شارح الدرس: العمليات على الدوال | نجوى شارح الدرس: العمليات على الدوال | نجوى

شارح الدرس: العمليات على الدوال الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في حصص الرياضيات البحتة المباشرة على نجوى كلاسيز وتعلم المزيد حول هذا الدرس من أحد مدرسينا الخبراء!

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نجمع أو نطرح أو نضرب أو نقسم دالتين مُعطاتَيْن لإنشاء دالة جديدة، وكيف نحدِّد مجال الدالة الجديدة.

إن إجراء العمليات على الدوال بهذه الطريقة أمر بديهي للغاية.

انظر الدالتين: 󰎨(𞸎)=٣𞸎+١𞸓(𞸎)=٢𞸎.،

مجموع هاتين الدالتين سيعطينا دالة جديدة: 󰎨(𞸎)+𞸓(𞸎)=٣𞸎+١+٢𞸎=٥𞸎+١.

نحدد مجموع هاتين الدالتين باستخدام الترميز (󰎨+𞸓)(𞸎)، حيث (󰎨+𞸓)(𞸎)=󰎨(𞸎)+𞸓(𞸎). مجال هذه الدالة الجديدة هو تقاطع مجالي الدالتين 󰎨(𞸎)، 𞸓(𞸎).

بطريقة مشابهة، نوجد (󰎨𞸓)(𞸎) بطرح الدالة 𞸓 من 󰎨 :(󰎨𞸓)(𞸎)=󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)=٣𞸎+١٢𞸎=𞸎+١.

مجال الدالة 󰎨𞸓 هو تقاطع مجالي الدالتين 󰎨(𞸎)، 𞸓(𞸎).

والدالة (󰎨×𞸓)(𞸎) هي حاصل ضرب الدالتين: (󰎨×𞸓)(𞸎)=󰎨(𞸎)×𞸓(𞸎)=(٣𞸎+١)×٢𞸎=٦𞸎+٢𞸎،٢ ومرة أخرى، مجالها هو تقاطع مجالي الدالتين 󰎨(𞸎)، 𞸓(𞸎).

وأخيرًا، 󰂔󰎨𞸓󰂓(𞸎) هو خارج قسمة الدالتين: 󰂔󰎨𞸓󰂓(𞸎)=󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)=٣𞸎+١٢𞸎.

مجال الدلة 󰂔󰎨𞸓󰂓(𞸎) هو تقاطع مجالي الدالتين 󰎨(𞸎)، 𞸓(𞸎)، لكننا نستبعد قيم 𞸎 التي تجعل 𞸓(𞸎)=٠ من مجال الدالة الجديدة.

يمكن تعميم هذه العمليات على أي دالتين 󰎨(𞸎)، 𞸓(𞸎) ذاتي قيم حقيقية.

تعريف: إجراء العمليات على الدوال وإيجاد مجال الدالة الناتجة

الدالتان 󰎨(𞸎)، 𞸓(𞸎) يمكن إجراء العمليات عليهما على النحو التالي:

  • (󰎨+𞸓)(𞸎)=󰎨(𞸎)+𞸓(𞸎)
  • (󰎨𞸓)(𞸎)=󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)
  • (󰎨×𞸓)(𞸎)=󰎨(𞸎)×𞸓(𞸎)
  • 󰂔󰎨𞸓󰂓(𞸎)=󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)

مجال الدالة الناتجة هو تقاطع مجالي الدالتين 󰎨(𞸎)، 𞸓(𞸎).

في حالة 󰂔󰎨𞸓󰂓(𞸎)، نستبعد قيم 𞸎 من مجال الدالة الجديدة بحيث يكون 𞸓(𞸎)=٠.

ملاحظة

مجال الدالة الجديدة هو تقاطع مجالي 󰎨، 𞸓. ولا بد أن تكون الدالتين معرفتين عند نقطة ما لكي تكون الدالة الجديدة معرفة، ولا يمكننا إذن تحديد مجال الدالة الجديدة بالنظر إليها باعتبارها دالة منفصلة بالكامل.

في المثال الأول، سنلقي نظرة على كيفية إجراء العمليات على دالتين من خلال إيجاد مجموعهما، وسنتناول كيف يمكن لمجال الدالة الجديدة تقييد الحلول.

مثال ١: إيجاد مجموع دالة كسرية ودالة خطية وإيجاد قيمته

إذا كانت 󰎨، 𞸓 دالتين حقيقيتين، حيث 󰎨(𞸎)=𞸎١𞸎+٣𞸎٤٢، 𞸓(𞸎)=𞸎+٣، فأوجد (󰎨+𞸓)(٤) إن أمكن.

الحل

مجموع الدالتين 󰎨(𞸎)، 𞸓(𞸎) ذواتي القيم الحقيقية يعطى بواسطة: (󰎨+𞸓)(𞸎)=󰎨(𞸎)+𞸓(𞸎)، حيث مجال (󰎨+𞸓) هو تقاطع مجالي 󰎨(𞸎)، 𞸓(𞸎).

لإيجاد (󰎨+𞸓)(٤)، سنوجد مجموع الدالتين ثم نتحقق من أن ٤ موجود في مجال (󰎨+𞸓). وإذا كان كذلك، فيمكننا إذن إيجاد قيمة (󰎨+𞸓) عند ٤: (󰎨+𞸓)(𞸎)=󰎨(𞸎)+𞸓(𞸎)=𞸎١𞸎+٣𞸎٤+𞸎+٣.٢

مجال الدالة (󰎨+𞸓)(𞸎) هو تقاطع مجالي 󰎨، 𞸓. هذه هي مجموعة القيم المدخلة الممكنة (قيم 𞸎) التي يمكن التعويض بها في كلتا الدالتين، وستعطينا قيمًا مخرجة حقيقية.

𞸓(𞸎) هي دالة كثيرة الحدود، إذن مجالها هو مجموعة الأعداد الحقيقية. لكن، 󰎨(𞸎) دالة كسرية؛ ومجال الدالة الكسرية هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا تلك التي يكون عندها المقام يساوي ٠. لإيجاد هذه القيم، نجعل المقام يساوي ٠ ثم نحل لإيجاد قيمة 𞸎: 𞸎+٣𞸎٤=٠(𞸎+٤)(𞸎١)=٠𞸎=٤،𞸎=١.٢

قيم 𞸎 التي تكون عندها الدالة 󰎨(𞸎) غير معرَّفة هي ٤ و١. إذن، مجال 󰎨(𞸎) هو: 𞹇{٤،١}.

بما أن مجال (󰎨+𞸓) هو تقاطع أو تداخل مجالي 󰎨، 𞸓، فهذا يعني أن مجال (󰎨+𞸓) هو أيضًا: 𞹇{٤،١}.

وبما أن ٤ ليس في مجال الدالة الجديدة، إذن لا يمكننا إيجاد قيمة (󰎨+𞸓)(٤).

الدالة (󰎨+𞸓)(٤) غير معرَّفة.

في المثال الأول، أوجدنا مجموع دالة كسرية ودالة كثيرة الحدود، ومجال الدالة الجديدة الناتجة. ورأينا أنه بما أن مجال مجموع دالتين هو تقاطع مجالي الدالتين، فلن تكون الدالة معرَّفة بالضرورة لجميع القيم الحقيقية لـ 𞸎. في المثال التالي، سنوجد مجال مجموع دالة كثيرة الحدود ودالة جذرية.

مثال ٢: إيجاد مجال مجموع دالتين حقيقيتين

إذا كانت 󰎨، 𞸓 دالتين حقيقيتين، وكانت 󰎨(𞸎)=𞸎٥𞸎٢، 𞸓(𞸎)=󰋴𞸎+١، فأوجد مجال الدالة (󰎨+𞸓).

الحل

مجموع دالتين 󰎨(𞸎)، 𞸓(𞸎) يُعطى بواسطة: (󰎨+𞸓)(𞸎)=󰎨(𞸎)+𞸓(𞸎)، حيث مجال (󰎨+𞸓) هو تقاطع مجالي 󰎨(𞸎)، 𞸓(𞸎).

وبما أن هذا السؤال يطلب منا حساب مجال (󰎨+𞸓)، سنفكر في مجالي 󰎨، 𞸓 ثم نوجد تقاطعهما. بعبارةٍ أخرى، سنوجد مجموعة قيم 𞸎 الممكنة التي يمكن التعويض بها في الدالتين، وينتج عنها قيم 𞸑 حقيقية.

󰎨(𞸎) هي دالة كثيرة الحدود، إذن مجالها هو مجموعة الأعداد الحقيقية.

𞸓(𞸎) هي دالة جذرية، ونحن نعلم أن الجذر التربيعي لعدد سالب ليس حقيقيًّا، لذا علينا التفكير في قيم 𞸎 التي تضمن أن المقدار داخل الجذر يكون غير سالب: 𞸎+١٠𞸎١.

في رمز الفترة، يُعطى مجال 𞸓(𞸎) بواسطة: [١،[.

مجال الدالة (󰎨+𞸓) هو تقاطع المجالين أو تداخلهما. بعبارةٍ أخرى: [١،[𞹇.

تقاطع هاتين المجموعتين هو [١،[.

ومن ثم، مجال الدالة (󰎨+𞸓) هو [١،[.

سنتناول الآن كيفية حساب الفرق بين دالتين.

مثال ٣: إيجاد قيمة الفرق بين دالتين

إذا كانت 󰎨، 𞸓 دالتين حقيقيتين، حيث 󰎨(𞸎)=𞸎+٩𞸎+٥١𞸎+٤٥٢، 𞸓(𞸎)=𞸎+٨، فأوجد قيمة (󰎨𞸓)(٦) إن أمكن.

الحل

الفرق بين دالتين 󰎨(𞸎)، 𞸓(𞸎) يعطى بواسطة: (󰎨𞸓)(𞸎)=󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)، حيث مجال (󰎨𞸓) هو تقاطع مجالي 󰎨(𞸎)، 𞸓(𞸎).

لإيجاد (󰎨𞸓)(٦)، سنتحقق من أن 𞸎=٦ تقع في تقاطع مجالي 󰎨(𞸎)، 𞸓(𞸎). وإذا كانت كذلك، فيمكننا إذن طرح الدالتين والتعويض بـ ٦ في الدالة الجديدة (󰎨𞸓).

𞸓(𞸎) هي دالة كثيرة الحدود، إذن مجالها هو مجموعة الأعداد الحقيقية. أما 󰎨(𞸎) فهي دالة كسرية، لذا علينا أن ننتبه عند التعامل مع مقامها.

وبما أنها خارج قسمة دالتين من الدوال كثيرات الحدود، فإن مجالها سيكون مجموعة الأعداد الحقيقية باستثناء قيم 𞸎 التي تجعل المقام يساوي صفرًا. لإيجاد هذه القيم، نجعل المقام يساوي ٠ ثم نحل لإيجاد قيمة 𞸎: 𞸎+٥١𞸎+٤٥=٠(𞸎+٩)(𞸎+٦)=٠𞸎=٩،𞸎=٦.٢

بما أن مقام الدالة الكسرية يساوي ٠، عند 𞸎=٩، 𞸎=٦، علينا أن نستبعد قيم 𞸎 هذه من مجال 󰎨(𞸎).

إذن، مجال 󰎨(𞸎) هو 𞹇{٩،٦}.

مجال (󰎨𞸓) هو تقاطع المجالين أو تداخلهما. وتقاطع مجموعة الأعداد الحقيقية ومجال الدالة 󰎨 هو مجرد مجال الدالة 󰎨، إنه 𞹇{٩،٦}.

بما أن 𞸎=٦ غير مشمول في مجال (󰎨𞸓)، لا يمكننا التعويض به في الدالة.

(󰎨𞸓)(٦) غير معرَّفة.

مثال ٤: إيجاد حاصل الضرب والمجال الناتج لدالتين

إذا كانت 󰎨𞹇𞹇󰎨(𞸎)=𞸎٤١+١󰎨]٩،١]𞹇󰎨(𞸎)=٥𞸎٢،٢٢ فأوجد قيمة 󰁓󰎨×󰎨󰁒(𞸎)١٢، وحدد مجالها.

الحل

حاصل ضرب الدالتين 󰎨(𞸎)، 𞸓(𞸎) يُعطى على الصورة (󰎨𞸓)(𞸎) أو(󰎨×𞸓)(𞸎). إذن، مجال الدالة الناتجة هو تقاطع مجالي 󰎨(𞸎)، 𞸓(𞸎).

ومن ثم، يمكننا القول إن: 󰁓󰎨×󰎨󰁒(𞸎)=󰎨(𞸎)×󰎨(𞸎)=(𞸎٤)(٥𞸎٢)=٥𞸎٢٢𞸎+٨.١٢١٢٢

مجال 󰎨×󰎨١٢ سيكون تقاطع مجالي 󰎨١، 󰎨٢.

لدينا مجالا الدالتين في معطيات السؤال. ونحن نعلم أن 󰎨١ تمثل علاقة بين الأعداد من مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة ومجموعة الأعداد الحقيقية، إذن يكون مجالها هو 𞹇+. ومجال 󰎨٢ هو ]٩،١].

تقاطع هاتين المجموعتين هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة حتى ١ وتتضمنه، 𞹇]٩،١]+، بعبارة أخرى، الفترة ]٠،١].

إذن، 󰁓󰎨×󰎨󰁒(𞸎)=٥𞸎٢٢𞸎+٨١٢٢، 𞸎]٠،١].

إن إيجاد مجال دالة جديدة، حتى هذه المرحلة، كان يتضمن فقط إيجاد مجالات الدوال المعطاة. وعندما نريد إيجاد خارج قسمة دالتين، علينا أيضًا التفكير في قيم 𞸎 التي تجعل المقسوم عليه يساوي ٠ واستبعاد هذه القيم من مجال الدالة الجديدة، كما في المثال التالي.

مثال ٥: إيجاد قيمة خارج قسمة دالتين

إذا كانت 󰎨، 𞸓 دالتين حقيقيتين، حيث 󰎨(𞸎)=𞸎١٢، 𞸓(𞸎)=󰋴𞸎+٥، فأوجد قيمة 󰂔𞸓󰎨󰂓(٢) إن أمكن.

الحل

يمكننا إيجاد دالة جديدة بإيجاد خارج قسمة دالتين، بحيث: 󰂔𞸓󰎨󰂓(𞸎)=𞸓(𞸎)󰎨(𞸎)، حيث يكون مجال الدالة الجديدة هو تقاطع مجالي 󰎨، 𞸓، باستثناء أي قيم لـ 𞸎 التي تجعل 󰎨(𞸎)=٠.

بما أننا نريد إيجاد قيمة 󰂔𞸓󰎨󰂓(٢)، سنتحقق من أن 𞸎=٢ معرَّفة لـ 𞸓󰎨 عن طريق حساب مجال هذه الدالة الجديدة.

بما أن 󰎨(𞸎) هي دالة كثيرة الحدود، يكون مجال 󰎨(𞸎) هو مجموعة الأعداد الحقيقية. ومجال 𞸓(𞸎) سيكون مجموعة قيم 𞸎 بحيث يكون المقدار داخل الجذر التربيعي غير سالب.

بعبارةٍ أخرى: 𞸎+٥٠𞸎٥.

تقاطع مجالي 󰎨، 𞸓 هو [٥،[. لإيجاد مجال 𞸓󰎨، علينا إزالة قيم 𞸎 التي تجعل 󰎨(𞸎)=٠ من هذه المجموعة. بما أن 󰎨(𞸎)=𞸎١٢، نجعل هذه المقدار يساوي ٠ ونحل لإيجاد قيمة 𞸎: 𞸎١=٠𞸎=±١.٢

مجال 𞸓󰎨 هو: [٥،[{١،١}.

بما أن 𞸎=٢ يقع ضمن مجال الدالة الجديدة، سنتمكن من إيجاد قيمة 󰂔𞸓󰎨󰂓(٢): 󰂔𞸓󰎨󰂓(𞸎)=󰋴𞸎+٥𞸎١󰂔𞸓󰎨󰂓(٢)=󰋴٢+٥(٢)١=󰋴٣٣.٢٢

󰂔𞸓󰎨󰂓(٢) معرَّفة وتساوي 󰋴٣٣.

لننظر مرة أخرى إلى الدالتين 󰎨(𞸎)=𞸎١٢، 𞸓(𞸎)=󰋴𞸎+٥.

بالتعويض بـ 𞸎=٢ في كلتا الدالتين، نجد أن: 󰎨(٢)=(٢)١=٣٢ و𞸓(٢)=󰋴٢+٥=󰋴٣.

بعد ذلك، نوجد خارج القسمة: 𞸓(٢)󰎨(٢)=󰋴٣٣=󰂔𞸓󰎨󰂓(٢).

نلاحظ أنه بإيجاد قيمة الدوال عند ٢ ثم قسمتهما، نحصل على الناتج نفسه من إيجاد قيمة الدالة الجديدة عند ٢. بوجهٍ عام، ينطبق هذا على جميع العمليات على الدوال.

ملاحظة

بالنسبة لقيم 𞸎 في مجال الدالة الجديدة، تكون النتيجة هي نفسها إذا أوجدنا قيمة الدالة الجديدة عند بعض قيم 𞸎 كأننا نوجد قيمة الدالتين عند 𞸎 ثم نجري العملية عليهما.

في المثال الأخير، سنتناول كيفية تطبيق قواعد العمليات على الدوال عندما تكون إحدى الدوال متعددة التعريف.

مثال ٦: إيجاد مجال الدوال الكسرية متعددة التعريف

إذا كانت 󰎨، 𞸓 دالتين حقيقيتين؛ حيث: 󰎨(𞸎)=󰃇٢𞸎+٢𞸎<٣،𞸎٤٣𞸎<٠، 𞸓(𞸎)=٥𞸎، فأوجد مجال الدالة 󰂔𞸓󰎨󰂓.

الحل

الدالة 󰂔𞸓󰎨󰂓(𞸎) هي خارج قسمة الدالتين 󰎨(𞸎)، 𞸓(𞸎)؛ حيث: 󰂔𞸓󰎨󰂓(𞸎)=𞸓(𞸎)󰎨(𞸎).

مجال هذه الدالة الجديدة هو تقاطع مجالي الدالتين 󰎨(𞸎)، 𞸓(𞸎)، باستثناء قيم 𞸎 التي تجعل 󰎨(𞸎)=٠.

لنبدأ بـ 𞸓(𞸎). ٥𞸎 هي دالة كثيرة الحدود، إذن مجال هذه الدالة هو مجموعة الأعداد الحقيقية.

󰎨(𞸎) هي دالة متعددة التعريف، والدالتان الجزئيتان هما دالتان خطيتان. ومن ثم، فإن مجالها هو اتحاد المجالين الجزئيين. هذه هي الفترة ]،٠[.

إذن، تقاطع مجالي 󰎨، 𞸓 هو الفترة ]،٠[. لإيجاد مجال 𞸓󰎨، علينا استبعاد قيم 𞸎 التي تجعل الدالة 󰎨(𞸎)=٠ من هذه الفترة. سنجعل كل دالة جزئية تساوي ٠، ثم نحل لإيجاد قيمة 𞸎، مع مراعاة مجال كل دالة جزئية أثناء القيام بذلك: ٢𞸎+٢=٠𞸎=١.

بما أن ١ ليس في المجال الجزئي لهذه الدالة الفرعية، أي ]،٣[، فنحن لا نحتاج إلى استبعادها من مجال 𞸓󰎨: 𞸎٤=٠𞸎=٤.

علينا استبعاد هذا من مجال 𞸓󰎨، ومع ذلك، فهي بالفعل خارج المجال الجزئي لهذه الدالة الجزئية.

إذن، مجال 𞸓󰎨 هو ]،٠[.

النقاط الرئيسية

  • الدالتان ذاتا القيم الحقيقية 󰎨، 𞸓 يمكن إجراء العمليات عليهما بإيجاد مجموعها أو الفرق بينهما أو حاصل ضربهما أو خارج قسمتهما.
  • بالنسبة لقيم 𞸎 في مجالي كلتا الدالتين 󰎨، 𞸓:
    • (󰎨+𞸓)(𞸎)=󰎨(𞸎)+𞸓(𞸎)
    • (󰎨𞸓)(𞸎)=󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)
    • (󰎨×𞸓)(𞸎)=󰎨(𞸎)×𞸓(𞸎)
  • بالنسبة لقيم 𞸎 في مجالي كلتا الدالتين 󰎨، 𞸓، وحيث 𞸓(𞸎)٠، 󰂔󰎨𞸓󰂓(𞸎)=󰎨(𞸎)𞸓(𞸎).

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في الحصص المباشرة على نجوى كلاسيز وحقق التميز الدراسي بإرشاد وتوجيه من مدرس خبير!

  • حصص تفاعلية
  • دردشة ورسائل
  • أسئلة امتحانات واقعية

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية