شارح الدرس: الإحداثيات القطبية الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُعرِّف ونرسم نقاطًا مُعطاة في الإحداثيات القطبية، ونحوِّل بين الإحداثيات الكارتيزية والقطبية لنقطة.

عندما نفكِّر في نقاط تقع في مستوًى ما، فإننا نفكِّر عادةً في الإحداثيات الكارتيزية؛ لأن هذا هو نظام الإحداثيات الأكثر شيوعًا. وعلى وجه التحديد، تُستخدَم الإحداثيات الكارتيزية لنقطة ما في الحركة الخطية؛ حيث يكون تحديد محور الحركة سهلًا، وحيث تأخذ الحركة مسارًا خطيًّا إلى موضع معيَّن.

تُعرِّف الإحداثيات الكارتيزية في بُعدَين أي موضع باعتباره الإزاحة الخطية من نقطة الأصل في محورين يتعامد أحدهما على الآخر. نقطة الأصل هي النقطة التي يتقاطع عندها المحوران، وتُحدَّد النقاط في المستوى بزوج من الأعداد . يمكن أن يكون هذا النظام الإحداثي أيضًا في الاتجاهين الموجب والسالب، بالنسبة إلى نقطة الأصل، وتُعرِّف كل مجموعة إحداثية نقطة وحيدة في الفضاء.

نتذكَّر أنه عند استخدام الإحداثيات الكارتيزية، نُحدِّد أي نقطة بمقدار بُعد المسافة (يسارًا أو يمينًا) على المحور الأفقي، ويُشار إلى ذلك بالرمز ، ومقدار بُعد المسافة على المحور الرأسي (لأعلى أو لأسفل)، ويُشار إلى ذلك بالرمز ، بالنسبة إلى نقطة الأصل.

في الإحداثيات الكارتيزية، يمكن تعريف أي نقطة في الفضاء من خلال مجموعة وحيدة من الإحداثيات بمعلومية زوج من الأعداد . لكن هناك طرقًا أخرى لتمثيل موضع أي نقطة في المستوى باستخدام زوج إحداثي؛ سنستعرض إحدى هذه الطرق المعروفة باسم الإحداثيات القطبية. تُعرِّف هذه الإحداثيات أي موضع في الفضاء باستخدام مجموعة تضم وحدتَي نصف القطر والزاوية، ويُحدَّد أي متجه بإزاحة مستقيمة من نقطة الأصل والزاوية المقيسة من الجزء الموجب من المحور . وتُعرَف باعتبارها إحداثيَّي نصف القطر والزاوية ، وهما يُشيران إلى الإزاحة من نقطة الأصل واتجاه الزاوية.

توفِّر الإحداثيات القطبية طريقة بديلة لتمثيل النقاط ورسم التمثيلات البيانية؛ فيمكننا في كثير من الأحيان التعبير عن التمثيلات البيانية المعقَّدة باستخدام دوال قطبية بسيطة. على سبيل المثال، يمثِّل جميع نقاط الإزاحة التي مقدارها واحد من نقطة الأصل، وهو ما يساوي دائرة الوحدة التي مركزها نقطة الأصل. في حالة الإحداثيات الكارتيزية، يُوصَف هذا بالمنحنى .

تُستخدَم الإحداثيات القطبية بشكل طبيعي في الحركة غير الخطية، على سبيل المثال، إذا كانت الحركة تتضمَّن مسارًا دائريًّا. هذا يجعل الإحداثيات القطبية مفيدة في حساب معادلات الحركة لكثير من الأنظمة الميكانيكية. كما أن لها تطبيقات حياتية أخرى في الحياة الواقعية، كما هو الحال في مؤشرات تحديد مواقع الطائرات في أجهزة الرادار وفي مجالات علم الجاذبية وخصائص الميكروفون وتوجيه الروبوتات الصناعية في تطبيقات الإنتاج المختلفة، وذلك على سبيل المثال لا الحصر.

في الإحداثيات القطبية، نُحدِّد أي نقطة بمقدار إزاحتها من نقطة الأصل، ويُشار إلى ذلك بالرمز ، وزاويتها من الجزء الموجب من المحور ، ويُشار إلى ذلك بالرمز .

هاتان طريقتان متكافئتان لتعريف النقطة نفسها.

مقياس إحداثي نصف القطر، ، يساوي الطول أو المسافة من نقطة الأصل. حسب نظرية فيثاغورس، المسافة بين النقطتين و تُعطى بالعلاقة:

وهكذا، لأي نقاط ونقطة الأصل ، هذه المسافة تُعطى بالعلاقة:

يُعرَّف إحداثي نصف القطر على الصورة:

إذا كانت قيمة سالبة، فهذا يعني أن النقطة ممثَّلة في الربع الذي يقع على الجانب المقابل للقطب. نلاحظ أيضًا أن مقياس إحداثي نصف القطر يساوي الطول؛ لأن ، .

وبما أنه يمكننا تكوين مثلث قائم الزاوية من الإحداثيات، إذن نعبِّر عن أضلاع المثلث بدلالة ، .

كما أن هذا يتيح لنا التعبير عن الإحداثيات الكارتيزية بدلالة .

ومن ثَمَّ، إذا كانت لدينا نقطة بالإحداثيات القطبية، والإزاحة من نقطة الأصل ، والزاوية ، فإنه يمكننا تحديد النقطة بالإحداثيات الكارتيزية، ، باستخدام هاتين المعادلتين.

مثال على ذلك، هيا نحوِّل نقطة من إحداثيات قطبية، بالراديان، إلى إحداثيات كارتيزية، لزاوية حادة في الربع الأول.

يعتبر قياس الزاوية عكس اتجاه دوران عقارب الساعة موجبًا، ويكون قياس الزاوية في اتجاه دوران عقارب الساعة سالبًا. في الأمثلة والأشكال السابقة، كانت مركبات الزوايا حادة؛ لأن النقاط كانت ممثَّلة في الربع الأول. إذا كانت أي نقطة ممثَّلة في ربع آخر، كما هو موضَّح في الشكل الآتي، فإن زاويتها ليست حادة.

في الواقع، بالرغم من أننا استنتجنا معادلتين للإحداثيات القطبية: من زوايا حادة ، فإننا نعلم أنهما تظلان تنطبقان على أي زاوية .

هيا نتناول مثالًا نحوِّل فيه نقطة تقع في الربع الثاني بمعلومية زاوية غير حادة من الإحداثيات القطبية، بالدرجات، إلى الإحداثيات الكارتيزية.

استعرضنا حتى الآن أمثلة على كيفية تحويل نقطة من الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الكارتيزية، باستخدام حساب المثلثات. لكن ماذا لو أردنا فعل العكس؛ أي تحويل نقطة من الإحداثيات الكارتيزية إلى الإحداثيات القطبية؟

نبدأ بتذكُّر المعادلتين اللتين تعبِّران عن مركبتَي الإحداثيات الكارتيزية، ، ، بدلالة مركبتَي الإحداثيات القطبية، ، :

باستخدامهما، نريد كتابة مركبتَي الإحداثيات القطبية، ، ، بدلالة مركبتَي الإحداثيات الكارتيزية، ، ، دون النظر إلى الربع الذي تقع فيه النقطة.

إذا أخذنا مربع كلٍّ منها وجمعناها معًا باستخدام متطابقة فيثاغورس، يمكننا حذف ، ونوضِّح أن ذلك يحقِّق:

وعندما نقسم أيضًا المعادلة على المعادلة ، يمكننا حذف الذي يظهر؛ حيث ، لنحصل على:

نلاحظ أن هذا ينطبق فقط حيث . لدينا حالة خاصة عندما تكون ، أو بالإحداثيات الكارتيزية. لذا، يكون لدينا: وهو ما يؤدِّي إلى أو أو . يمكننا تجاهل حالة ؛ فهذا يعني أن ، وهو ما يناظر نقطة الأصل ، ويُشار إلى ذلك بالإحداثيات القطبية على صورة لأي زاوية .

ومن ثَمَّ، أو ، وهو ما يناظر المحور . هاتان الزاويتان تُعيِّنان النقطة على المحور مع تمثيل واحد ممكن لإحداثي نصف القطر (حيث ) يساوي القيمة المطلقة للمحور ، . تمثيل الإحداثيات القطبية هو ؛ حيث ، و؛ حيث .

إذن، إذا كان ، فإننا نحصل على المعادلة الآتية لتحديد الزاوية :

ويكون مدى الدالة العكسية للظل هو عندما يقتصر مجال دالة الظل على الفترة نفسها، ويُعرَف بالقيمة الأساسية. هذا يؤكِّد أن دالة الظل دالة أحادية؛ بحيث تساوي قيمة الدالة العكسية للظل قيمة واحدة، تُعرَف بالقيمة الأساسية.

ومن ثَمَّ، ما دام ، فإنه يمكننا حساب الدالة العكسية لطرفَي المعادلة للحصول على:

إحداثيات الزاوية تناظر الربعين الأول والرابع، أو الربعين الذي يكون عندهما .

في المثال الآتي، نحوِّل نقطة من الإحداثيات الكارتيزية إلى إحداثيات قطبية بالدرجات.

مثال ٣: تحويل الإحداثيات إلى إحداثيات قطبية

حوِّل إلى إحداثيات قطبية. أوجد الزاوية بالدرجات، وقرِّبها لأقرب منزلة عشرية.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد الإحداثيات القطبية، بالدرجات، للإحداثيات الكارتيزية المحدَّدة.

تذكَّر أن الإحداثيات القطبية تُعرِّف أي نقطة وفقًا للإزاحة من نقطة الأصل، ويُشار إلى ذلك بالرمز واتجاه الزاوية من الجزء الموجب من المحور ، ويُشار إلى ذلك بالرمز .

يمكن التعبير عن الإحداثيات الكارتيزية بدلالة الإحداثيات القطبية على الصورة:

والآن، هيا نُوجِد الإحداثيات القطبية للنقطة باستخدام التمثيل البياني مباشرةً مع هذا التعريف. إحداثي نصف القطر يمثِّل الإزاحة من نقطة الأصل إلى النقطة ، وهو ما يمكننا إيجاده باستخدام نظرية فيثاغورس في المثلث القائم الزاوية، كما هو موضَّح بالشكل. نريد إيجاد طول وتر هذا المثلث باستخدام:

وبما أن النقطة تقع في الربع الأول، فإن إحداثي الزاوية بالإحداثيات القطبية يساوي قياس الزاوية الموجبة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور ، كما هو موضَّح في الشكل. يمكننا تكوين مثلث قائم الزاوية يتضمَّن الزاوية وطول ضلعين ٢ و٣. وبما أن زاوية حادة، إذن يمكننا كتابة ذلك بدلالة الضلعين باستخدام الدالة العكسية كالآتي:

كان بإمكاننا أيضًا التوصُّل إلى هذه الإجابة بالاستفادة من حقيقة أنه يمكننا تحويل الإحداثي الكارتيزي الذي يقع في الربع الأول إلى الإحداثيات القطبية باستخدام:

هذا يُعطينا نفس إحداثي نصف القطر والزاوية بعد التعويض بقيمتَي ، .

ومن ثَمَّ، بالتقريب لأقرب منزلة عشرية، تكون الإحداثيات القطبية هي:

في المثال السابق، حوَّلنا نقطة بالإحداثيات الكارتيزية تقع في الربع الأول إلى إحداثيات قطبية. كما رأينا في هذا المثال، يمكننا حساب إحداثي الزاوية لأي نقطة، في الربعين الأول والرابع، باستخدام: لكن، لن تبدو الحالة هكذا إذا كانت النقطة تقع في الربع الثاني أو الثالث.

في الربعين الثاني والثالث، قيمة ، بالراديان أو ، بالدرجات، لا بد أن تُضاف إلى الزاوية أو تُطرَح منها لضبط إحداثي الزاوية؛ بحيث تقع النقطة في الربع الصحيح. هذا لا يؤثِّر على دالة الظل نفسها؛ لأن لدينا المتطابقتين: أو، بصفة عامة:

لفهم ذلك، انظر إلى نقطة بالإحداثيات الكارتيزية تقع في الربع الثاني، ؛ حيث ، .

إحداثي الزاوية لهذه النقطة بالإحداثيات القطبية يساوي قياس الزاوية الموجبة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور ، وتُقاس الزاوية من الجزء السالب للمحور ، كما هو موضَّح في الشكل. يمكننا تكوين مثلث قائم الزاوية يتضمَّن الزاوية وضلعين طولاهما ، . وبما أن زاوية حادة، إذن يمكننا كتابة ذلك بدلالة الضلعين باستخدام الدالة العكسية على الصورة:

لدينا أيضًا ، وبالتعويض بقيمة الزاوية ، يمكننا إعادة ترتيب ذلك لإيجاد: ففي التساوي الأخير، استفدنا من حقيقة أن دالة الظل، ومن ثَمَّ الدالة العكسية للظل، هي دالة فردية. وبما أن لدينا ، إذن هذا يُكافئ:

في المثال التالي، نُوجِد الإحداثيات القطبية لنقطة معيَّنة تقع في الربع الثاني.

مثال ٤: تحويل الإحداثيات إلى إحداثيات قطبية

حوِّل إلى إحداثيات قطبية. أوجد قياس الزاوية بالراديان مقربًا الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد الإحداثيات القطبية ، بالراديان، للإحداثيات الكارتيزية المحدَّدة .

تذكَّر أن الإحداثيات القطبية تُعرِّف أي نقطة وفقًا للإزاحة من نقطة الأصل، ويُشار إلى ذلك بالرمز ، واتجاه الزاوية من الجزء الموجب من المحور ، ويُشار إلى ذلك بالرمز .

الإحداثيات الكارتيزية يمكن التعبير عنها بدلالة الإحداثيات القطبية على الصورة:

والآن، هيا نُوجِد الإحداثيات القطبية للنقطة باستخدام التمثيل البياني مباشرةً متضمنًا هذا التعريف. إحداثي نصف القطر يمثِّل ببساطة الإزاحة من نقطة الأصل إلى النقطة ، وهو ما يمكننا إيجاده من استخدام نظرية فيثاغورس في المثلث القائم الزاوية، كما هو موضَّح بالشكل. نريد إيجاد طول وتر هذا المثلث باستخدام:

بما أن النقطة تقع في الربع الثاني، إذن إحداثي الزاوية بالإحداثيات القطبية يساوي قياس الزاوية الموجبة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور ، وتُقاس الزاوية من الجزء السالب للمحور ، كما هو موضَّح في الشكل. يمكننا تكوين مثلث قائم الزاوية يتضمَّن الزاوية وضلعين طولاهما ٢ و٥. وبما أن زاوية حادة، إذن يمكننا كتابة ذلك بدلالة الضلعين باستخدام الدالة العكسية على الصورة:

لدينا أيضًا ، وبالتعويض بقيمة الزاوية ، يمكننا إعادة ترتيب ذلك لإيجاد:

كان بإمكاننا أيضًا التوصُّل إلى هذه الإجابة بالاستفادة من حقيقة أنه يمكننا تحويل الإحداثي الكارتيزي الذي يقع في الربع الثاني إلى الإحداثيات القطبية باستخدام:

هذا يُعطينا نفس إحداثي نصف القطر والزاوية بعد التعويض بقيمتَي ، .

ومن ثَمَّ، الإحداثيات القطبية لأقرب منزلتين عشريتين تساوي:

في الربع الثالث، يمكننا بنفس الطريقة إثبات أنه علينا طرح من ، لنحصل على إحداثي الزاوية في الربع الصحيح.

الإحداثيات القطبية ليست وحيدة، وهناك العديد من الطرق لتمثيل النقطة نفسها. ومثالٌ على ذلك، هيا نحدِّد الإحداثيات القطبية للنقطة بالإحداثيات الكارتيزية.

إحداثي نصف القطر يمثِّل الإزاحة من نقطة الأصل، وهو ما يمكننا إيجاده باستخدام نظرية فيثاغورس في المثلث القائم الزاوية الذي يتضمَّن ضلعين طولهما ١ وزاوية . وعلى وجه التحديد: وهو اختيار محدَّد لإحداثيات نصف القطر تتضمَّن ، لكن يمكننا أيضًا استخدام .

هناك طرق عديدة للتعبير عن إحداثي الزاوية . إحداها قياس الزاوية الموجبة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور ، وهو من المثلث القائم الزاوية يُعطينا الظل بدلالة النسبة بين الضلع المقابل والضلع المجاور:

وبما أن النقطة تقع في الربع الأول، و زاوية حادة في الشكل، إذن يمكننا إيجاد قياس الزاوية مباشرةً من الدالة العكسية للظل:

ومن ثَمَّ، الإحداثيات القطبية لوصف النقطة هي .

ويمكننا إيجاد إحداثي قطبي آخر إذا استخدمنا قياس الزاوية السالب في اتجاه دوران عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور ، وهو ما يُعطينا نقطة مكافئة على الصورة . في الحقيقة، إذا كوَّنَّا دورة كاملة من هذه النقطة، إما في اتجاه دوران عقارب الساعة وإما عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، فإننا نعود إلى النقطة نفسها. إذن هناك تمثيل آخر هو .

يوضِّح هذا أحد الفروق الأساسية عند استخدام الإحداثيات القطبية؛ حيث يسمح بعدد لا نهائي من أزواج الإحداثيات لوصف أي نقطة مُعطاة. وهذا لأنه يمكننا إضافة أي مضاعف صحيح للدورة الكاملة ( أو ) إلى إحداثي الزاوية لكي نحصل على نقطة مكافئة بالإحداثيات القطبية. وينتج هذا لأن الدوال المثلثية، التي تُستخدم لتحديد الإحداثيات القطبية، تكون دورية أيضًا.

يمكن أن يكون إحداثي نصف القطر موجبًا أو سالبًا، وعند استخدام إحداثيات نصف القطر السالبة، فإن إحداثي الزاوية يُعيِّن الموقع في الربع المقابل للنقطة المطلوبة، بالرغم من أننا عادةً ما نحافظ على إحداثي نصف القطر موجبًا ونُعدِّل الزاوية وفقًا لذلك بجمع أو طرح أو من قياس لتعيين الموقع في الربع المقابل.

يمكن تلخيص شروط التكافؤ هذه على النحو الآتي.

بعبارة أخرى، نُضيف أحد المضاعفات الصحيحة الزوجية لقياس (أو ) من أجل الحصول على إحداثيات نصف القطر الموجبة، وأحد المضاعفات الصحيحة الفردية لقياس (أو ) من أجل الحصول على إحداثيات نصف القطر السالبة. بالنسبة إلى الشرط الثاني، عادةً ما ننظر إلى النقاط على الصورة:

والآن، نُلقي نظرة على مثال علينا فيه إيجاد تمثيلات متعدِّدة مكافئة لأحد الإحداثيات القطبية.

مثال ٥: تمثيلات متعدِّدة للإحداثيات القطبية

أيُّ الأزواج المُرتَّبة ، ، ، لا يَصِف موضع النقطة في الشكل؟

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد التمثيلات المكافئة لنفس الإحداثي القطبي بالدرجات، ونُحدِّد أيٌّ من النقاط المُعطاة لا يَصِف موضع تلك النقطة.

تذكَّر أن الإحداثيات القطبية تُعرِّف أي نقطة وفقًا للإزاحة من نقطة الأصل، ويُشار إلى ذلك بالرمز ، واتجاه الزاوية من الجزء الموجب من المحور ، ويُشار إلى ذلك بالرمز .

هذه الإحداثيات ليست وحيدة؛ حيث يمكننا إضافة أي مضاعف صحيح للدورة الكاملة () إلى إحداثي الزاوية لكي نحصل على نقطة مكافئة بالإحداثيات القطبية. وعلى وجه التحديد:

هناك طريقة أخرى للحصول على تمثيل مكافئ، وهي استخدام قيمة نصف القطر السالبة، وهو ما يُعيِّن النقطة في الربع المقابل، ويكافئ جمع نصف دورة أو طرحها ()؛ مع مراعاة شرط الدورية، ويمكن كتابة ذلك على الصورة:

من الشكل الذي لدينا، يمكننا قراءة الإحداثيات القطبية للنقطة ، والتي تتضمَّن إحداثي نصف القطر ٤ وإحداثي الزاوية ؛ ومن ثَمَّ، يكون الإحداثي القطبي .

وبما أن إحداثي الزاوية دوري بقياس ، إذن يمكننا جمع دورة كاملة وطرحها لإيجاد التمثيلات المكافئة؛ وتحديدًا: وكذلك:

إذن التمثيلان المكافئان هما الإحداثيان القطبيان و.

تقع النقطة المتبقية في الربع الأول، لكن قياس الزاوية المُعطى يقع خارج المدى ، ويمكننا إيجاد قياس الزاوية ضمن هذا المدى بطرح من الزاوية لكتابة هذه النقطة بصورة قياسية. وبذلك تكون النقطة المكافئة هي:

على الرغم من أن إحداثي نصف القطر يظل كما هو، فإنه يختلف بوضوح عن النقطة ؛ لأنه في ربع مختلف تمامًا عن إحداثي الزاوية. يمكننا أيضًا تمثيل هذه النقطة بالنسبة إلى النقطة .

هناك طريقة أخرى للتحقُّق ممَّا إذا كانت النقطتان بالإحداثيات القطبية منطبقتين أو غير منطبقتين، بحساب المسافة بين النقطتين. إذا كانت المسافة تساوي صفرًا، فإن هاتين النقطتين تكونان منطبقتين، وتشير أي قيمة لا تساوي صفرًا إلى أنهما غير منطبقتين.

ومن ثَمَّ، يكون الزوج المرتَّب الذي لا يَصِف موضع النقطة في الشكل هو:

ومن ثَمَّ، بسبب هذه التكافؤات في كتابة الإحداثيات القطبية، ومن أجل التعبير عن الإحداثيات القطبية بصورة قياسية تضم و بالراديان أو بالدرجات، فإنه قد يتعيَّن علينا ضبط قيمة إحداثي الزاوية .

تفترض القواعد المتعارف عليها التي نستخدمها اعتبار قياس الزاوية عكس اتجاه دوران عقارب الساعة موجبًا، وفي اتجاه دوران عقارب الساعة سالبًا. في الربعين الأول والثاني، يكون قياس الزاوية في الاتجاه الموجب عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور ، وفي الربعين الثالث والرابع، يكون قياس الزاوية في الاتجاه السالب في اتجاه دوران عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور .

يمكننا تلخيص ما تناولناه حتى الآن في تعريفٍ نستطيع استخدامه لتحويل أي نقطة من نظام إحداثي إلى آخر في أي ربع.

يمكن توصيل هذه المعلومات بشكل فعَّال باستخدام الشكل الآتي:

وهناك طريقة أخرى للتعبير عن الإحداثيات القطبية في جميع الأرباع، وهي إذا عرَّفنا، بدلًا من ذلك: بالإحداثيات القطبية . بعبارة أخرى، يمكننا تعريف إحداثي الزاوية لكل بالدالة العكسية للظل دون الحاجة إلى جمع أو طرح أو ، لكن، بدلًا من ذلك، بتغيير إشارة إحداثي نصف القطر في أرباع محدَّدة. وعلى وجه التحديد، في الربعين الأول والرابع؛ حيث ، يصبح لدينا ، وفي الربعين الثاني والثالث؛ حيث ، يصبح لدينا . ينطبق هذا بسبب الخاصية: حيث: وهو ما يكافئ تعريف في الربع الثاني والثالث ()؛ حيث علينا جمع أو طرح من الدالة العكسية للظل.

ومثال على ذلك، هيا نتناول النقاط ، ، ، بالإحداثيات الكارتيزية؛ حيث تقع كل نقطة في الأرباع المختلفة، كما هو موضَّح في التمثيل البياني. ونريد إيجاد الإحداثيات القطبية لهذه النقاط بطريقة قياسية وبالدرجات؛ حيث .

إحداثي نصف القطر لهذه النقاط بالإحداثيات القطبية يكون ثابتًا؛ لأن: ونأخذ في الصورة القياسية.

يكون الفرق في إحداثي الزاوية ؛ لأن هذا يحدِّد الاتجاه؛ ومن ثَمَّ الربع الذي تقع فيه النقطة بالإحداثيات القطبية.

تقع النقطة في الربع الأول، ويمكننا تحديد إحداثي الزاوية من الصيغة العامة على الصورة:

وكما هو متوقَّع، هذه الزاوية حادة؛ حيث ، وهو ما يعيِّن النقطة في الربع الأول، ويكون قياسها موجبًا، ويمثِّل عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور .

تقع النقطة في الربع الثاني، ويكون إحداثي الزاوية هو:

وكما هو متوقَّع، يصبح لدينا ، وهو ما يعيِّن النقطة في الربع الثاني، ويكون قياسها موجبًا، ويمثِّل عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور .

تقع النقطة في الربع الثالث، وإحداثي الزاوية هو:

وكما هو متوقَّع، يصبح لدينا ، وهو ما يعيِّن النقطة في الربع الثالث، ويكون قياسها سالبًا، ويمثِّل اتجاه دوران عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور .

وأخيرًا تقع النقطة في الربع الرابع، وإحداثي الزاوية هو:

وكما هو متوقَّع، يصبح لدينا ، وهو ما يعيِّن النقطة في الربع الرابع، ويكون قياسها سالبًا، ويمثِّل اتجاه دوران عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور .

وهكذا، يساوي التمثيل الممكن للإحداثيات القطبية، بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، للنقاط بالإحداثيات الكارتيزية:

كان بإمكاننا أيضًا استخدام نصف قطر قيمته سالبة لتمثيل أي نقطة في الربع المقابل على الصورة ؛ أي يكافئ ، و يكافئ .

والآن، هيا نتناول مثالًا نحوِّل فيه نقطة، في الربع الرابع، من الإحداثيات الكارتيزية إلى الإحداثيات القطبية، بالراديان.

مثال ٦: تحويل الإحداثيات إلى إحداثيات قطبية

مثِّل النقطة ذات الإحداثيات الكارتيزية بدلالة الإحداثيات القطبية.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد الإحداثيات القطبية ، بالراديان، للإحداثيات الكارتيزية المحدَّدة .

تذكَّر أن الإحداثيات القطبية تُعرِّف أي نقطة وفقًا للإزاحة من نقطة الأصل، ويُشار إلى ذلك بالرمز ، واتجاه الزاوية من الجزء الموجب من المحور ، ويُشار إلى ذلك بالرمز . نحن نستخدم قواعد متعارف عليها تكون فيها الزاوية زاوية موجبة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة في الربعين الأول والثاني، وزاوية سالبة في اتجاه دوران عقارب الساعة في الربعين الثالث والرابع، وجميع الخيارات مُعطاة بهذه الصورة. كما نقيِّد الزوايا بأن تكون من أجل كتابتها بصورة قياسية.

يمكن التعبير عن الإحداثيات الكارتيزية بدلالة الإحداثيات القطبية على الصورة:

الإحداثيات القطبية ليست وحيدة، وهناك طرق مكافئة لوصف النقطة نفسها؛ لأن الدوال المثلثية المستخدَمة لتعريفها دورية.

والآن، هيا نُوجِد الإحداثيات القطبية للنقطة بصورة قياسية باستخدام التعريف. إحداثي نصف القطر يمثِّل ببساطة الإزاحة من نقطة الأصل إلى النقطة ، وهو ما يمكننا إيجاده باستخدام نظرية فيثاغورس في المثلث القائم الزاوية، كما هو موضَّح بالشكل. نريد إيجاد طول وتر هذا المثلث باستخدام:

وبما أن النقطة تقع في الربع الرابع، إذن إحداثي الزاوية بالإحداثيات القطبية يكون الزاوية السالبة في اتجاه دوران عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور ، كما هو موضَّح في الشكل. والقياس الموجب لهذه الزاوية هو ؛ ومن ثَمَّ، .

يمكننا تكوين مثلث قائم الزاوية يتضمَّن الزاوية وضلعين طولهما ١. وبما أن زاوية حادة، إذن يمكننا كتابة ذلك بدلالة الضلعين باستخدام الدالة العكسية على الصورة:

ومن ثَمَّ، يصبح لدينا . كان بإمكاننا أيضًا التوصُّل إلى هذه الإجابة بالاستفادة من حقيقة أنه يمكننا تحويل الإحداثي الكارتيزي الذي يقع في الربع الرابع، إلى الإحداثيات القطبية باستخدام:

هذا يُعطينا نفس إحداثي نصف القطر والزاوية بعد التعويض بقيمتَي ، .

وبذلك تكون الإحداثيات القطبية:

وهذا هو الخيار (ب).

يمكننا أيضًا استخدام الشبكة القطبية للإحداثيات القطبية، والتي تمثَّل على صورة مجموعة من الدوائر المتحدة المركز التي مصدرها القطب، أو نقطة الأصل في المستوى الإحداثي. الإحداثي الأول هو نصف القطر أو طول القطعة المستقيمة من القطب، وتُشير الزاوية إلى الاتجاه. انظر إلى النقطة بالإحداثيات القطبية، كما هو موضَّح في الشكل بالشبكة القطبية.

يمكن أيضًا استخدام هذه الشبكة في تطبيقات حياتية في مجال الملاحة. على سبيل المثال، إذا تعرَّض قارب شراعي لطقس قاسٍ على بُعد ١٢ كم من المرفأ، وخرج عن مساره بسبب عاصفة قوية، فإنه يمكننا استخدام هذه الشبكة القطبية بالإحداثيات القطبية لتوضيح موقع القارب الشراعي إلى خفر السواحل.

بعد ذلك، نُلقي نظرة على كيفية استخدام تمثيل بياني مع شبكة قطبية لتحديد الإحداثيات القطبية لنقطة معيَّنة.

مثال ٧: تمثيل الإحداثيات القطبية بيانيًّا

لديك نقاط مرسومة على الشكل البياني.

اكتب الإحداثيين القطبيين للنقطة بمعلومية الزاوية في المدى .

الحل

في هذا المثال، نريد تحديد الإحداثيات القطبية لنقطة معيَّنة، محدَّدة على شبكة قطبية.

تذكَّر أن الإحداثيات القطبية تُعرِّف أي نقطة وفقًا للإزاحة من نقطة الأصل، ويُشار إلى ذلك بالرمز ، واتجاه الزاوية من الجزء الموجب من المحور ، ويُشار إلى ذلك بالرمز . تمثِّل أي شبكة قطبية للإحداثيات القطبية مجموعة من الدوائر المتحدة المركز التي مصدرها القطب، أو نقطة الأصل في المستوى الإحداثي.

من التمثيل البياني الذي يتضمَّن الشبكة القطبية، تزيد كل دائرة نصف قطرها بمقدار ٠٫٥ على الدائرة السابقة، بدءًا من وانتهاءً عند . بعبارة أخرى، نصف القطر يساوي ؛ حيث للدائرة رقم من هذه الدوائر المتحدة المركز بدءًا من الأقرب إلى نقطة الأصل.

تقع النقطة في الربع الرابع، وفي الدائرة الثانية المتحدة المركز التي نصف قطرها .

كل جزء أو شعاع يمثِّل زاوية قياسها ، بدءًا من وبالدوران كاملًا حول الدائرة.

تقع النقطة بين شعاع السعة وذلك الذي يساوي ، كما هو محدَّد في التمثيل البياني.

تقع النقطة على شعاع السعة:

لكن قياس هذه الزاوية عكس اتجاه دوران عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور . وبما أننا نحتاج إلى أن تكون الزاوية ضمن المدى ، وتُقاس الزاوية في اتجاه دوران عقارب الساعة لهذا الربع، وهو الاتجاه السالب من الجزء الموجب من المحور ، فإنه يتعيَّن علينا طرح ، لنحصل على:

وبشكل مكافئ، يمكننا أيضًا إيجاد قياس الزاوية بيانيًّا؛ حيث تتضمَّن النقطة ٣ أجزاء من الزاوية في اتجاه دوران عقارب الساعة، ويكون قياسها سالبًا:

وبذلك تكون الإحداثيات القطبية للنقطة تساوي:

لأي نقطتين بالإحداثيات القطبية، يمكننا أيضًا حساب المسافة بين النقطتين بالإحداثيات القطبية باستخدام التعريف الآتي.

يمكننا استنتاج ذلك من المسافة التي بين النقطتين و بالإحداثيات الكارتيزية، وتُعطى بالعلاقة:

يمكننا استخدام ذلك لإيجاد المسافة بين النقطتين و بالإحداثيات القطبية عن طريق تحويل الإحداثيات الكارتيزية إلى القطبية باستخدام: حيث . وبذلك تكون المسافة بالإحداثيات القطبية هي:

والآن، بتطبيق متطابقة فيثاغورس ومعادلة فرق الزاوية لجيب التمام التي تُعطى بالعلاقة: فإنه يمكننا إعادة كتابة التعبير الذي يدل على المسافة على النحو الآتي:

بالعودة إلى مثال القارب الشراعي، افترض أن موقعَي المرفأ والقارب الشراعي هما و، على الترتيب، كما هو موضَّح في الشكل. ولتحديد الإحداثيات القطبية بصورة قياسية، يمكننا تعديل زاوية القارب الشراعي؛ لأن الزاوية الثانية، ، ليست ضمن المدى . الإحداثي القطبي هو نفس .

ومن ثَمَّ، يقع القارب الشراعي عند ، ويقع المرفأ عند . يمكننا حساب المسافة بين المرفأ والقارب الشراعي إذا عوَّضنا بالقيم ، ، ، :

يجب أن نلاحظ أنه بالنسبة إلى صيغة المسافة، لا نحتاج في الواقع إلى كتابة الإحداثيات القطبية بصورة قياسية أولًا؛ لأنها تصلح لأي زاوية ؛ حيث دالة جيب التمام دورية. باستخدام الإحداثيات للقارب الشراعي و للمرفأ مباشرةً، يمكننا التعويض بالقيم ، ، ، للحصول على النتيجة نفسها:

وبذلك تكون المسافة بين المرفأ والقارب الشراعي، لأقرب منزلتين عشريتين، تساوي:

في المثال التالي، نتناول كيفية إيجاد المسافة بين نقطتين بالإحداثيات القطبية.

والآن، كيف يمكننا معرفة إذا ما كانت النقطتان و منطبقتين (أي تصفان النقطة نفسها)؟ من بين شروط دورية النقاط المكافئة بالإحداثيات القطبية، أنها تكون منطبقة عند: أو: لأي . يمكننا التعبير عن هذين الشرطين على صورة شرط واحد: لأي .

هناك طريقة أخرى للتحقُّق ممَّا إذا كانت النقطتان بالإحداثيات القطبية منطبقتين أو غير منطبقتين، بحساب المسافة بين النقطتين. إذا كانت المسافة تساوي صفرًا، فإن هاتين النقطتين تكونان منطبقتين، وتُشير أي قيمة لا تساوي صفرًا إلى أنهما غير منطبقتين. يمكننا التحقُّق من ذلك باستخدام صيغة المسافة بالإحداثيات القطبية، وعن طريق التعويض بقيمتَي و:

بما أن لدينا ، إذن تصبح المسافة:

وكما هو متوقَّع، المسافة بين إحداثيين يصفان النقطة نفسها تساوي صفرًا. لأي مسافة لا تساوي صفرًا، لا تصف هاتان النقطتان النقطة نفسها.