكون هاتان القيمتان هما حدَّي التكامل. لنبدأ بالتعويض عن وكذلك عن هذين الحدين:
بتكامل ، نحصل على: وإذا قمنا بإيجاد قيمة هذا التعبير بين الحدين، فسنحصل على:
وبما أن مقيسة بوحدة نيوتن ، مقيسة بوحدة متر، فإن قيمة الشغل هذه تكون بوحدة نيوتن ⋅ متر، التي تكافئ وحدة جول، وبذلك يكون الشغل المبذول ٥٦ جول.
مثال ٣: حساب مقدار الشغل المبذول بواسطة قوة تتغير بشكل جيبي
يتحرك جسيم في خط مستقيم تحت تأثير القوة حيث ، وتُقاس بالمتر. احسب الشغل المبذول بواسطة القوة عندما يتحرك الجسيم من إلى .
الحل
في هذه المسألة، تؤثر قوة متغيرة على جسيم. حركة الجسيم والقوة المؤثرة عليه كلتاهما في بُعد واحد، لذا يمكننا استخدام الصيغة: لإيجاد الشغل المبذول على الجسيم.
المطلوب منا هو إيجاد الشغل المبذول على الجسيم عندما يتحرك بين ، . لفعل ذلك، يمكننا استخدام التكامل المحدد بحيث تكون هاتان القيمتان هما حدَّي التكامل. لنبدأ بالتعويض عن وكذلك عن هذين الحدين:
بتكامل ، نحصل على: وإذا أوجدنا قيمة هذا التعبير بين الحدين، فسنحصل على:
جيب التمام لـ ٠ هو ١، وجيب التمام لـ هو ٠، لذا فإن:
وبما أن مقيسة بوحدة نيوتن ، مقيسة بوحدة متر، فإن قيمة الشغل هذه تكون بوحدة نيوتن ⋅ متر، التي تكافئ وحدة جول، وبذلك فإن الشغل المبذول يساوي جول.
مثال ٤: حساب مقدار الشغل المبذول بواسطة قوة متغيرة تتضمن ثابتًا مجهولًا
تحرَّك جسم في خط مستقيم تحت تأثير قوة ؛ حيث متر هي إزاحة الجسم من نقطة البداية. الشغل الذي بذلته القوة لتحريك الجسم من إلى يساوي ٣٤ جول. أوجد الشغل الذي بذلته القوة لتحريك الجسم من إلى .
الحل
في هذه المسألة، تؤثر قوة متغيرة على جسم. حركة الجسم والقوة المؤثرة عليه كلتاهما في بُعد واحد، لذا يمكننا استخدام الصيغة: لإيجاد الشغل المبذول على الجسم.
المطلوب منا هو إيجاد الشغل المبذول على الجسم عندما يتحرك بين ، ، وهذا يعني أن علينا إيجاد قيمة التكامل المحدد للقوة المؤثرة على الجسم بحيث تكون هاتان القيمتان هما حدَّي التكامل. لكن يوجد ثابت مجهول في معادلة القوة، أي ، علينا إيجاده أولًا؛ وإلا فإن هذا الثابت المجهول سيظهر في ناتج التكامل المحدد ولن نتمكن من إيجاد قيمة الشغل المبذول.
ولإيجاد قيمة هذا الثابت، يمكننا إيجاد التكامل المحدد للقوة بين الحدين ٠ م و٣ م. وبما أن قيمة الشغل بين هذين الحدين معلومة لنا، فسيكون بإمكاننا تكوين معادلة بها مجهول واحد فقط، . لنبدأ بإيجاد قيمة هذا التكامل:
بتكامل ، نحصل على: وإذا قمنا بإيجاد قيمة هذا التعبير بين الحدين، فسنحصل على:
يمكننا إذن إعادة ترتيب المعادلة لجعل في طرف بمفرده:
وهذا يعني أن لدينا الآن تعبيرًا كاملًا لـ :
ومن هنا، يمكننا كتابة التكامل المحدد للشغل المبذول بين ، : ثم نتبع الخطوات نفسها التي اتبعناها من قبل:
إذن، الشغل المبذول بواسطة القوة بين ، هو ٧٣٦ جول.
النقاط الرئيسية
- يمكننا استخدام التكامل لإيجاد الشغل المبذول على جسم بواسطة قوة متغيرة.
- يُعطى الشغل المبذول بواسطة قوة على جسم عندما يتحرك الجسم في مسار موازٍ للقوة بالعلاقة: حيث هو الشغل المبذول، هي مقدار القوة التي تؤثر على الجسم، هي القطعة المستقيمة المتناهية الصغر من المسار.
