شارح الدرس: الضرب في عدد ثابت ومتجهات الوحدة الرياضيات

في هذا الشارح، سنتعلم كيف نضرب متجهًا في كمية قياسية، وكيف نجد متجه الوحدة في اتجاه أي متجه معطى عن طريق قسمة المتجه على كمية قياسية.

المتجه هو كمية لها مقدار واتجاه. وهاتان الخاصيتان تجعلان من المتجه أداة متعددة الاستخدامات لها العديد من التطبيقات. تتضمن بعض الأمثلة تحديد موضع نقطة في الفراغ بالنسبة إلى نقطة أخرى، والتعبير عن السرعة لجسم متحرك.

عادة ما يُعبَّر عن المتجهات من خلال ربطها بمجموعة من الإحداثيات؛ وبالتالي، يكون لها أكثر من مركبة واحدة. عادة ما يُعبَّر عن متجه ثلاثي الأبعاد 󰄮𞸏 بدلالة الإحداثيات الكارتيزية 𞸎، 𞸑، 𞸏. 󰄮𞸏=(𞸎،𞸑،𞸏)، أو باستخدام متجهات الوحدة: 󰄮𞸏=𞸎󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸑󰄮󰄮󰄮𞹑+𞸏󰄮󰄮𞹏.

على النقيض من ذلك، فإن الكمية القياسية هي كمية لها مقدار ولكن ليس لها اتجاه. يمكن تمثيل الكمية القياسية عادة بعدد منفرد، دون الحاجة إلى معلومات إضافية.

إن ضرب كميتين قياسيتين معًا سيكون أمرًا بسيطًا، لكننا سنتعرف في هذا الشارح على الضرب في عدد ثابت للمتجهات. وكما يوحي الاسم، فهذا يتضمن ضرب متجه في كمية قياسية.

افترض أن لدينا جسيمًا يتحرك بالسرعة 󰄮𞸏. إذا استمر الجسيم في التحرك في الاتجاه نفسه، بينما يتضاعف مقدار سرعته، فكيف يمكننا وصف ذلك؟ الإجابة ببساطة هي ٢󰄮𞸏. بما أننا ضربنا كمية قياسية في متجه؛ فهذا يُعد مثالًا على الضرب في عدد ثابت.

لنر ما علاقة ذلك بمركِّبات المتجه.

تعريف: الضرب القياسي

يُعرف ضرب كمية قياسية في متجه بالضرب في عدد ثابت.

لنفترض أن لدينا المتجه 󰄮𞸏 والكمية القياسية 𞸊: 󰄮𞸏=(𞸎،𞸑،𞸏).

عند إجراء عملية الضرب القياسي، يمكن توزيع الكمية القياسية على مركبات المتجه: 𞸊󰄮𞸏=𞸊(𞸎،𞸑،𞸏)=(𞸊𞸎،𞸊𞸑،𞸊𞸏).

وناتج الضرب في عدد ثابت هو أيضًا متجه، حيث يُضرب المتجه الأصلي في القيمة التي تمثلها الكمية القياسية.

سنتناول مثالًا بسيطًا قبل تناول بعض التفسيرات الأكثر بديهية للضرب في عدد ثابت.

مثال ١: ضرب متجه ثنائي الأبعاد في كمية قياسية

إذا كان 󰏡=(١،٨)، فأوجد ٣󰏡.

الحل

في هذا السؤال، لدينا متجه ثنائي الأبعاد ومطلوب منا ضربه في الكمية القياسية ثلاثة.

لكي نفعل ذلك، يمكننا ببساطة ضرب مركبتي المتجه 𞸎، 𞸑 في الكمية القياسية المعطاة: ٣󰏡=٣(١،٨)=(٣(١)،٣(٨))=(٣،٤٢).

وبقليل من التبسيط، نجد أن الناتج هو متجه له مركبة 𞸎 قيمتها ٣ ومركبة 𞸑 قيمتها ٤٢.

لاحظ أن المتجه ٣󰏡 له نفس اتجاه 󰏡، لكنَّ مقداره أصبح الآن أكبر، بعد ضربه في العامل ثلاثة.

يعطينا السؤال أعلاه مثالًا عدديًّا على الضرب في عدد ثابت قيمته موجبه. وبما أن المتجهات تُمثل عادة في صورة أسهم، لنلق نظرة على بعض الأمثلة البصرية.

كما لاحظنا، فإن ضرب متجه في كمية قياسية موجبة لا يغير اتجاه المتجه الناتج، لكنه يغير مقداره.

لننظر إلى التمثيل البصري للمتجه، 󰄮𞸏، في صور مختلفة من الضرب في عدد ثابت.

انظر الجزء (أ) من الشكل. يعطينا ضرب المتجه 󰄮𞸏 في ١ الناتج نفسه في حالة المتجه الأصلي، ولن يتغير مقداره؛ لكن الضرب في العامل ثلاثة سيزيد المقدار ثلاثة أضعاف.

يوضح الجزء (ب) من الشكل أنه من المهم أن نفهم أن ضرب المتجه في عدد سالب يغير بالفعل اتجاهه. لننظر إلى الحالة الأبسط التي يكون فيها المتجه 󰄮𞸏 مضروبًا في ١. وسيظل مقدار المتجه دون تغيير، لكن اتجاهه سينعكس؛ لأن إشارة جميع المركبات ستتغير: 󰄮𞸏=(𞸎،𞸑)󰄮𞸏=(𞸎،𞸑).

سيعكس الضرب في عدد سالب آخر غير ١ الاتجاه، وسيزيد أيضًا مقدار المتجه.

وأخيرًا، في الجزء (ج) من الشكل، نلاحظ أن الضرب في عدد ثابت لا يقتصر على الأعداد الصحيحة أو الأعداد الأكبر من ١. فإذا كان مقدار الكمية القياسية أقل من ١، فإن الضرب في عدد ثابت سوف ينتج عنه متجه أقل في المقدار (أو أقصر طولًا) من المتجه الأصلي.

مثال ٢: ضرب متجه ثنائي الأبعاد في كمية قياسية بيانيًّا

المتجه 󰏡 مُمثل بالتمثيل البياني الموضَّح.

أي التمثيلات البيانية الآتية يُمثِّل ٢󰏡؟

الحل

لنتناول أولًا حلًّا أقل منهجية بعض الشيء لهذه المسألة.

يعطينا السؤال المتجه 󰏡 ويطلب منا إجراء الضرب في عدد ثابت وهو العامل ٢. وبما أننا نتعامل مع كمية قياسية سالبة، فإننا نعلم أن هذه العملية ستعكس اتجاه المتجه الأصلي.

للمتجه 󰏡 نقطة بداية تقع عند نقطة الأصل ونقطة النهاية تقع في الربع العلوي الأيمن. إذا بدأ المتجه الناتج أيضًا من نقطة الأصل (كما رأينا في جميع الخيارات)، فإننا نعلم أن نقطة نهايته يجب أن تقع في الربع السفلي الأيسر؛ لأن الاتجاه يكون معكوسًا.

التمثيل البياني الوحيد الذي يطابق هذا الوصف هو الخيار (أ)؛ وبالتالي، يبدو أن هذه هي الإجابة الصحيحة.

يمكننا أيضًا النظر إلى مقدار هذه الكمية القياسية. وبما أن |٢|=٢، فإن المتجه الناتج عن عملية الضرب في عدد ثابت سيكون له ضعف طول المتجه الأصلي. وبالنظر إلى الخيار (أ)، نجد أنه الخيار الصحيح!

ولتأكيد الحل، قد نتبع طريقة أكثر تنظيمًا من خلال تعريف المتجه 󰏡 أولًا. في هذا التمثيل البياني، نجد أن نقطة بداية 󰏡 هي نقطة الأصل، وإحداثيها هما (٠،٠)، بينما تقع نقطة النهاية عند (١،١). وبالتالي، فإن: 󰏡=(١،١)(٠،٠)=(١،١).

والآن، بعد أن عرفنا المتجه 󰏡، يمكننا إجراء عملية الضرب في عدد ثابت كما يلي: ٢󰏡=٢(١،١)=(٢(١)،٢(١))=(٢،٢).

وكما ذُكِر سابقًا، تتضمن جميع الخيارات المتعددة متجهًا يبدأ من نقطة الأصل. إذا بدأ المتجه (٢،٢) من نقطة الأصل، فستكون نقطة نهايته عند الإحداثيين (٢،٢).

ويكون التمثيل البياني الذي يطابق هذا الوصف هو الخيار (أ)؛ ومن ثم نكون قد تأكدنا من أن هذه هي الإجابة الصحيحة.

ثمة مفهوم مهم آخر يمكن أن يكون له علاقة بالضرب القياسي، وهو مفهوم متجه الوحدة. نحن على دراية بمتجهات الوحدة 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑، 󰄮󰄮𞹏. هذه متجهات مقدارها ١ في اتجاهات المحاور 𞸎، 𞸑، 𞸏 على الترتيب.

في الواقع، يمكن اعتبار أي متجه طوله يساوي واحدًا متجه وحدة! ويمكننا بذلك تعريف متجه الوحدة في أي اتجاه معطى أو لأي مجموعة من الإحداثيات. لنعمم الآن هذا المفهوم رسميًّا.

تعريف: متجهات الوحدة

متجه الوحدة هو متجه له طوله مقداره واحد.

يمكننا إيجاد متجه الوحدة 󰄮󰄮󰄮𞸉𞸏، في اتجاه 󰄮𞸏 عن طريق قسمة المتجه على مقداره: 󰄮󰄮󰄮𞸉=󰄮𞸏󰍼󰄮𞸏󰍼.𞸏

تذكر أن مقدار المتجه 󰄮𞸏=(𞸎،𞸑،𞸏) مُعطى بالمعادلة: 󰍼󰄮𞸏󰍼=󰋴𞸎+𞸑+𞸏.٢٢٢

وبمعلومية تعريف متجه الوحدة المذكور بالأعلى، سنلاحظ بالتأكيد أن العبارة الرياضية المكافئة هي: 󰄮󰄮󰄮𞸉=󰄮𞸏󰍼󰄮𞸏󰍼.𞸏

لاحظ أن المقدار 󰍼󰄮𞸏󰍼 ليس له اتجاه، وبالتالي فهو كمية قياسية. وهذا يعني أن ١󰍼󰄮𞸏󰍼 هو أيضًا كمية قياسية.

وبالرجوع إلى الصيغة السابقة، يمكننا الآن إدراك أنها تتضمن ضرب كمية قياسية ١󰍼󰄮𞸏󰍼 في متجه 󰄮𞸏. ومن ثم، يمكن اعتبار عملية إيجاد متجه وحدة في اتجاه معين «حالة خاصة» من عملية الضرب في عدد ثابت!

وبدلًا من ضرب المتجه في كمية قياسية معطاة، يمكننا إيجاد الكمية القياسية التي ستجعل النتيجة هو المقدار المطلوب. إذا كان 󰄮𞸏=(𞸎،𞸑،𞸏)، فإن العملية الحسابية قد تبدو بهذا الشكل: 󰄮󰄮󰄮𞸉=١󰍼󰄮𞸏󰍼󰄮𞸏=١󰋴𞸎+𞸑+𞸏(𞸎،𞸑،𞸏).𞸏٢٢٢

وبما أن الضرب في عدد ثابت قيمته موجبة لا يغير اتجاه المتجه، فإن الناتج سيكون متجهًا جديدًا يشير إلى نفس اتجاه 󰄮𞸏 لكن مقداره ١. وهذا هو تعريف 󰄮󰄮󰄮𞸉𞸏.

وكملاحظة هامشية: على الرغم من أنه أحيانا يتم استخدام علامة المد المعقوفة (وتشبه القبعة) مع متجه الوحدة للإشارة إلى متجه الوحدة 󰄮𞸏 عند كتابة الرموز بالإنجليزية، بدلًا من النصف سهم في العربية، سترى عادة متجهات الوحدة 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑، 󰄮󰄮𞹏 في هذه السياقات من دون القبعة. لكن يشيع استخدام متجهات الوحدة الثلاثة هذه، وتكتب بالترميز التالي: 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑، 󰄮󰄮𞹏.

لنُلقِ نظرةً على مثال لإيجاد متجه الوحدة.

مثال ٣: إيجاد متجه الوحدة بدلالة المتجه الأصلي

أوجد متجه الوحدة في نفس اتجاه المتجه 󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏.

الحل

المتجه 󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏 مذكور في السؤال ومطلوب منا إيجاد متجه الوحدة في الاتجاه نفسه. وهذا سيكون متجهًا مقداره واحد. لاحظ أن المتجه معطى بدلالة متجهات الوحدة 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑، 󰄮󰄮𞹏 لكن هذا لا يؤثر على الطريقة التي سنستخدمها.

الخطوة الأولى هي إيجاد مقدار 󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏. لاحظ أنه بينما مقدار جميع المركبات الفردية لهذا المتجه في الاتجاهات 𞸎، 𞸑، 𞸏 تساوي ١، فهذا لا يعني أن مقدار المتجه نفسه يساوي ١: 󰍼󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏󰍼=󰋴١+(١)+(١)=󰋴١+١+١=󰋴٣.٢٢٢

نتذكر الآن أنه لإيجاد متجه الوحدة لمتجه ما 󰄮𞸏، نقسم المتجه على مقداره: 󰄮󰄮󰄮𞸉=󰄮𞸏󰍼󰄮𞸏󰍼=١󰍼󰄮𞸏󰍼󰄮𞸏.𞸏

لإيجاد متجه الوحدة المذكور في السؤال، يمكننا إذن حسابه كالتالي: ١󰋴٣󰂔󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏󰂓=󰋴٣٣󰂔󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏󰂓.

في الخطوات السابقة، أجرينا الطريقة الشائعة لإنطاق المقام للتوصل إلى إجابة. هذه الإجابة صحيحة تمامًا لأنها تعبر عن متجه الوحدة في صورة أحد مضاعفات المتجه الأصلي.

ويمكن الحصول على تعبير مكافئ بضرب المركبات الفردية للمتجه في الكمية القياسية: =󰋴٣٣󰄮󰄮󰄮𞹎󰋴٣٣󰄮󰄮󰄮𞹑󰋴٣٣󰄮󰄮𞹏.

في المثال الأخير، سنستخدم مهاراتنا في الضرب في عدد ثابت بجانب إجراء عمليات أخرى على المتجهات لحل مسألة على متجه الوحدة.

مثال ٤: دمج عملية الضرب في عدد ثابت والعمليات على المتجهات، والعمليات الحسابية لمتجهات الوحدة

إذا كان 󰏡=(٢،٠،٢)، 󰄮󰄮𞸁=(١،١،١)، فحدد متجه الوحدة في الاتجاه ٢󰄮󰄮𞸁󰏡.

الحل

يطلب منا هذا السؤال إيجاد متجه الوحدة في اتجاه ٢󰄮󰄮𞸁󰏡، ولفعل ذلك، علينا إيجاد مقدار المتجه ٢󰄮󰄮𞸁󰏡.

لإيجاد هذا المقدار، علينا أولًا إيجاد مركبات ٢󰄮󰄮𞸁󰏡. وهذا سيتطلب دمج عملية الضرب في عدد ثابت مع طرح المتجهات: ٢󰄮󰄮𞸁󰏡=٢(١،١،١)(٢،٠،٢).

يمكننا تكوين معادلة باستخدام المتجهين 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 المذكورين في السؤال. لاحظ أن الحد الأول في الطرف الأيمن عبارة عن عملية ضرب في عدد ثابت. ويمكن توزيع الكمية القياسية ٢ على مركبات 󰄮󰄮𞸁. بعد ذلك، سنتمكن من إجراء عملية طرح المتجهات: ٢󰄮󰄮𞸁󰏡=(٢،٢،٢)(٢،٠،٢)=(٠،٢،٤).

والآن بعد أن توصلنا إلى مركبات ٢󰄮󰄮𞸁󰏡، يمكننا إيجاد مقداره: 󰍼٢󰄮󰄮𞸁󰏡󰍼=󰋴٠+(٢)+٤=󰋴٠+٤+٦١=󰋴٠٢=٢󰋴٥.٢٢٢

لاحظ أننا، في الخطوة الأخيرة، بسطنا المقدار بنقل العامل ٢ خارج الجذر.

والآن بعد أن توصلنا إلى مركبات ٢󰄮󰄮𞸁󰏡 ومقداره، يمكننا إيجاد متجه الوحدة في اتجاه ٢󰄮󰄮𞸁󰏡 بتطبيق القاعدة التالية: 󰄮󰄮󰄮𞸉=󰄮𞸏󰍼󰄮𞸏󰍼=١󰍼󰄮𞸏󰍼󰄮𞸏.𞸏

لإيجاد متجه الوحدة، نقسم ٢󰄮󰄮𞸁󰏡 على مقداره. وهناك طريقة أخرى للتعبير عن ذلك، وهي ضرب مقلوب المقدار في المتجه الأصلي: ١󰍼٢󰄮󰄮𞸁󰏡󰍼󰂔٢󰄮󰄮𞸁󰏡󰂓=١٢󰋴٥(٠،٢،٤)=󰋴٥٠١(٠،٢،٤)=󰃭٠،٢󰋴٥٠١،٤󰋴٥٠١󰃬=󰃭٠،󰋴٥٥،٢󰋴٥٥󰃬.

بعد إجراء بعض عمليات التبسيط، نصل إلى الإجابة.

وكملاحظة أخيرة، يمكن التحقق سريعًا من خلال التأكد من أن إجابتنا هي متجه مقداره ١: 󰌁󰌀󰌀󰌂٠+󰃭󰋴٥٥󰃬+󰃭٢󰋴٥٥󰃬=󰋺٥٥٢+٠٢٥٢=󰋺٥٢٥٢=١.٢٢٢

هذه الخطوة ليست ضرورية بالطبع في هذه الحالة، لكنها قد تكون مفيدة أحيانًا عند التعامل مع عمليات حسابية أطول.

لنلخص بعض النقاط الرئيسية المتعلقة بالضرب في عدد ثابت ومتجهات الوحدة.

النقاط الرئيسية

  • يعرف ضرب كمية قياسية في متجه باسم الضرب في عدد ثابت.
  • عند إجراء الضرب في عدد ثابت، يمكن توزيع الكمية القياسية على مركبات المتجهات: 𞸊󰄮𞸏=𞸊(𞸎،𞸑،𞸏)=(𞸊𞸎،𞸊𞸑،𞸊𞸏).
  • ناتج الضرب في عدد ثابت هو أيضًا متجه، حيث يساوي المتجه الأصلي مضروبًا في القيمة الممثلة في الكمية القياسية.
  • عندما تساوي الكمية القياسية عددًا موجبًا، يكون المتجه الناتج في نفس اتجاه المتجه الأصلي.وعندما تكون الكمية القياسية سالبة، يكون المتجه الناتج في الاتجاه المعاكس للمتجه الأصلي.
  • متجه الوحدة هو متجه له طول مقداره واحد.
  • يمكننا إيجاد متجه الوحدة 󰄮𞸏، في اتجاه 󰄮𞸏 بقسمة المتجه الأصلي على مقداره: 󰄮󰄮󰄮𞸉=󰄮𞸏󰍼󰄮𞸏󰍼=١󰍼󰄮𞸏󰍼󰄮𞸏.𞸏

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.