شارح الدرس: العمليات على الدوال الرياضيات

مثال ١: إيجاد مجموع دالة كسرية ودالة خطية وإيجاد قيمته

إذا كانت ، دالتين حقيقيتين، حيث ، ، فأوجد إن أمكن.

الحل

مجموع الدالتين ، ذواتي القيم الحقيقية يعطى بواسطة: حيث مجال هو تقاطع مجالي ، .

لإيجاد ، سنوجد مجموع الدالتين ثم نتحقق من أن موجود في مجال . وإذا كان كذلك، فيمكننا إذن إيجاد قيمة عند :

مجال الدالة هو تقاطع مجالي ، . هذه هي مجموعة القيم المدخلة الممكنة (قيم ) التي يمكن التعويض بها في كلتا الدالتين، وستعطينا قيمًا مخرجة حقيقية.

هي دالة كثيرة الحدود، إذن مجالها هو مجموعة الأعداد الحقيقية. لكن، دالة كسرية؛ ومجال الدالة الكسرية هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا تلك التي يكون عندها المقام يساوي ٠. لإيجاد هذه القيم، نجعل المقام يساوي ٠ ثم نحل لإيجاد قيمة :

قيم التي تكون عندها الدالة غير معرَّفة هي و١. إذن، مجال هو:

بما أن مجال هو تقاطع أو تداخل مجالي ، ، فهذا يعني أن مجال هو أيضًا:

وبما أن ليس في مجال الدالة الجديدة، إذن لا يمكننا إيجاد قيمة .

الدالة غير معرَّفة.

مثال ٢: إيجاد مجال مجموع دالتين حقيقيتين

إذا كانت ، دالتين حقيقيتين، وكانت ، ، فأوجد مجال الدالة .

الحل

مجموع دالتين ، يُعطى بواسطة: حيث مجال هو تقاطع مجالي ، .

وبما أن هذا السؤال يطلب منا حساب مجال ، سنفكر في مجالي ، ثم نوجد تقاطعهما. بعبارةٍ أخرى، سنوجد مجموعة قيم الممكنة التي يمكن التعويض بها في الدالتين، وينتج عنها قيم حقيقية.

هي دالة كثيرة الحدود، إذن مجالها هو مجموعة الأعداد الحقيقية.

هي دالة جذرية، ونحن نعلم أن الجذر التربيعي لعدد سالب ليس حقيقيًّا، لذا علينا التفكير في قيم التي تضمن أن المقدار داخل الجذر يكون غير سالب:

في رمز الفترة، يُعطى مجال بواسطة:

مجال الدالة هو تقاطع المجالين أو تداخلهما. بعبارةٍ أخرى:

تقاطع هاتين المجموعتين هو .

ومن ثم، مجال الدالة هو .

مثال ٣: إيجاد قيمة الفرق بين دالتين

إذا كانت ، دالتين حقيقيتين، حيث ، ، فأوجد قيمة إن أمكن.

الحل

الفرق بين دالتين ، يعطى بواسطة: حيث مجال هو تقاطع مجالي ، .

لإيجاد ، سنتحقق من أن تقع في تقاطع مجالي ، . وإذا كانت كذلك، فيمكننا إذن طرح الدالتين والتعويض بـ في الدالة الجديدة .

هي دالة كثيرة الحدود، إذن مجالها هو مجموعة الأعداد الحقيقية. أما فهي دالة كسرية، لذا علينا أن ننتبه عند التعامل مع مقامها.

وبما أنها خارج قسمة دالتين من الدوال كثيرات الحدود، فإن مجالها سيكون مجموعة الأعداد الحقيقية باستثناء قيم التي تجعل المقام يساوي صفرًا. لإيجاد هذه القيم، نجعل المقام يساوي ٠ ثم نحل لإيجاد قيمة :

بما أن مقام الدالة الكسرية يساوي ٠، عند ، ، علينا أن نستبعد قيم هذه من مجال .

إذن، مجال هو

مجال هو تقاطع المجالين أو تداخلهما. وتقاطع مجموعة الأعداد الحقيقية ومجال الدالة هو مجرد مجال الدالة ، إنه

بما أن غير مشمول في مجال ، لا يمكننا التعويض به في الدالة.

غير معرَّفة.

مثال ٤: إيجاد حاصل الضرب والمجال الناتج لدالتين

إذا كانت فأوجد قيمة ، وحدد مجالها.

الحل

حاصل ضرب الدالتين ، يُعطى على الصورة أو. إذن، مجال الدالة الناتجة هو تقاطع مجالي ، .

ومن ثم، يمكننا القول إن:

مجال سيكون تقاطع مجالي ، .

لدينا مجالا الدالتين في معطيات السؤال. ونحن نعلم أن تمثل علاقة بين الأعداد من مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة ومجموعة الأعداد الحقيقية، إذن يكون مجالها هو . ومجال هو .

تقاطع هاتين المجموعتين هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة حتى ١ وتتضمنه، ، بعبارة أخرى، الفترة .

إذن، ، .

مثال ٥: إيجاد قيمة خارج قسمة دالتين

إذا كانت ، دالتين حقيقيتين، حيث ، ، فأوجد قيمة إن أمكن.

الحل

يمكننا إيجاد دالة جديدة بإيجاد خارج قسمة دالتين، بحيث: حيث يكون مجال الدالة الجديدة هو تقاطع مجالي ، ، باستثناء أي قيم لـ التي تجعل .

بما أننا نريد إيجاد قيمة ، سنتحقق من أن معرَّفة لـ عن طريق حساب مجال هذه الدالة الجديدة.

بما أن هي دالة كثيرة الحدود، يكون مجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية. ومجال سيكون مجموعة قيم بحيث يكون المقدار داخل الجذر التربيعي غير سالب.

بعبارةٍ أخرى:

تقاطع مجالي ، هو . لإيجاد مجال ، علينا إزالة قيم التي تجعل من هذه المجموعة. بما أن ، نجعل هذه المقدار يساوي ٠ ونحل لإيجاد قيمة :

مجال هو:

بما أن يقع ضمن مجال الدالة الجديدة، سنتمكن من إيجاد قيمة :

معرَّفة وتساوي .

مثال ٦: إيجاد مجال الدوال الكسرية متعددة التعريف

إذا كانت ، دالتين حقيقيتين؛ حيث: ، ، فأوجد مجال الدالة .

الحل

الدالة هي خارج قسمة الدالتين ، ؛ حيث:

مجال هذه الدالة الجديدة هو تقاطع مجالي الدالتين ، ، باستثناء قيم التي تجعل .

لنبدأ بـ . هي دالة كثيرة الحدود، إذن مجال هذه الدالة هو مجموعة الأعداد الحقيقية.

هي دالة متعددة التعريف، والدالتان الجزئيتان هما دالتان خطيتان. ومن ثم، فإن مجالها هو اتحاد المجالين الجزئيين. هذه هي الفترة .

إذن، تقاطع مجالي ، هو الفترة . لإيجاد مجال ، علينا استبعاد قيم التي تجعل الدالة من هذه الفترة. سنجعل كل دالة جزئية تساوي ٠، ثم نحل لإيجاد قيمة ، مع مراعاة مجال كل دالة جزئية أثناء القيام بذلك:

بما أن ليس في المجال الجزئي لهذه الدالة الفرعية، أي ، فنحن لا نحتاج إلى استبعادها من مجال :

علينا استبعاد هذا من مجال ، ومع ذلك، فهي بالفعل خارج المجال الجزئي لهذه الدالة الجزئية.

إذن، مجال هو .