شارح الدرس: النقاط والمستقيمات والمستويات في الفضاء الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نتعرف على المفاهيم الهندسية، ونمثلها، مثل: النقاط، والمستقيمات، والمستويات الموجودة في الفضاء، بالإضافة إلى خصائصها.

ربما سمعتَ عن شخص اسمه إقليدس يطلق عليه «أبو الهندسة». وقد اهتم الإغريق بدراسة الهندسة وأسموها «جيومتري» أو geometery، وهي تتكون من مقطعين «جيو»، ويعني الأرض، و«متري»، وهي عملية القياس‎. نحن نفهم العالَم من حولنا من خلال كتابات إقليدس عن الهندسة الفراغية التي تتناول الأجسام الثلاثية الأبعاد، مثل المكعبات والكُرَات، والهندسة المستوية التي تتناول الأجسام في الفضاء الثنائي الأبعاد. النقاط والمستقيمات والمستويات على وجه التحديد جميعها مفاهيم هندسية تتعلق بالمواضع في الفضاء وتمثل بداية لتعريف جميع المفاهيم الهندسية الأخرى.

في الأساس، نبدأ بالنقطة. النقطة هي موضع في الفضاء وهي ليس لها شكل ولا أبعاد. ولكن كي نتمكن من تمثيل هذا المفهوم، نستخدم نقطة صغيرة لتمثيل تعريف النقطة. تُعرف النقطة عادةً بحرف:

تعريف: النقطة

النقطة هي موضع في الفضاء. وهي ليس لها شكل أو أبعاد.

بمعلومية أي نقطتين في الفضاء، يمكننا رسم خط مستقيم واحد فقط بين هاتين النقطتين. من المهم بشكل خاص أن نتذكر أنه عند التعامل مع المستقيمات في الفضاء، فإننا نتعامل دائمًا مع الخطوط المستقيمة التي تمتد إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين. ونرسمها على صورة خطوط مستقيمة ذات أسهم عند كل طرف. عادةً ما يسمى المستقيم بنقطتين تقعان عليه.

وتسمى الثلاث نقاط أو أكثر التي تقع على المستقيم نفسه نقاطًا تقع على استقامة واحدة. أما إذا كانت هناك نقطة لا تقع على نفس المستقيم الذي تقع عليه هذه النقاط الأخرى، فإننا نقول إن هذه المجموعة من النقاط ليست على استقامة واحدة.

يجب أن نذكر هنا أيضًا أن المسافة بين أي نقطتين تقعان على مستقيم تسمى قطعة مستقيمة. فنقول إن الخط الواصل بين النقطتين 󰏡، 𞸁، وينتهي عند كل طرف هو القطعة المستقيمة 󰏡𞸁 أو 󰏡𞸁.

تعريف: الخط المستقيم

المستقيم هو مجموعة متصلة من النقاط التي تمتد إلى ما لا نهاية في اتجاهين. يسمى المستقيم الذي يمرُّ بالنقطتين 󰏡، 𞸁 بعدَّة طرق. على سبيل المثال، يمكن تعريف المستقيم المارِّ بالقطعة المستقيمة 󰏡𞸁 هكذا: 󰄮󰏡𞸁 أو 󰄮𞸁󰏡 أو المستقيم 󰏡𞸁 أو المستقيم 𞸁󰏡 أو المستقيم 𞸈.

المفهوم الثالث الذي سنتناوله هو تعريف المستوى. المستوى هو سطح ثنائي الأبعاد مكوَّن من نقاط تمتد إلى ما لا نهاية في جميع الاتجاهات. أيُّ ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة تحدِّد مستوًى واحدًا. تسمى أيُّ ثلاث نقاط أو أكثر نقاطًا في نفس المستوى إذا كانت جميعها تقع في نفس المستوى. أما إذا كانت هناك نقطة لا تقع في المستوى نفسه الذي تقع فيه النقاط الثلاث الأخرى، فتسمى هذه المجموعة من النقاط نقاطًا ليست في نفس المستوى. يمكننا أيضًا تعريف المستوى بدلالة مستقيمين متوازيين، أو مستقيمين متقاطعين، أو مستقيم ونقطة خارجه. وهذا لأن المستقيمين المتوازيين، والمستقيمين المتقاطعين، والمستقيم والنقطة، سيكون لجميعها ثلاث نقاط على الأقل ليست على استقامة واحدة.

عادة يُعرف المستوى باستخدام حرف واحد، أو باستخدام ثلاث نقاط أو أكثر ليست على استقامة في المستوى نفسه. سترى عادةً المستويات ممثَّلة في صورة شكل رباعي. يمكن تعريف المستوى الموضح بالمستوى 𞸊، أو المستوى 󰏡𞸁𞸢، أو المستوى 𞸁󰏡𞸢، أو المستوى 𞸢𞸁󰏡.

تعريف: المستوى

المستوى هو سطح ثنائي الأبعاد مكوَّن من نقاط تمتد إلى ما لا نهاية في جميع الاتجاهات. أيُّ ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة تحدِّد مستوًى واحدًا.

وما يعنينا تحديدًا عند التعامل مع النقاط والمستقيمات والمستويات هو كيفية تداخلها بعضها مع بعض.

تذكر أنه لأي نقطة في الفضاء، يوجد عدد لا نهائي من المستقيمات التي تمرُّ بهذه النقطة. وينطبق هذا المبدأ نفسه على المستويات. فلأي نقطة في الفضاء، سيكون هناك عدد لا نهائي من المستويات التي تمرُّ بهذه النقطة.

في المثالين الأوَّلين، سنوضح كيفية تحديد عدد المستقيمات أو المستويات المارَّة بنقطة.

مثال ١: إيجاد عدد الخطوط المستقيمة التي تمرُّ بنقطة محددة في الفضاء

حدد الخطوط المستقيمة التي تمرُّ بالنقطة 𞸁.

الحل

في هذا الشكل، نرى بعض القطع المستقيمة المختلفة التي تتضمن النقطة 𞸁.

󰏡𞸁، 𞸢𞸁 ، 𞸌𞸁 جميعها قطع مستقيمة نقطة نهايتها عند 𞸁. نحن نعلم أن هناك مستقيمات تمرُّ بأي نقطتين في الفضاء، ما يعني أنه سيكون هناك ثلاثة مستقيمات تمرُّ بالنقطة 𞸁 والتي يمكننا تسميتها هكذا: 󰄮󰏡𞸁،󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁󰄮󰄮𞸌𞸁.،

إذن، الخطوط المستقيمة التي تمرُّ بالنقطة 𞸁 هي 󰄮󰏡𞸁 ،󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁، 󰄮󰄮𞸌𞸁.

مثال ٢: تحديد المستويات التي تمرُّ بنقاط محددة

حدد المستويات الثلاثة التي تمرُّ بالنقطتين 󰏡، 𞸁.

الحل

المستويات التي تمرُّ بالنقطتين 󰏡، 𞸁 هي المستويات التي تمرُّ بالقطعة المستقيمة 󰏡𞸁. نحن نعلم أن أيَّ ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة تحدِّد مستوًى واحدًا. في متوازي المستطيلات هذا، يمكننا تصوُّر هذه المستويات بأنها السطح الذي يحتوي أوجُهًا معينة من المنشور. وأحد هذه الأوجه هو الوجه الذي يحتوي على المستقيمين المتوازيين 󰏡𞸁، 󰏡𞸁. يمكننا أن نسمي هذا المستوى 󰏡𞸁𞸁.

وهناك مستوًى آخر يحتوي على المستقيمين المتوازيين 󰏡𞸁، 𞸢𞸃. دعونا نسمي هذا المستوى 󰏡𞸁𞸢.

المستوى الثالث لا يمكن ملاحظته على الفور. نتذكر أن أيَّ ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة تكوِّن مستوًى. وبهذا، يوجد مستوًى يحتوي على النقاط 𞸢، 󰏡، 𞸁. هذا المستوى الثالث هو 󰏡𞸁𞸢.

إذن، المستويات الثلاثة التي تمرُّ بالنقطتين 󰏡، 𞸁 هي 󰏡𞸁𞸢، 󰏡𞸁𞸁، 󰏡𞸁𞸢.

العلاقة بين مستقيمين في الفضاء:

هناك ثلاث علاقات محتمَلة يمكن أن تربط بين مستقيمين. أولًا، افترض أن لدينا مستقيمين في نفس المستوى. قد يتقاطع هذان المستقيمان بأي زاوية، كما هو موضح في الشكل الآتي، أو قد يتعامدان (أي يتقاطعان بشكل متعامد).

فإذا لم يتقاطع المستقيمان في نفس المستوى، فسيكونان متوازيين. ولن يتقابلا أبدًا.

أما المستقيمان اللذان لا يتقاطعان ولا يوازي أحدهما الآخر، يكونان متخالفين. ولا يمكن أن توجد المستقيمات المتخالفة إلا في ثلاثة أبعاد.

العلاقة بين مستقيم ومستوًى في الفضاء:

هناك ثلاث علاقات يمكن أن تربط بين المستقيم والمستوى.

قد يقع المستقيم في المستوى. وفي هذه الحالة، ستقع كل نقطة على المستقيم في المستوى.

وإذا قَطَعَ مستقيمٌ مستوًى، فهذا التقاطع يعني وجود نقطة مشتركة تقع على كليهما.

يمكن أن يتقاطع أيضًا المستقيم مع المستوى بصورة عمودية، وفي هذه الحالة يقال إن المستقيم عمودي على المستوى. ومن ثم، يكون هذا المستقيم عموديًّا على جميع المستقيمات في هذا المستوى الذي يتقاطع مع هذا المستقيم.

وإذا كان المستقيم لا يتقاطع مع المستوى، فإن المستقيم يوازي المستوى.

العلاقة بين مستويين في الفضاء:

وأخيرًا، هناك ثلاث علاقات محتمَلة يمكن أن توجد بين مستويين في الفضاء. إذا كان المستويان يشتركان في جميع النقاط، فسيكونان متطابقتين.

وإذا تقاطع مستويان، يكون التقاطع دائمًا عبارة عن خط مستقيم. وقد يتقاطع هذان المستويان بشكل عمودي؛ فيكونان متعامدين.

أما هذان المستويان لا يتقاطعان. لذا، فهما مستويان متوازيان.

ملاحظة:

تحدثنا عن مستويين في الفضاء، وإذا كانت هناك ثلاثة مستويات متقاطعة فهي تتشارك في نقطة.

في المثال التالي، سنوضح كيفية تحديد العلاقات بين القطع المستقيمة في متوازي المستطيلات.

مثال ٣: تحديد العلاقة بين الخطوط المستقيمة في الفضاء

لدينا متوازي المستطيلات 󰏡𞸁𞸢𞸃𞸤𞸅𞸆𞸇، حيث 󰏡𞸁𞸁𞸢󰏡𞸤.

  1. ماذا يمكن أن يٌقال عن 𞸤𞸅، 𞸅𞸆؟
    1. متوازيتان.
    2. متعامدتان.
    3. غير متوازيتين ولا متعامدتين.
    4. متخالفتان.
  2. ماذا يُمكن أن يُقال عن 󰏡𞸤، 𞸢𞸆؟
    1. متخالفتان.
    2. متعامدتان.
    3. متوازيتان.
    4. غير متوازيتين ولا متعامدتين.
  3. ماذا يُمكن أن يُقال عن 𞸁𞸃، 𞸃𞸇؟
    1. متعامدتان.
    2. غير متوازيتين ولا متعامدتين.
    3. متخالفتان.
    4. متوازيتان.
  4. ماذا يُمكن أن يُقال عن 𞸁𞸃، 󰏡𞸢؟
    1. متوازيتان.
    2. متعامدتان.
    3. غير متوازيتين ولا متعامدتين.
    4. متخالفتان.

الحل

الجزء الأول:

في متوازي المستطيلات، نريد تحديد العلاقة بين أزواج مختلفة من المستقيمات، وتحديدًا بين 𞸤𞸅، 𞸅𞸆.

يتكون متوازي المستطيلات من ٦ أوجه مستطيلة، وفي المستطيل تكون الأضلاع المتجاورة متعامدة. وبما أن 𞸤𞸅𞸆𞸇 مستطيل، يمكننا القول إذن إن 𞸤𞸅، 𞸅𞸆 تلتقيان عند زاوية قياسها ٠٩. إذن، الإجابة هي الخيار (ب)؛ 𞸤𞸅، 𞸅𞸆 متعامدتان.

الجزء الثاني:

󰏡𞸤، 𞸢𞸆 قطعتان مستقيمتان تقعان على وجهين متقابلين من متوازي المستطيلات.

فهما لا تتقاطعان. وبما أن هذين الوجهين متقابلان في متوازي مستطيلات، فيمكننا القول إن 󰏡𞸤، 𞸢𞸆 متوازيتان. وعليه، فإن الإجابة هي الخيار (ج).

الجزء الثالث

𞸁𞸃، 𞸃𞸇 قطعتان مستقيمتان تقعان على وجهين متعامدين في المنشور وتتقاطعان عند النقطة 𞸃.

وهذا يعني أنه عند نقطة التقاطع، تكون 𞸁𞸃، 𞸃𞸇 متعامدتين. وهذا هو الخيار (أ).

الجزء الرابع:

𞸁𞸃، 󰏡𞸢 قطعتان مستقيمتان تقعان في المستوى نفسه، 󰏡𞸁𞸢. وبما أن القطعتين المستقيمتين غير متوازيتين، فلا بد أنهما تتقاطعان.

إننا نعلم أن قُطرَي المستطيل ليسا متعامدين، إذن، 𞸁𞸃، 󰏡𞸢 غير متوازيتين ولا متعامدتين. ومن ثم، فإن الإجابة هي الخيار (ج).

ملاحظة:

على الرغم من أن 𞸁𞸃، 󰏡𞸢 غير متوازيين ولا متعامدين، فهذا لا يعني أنهما مستقيمان متخالفان. إذ إن 𞸁𞸃، 󰏡𞸢 ليسا مستقيمين متخالفين؛ لأنهما يتقاطعان ويقعان في المستوى نفسه.

سنوضح الآن كيف يمكننا تحديد مستقيمين متخالفين من صورة.

مثال ٤: تحديد المستقيمين المتخالفين

باستخدام متوازي المستطيلات التالي، حدد أيٌّ مما يلي يخالف 𞸢𞸆.

  1. 𞸢𞸁
  2. 𞸃𞸢
  3. 𞸤𞸇
  4. 𞸅𞸁
  5. 𞸇𞸆

الحل

نتذكر أن المستقيمات المتخالفة هي مستقيمات لا تتقاطع لكنها ليست متوازية. والمستقيمات المتخالفة لا تقع في نفس المستوى، ومن ثم يمكن أن تكون في ثلاثة أبعاد فقط. المستقيم الذي يخالف 𞸢𞸆 لا يمكن أن يوازي 𞸢𞸆، ولا يمكن أن يتقاطع معه. وهذا يعني أن المستقيمات الوحيدة التي يمكن أن تكون مخالفة لـ 𞸢𞸆 هي 𞸤𞸇، 󰏡𞸃، 󰏡𞸁، 𞸤𞸅.

إذن، من قائمة الخيارات، الإجابة الصحيحة هي الخيار (ج). 𞸤𞸇 يخالف 𞸢𞸆.

يوضح لنا الشكل في المثال التالي إحدى العلاقات المحتمَلة بين مستقيم ومستوًى.

مثال ٥: تحديد التقاطع بين مستوًى ومستقيم

لاحظ الشكل المعطى، واختر العبارة الصحيحة.

  1. الخط المستقيم يوازي المستوى.
  2. الخط المستقيم موجود في المستوى.
  3. الخط المستقيم يتقاطع مع المستوى.

الحل

يوضح الشكل مستوًى، معرَّفًا بالرمز، 𞸎، ويمتد إلى ما لا نهاية في جميع الاتجاهات. نلاحظ من الشكل أن النقطة 󰏡 تقع في المستوى 𞸎.

نرى أيضًا أن النقطة 󰏡 تقع على المستقيم 𞸋. ونظرًا لأن المستوى 𞸎 والمستقيم 𞸋 يشتركان في نقطة مشتركة، وهي النقطة 󰏡، يمكننا القول إذن إن الخط المستقيم يتقاطع مع المستوى. ومن ثم فإن الخيار (ج) صحيح. وهو الخط المستقيم يتقاطع مع المستوى.

المثال التالي يوضح إحدى العلاقات المحتمَلة بين مستويين في الفضاء.

مثال ٦: تحديد التقاطع بين مستويين

ما تقاطُع المستويين 󰏡𞸁𞸁󰏡، 𞸁𞸢𞸢𞸁؟

الحل

في متوازي المستطيلات هذا، المستوى الذي يحتوي على النقاط 󰏡، 𞸁، 𞸁، 󰏡 هو المستوى الذي يحتوي على الوجه الرأسي على يمين الشكل. والمستوى الذي يحتوي على النقاط 𞸁، 𞸢، 𞸢، 𞸁 هو المستوى الذي يحتوي على الوجه الرأسي الأمامي لهذا المنشور. وتقاطُع هذين الوجهين هو مستقيم. نحن نعلم أن هذا صحيح؛ لأن هذين الوجهين يحتويان على النقطتين 𞸁، 𞸁. والمستقيم المارُّ بكلٍّ من 𞸁، 𞸁 هو مستقيمُ تقاطُعِ هذين المستويين.

نرى أن المستقيم المشترك مميز هنا ومن ثم فإن تقاطُع المستويين 󰏡𞸁𞸁، 𞸁𞸢𞸁 هو 󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸁.

يوضح لنا المثال الأخير العلاقة بين ثلاثة مستويات في الفضاء.

مثال ٧: تحديد التقاطع بين ثلاثة مستويات

ما تقاطُع المستويات 𞸌󰏡𞸁، 𞸌𞸁𞸢، 𞸌󰏡𞸢؟

الحل

هذا الهرم مكوَّن من أربعة أوجه مثلثة. بما أنه يوجد مستوًى واحد فقط يتضمن أيَّ ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة، فإن كل وجه من الأوجه المثلثة يقع في مستوًى منفرد. ما يعنينا هو المستويات 𞸌󰏡𞸁، 𞸌𞸁𞸢، 𞸌󰏡𞸢، كلٌّ منها يحتوي على النقطة 𞸌. وهذا يعني أن هذه النقطة 𞸌 تقع في هذه المستويات الثلاثة كلها. وبما أن النقطة 𞸌 نقطة مشتركة في كل مستوًى من هذه المستويات، فإن تقاطُع هذه المستويات هو {𞸌}.

دعونا نُنهي بتلخيص النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • النقطة هي موضع في الفضاء. وهي ليس لها شكل ولا أبعاد.
  • المستقيم هو مجموعة متصلة من النقاط تمتد إلى ما لا نهاية في اتجاهين.
  • يمكن تعريف المستوى بثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة، أو مستقيمين متوازيين، أو مستقيمين متقاطعين.
  • تكون مجموعة النقاط على استقامة واحدة إذا كانت تقع على المستقيم نفسه. وإذا كانت غير ذلك، فهي ليست على استقامة واحدة.
  • تكون مجموعة من النقاط مستوية إذا كانت تقع في المستوى نفسه. وإذا كانت غير ذلك، نقول إنها ليست في نفس المستوى.
  • بالنسبة إلى أي مستقيمين يقعان في نفس المستوى، فإن العلاقة المحتمَلة تتمثل في كونهما إما متوازيين، وإما متقاطعين عند زاوية، وإما متعامدين.
  • بالنسبة إلى أي مستقيمين في الفضاء، فإن العلاقة المحتمَلة بينهما تتمثل في كونهما إما متوازيين، وإما متقاطعين عند زاوية، وإما متعامدين، وإما متخالفين.
  • بالنسبة إلى أي مستقيم ومستوًى في الفضاء، فإن العلاقة المحتمَلة بينهما هي التقاطع عند نقطة (بأي زاوية)، أو التعامد، أو وجود المستقيم في المستوى، أو أن يكون المستقيم موازيًا للمستوى.
  • بالنسبة إلى أي مستويين، فإن العلاقة المحتمَلة بينهما هي التطابق، أو التوازي أو التقاطع عند خط مستقيم (بأي زاوية)، أو التعامد. تتقاطع ثلاثة مستويات عند نقطة واحدة، وليس عند خط مستقيم.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.