في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نَصِف عملية قياس الضغط باستخدام ارتفاع عمود السائل في أنبوب على شكل حرف U.
مانومتر عمود السائل عبارة عن أنبوب على شكل حرف U مملوء بسائل ويُستخدم لقياس فرق الضغط بين غازين عند طرفَيْه. في الشكل الآتي يوجد مانومتر مفتوح على الغلاف الجوي ومملوء بالماء.
مستوى الماء متساوٍ في كلا طرفَي الأنبوب. ونتيجة لذلك، يساوي الضغط المؤثِّر على الطرف الأيسر، ، الضغط المؤثِّر على الطرف الأيمن، (أي عندما يكون ارتفاع الماء في كلا الطرفين الأيسر والأيمن متساويًا، يكون الضغط متساويًا أيضًا): عندما يكون:
إذا كان أحد طرفَي الأنبوب متصلًا بغاز ضغطه مختلف عن ضغط الغلاف الجوي، يمكن أن يتغير ارتفاع السائل، كما هو موضح في الشكل الآتي.
يؤثِّر كلٌّ من الغاز المجهول والغلاف الجوي بضغط على السائل، لكن الضغط يكون مختلفًا في هذه الحالة؛ لذا يحدث فرق في ارتفاع الماء بين طرفَي الأنبوب، .
إذا كان أعلى من ، فإن هذا يعني أن هناك ضغطًا أقل يدفع الماء لأسفل؛ ومن ثَمَّ، يكون أقل من : عندما يكون: والعكس صحيح.
هيا نُلقِ نظرة على بعض الأمثلة.
مثال ١: مقارنة ضغط غاز مجهول بضغط الغلاف الجوي
يوضِّح الشكل مانومترًا متصلًا من أحد طرفَيْه بمستودع غاز، ومن الطرف الآخر بالغلاف الجوي. أيٌّ من الآتي يوضِّح بصورة صحيحة العلاقة بين ضغط الغاز وضغط الغلاف الجوي، ، ؟
الحل
يمثِّل الضغط المؤثِّر على الطرف الأيمن، من مستودع الغاز. ويمثِّل الضغط المؤثِّر على الطرف الأيسر من الغلاف الجوي.
إذا كان أكبر من ، فسيرتفع السائل في المانومتر في الطرف الأيسر. وإذا كان أكبر من ، فسيرتفع السائل في الطرف الأيمن.
وبما أن ارتفاع السائل متساوٍ في كلا طرفَي الأنبوب، فهذا يعني أن الضغط المؤثِّر على كلا الطرفين متساوٍ. والإجابة الصحيحة هي الخيار ج، .
مثال ٢: مقارنة ضغط غاز بضغط الغلاف الجوي حيث يختلف مستوى السائل بين طرفَي المانومتر
يوضِّح الشكل مانومترًا متصلًا من أحد طرفَيْه بمستودع غاز، ومن الطرف الآخر بالغلاف الجوي. أيٌّ من الآتي يوضِّح بصورة صحيحة العلاقة بين ضغط الغاز وضغط الغلاف الجوي، ، ؟
الحل
يمثِّل الضغط المؤثِّر على الطرف الأيمن الآتي من مستودع الغاز. ويمثِّل الضغط المؤثِّر على الطرف الأيسر الآتي من الغلاف الجوي.
بما أن ارتفاعَي عمودَيِ السائل في طرفَي الأنبوب مختلفان، فإننا نعرف أن لا يمكن أن يساوي . وبما أنهما مختلفان، فلا بد أن يكون أحدهما أكبر من الآخر.
إذا كان أكبر، فسيرتفع السائل لأعلى في العمود الأيمن، إلا أن السائل لم يرتفع؛ بل انخفض. ومن ثَمَّ، يجب أن يكون أكبر من .
والإجابة الصحيحة هي الخيار ب، .
يرتبط فرق الضغط بفرق الارتفاع. فرق أكبر في الارتفاع يعني فرقًا أكبر في الضغط. يمكننا استخدام صورة معدلة من معادلة ضغط عمود السائل للتعبير عن ذلك.
معادلة: التغيُّر في ضغط مانومتر
المعادلة المُستخدَمة لربط التغيُّر في الضغط بتغيُّر الارتفاع في المانومتر هي: حيث الفرق في الضغط، كثافة المائع، عجلة الجاذبية (9.81 m/s2 على كوكب الأرض)، فرق الارتفاع.
يمكننا أن نرى في هذه المعادلة أن يتناسب مع . ويعني ضعف التغيُّر في الارتفاع ضعف التغيُّر في الضغط.
هيا نحل مسألة تستخدم هذه العلاقة. يحتوي مانومتر على ماء، كثافته 997 kg/m3. يتصل طرف المانومتر الأيسر بغاز ضغطه مجهول، ويتصل الطرف الأيمن بالغلاف الجوي عند مستوى سطح البحر، وهو ما سنعتبر أن ضغطه يساوي 101.3 kPa. ويمكننا أيضًا اعتبار أن عجلة الجاذبية تساوي 9.81 m/s2.
علينا إيجاد ضغط الغاز المجهول المؤثِّر على الطرف الأيسر. لنُلقِ نظرة على معادلة التغيُّر في ضغط عمود السائل:
من المهم أن نلاحظ أننا لا نركز إلا على مقدار التغيُّر في الارتفاع؛ لذا لا يمكن أن يكون سالبًا.
وبالمثل، يُعد الفرق في الضغط مقدارًا أيضًا. يمكن التعبير عن الفرق في الضغط هكذا: أو هكذا:
نعلم أنه نظرًا لانخفاض ارتفاع السائل، فإن: . يعني هذا أنه يمكننا استخدام الصورة الثانية بدون القيمة المطلقة؛ لأننا نعلم أنها ستكون موجبة.
وهذا يجعل المعادلة تبدو على النحو الآتي:
نريد جعل في أحد طرفَي المعادلة بمفرده؛ لذا، نضيف إلى كلا الطرفين لجعله في طرف بمفرده:
هو ضغط الغلاف الجوي عند مستوى سطح البحر، 101.3 kPa. القيم الأخرى هي: يساوي 997 kg/m3، يساوي 9.81 m/s2، يساوي 10 cm. قبل التعويض بقيمة لنحوله إلى وحدة المتر بتذكُّر أنه يوجد 100 cm في المتر:
إذن، 10 cm تساوي 0.1 m. وبالتعويض بهذه القيم في المعادلة نحصل على:
في الطرف الأيمن تُحذف وحدتا المتر ليتبقى لدينا m3 المعطاة من الكثافة. وبالتعويض بهذه الأعداد، نحصل على:
علينا أن نجعل الوحدات في الطرف الأيمن متطابقة قبل أن نجمعها معًا. تذكَّر أن الباسكال يساوي نيوتن لكل متر مربع ، وأن النيوتن يساوي كيلوجرام متر لكل ثانية مربعة . يمكننا تحويل الوحدات التي لدينا إلى نيوتن لكل متر مربع كالآتي: وهو ما يجعل المعادلة:
هيا نوحِّد وحدة باسكال. يوجد 1 000 Pa في 1 kPa:
وبجمعهما معًا نحصل على:
بالتقريب، يكون الضغط المجهول المؤثِّر على الطرف الأيسر هو 102.3 kPa، وهو فرق صغير. في بعض الأحيان، تُستخدم موائع أكثر كثافة لملاحظة التغيُّرات الأكبر في الضغط.
هيا نتناول مثالًا لذلك.
مثال ٣: حساب ضغط الغاز باستخدام المانومتر
يوضِّح الشكل مانومترًا يتصل أحد طرفَيْه بمستودع غاز، ويتصل الطرف المقابل بالغلاف الجوي. يحتوي الأنبوب الذي هو على شكل حرف U على زئبق كثافته 13 595 kg/m3. قمة عمود الزئبق المتصل بالغلاف الجوي تقع رأسيًّا أسفل قمة عمود الزئبق المتصل بمستودع الغاز. المسافة الرأسية بين قمتَي العمودين . أوجد ضغط الغاز في المستودع. استخدم القيمة للضغط الجوي.
- 33 kPa
- 68 kPa
- 101 kPa
- 105 kPa
- 135 kPa
الحل
لإيجاد ضغط الغاز في المستودع، يمكننا ربط الفرق في الارتفاع بالفرق في الضغط بين المستودع والطرف المتصل بالغلاف الجوي.
هيا ننظر إلى الفرق في الضغط في معادلة عمود السائل:
علينا إيجاد ضغط مستودع الغاز، الذي سنسمِّيه من الآن فصاعدًا ، ونعلم بالفعل قيمة . بالنظر إلى ارتفاعَي السائل، نجد أن الارتفاع في الطرف المتصل بالغلاف الجوي أقل، إذن . ومن ثَمَّ، سيكون التغيُّر في الضغط على النحو الآتي:
بالتعويض بذلك مرة أخرى في المعادلة:
نريد جعل في طرف بمفرده؛ لذا فلنجمعه على كلا الطرفين:
يمكننا بعد ذلك طرح من كلا الطرفين لجعل في طرف بمفرده:
نعلم كثافة المائع، 13 595 kg/m3 وعجلة الجاذبية، 9.81 m/s2 و، 25 cm. هيا نحوِّل أولًا وحدة السنتيمتر إلى المتر حتى تكون جميع الوحدات متماثلة:
يمكننا بعد ذلك التعويض بالقيم المعلومة في المعادلة:
بضرب هذه القيم في بعضها نحصُل على:
تُحول وحدات هذه العملية الحسابية الأخيرة إلى وحدة البسكال(نيوتن لكل متر مربع) أو Pa (N/m2) على النحو الآتي: وهو ما يجعل المعادلة:
الضغط في الطرف الأيسر مُعطى بوحدة الكيلو بسكال؛ لذا، هيا نحول القيمة الموجودة في الطرف الأيمن إلى هذه الوحدة أيضًا:
نعلم من معطيات السؤال أن يساوي 101.3 kPa. ثم نعوض بهذه القيمة ونحل المعادلة لنحصل على:
إذن، يساوي ضغط مستودع الغاز الخيار ب، 68 kPa.
في بعض الأحيان، يكون ما نريد إيجاده ليس ضغطًا مجهولًا، بل ارتفاع مجهول. فإذا كان الضغط معلومًا، يمكننا إيجاد الارتفاع.
بالنظر إلى المعادلة:
يمكننا جعل في طرف بمفرده بقسمة كلا الطرفين على : ثم باستخدام الحذف في الطرف الأيمن نحصل على:
مثلما هو الحال مع التغيُّر في الضغط، علينا تحديد كيفية ترتيب الارتفاعات حتى لا نحصل على تغيُّر سالب. في الشكل الآتي، على سبيل المثال، يمكننا أن نلاحظ بوضوح أن أكبر من .
ومن ثَمَّ، سيكون الفرق في الارتفاع على النحو الآتي: عندما يكون التغيُّر في الارتفاع فقط هو المطلوب إيجاده.
هيا نتناول مثالًا لذلك.
مثال ٤: حساب الفرق في الارتفاع باستخدام المانومتر
يوضِّح الشكل مانومترًا متصلًا من طرفَيْه المتقابلين بمستودعَي غاز. ضغطا مستودعَي الغاز هما ، . يحتوي الأنبوب الذي هو على شكل حرف U على زيت كثافته 1 080 kg/m3. ما المسافة الرأسية بين قمتَي عمودي الزيت؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.
- 22.05 m
- 12.22 m
- 11.65 m
- 1.25 m
- 0.62 m
الحل
لنبدأ باستخدام معادلة المانومتر لجعل في طرف بمفرده:
يمكننا جعل في طرف بمفرده بقسمة كلا الطرفين على : لتصبح المعادلة:
تمثِّل قيمة الفرق بين الضغطين ، . نريد أن يكون الفرق موجبًا؛ لذا بما أن سيكون الفرق في الضغط كالآتي:
يساوي 123.3 kPa، يساوي 110.1 kPa ما يعني أن الفرق في الضغط سيساوي:
بما أننا سنحصل على الإجابة النهائية بوحدة المتر، سيكون علينا تحويل وحدة الكيلو باسكال، kPa إلى وحدة البسكال، Pa. يوجد 1 000 Pa في الكيلوباسكال:
أصبح لدينا جميع المتغيِّرات التي نحتاج إليها لإيجاد الفرق في الارتفاع. الكثافة تساوي 1 080 kg/m3، يساوي 9.81 m/s2. ومن ثَمَّ، تبدو المعادلة كالاتي:
علينا ربط وحدة الباسكال بوحدات الكيلوجرام، والمتر، والثانية. وحدة الباسكال تساوي نيوتن لكل متر مربع ، ووحدة النيوتن تساوي كيلوجرام متر لكل ثانية مربعة. إذن، يكون تحويل هذه الوحدات معًا كالآتي:
بوضع جميع هذه الوحدات معًا، نحصل على:
بحذف الوحدات الموجودة في البسط مع الوحدات الموجودة في المقام، تُبسط الوحدات بشكل كبير إلى وحدة المتر فقط:
ثم نبسط هذا المقدار لنحصل على:
بالتقريب إلى أقرب منزلتين عشريتين، تكون الإجابة هي الخيار د، 1.25 m.
هيا نلخِّص ما تعلَّمناه في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- المعادلة المستخدَمة للربط بين التغيُّر في الضغط والتغيُّر في ارتفاع المانومتر هي: حيث الفرق في الضغط، كثافة المائع، عجلة الجاذبية، الفرق في الارتفاع.
- في المانومتر، نسبة التغيُّر في الارتفاع تساوي نسبة التغيُّر في الضغط.
