شارح الدرس: الضرب في عدد ثابت ومتجهات الوحدة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: ضرب متجه ثنائي الأبعاد في كمية قياسية

إذا كان ، فأوجد .

الحل

في هذا السؤال، لدينا متجه ثنائي الأبعاد ومطلوب منا ضربه في الكمية القياسية ثلاثة.

لكي نفعل ذلك، يمكننا ببساطة ضرب مركبتي المتجه ، في الكمية القياسية المعطاة:

وبقليل من التبسيط، نجد أن الناتج هو متجه له مركبة قيمتها ومركبة قيمتها .

لاحظ أن المتجه له نفس اتجاه ، لكنَّ مقداره أصبح الآن أكبر، بعد ضربه في العامل ثلاثة.

مثال ٢: ضرب متجه ثنائي الأبعاد في كمية قياسية بيانيًّا

المتجه مُمثل بالتمثيل البياني الموضَّح.

أي التمثيلات البيانية الآتية يُمثِّل ؟

الحل

لنتناول أولًا حلًّا أقل منهجية بعض الشيء لهذه المسألة.

يعطينا السؤال المتجه ويطلب منا إجراء الضرب في عدد ثابت وهو العامل . وبما أننا نتعامل مع كمية قياسية سالبة، فإننا نعلم أن هذه العملية ستعكس اتجاه المتجه الأصلي.

للمتجه نقطة بداية تقع عند نقطة الأصل ونقطة النهاية تقع في الربع العلوي الأيمن. إذا بدأ المتجه الناتج أيضًا من نقطة الأصل (كما رأينا في جميع الخيارات)، فإننا نعلم أن نقطة نهايته يجب أن تقع في الربع السفلي الأيسر؛ لأن الاتجاه يكون معكوسًا.

التمثيل البياني الوحيد الذي يطابق هذا الوصف هو الخيار (أ)؛ وبالتالي، يبدو أن هذه هي الإجابة الصحيحة.

يمكننا أيضًا النظر إلى مقدار هذه الكمية القياسية. وبما أن ، فإن المتجه الناتج عن عملية الضرب في عدد ثابت سيكون له ضعف طول المتجه الأصلي. وبالنظر إلى الخيار (أ)، نجد أنه الخيار الصحيح!

ولتأكيد الحل، قد نتبع طريقة أكثر تنظيمًا من خلال تعريف المتجه أولًا. في هذا التمثيل البياني، نجد أن نقطة بداية هي نقطة الأصل، وإحداثيها هما ، بينما تقع نقطة النهاية عند . وبالتالي، فإن:

والآن، بعد أن عرفنا المتجه ، يمكننا إجراء عملية الضرب في عدد ثابت كما يلي:

وكما ذُكِر سابقًا، تتضمن جميع الخيارات المتعددة متجهًا يبدأ من نقطة الأصل. إذا بدأ المتجه من نقطة الأصل، فستكون نقطة نهايته عند الإحداثيين .

ويكون التمثيل البياني الذي يطابق هذا الوصف هو الخيار (أ)؛ ومن ثم نكون قد تأكدنا من أن هذه هي الإجابة الصحيحة.

مثال ٣: إيجاد متجه الوحدة بدلالة المتجه الأصلي

أوجد متجه الوحدة في نفس اتجاه المتجه .

الحل

المتجه مذكور في السؤال ومطلوب منا إيجاد متجه الوحدة في الاتجاه نفسه. وهذا سيكون متجهًا مقداره واحد. لاحظ أن المتجه معطى بدلالة متجهات الوحدة ، ، لكن هذا لا يؤثر على الطريقة التي سنستخدمها.

الخطوة الأولى هي إيجاد مقدار . لاحظ أنه بينما مقدار جميع المركبات الفردية لهذا المتجه في الاتجاهات ، ، تساوي ١، فهذا لا يعني أن مقدار المتجه نفسه يساوي ١:

نتذكر الآن أنه لإيجاد متجه الوحدة لمتجه ما ، نقسم المتجه على مقداره:

لإيجاد متجه الوحدة المذكور في السؤال، يمكننا إذن حسابه كالتالي:

في الخطوات السابقة، أجرينا الطريقة الشائعة لإنطاق المقام للتوصل إلى إجابة. هذه الإجابة صحيحة تمامًا لأنها تعبر عن متجه الوحدة في صورة أحد مضاعفات المتجه الأصلي.

ويمكن الحصول على تعبير مكافئ بضرب المركبات الفردية للمتجه في الكمية القياسية:

مثال ٤: دمج عملية الضرب في عدد ثابت والعمليات على المتجهات، والعمليات الحسابية لمتجهات الوحدة

إذا كان ، ، فحدد متجه الوحدة في الاتجاه .

الحل

يطلب منا هذا السؤال إيجاد متجه الوحدة في اتجاه ، ولفعل ذلك، علينا إيجاد مقدار المتجه .

لإيجاد هذا المقدار، علينا أولًا إيجاد مركبات . وهذا سيتطلب دمج عملية الضرب في عدد ثابت مع طرح المتجهات:

يمكننا تكوين معادلة باستخدام المتجهين ، المذكورين في السؤال. لاحظ أن الحد الأول في الطرف الأيمن عبارة عن عملية ضرب في عدد ثابت. ويمكن توزيع الكمية القياسية ٢ على مركبات . بعد ذلك، سنتمكن من إجراء عملية طرح المتجهات:

والآن بعد أن توصلنا إلى مركبات ، يمكننا إيجاد مقداره:

لاحظ أننا، في الخطوة الأخيرة، بسطنا المقدار بنقل العامل ٢ خارج الجذر.

والآن بعد أن توصلنا إلى مركبات ومقداره، يمكننا إيجاد متجه الوحدة في اتجاه بتطبيق القاعدة التالية:

لإيجاد متجه الوحدة، نقسم على مقداره. وهناك طريقة أخرى للتعبير عن ذلك، وهي ضرب مقلوب المقدار في المتجه الأصلي:

بعد إجراء بعض عمليات التبسيط، نصل إلى الإجابة.

وكملاحظة أخيرة، يمكن التحقق سريعًا من خلال التأكد من أن إجابتنا هي متجه مقداره ١:

هذه الخطوة ليست ضرورية بالطبع في هذه الحالة، لكنها قد تكون مفيدة أحيانًا عند التعامل مع عمليات حسابية أطول.