في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحلُّ المسائل المتعلِّقة بحركة نظام مكوَّن من جسمين معلَّقين رأسيًّا عن طريق خيط يمرُّ على بكرة ملساء.
افترض أن لدينا جسمين منتظمين على شكل متوازي مستطيلات متصلين بخيط يمرُّ على بكرة مثبَّتة تحت أحد الأسطح، كما هو موضَّح في الشكل الآتي. سُمك الجسمين أو عُمقهما في الصفحة متساوٍ. ومن ثَمَّ، يتَّضِح من الشكل الموضَّح للجسمين أن الجسم الأكبر تكون كتلته أكبر بالضرورة.
إذا كان الخيط خفيفًا وغير قابل للتمدُّد، وكانت القوة اللازمة لتدوير البكرة لا تُذكَر، فإن عجلة أيٍّ من الجسمين لا تعتمد إلَّا على وزن الجسم ومقدار الشدِّ في الخيط.
كما أن حقيقة أن الخيط الذي يربط الجسمين غير قابل للتمدُّد توضِّح أن المسافة التي يتحرَّكها أحد الجسمين في فترة زمنية معيَّنة تساوي بالضرورة المسافة التي يتحرَّكها الجسم الآخَر. ونستنتج من ذلك أن التغيُّر في سرعة الجسمين في فترة زمنية معيَّنة يكون حتمًا متساويًا. ولهذا فإن عجلتَيِ الجسمين متساويتان في المقدار. ويُمكن تحديد قيمة مقدار العجلة للجسمين من خلال التفكير في مقدار قوة الوزن واتجاهها لكلِّ جسم، ومقدار الشدِّ في الخيط لكلِّ جسم.
يوضِّح الشكل الآتي القُوى المؤثِّرة على الجسمين.
الجسم الذي كتلته هو الجسم الأكبر. وبما أن الجسمين منتظِمان، فإن:
ونظرًا لأن: ومقدار الذي يؤثِّر على الجسمين لأعلى في الاتجاه الرأسي متساوٍ، فإن هذا يعني أن:
يوضِّح الشكل الآتي محصِّلة القُوى المؤثِّرة على الجسمين.
نتيجة للقُوى المؤثِّرة، فإن الجسم الأكبر كتلةً يتسارع لأسفل، والجسم الأقلَّ كتلةً يتسارع لأعلى.
يُمكننا أن نلاحِظ أن القوة المحصِّلة المؤثِّرة على الجسم الأكبر أكبر من القوة المحصِّلة المؤثِّرة على الجسم الأصغر. هذا الفرق بين القوتين المحصِّلتين يعتمد على قيمة الفرق بين كتلتَيِ الجسمين، كما هو موضَّح كالآتي:
لا يَنتُج عن القوة المحصِّلة المؤثِّرة على الجسم الأكبر عجلة أكبر؛ ذلك لأن القيمة التي تزيد بها كتلة الجسم الأكبر عن الجسم الآخَر هي نفسها قيمة الفرق بين كتلتَيِ الجسمين التي تَنتُج عنها قوًى غير متساوية تؤثِّر على الجسمين.
ترتبط كلٌّ من القوة المؤثِّرة على الجسم وعجلة الجسم بموجب قانون نيوتن الثاني للحركة. هيَّا نُعرِّف هذا.
تعريف: قانون نيوتن الثاني للحركة
عندما تؤثِّر القوة المحصِّلة على جسم، فإن الجسم يتسارع في اتجاه القوة. ويعتمد مقدار العجلة على مقدار القوة وكتلة الجسم، وفقًا للصيغة: حيث كتلة الجسم، عجلة الجسم.
يُمكننا الآن استخدام قانون نيوتن الثاني للحركة لتحليل حركة الجسمين المعلَّقين بالخيط.
الجسم الذي كتلته هو الجسم الأكبر كتلةً؛ ومن ثَمَّ، يكون الشدُّ في الخيط المؤثِّر لأعلى أقلَّ من وزن الجسم الذي كتلته الذي يؤثِّر لأسفل. يُعطَى مقدار القوة المحصِّلة المؤثِّرة على الجسم من خلال الصيغة:
في حالة الجسم الأقلِّ كتلةً، أيْ ، يكون الشدُّ في الخيط المؤثِّر لأعلى أكبر من وزن الجسم الذي كتلته المؤثِّر لأسفل. وتُعطَى القوة المؤثِّرة على الجسم من خلال الصيغة:
وبالنسبة إلى كلِّ جسم، ترتبط القوة المحصِّلة المؤثِّرة على الجسم بعجلة الجسم من خلال الصيغة: لذا يُمكننا ملاحظة أن: كما نلاحِظ أن:
يُمكن إعادة ترتيب هذين التعبيرين ليكونا على الصورة: والصورة:
جمع هذين التعبيرين معًا يُتيح لنا حذف :
يُمكننا بعد ذلك إعادة الترتيب لجعل المتغيِّر في طرف مستقل: حيث هي عجلة الجاذبية.
في حالة إذا ما كانت تساوي ، فإنَّنا نرى أن سيساوي حتمًا . وفي هذه الحالة، فإن المعادلة الآتية: بسطها يساوي صفرًا، وعجلة أيٍّ من الجسمين تساوي صفرًا.
لننظر إلى مثال حول جسمين معلَّقين رأسيًّا بواسطة خيط يمرُّ على بكرة.
مثال ١: حساب العجلة لنظام مكوَّن من جسمين معلَّقين بواسطة خيط يمرُّ على بكرة ملساء
جسمان كتلتاهما ١٢ كجم و١٨ كجم متصلان بطرفَيْ خيط خفيف غير قابل للتمدُّد يمرُّ على بكرة ملساء. أوجد عجلة النظام. اعتبر أن .
الحل
يُمكن حساب عجلة أيٍّ من الجسمين باستخدام الصيغة: حيث كتلة الجسم الأكبر، كتلة الجسم الأصغر.
بالتعويض بالقِيَم المعروفة في الصيغة، نحصل على:
لننظر الآن إلى مثال حول جسمين معلَّقين رأسيًّا بواسطة خيط يمرُّ على بكرة؛ بحيث تكون كتلة أحدهما غير معلومة.
مثال ٢: حساب كتلة مجهولة في نظام مكوَّن من جسمين معلَّقين بواسطة خيط يمرُّ فوق بكرة ملساء
كتلتان ، ٨٨ جم معلَّقتان بطرفَيْ خيط خفيف يمرُّ فوق بكرة ملساء. أوجد قيمة ، علمًا بأنه عندما تحرَّك النظام من السكون هبطت الكتلة الأخرى لأسفل مسافة ١١٫٧٦ م في ثانيتين. اعتبر أن عجلة الجاذبية .
الحل
يُمكن حساب عجلة أيٍّ من الجسمين باستخدام الصيغة: حيث كتلة الجسم الأكبر، كتلة الجسم الأصغر. بما أن الكتلة التي مقدارها ٨٨ جرامًا تهبط لأسفل، فهذا يعني أنها الكتلة الأكبر.
بالتعويض بالقِيَم المعروفة في الصيغة، نحصل على:
يُمكن تحديد قيمة باستخدام الصيغة:
قيمة تساوي صفرًا؛ لأن الجسم تسارع من السكون. علينا إعادة ترتيب هذه الصيغة لجعل في طرف مستقلٍّ؛ ومن ثَمَّ:
بالتعويض بقيمتَيْ ، ، نحصل على:
بالتعويض بقيمة التي حدَّدناها، نحصل على:
بضرب طرفَيِ المعادلة في مقام الحدِّ الكسري، نحصل على:
عند فكِّ الأقواس نحصل على:
إذن قيمة الكتلة المجهولة تساوي ٢٢ جرامًا.
يتَّضِح ممَّا سبق أنه يُمكن الحصول على عجلة نظام مكوَّن من جسمين لهما الكتلتان ، معلَّقين بواسطة خيط يمرُّ على بكرة من خلال الصيغة:
ويتَّضِح أيضًا أنه لكلِّ جسم، ترتبط القوة المحصِّلة المؤثِّرة على الجسم بعجلة الجسم من خلال الصيغة:
ومن ثَمَّ، فإن: كما أن:
يُمكن إعادة ترتيب هذين التعبيرين لجعل في طرف مستقلٍّ على النحو الآتي: والنحو الآتي:
لننظر إلى مثال فيه يُحدَّد الشدُّ في الخيط الذي يَصِل بين جسمين معلَّقين ويمرُّ على بكرة.
مثال ٣: حلُّ مسألة متعدِّدة الخطوات تتضمَّن نظامًا من جسمين معلَّقين بواسطة خيط يمرُّ على بكرة ملساء
جسمان كتلتاهما ٢٧٠، جرام متَّصِلان بطرفَيْ خيط يمرُّ على بكرة ملساء. قُذف الجسم الذي كتلته لأسفل بسرعة ١٠٥ سم/ث، وبعد ٣ ثوانٍ عاد هذا الجسم إلى موضعه الابتدائي. أوجد قيمة ، والشدَّ في الخيط. .
الحل
الجسم الذي كتلته قُذف لأسفل، لكن القوة المؤثِّرة عليه يجب أن تكون لأعلى؛ لأنه يعود إلى موضعه الابتدائي.
الجسم الذي كتلته هبط لأسفل ثم عاد إلى نقطة البداية في فترة زمنية مقدارها ٣ ثوانٍ. تُعطَى عجلة الجسم من خلال الصيغة:
وبما أن عجلة الجسم منتظِمة، فإن الجسم يتوقَّف لحظيًّا عند منتصف الفترة الزمنية التي مقدارها ٣ ثوانٍ؛ وعليه فإن عند منتصف الفترة الزمنية التي مقدارها ٣ ثوانٍ. بافتراض أن الاتجاه لأعلى يكون موجبًا، نحصل على العجلة من خلال:
يوفِّر الشدُّ في الخيط العجلة التي تقلِّل من السرعة المتجهة لأسفل للجسم الذي كتلته ؛ ومن ثَمَّ فإن: وتُعطَى قيمة عجلة أيٍّ من الجسمين من خلال:
قيمة مُعطاة بوحدة م/ث٢؛ لذا من الملائم تحويل قيمة إلى قيمة بوحدة م/ث٢، وهو ما يُعطينا:
نحصل على مقدار الشدِّ في الخيط بالصيغة: حيث كتلة الجسم الأكبر، وهي في هذه الحالة تساوي ٢٧٠ جرامًا. للحصول على الناتِج بوحدة نيوتن، نحوِّل الكتلة إلى وحدة كيلوجرام، لتصبح ٠٫٢٧ كجم. ومن ثَمَّ، فإنَّنا نحصل على مقدار الشدِّ من خلال:
هيَّا نلقِ نظرةً على مثال يكون فيه جسمان معلَّقين رأسيًّا بواسطة خيط يمرُّ على بكرة؛ بحيث ينقطع الاتصال بين الجسمين أثناء تحرُّكهما.
مثال ٤: حلُّ مسألة متعدِّدة الخطوات تتضمَّن نظامًا من جسمين مربوطين بواسطة خيط يمرُّ على بكرة ملساء ثم ينقطع الخيط
رُبِط جسمان أحدهما بالآخَر، وكتلتاهما ٣٧٤ جم و١٠٢ جم بواسطة خيط خفيف غير قابل للتمدُّد يمرُّ فوق بكرة ملساء. كان الجسمان في البداية ساكنين، وعند المستوى الأفقي نفسه. وبعد ثانية واحدة من ترك النظام ليتحرَّك انقطع الخيط. أوجد المسافة الرأسية بين الجسمين بعد ثانية واحدة من انقطاع الخيط. اعتبر عجلة الجاذبية الأرضية .
الحل
تعتمد المسافة الرأسية بين الجسمين بعد ثانية واحدة من انقطاع الخيط على حركة الجسمين خلال الفترة بين وجود الجسمين في حالة السكون واللحظة التي تقع بعد ثانية واحدة من انقطاع الخيط.
تُمثِّل الأشكال الآتية مواضع الجسمين خلال فترات زمنية، مقدار كلٍّ منها ثانية واحدة بداية من اللحظة التي تُرك فيها الجسمان ليتحرَّكا. يوضِّح الشكل الثاني لحظة انقطاع الخيط، ويوضِّح الشكل الثالث بعد ثانية واحدة من انقطاع الخيط (هذا مجرد شكل توضيحي وليس مرسومًا بمقياس رسم).
السرعات المتجهة للجسمين عند كلِّ لحظة موضَّحة باللون الأحمر. وإزاحة الجسمين من موضعَيْهما قبل ثانية واحدة موضَّحة باللون الأزرق.
السهم الذي يمثِّل برأسين عند طرفَيْه. وقد رسمناه بهذه الطريقة لأن الجسم الذي كتلته ١٠٢ جرام تحرَّك بعجلة لأعلى في لحظة انقطاع الخيط، ولأسفل بعد انقطاع الخيط. لم يُحدَّد بعدُ إذا ما كان الجسم سيقطع إزاحة لأعلى أو لأسفل بعد ثانية واحدة من انقطاع الخيط.
المسافة الرأسية النهائية بين الجسمين ممثَّلة بالشكل الآتي؛ حيث تُشير فيه الإزاحات التي باللون البرتقالي إلى الأسفل، وتُشير الإزاحات التي باللون الأخضر إلى الأعلى.
السهم الذي يمثِّل مرسوم برأسين عند طرفَيْه أحدهما باللون الأخضر والثاني باللون الأصفر؛ لأنه لم يُحدَّد الاتجاه بعدُ.
قبل انقطاع الخيط، كان لكلِّ جسم عجلة مقدارها يُعطَى بالصيغة:
لننظر أولًا إلى حركة الجسم الذي كتلته ٣٧٤ جرامًا.
لمدة ثانية واحدة، تحرَّك الجسم بعجلة رأسية مقدارها ٥٫٦ م/ث٢. عند هذه اللحظة، يُمكننا الحصول على الإزاحة الرأسية للجسم بالصيغة:
باعتبار الاتجاه لأسفل موجبًا.
تُعطَى السرعة الرأسية للجسم عند هذه اللحظة من خلال:
عند انقطاع الخيط، يتحرَّك الجسم بعجلة رأسية لأسفل مقدارها ٩٫٨ م/ث٢. بعد ثانية واحدة من التحرُّك بعجلة، تُعطَى الإزاحة الرأسية للجسم كالآتي:
والآن لنفكِّر في حركة الجسم الذي كتلته ١٠٢ جرام.
لمدة ثانية واحدة، تحرَّك الجسم بعجلة رأسية مقدارها م/ث٢. عند هذه اللحظة، يُمكن التعبير عن الإزاحة الرأسية للجسم من خلال:
يُمكن إيجاد السرعة الرأسية للجسم عند هذه اللحظة كما يأتي:
عند انقطاع الخيط، يتحرَّك الجسم بعجلة رأسية مقدارها ٩٫٨ م/ث٢. وبعد ثانية واحدة من التحرُّك بعجلة، فإن الإزاحة الرأسية للجسم تُعطَى كما يأتي:
القيمة السالبة لـ توضِّح أن الجسم الذي كتلته جرام وصل إلى نقطة تقع رأسيًّا فوق الموضع الذي كان فيه عند انقطاع الخيط.
يُمكننا الآن تحديد إزاحة الجسمين كلٍّ منهما عن الآخَر؛ أيْ . يُمكننا الحصول على ذلك من خلال: إزاحة الجسم الأكبر؛ أيْ ، ناقص إزاحة الجسم الأصغر؛ أيْ :
إذن المسافة الرأسية بين الجسمين تساوي ١٦٫٨ مترًا، وهو ما يساوي ١ ٦٨٠ سنتيمترًا.
والآن لنلقِ نظرةً على مثال يتناول جسمين معلَّقين رأسيًّا بواسطة خيط يمرُّ فوق بكرة؛ حيث تكون كتلتاهما مجهولتين، لكن الفرق بين كتلتَيِ الجسمين معلوم.
مثال ٥: إيجاد القوة المؤثِّرة على بكرة في حالة وجود نظام من جسمين معلَّقين بخيط يمرُّ فوق بكرة ملساء
جسمان كتلتاهما جم، جم، رُبِط أحدهما بالآخَر بواسطة خيط خفيف يمرُّ على بكرة ملساء مثبَّتة. تُرِك النظام ليتحرَّك من السكون عندما كان الجسمان عند المستوى الأفقي نفسه. بعد ثانية واحدة، أصبحت المسافة الرأسية بينهما ١٢٨ سم. أوجد مقدار القوة المؤثِّرة على البكرة عندما كان الجسمان في حالة حركة. اعتبر أن عجلة الجاذبية .
الحل
يُوجَد شدٌّ في الخيط. فكلُّ طرفٍ من الخيط يدعم جسمًا يؤثِّر على البكرة بقوة رأسية لأسفل تساوي قوة الشدِّ في الخيط على البكرة. ومن ثَمَّ، يتعيَّن علينا تحديد مقدار الشدِّ في الخيط لتحديد القوة المؤثِّرة على البكرة. نحن نفترض أن وزن البكرة مُهمَل؛ ومن ثَمَّ فإن قوة الشدِّ هي القوة الوحيدة التي تؤثِّر على البكرة.
وبما أن كتلتَيِ الجسمين مجهولتان، فلا يُمكن تحديد مقدار الشدِّ في الخيط مباشرة. لكن المسافة الرأسية بين الجسمين بعد ثانية واحدة من التحرُّك بعجلة تُتيح لنا تحديد عجلة أيٍّ من الجسمين. ترتبط عجلة أيٍّ من الجسمين بالفرق في كتلتَيِ الجسمين وكذلك بالشدِّ في الخيط، وهو ما يسمح بتحديد الشد.
يوضِّح الشكل الآتي القُوى المؤثِّرة على الجسمين وعجلة كلٍّ منهما في لحظة تركهما يتحرَّكان، وكذلك المسافة الرأسية بين الجسمين بعد ثانية واحدة من تركهما يتحرَّكان.
عجلتا الجسمين متساويتان في المقدار؛ لذا فإن المسافتين اللتين تحرَّكهما الجسمان في ثانية واحدة متساويتان، وكلٌّ منهما تساوي نصف المسافة الرأسية بين الجسمين. يُعطَى مقدار إزاحة أيٍّ من الجسمين في ثانية واحدة بالصيغة:
ومن ثَمَّ:
يُمكن التعبير عن عجلة أيٍّ من الجسمين باستخدام الصيغة:
قيمة المسافة الرأسية مُعطاة بوحدة سنتيمتر، وقيمة الزمن الذي تحرَّك فيه الجسمان مُعطاة بوحدة ثانية؛ ومن ثَمَّ، فإن عجلة النظام تساوي ١٢٨ سم/ث٢. ولكي نتَّسِق مع هذه القيمة، نكتب أيضًا عجلة الجاذبية بوحدة سم/ث٢؛ ومن ثَمَّ تساوي ٩٨٠ سم/ث٢. من ثَمَّ، نجد أن:
يُمكن إعادة ترتيب هذا التعبير لجعل في طرف مستقلٍّ كما يأتي:
إذا تناولنا الجسم الذي كتلته ، فإنَّنا نعلم أنه يُمكن الحصول على مقدار الشدِّ في الخيط الذي يُربَط به الجسم من خلال الصيغة:
ومن ثَمَّ:
بالتعويض بقيمة التي حصلنا عليها، نحصل على:
قوة الشد قوة، حُسِبتْ في هذه الحالة بقِيَم الكتلة بوحدة جرام، وقِيَم العجلة بوحدة سم/ث٢؛ لذا وحدة القوة المحسوبة هي جم⋅سم/ث٢، وهو تعريف وحدة داين.
كلُّ طرف من الخيط يؤثِّر بقوة مقدارها ٢٠٦ ٥٠٣٫٥ داين على البكرة؛ ومِن ثَمَّ نحصل على القوة التي يؤثِّر بها طرفا الخيط على البكرة من خلال:
هيَّا نلخِّص ما تعلَّمناه في هذه الأمثلة.
النقاط الرئيسية
- في حالة وجود جسمين معلَّقين رأسيًّا بخيط خفيف غير قابل للتمدُّد يمرُّ فوق بكرة ملساء يتطلَّب تدويرها قوة لا تُذكَر، فإن عجلة أيٍّ من الجسمين تُعطَى من خلال الصيغة: حيث ، كتلتا الجسمين، عجلة الجاذبية.
- يُعطَى الشدُّ في الخيط الرأسي الذي يربط الجسمين اللذين كتلتاهما ، من خلال الصيغة: حيث: في حالة: فإن عجلة أيٍّ من الجسمين تساوي صفرًا.
