شارح الدرس: الإزاحة العلوم • الصف الثالث الإعدادي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُمَيِّز بين المسافة التي يتحرَّكها جسم بين نقطتين وبين إزاحة الجسم بين هاتين النقطتين.

يمكننا البدء بتذكُّر أن المسافة التي يقطعها الجسم هي طول المسار المقطوع بين نقطتَي بداية ونهاية حركة الجسم.

على سبيل المثال، نفترض أن لدينا جسمًا. نُطلِق على نقطة بداية حركة الجسم (أ) ونقطة نهاية حركته (ب). هاتان النقطتان تفصل بينهما مسافة أفقية مقدارها ٢ م. نفكِّر في مسارين مختلفين يمكن أن يقطعهما الجسم من النقطة (أ) إلى النقطة (ب)، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

المسار الأول الذي سنتناوله موضَّح على الشكل بخط أحمر متقطِّع. هذا المسار ببساطةٍ خطٌّ أفقي مستقيم يصل من النقطة (أ) إلى النقطة (ب). ومن ثَمَّ، فإن طول المسار الأول هو المسافة بين نقطة البداية ونقطة النهاية نفسها، وهي تساوي ٢ م. هذا يعني أن طول المسار الأول يساوي ٢ م.

إذا انتقل جسمٌ من النقطة (أ) إلى النقطة (ب) على طول المسار الأول، فإن المسافة التي يقطعها الجسم هي طول المسار الأول. ومن ثَمَّ، فإن الجسم يكون قد قطع مسافة ٢ م.

نفكِّر الآن في المسار الثاني. وهو موضَّح في الشكل السابق بخط أزرق مصمت يصل من النقطة (أ) إلى النقطة (ب).

المسار الثاني مسار أكثر تعقيدًا يتجه إلى أعلى، ثم يمر عرضيًّا، ثم يتجه لأسفل. يمكننا ملاحظة أن هذا المسار أطول بكثير من المسار الأول. وهذا لأن المسار الثاني يقطع الطول الأفقي نفسه الذي يقطعه المسار الأول، وهو ٢ م، ولكنه يمتد أيضًا لأعلى ولأسفل. بما أن المسار الثاني يتجه لأعلى ١ م قبل أن يتحرَّك أفقيًّا ٢ م ثم يتحرَّك لأسفل ٢ م في النهاية، إذن علينا جمع هذه القيم لنحصل على طول المسار الثاني.

إذن طول المسار الثاني يساوي:

إذا تحرَّك جسم من النقطة (أ) إلى النقطة (ب) على طول المسار الثاني، فإن المسافة التي يقطعها الجسم هي طول المسار الثاني. هذا يعني أن الجسم سيقطع مسافة قدرها ٤ م.

لقد رأينا إذن أنه في حالة حركة الجسم على طول المسار الأول، فإنه يقطع مسافة أقصر من حالة تحرُّكه على طول المسار الثاني. على الرغم من أن للمسارين نفس نقطتَي البداية والنهاية، فإن المسافتين المقطوعتين على المسارين مختلفتان.

المسافة كمية «قياسية»، وهو ما يعني أنها مجرد عدد له وحدة، وليس لها اتجاه.

مثال ١: مقارنة المسافات المقطوعة على طول مسارات مختلفة

تُوجَد سيارة في مركز دائرة. يوضِّح السهمان مسارين يُمكِن أن تقطعهما السيارة للوصول إلى محيط الدائرة. هل المسافتان المقطوعتان في كِلا المسارين متساويتان؟

الحل

في هذا السؤال، لدينا سيارة تقع في مركز دائرة. لدينا أيضًا مساران مختلفان يمكن أن تقطعهما السيارة لتصل إلى محيط الدائرة.

نتناول أولًا السهم الأزرق الذي يمثِّل مسارًا مستقيمًا يصل من مركز الدائرة إلى محيطها. وهذا يعني أن طول المسار الأزرق لا بد أن يساوي نصف قطر الدائرة.

نفترض أن نصف قطر الدائرة يساوي ١٠ م. هذا يعني أن طول المسار الأزرق يساوي ١٠ م. إذا كانت السيارة تتحرَّك على طول المسار الأزرق، فسوف تقطع مسافة مقدارها ١٠ م.

نتناول الآن السهم الأحمر. هذا المسار أيضًا خط مستقيم يصل من مركز الدائرة إلى محيطها.

هذا يعني أن طول المسار الأحمر يساوي نصف قطر الدائرة، وهو ما ذكرنا أنه يساوي ١٠ م. فإذا كانت السيارة تتحرَّك على طول المسار الأحمر، فإنها ستقطع مسافة مقدارها ١٠ م.

وهذا يعني أن المسافة التي تقطعها السيارة على طول المسار الأزرق هي نفس المسافة التي تقطعها على طول المسار الأحمر. هذه المسافة تساوي نصف قطر الدائرة، وهو ١٠ م، لكلا المسارين.

نريد الآن أن نفكِّر في «إزاحة» الجسم. وهي مفهوم يشيع الخلط بينه وبين مفهوم «المسافة»، إلا أن لها تعريفًا مختلفًا تمامًا.

مقدار الإزاحة هو أقصر مسافة بين نقطة بداية ونقطة نهاية حركة الجسم. وللإزاحة اتجاه. ويكون اتجاه الإزاحة من نقطة بداية حركة الجسم إلى نقطة نهاية حركته. هذا لأن الإزاحة كمية «متجهة»، ما يعني أن لها قيمةً واتجاهًا. من أمثلة الإزاحة: ٢ م شرقًا، ٥ كم جنوبًا.

أقصر مسافة بين نقطتين هو الخط المستقيم الواصل بين النقطتين. هذا يعني أن الإزاحة بين نقطتين هي دائمًا مسافة الخط المستقيم بين النقطتين بالإضافة إلى الاتجاه المقطوع.

يجب تضمين الاتجاه عندما نذكر الإزاحة؛ لأن الإزاحة كمية متجهة، والاتجاه جزء من الإزاحة. على سبيل المثال، الإزاحة «٢ م شرقًا» تختلف عن الإزاحة «٢ م غربًا»، على الرغم من أن قيمة الإزاحة واحدة.

نقول إن الجزء العددي من الإزاحة هو «مقدار» الإزاحة. على سبيل المثال، للإزاحة ٢ م شرقًا، نقول إن مقدار الإزاحة هو «٢ م»، واتجاه الإزاحة هو «الشرق».

نفكِّر في الفرق بين المسافة والإزاحة. ننظر مرة أخرى إلى نقطتين؛ حيث (أ) موضع بداية حركة الجسم، و(ب) موضع نهاية حركته. تقع النقطة (ب) على بُعد ٢ م يمين النقطة (أ). نفكِّر مرة أخرى في مسارين مختلفين بين النقطتين، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

نفكِّر في المسافات المقطوعة على طول كلا المسارين. لقد رأينا أن المسافة التي يقطعها الجسم، إذا تحرَّك على طول المسار الأول، هي ٢ م، والمسافة التي يقطعها الجسم إذا تحرَّك على طول المسار الثاني هي ٤ م. تختلف هاتان المسافتان؛ لأن المسار الثاني أطول من المسار الأول.

ولكن، نرى ما سيحدث إذا فكَّرنا في الإزاحة بدلًا من المسافة. تذكَّر أن الإزاحة هي أقصر مسافة بين نقطتَي بداية ونهاية المسار.

بالنسبة إلى المسار الأول، لدينا نقطة البداية (أ) ونقطة النهاية (ب). ومن ثَمَّ، فإن مقدار الإزاحة هو أقصر مسافة بين هاتين النقطتين، وهو الخط الأفقي المستقيم الواصل بين هاتين النقطتين.

وهذا يساوي ٢ م، وهو يساوي المسافة المقطوعة على طول المسار أيضًا. إذن إزاحة الجسم الذي يتحرَّك على طول المسار الأول هي «٢ م يمينًا». لقد ذكرنا كلًّا من مقدار الحركة واتجاهها. والإزاحة على طول المسار الأول موضَّحة في الشكل الآتي.

بالنسبة إلى المسار الثاني، موضع البداية هو النقطة (أ)، وموضع النهاية هو النقطة (ب). وإزاحة الجسم هي مسافة الخط المستقيم من النقطة (أ) إلى النقطة (ب). مرة أخرى هذا يساوي «٢ م يمينًا». والإزاحة على طول المسار الثاني موضَّحة كالآتي.

هذا يعني أن إزاحة جسم يتحرَّك على طول مسارين تكون واحدة، على الرغم من اختلاف المسارين تمامًا. لاحظ أن المسافتين المقطوعتين على طول المسارين مختلفتان، على الرغم من أن الإزاحتين متساويتان.

من الممكن أيضًا أن تكون الإزاحة سالبة. على سبيل المثال، الإزاحة « م شرقًا» هي إزاحة صحيحة. وهذا يكافئ إزاحة «٢ م» غربًا. على عكس ذلك، تكون المسافات دائمًا موجبة.

مثال ٤: مقارنة الإزاحات لمسارات مختلفة

تُوجَد سيارة في مركز دائرة. يوضِّح السهمان مسارين يُمكِن أن تقطعهما السيارة للوصول إلى محيط الدائرة. هل إزاحتا السيارة بين موضعَيْها الابتدائي والنهائي متساويتان في كِلتا الحالتين؟

الحل

في هذا السؤال، لدينا سيارة في مركز دائرة. لدينا أيضًا مساران مختلفان يمكن أن تقطعهما السيارة للوصول إلى محيط الدائرة. وعلينا التفكير في إزاحة السيارة في كل مسار يمكن أن تقطعه.

بدايةً، ننظر إلى الحالة التي تتحرَّك فيها السيارة على طول المسار الأزرق. هذا المسار هو خط مستقيم يصل من مركز الدائرة إلى محيطها.

تذكَّر أن إزاحة الجسم هي أقصر مسافة من نقطة بداية حركة الجسم إلى نقطة نهايتها، بالإضافة إلى اتجاه الحركة. وبما أن المسار الأزرق مستقيم، إذن فهو أقصر مسافة من نقطة البداية إلى نقطة النهاية. هذا يعني أن مقدار الإزاحة في هذه الحالة هو طول المسار الأزرق.

وبما أن المسار الأزرق هو خط مستقيم يصل من مركز الدائرة إلى محيطها، إذن طوله يساوي نصف قطر الدائرة. نفترض أن نصف قطر هذه الدائرة يساوي ٥ م. هذا يعني أنه إذا تحرَّكت السيارة على المسار الأزرق، فستكون إزاحتها ٥ م في اتجاه السهم الأزرق. لاحظ أننا ذكرنا الاتجاه، على الرغم من أننا لا نعرف كيف نَصِف الاتجاه بتفصيل أكبر من أنه «في اتجاه السهم الأزرق».

نفكِّر الآن في إزاحة السيارة إذا تحرَّكت على المسار الأحمر الموضَّح. في هذه الحالة، يختلف مقدار الإزاحة عن طول المسار الأحمر. هذا لأن مقدار الإزاحة هو مسافة الخط المستقيم بين نقطة بداية ونقطة نهاية حركة السيارة، لكن المسار الأحمر منحنٍ.

نقطة بداية المسار الأحمر هي مركز الدائرة، ونقطة نهاية المسار تقع على محيط الدائرة. أقصر مسافة بين هاتين النقطتين هي الخط المستقيم الواصل من مركز الدائرة إلى محيطها، وهو نصف قطر الدائرة، وهو ما يساوي ٥ م.

وبما أن لكلا المسارين هنا نفس نقطتَي البداية والنهاية، إذن اتجاه الحركة واحد أيضًا. واتجاه كلتا الإزاحتين «في اتجاه السهم الأزرق». بما أن مقدارَي الإزاحتين متساويان أيضًا، إذن فقد وجدنا أن الإزاحتين في هذا السؤال متساويتان تمامًا.

مثال ٥: مقارنة الإزاحات لمسارات مختلفة

تُوجَد سيارة في مركز دائرة. يوضِّح السهمان مسارين يُمكِن أن تقطعهما السيارة للوصول إلى محيط الدائرة. هل إزاحتا السيارة بين موضعَيْها الابتدائي والنهائي متساويتان في كِلتا الحالتين؟

الحل

في هذا السؤال، لدينا سيارة في مركز دائرة. لدينا أيضًا مساران مختلفان يمكن أن تقطعهما السيارة للوصول إلى محيط الدائرة.

نتناول إزاحة السيارة في كلا المسارين.

بدايةً، نفكِّر في حركة السيارة على طول المسار الأزرق. هذا المسار خط مستقيم يصل من مركز الدائرة إلى محيطها.

تذكَّر أن إزاحة الجسم هي أقصر مسافة من نقطة بداية حركة الجسم إلى نقطة نهاية حركته، بالإضافة إلى اتجاه الحركة. وبما أن المسار الأزرق مستقيم، إذن فهو أقصر مسافة من نقطة البداية إلى نقطة النهاية. هذا يعني أن مقدار الإزاحة في هذه الحالة هو طول المسار الأزرق.

المسار الأزرق خط مستقيم يصل من مركز الدائرة إلى محيطها؛ وطوله هو نصف قطر الدائرة. نفترض أن نصف قطر الدائرة يساوي ٥ م. هذا يعني أنه إذا تحرَّكت السيارة على طول المسار الأزرق، فستكون إزاحتها ٥ م في اتجاه السهم الأزرق. لاحظ أننا حدَّدنا الاتجاه، على الرغم من أننا لا نعرف كيفية وصف الاتجاه بالتفصيل.

نفكِّر الآن في إزاحة السيارة إذا تحرَّكت على طول المسار الأحمر. في هذه الحالة، نظرًا لأن المسار الأحمر منحنٍ، يختلف مقدار الإزاحة عن طول المسار. ومقدار الإزاحة يساوي مسافة الخط المستقيم من مركز الدائرة إلى نقطة نهاية المسار الأحمر، وهي تقع على محيط الدائرة. هذا يساوي نصف قطر الدائرة؛ أي ٥ م. وهذا موضَّح في الشكل الآتي.

اتجاه إزاحة المسار الأحمر يكون في اتجاه السهم الأخضر الذي رسمناه على الشكل هنا.

لاحِظ هنا أن مقدارَي الإزاحتين متساويان ويساويان نصف قطر الدائرة؛ أي ٥ م. ومع ذلك، فإن اتجاهَي الإزاحتين مختلفان؛ لأن السهم الأزرق والسهم الأخضر اللذين رسمناهما يُشيران إلى اتجاهين مختلفين. هذا يعني أن الإزاحتين غير متساويتين.

نتخيَّل نقطتين، (أ) و(ب)، يفصل بينهما مرةً أخرى مسافة أفقية مقدارها ٢ م. بدايةً، تخيَّل سيارة تتحرَّك من النقطة (أ) إلى النقطة (ب) على طول خط مستقيم، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

في هذا الشكل، بدأت السيارة من النقطة (أ) وتحرَّكت أفقيًّا إلى النقطة (ب). والآن، المسافة التي قطعتها السيارة تساوي طول المسار الذي تحرَّكت عليه. وهذا يعني أن السيارة قطعت مسافة مقدارها ٢ م.

وإزاحة السيارة تساوي مسافة الخط المستقيم الواصل من (أ) إلى (ب)، وهو ما يساوي مرةً أخرى ٢ م، بالإضافة إلى الاتجاه الذي تحرَّكت فيه السيارة. هذا يعني أن إزاحة السيارة تساوي ٢ م إلى اليمين. لاحِظ أن مقدار الإزاحة هنا يساوي المسافة التي قطعتها السيارة.

نتخيَّل الآن المرحلة الثانية من هذه الرحلة. بعد أن تحرَّكت السيارة من (أ) إلى (ب) على طول المسار الأحمر الموضَّح سابقًا، عادت السيارة مرة أخرى إلى النقطة (أ) على طول مسار أفقي أيضًا كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

الجزء الثاني من الرحلة يوضِّحه السهم الأزرق. هذا يعني أن السيارة تُنهي رحلتها عند النقطة (أ). نفكِّر إذن في المسافة الكلية التي قطعتها السيارة.

تبدأ رحلة السيارة بأكملها من النقطة (أ)، وتتحرَّك السيارة أفقيًّا إلى النقطة (ب)، وتعود في مسار أفقي إلى النقطة (أ). لإيجاد المسافة الكلية المقطوعة، علينا جمع أطوال المسارات التي قطعتها.

تحرَّكت السيارة ٢ م إلى اليمين، ثم ٢ م إلى اليسار للعودة إلى النقطة (أ). ومن ثَمَّ، فإن المسافة الكلية المقطوعة هي .

نحسب الآن إزاحة السيارة خلال الرحلة بأكملها. موضع بداية حركة السيارة هو النقطة (أ)، وتتحرَّك السيارة إلى النقطة (ب)، ثم تعود إلى النقطة (أ)، وهي نقطة نهاية حركة السيارة. لذا، فإن نقطة بداية حركة السيارة هي نفس نقطة النهاية. هذا يعني أن المسافة من نقطة البداية إلى نقطة نهاية حركة السيارة هي متر. لاحظ أننا لا نحتاج إلى تحديد الاتجاه عندما تكون الإزاحة صفرًا. ويجب ألا تساوي الإزاحة صفرًا ليكون لها اتجاه.

في حالة رحلة تنتهي عند النقطة نفسها التي بدأت عندها، فإن الإزاحة تساوي دائمًا صفرًا، لكن المسافة المقطوعة لا تساوي صفرًا، وتساوي طول المسار المقطوع.

نتناول كيفية تطبيق هذه الفكرة على مسار دائري. تخيَّل أن السيارة تبدأ من النقطة المحدَّدة بدائرة زرقاء على أقصى يسار المسار الدائري الموضَّح في الشكل الآتي. محيط المسار الدائري ٥ م، وقطره م. وهذا موضَّح في الشكل.

هيا نتخيَّل أولًا أن السيارة تقطع نصف المسار حول الدائرة، إلى النقطة المحدَّدة بدائرة وردية. نبدأ بحساب المسافة التي قطعتها السيارة من النقطة الزرقاء إلى النقطة الوردية. هذه المسافة موضَّحة بالسهم الأزرق في الشكل الآتي.

المسافة المقطوعة تساوي طول المسار حول الدائرة من نقطة البداية إلى النقطة الوردية. وهذا يساوي نصف محيط الدائرة، وهو ما يساوي نصف ٥ م. نصف ٥ م يساوي ٢٫٥ م، إذن هذه هي المسافة التي قطعتها السيارة.

نقارنها الآن بإزاحة السيارة. مقدار الإزاحة هو مسافة الخط المستقيم من نقطة البداية إلى النقطة الوردية، والاتجاه هو إلى اليمين. وهذا موضَّح بالسهم الأرجواني في الشكل السابق.

وطول السهم الأرجواني، الذي يمثِّل خطًّا مستقيمًا من أحد جوانب محيط الدائرة إلى الجانب الآخر، يساوي قطر الدائرة. ونعرف ذلك لأنه خط مستقيم يمر عبر مركز الدائرة.

إذن طول هذا الخط يساوي قطر الدائرة، الذي يساوي م. إذن إزاحة السيارة تساوي م إلى اليمين.

لاحظ أنه إذا كان محيط الدائرة هو ، وقطر الدائرة هو ، فإن محيط الدائرة يُعطى بالمعادلة:

وهذا يعني أن محيط الدائرة والمسافة لا يمكن أن يكونا متساويين؛ لذا، بالنسبة إلى السيارة، فإن مقدار الإزاحة لا يساوي المسافة.

نرى الآن ما سيحدث إذا استمرت السيارة في الحركة في المسار الدائري، وعادت إلى نقطة البداية، بعد أن تحرَّكت حول الدائرة بأكملها. هذه الرحلة بأكملها موضَّحة بالسهم الأزرق في الشكل الآتي.

إذا قطعت السيارة المسار بالكامل حول الدائرة، وعادت إلى النقطة نفسها التي بدأت منها، فإن المسافة التي قطعتها السيارة تساوي طول المسار الذي سلكته. هذا الطول يساوي محيط الدائرة بالكامل، وهو يساوي ٥ م. هذه هي المسافة التي قطعتها السيارة حول الدائرة بأكملها.

لقد رأينا أن إزاحة الجسم الذي ينتهي عند النقطة نفسها التي بدأ منها تساوي صفرًا. ومن ثَمَّ، فإن إزاحة السيارة تساوي صفرًا؛ لأن نقطة نهاية حركتها هي نفس نقطة بداية حركتها.

ومع تحرُّك السيارة في المسار حول الدائرة، فإن المسافة التي تقطعها تزيد دائمًا. من ناحية أخرى، تزيد إزاحة السيارة لفترة من الوقت ثم تقل، حتى تصل إلى الصفر مرة أخرى عندما تكون السيارة عند نقطة النهاية. وهذا فرق أساسي بين المسافة والإزاحة لجسم لا يتحرَّك في خط مستقيم.

نلخِّص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الشارح.