شارح الدرس: النقاط والمستقيمات والمستويات في الفضاء الرياضيات

مثال ١: إيجاد عدد الخطوط المستقيمة التي تمرُّ بنقطة محددة في الفضاء

حدد الخطوط المستقيمة التي تمرُّ بالنقطة .

الحل

في هذا الشكل، نرى بعض القطع المستقيمة المختلفة التي تتضمن النقطة .

، ، جميعها قطع مستقيمة نقطة نهايتها عند . نحن نعلم أن هناك مستقيمات تمرُّ بأي نقطتين في الفضاء، ما يعني أنه سيكون هناك ثلاثة مستقيمات تمرُّ بالنقطة والتي يمكننا تسميتها هكذا:

إذن، الخطوط المستقيمة التي تمرُّ بالنقطة هي ،، .

مثال ٢: تحديد المستويات التي تمرُّ بنقاط محددة

حدد المستويات الثلاثة التي تمرُّ بالنقطتين ، .

الحل

المستويات التي تمرُّ بالنقطتين ، هي المستويات التي تمرُّ بالقطعة المستقيمة . نحن نعلم أن أيَّ ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة تحدِّد مستوًى واحدًا. في متوازي المستطيلات هذا، يمكننا تصوُّر هذه المستويات بأنها السطح الذي يحتوي أوجُهًا معينة من المنشور. وأحد هذه الأوجه هو الوجه الذي يحتوي على المستقيمين المتوازيين ، . يمكننا أن نسمي هذا المستوى .

وهناك مستوًى آخر يحتوي على المستقيمين المتوازيين ، . دعونا نسمي هذا المستوى .

المستوى الثالث لا يمكن ملاحظته على الفور. نتذكر أن أيَّ ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة تكوِّن مستوًى. وبهذا، يوجد مستوًى يحتوي على النقاط ، ، . هذا المستوى الثالث هو .

إذن، المستويات الثلاثة التي تمرُّ بالنقطتين ، هي ، ، .

مثال ٣: تحديد العلاقة بين الخطوط المستقيمة في الفضاء

لدينا متوازي المستطيلات ، حيث .

1. ماذا يمكن أن يٌقال عن ، ؟
   1. متوازيتان.
   2. متعامدتان.
   3. غير متوازيتين ولا متعامدتين.
   4. متخالفتان.
2. ماذا يُمكن أن يُقال عن ، ؟
   1. متخالفتان.
   2. متعامدتان.
   3. متوازيتان.
   4. غير متوازيتين ولا متعامدتين.
3. ماذا يُمكن أن يُقال عن ، ؟
   1. متعامدتان.
   2. غير متوازيتين ولا متعامدتين.
   3. متخالفتان.
   4. متوازيتان.
4. ماذا يُمكن أن يُقال عن ، ؟
   1. متوازيتان.
   2. متعامدتان.
   3. غير متوازيتين ولا متعامدتين.
   4. متخالفتان.

الحل

الجزء الأول:

في متوازي المستطيلات، نريد تحديد العلاقة بين أزواج مختلفة من المستقيمات، وتحديدًا بين ، .

يتكون متوازي المستطيلات من ٦ أوجه مستطيلة، وفي المستطيل تكون الأضلاع المتجاورة متعامدة. وبما أن مستطيل، يمكننا القول إذن إن ، تلتقيان عند زاوية قياسها . إذن، الإجابة هي الخيار (ب)؛ ، متعامدتان.

الجزء الثاني:

، قطعتان مستقيمتان تقعان على وجهين متقابلين من متوازي المستطيلات.

فهما لا تتقاطعان. وبما أن هذين الوجهين متقابلان في متوازي مستطيلات، فيمكننا القول إن ، متوازيتان. وعليه، فإن الإجابة هي الخيار (ج).

الجزء الثالث

، قطعتان مستقيمتان تقعان على وجهين متعامدين في المنشور وتتقاطعان عند النقطة .

وهذا يعني أنه عند نقطة التقاطع، تكون ، متعامدتين. وهذا هو الخيار (أ).

الجزء الرابع:

، قطعتان مستقيمتان تقعان في المستوى نفسه، . وبما أن القطعتين المستقيمتين غير متوازيتين، فلا بد أنهما تتقاطعان.

إننا نعلم أن قُطرَي المستطيل ليسا متعامدين، إذن، ، غير متوازيتين ولا متعامدتين. ومن ثم، فإن الإجابة هي الخيار (ج).

ملاحظة:

على الرغم من أن ، غير متوازيين ولا متعامدين، فهذا لا يعني أنهما مستقيمان متخالفان. إذ إن ، ليسا مستقيمين متخالفين؛ لأنهما يتقاطعان ويقعان في المستوى نفسه.

مثال ٤: تحديد المستقيمين المتخالفين

باستخدام متوازي المستطيلات التالي، حدد أيٌّ مما يلي يخالف .

الحل

نتذكر أن المستقيمات المتخالفة هي مستقيمات لا تتقاطع لكنها ليست متوازية. والمستقيمات المتخالفة لا تقع في نفس المستوى، ومن ثم يمكن أن تكون في ثلاثة أبعاد فقط. المستقيم الذي يخالف لا يمكن أن يوازي ، ولا يمكن أن يتقاطع معه. وهذا يعني أن المستقيمات الوحيدة التي يمكن أن تكون مخالفة لـ هي ، ، ، .

إذن، من قائمة الخيارات، الإجابة الصحيحة هي الخيار (ج). يخالف .

مثال ٥: تحديد التقاطع بين مستوًى ومستقيم

لاحظ الشكل المعطى، واختر العبارة الصحيحة.

1. الخط المستقيم يوازي المستوى.
2. الخط المستقيم موجود في المستوى.
3. الخط المستقيم يتقاطع مع المستوى.

الحل

يوضح الشكل مستوًى، معرَّفًا بالرمز، ، ويمتد إلى ما لا نهاية في جميع الاتجاهات. نلاحظ من الشكل أن النقطة تقع في المستوى .

نرى أيضًا أن النقطة تقع على المستقيم . ونظرًا لأن المستوى والمستقيم يشتركان في نقطة مشتركة، وهي النقطة ، يمكننا القول إذن إن الخط المستقيم يتقاطع مع المستوى. ومن ثم فإن الخيار (ج) صحيح. وهو الخط المستقيم يتقاطع مع المستوى.

مثال ٦: تحديد التقاطع بين مستويين

ما تقاطُع المستويين ، ؟

الحل

في متوازي المستطيلات هذا، المستوى الذي يحتوي على النقاط ، ، ، هو المستوى الذي يحتوي على الوجه الرأسي على يمين الشكل. والمستوى الذي يحتوي على النقاط ، ، ، هو المستوى الذي يحتوي على الوجه الرأسي الأمامي لهذا المنشور. وتقاطُع هذين الوجهين هو مستقيم. نحن نعلم أن هذا صحيح؛ لأن هذين الوجهين يحتويان على النقطتين ، . والمستقيم المارُّ بكلٍّ من ، هو مستقيمُ تقاطُعِ هذين المستويين.

نرى أن المستقيم المشترك مميز هنا ومن ثم فإن تقاطُع المستويين ، هو .

مثال ٧: تحديد التقاطع بين ثلاثة مستويات

ما تقاطُع المستويات ، ، ؟

الحل

هذا الهرم مكوَّن من أربعة أوجه مثلثة. بما أنه يوجد مستوًى واحد فقط يتضمن أيَّ ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة، فإن كل وجه من الأوجه المثلثة يقع في مستوًى منفرد. ما يعنينا هو المستويات ، ، ، كلٌّ منها يحتوي على النقطة . وهذا يعني أن هذه النقطة تقع في هذه المستويات الثلاثة كلها. وبما أن النقطة نقطة مشتركة في كل مستوًى من هذه المستويات، فإن تقاطُع هذه المستويات هو .