شارح الدرس: صيغة هيرون الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: إيجاد مساحة مثلث باستخدام صيغة هيرون

مساحة المثلث الذي أطوال أضلاعه ٣ سم، ٦ سم، ٧ سم تساوي سم^٢.

الحل

في هذه المسألة، لدينا فقط أطوال الأضلاع الثلاثة لمثلث. وبما أنه ليس لدينا ارتفاع المثلث، ولا قياس أيٍّ من زواياه، علينا استخدام صيغة هيرون لإيجاد مساحته. نتذكَّر أن صيغة هيرون تنصُّ على أن مساحة المثلث، ؛ حيث ، ، أطوال أضلاعه، هي: حيث نصْف محيط المثلث، أو نصْف مجموع أطوال أضلاعه. ويُمكن إيجاد نصْف المحيط باستخدام الصيغة الآتية:

لنبدأ بإيجاد نصْف محيط المثلث. علينا أن نعوِّض بجميع أطوال أضلاع المثلث في صيغة نصْف المحيط عن كلٍّ من ، ، . لا يُهِمُّ أيُّ طول ضلع نعوِّض به عن أيِّ متغيِّر. هنا، سنعوِّض بـ ، ، ، ثم نبسِّط لنحصل على نصْف المحيط:

والآن، يُمكننا التعويض بالقِيَم في صيغة هيرون لإيجاد مساحة المثلث.

بما أن ، ، ، ، فإن صيغة هيرون تُعطينا:

ومن ثَمَّ، يُمكننا القول إن مساحة المثلث الذي أطوال أضلاعه ٣ سم، ٦ سم، ٧ سم تساوي .

مثال ٢: إيجاد مساحة مثلث باستخدام صيغة هيرون

مثلث؛ حيث ، ، . أوجد مساحة ، لأقرب سنتيمتر مربع.

الحل

أولًا، دعونا نرسم المثلث . نعلم أن ، ، .

بما أنَّنا نعرف أطوال أضلاع المثلث الثلاثة، يُمكننا استخدام صيغة هيرون لإيجاد مساحته. وفقًا لصيغة هيرون، فإن مساحة المثلث، ؛ حيث ، ، أطوال أضلاعه، هي: حيث نصْف محيط المثلث. يُمكن حساب نصْف المحيط باستخدام الصيغة:

بالتعويض بـ ، ، في صيغة نصْف المحيط، نحصل على:

الآن، بما أن ، ، ، ، تُخبرنا صيغة هيرون أن مساحة المثلث تساوي:

إذن مساحة المثلث ، لأقرب سنتيمتر مربع سنتيمتر مربع تساوي ٢٣٥ سم^٢.

مثال ٣: إيجاد مساحة معيَّن باستخدام صيغة هيرون

محيط المعيَّن الآتي ٢٩٢ سم، وطول يساوي ١١٦ سم. استخدم صيغة هيرون لحساب مساحته، لأقرب ثلاث منازل عشرية.

الحل

تذكَّر أن صيغة هيرون هي: حيث مساحة المثلث الذي أطوال أضلاعه ، ، ، ونصْف محيطه . ويُعطَى نصْف المحيط بالصيغة:

ولكي نستخدم صيغة هيرون لحساب مساحة المعيَّن المُعطى، علينا تقسيم المعيَّن إلى مثلثين: المثلث ، والمثلث . وبما أن المعيَّن شكل رباعي له أربعة أضلاع متساوية في الطول، فإن كلَّ ضلع من أضلاع المعيَّن يجب أن يكون طوله:

وبذلك نعرف أن أطوال أضلاع المثلث هي:

بناء على هذه المعلومات، يُمكننا استخدام صيغة هيرون لحساب مساحة المثلث. يُمكننا البدء بإيجاد نصْف محيطه:

بعد ذلك، يُمكننا التعويض بـ ، ، ، في صيغة هيرون للحصول على المساحة:

نعلم أن مساحة المثلث يجب أن تساوي مساحة المثلث ؛ لأن المثلثين أضلاعهما متساوية في الطول. ولذلك، بما أن المعيَّن يتكوَّن من المثلثين، فإن مساحة المعيَّن لا بدَّ أن تساوي:

إذن مساحة المعيَّن لأقرب ثلاث منازل عشرية تساوي ٥‎ ‎١٤٢٫٠٨٥ سم^٢.

مثال ٤: إيجاد مساحة شكل رباعي باستخدام صيغة هيرون

أوجد مساحة الشكل الآتي، لأقرب ثلاث منازل عشرية باستخدام صيغة هيرون.

الحل

نعلم أن صيغة هيرون هي: حيث مساحة المثلث الذي أطوال أضلاعه ، ، ، ونصْف محيطه . كما نعلم أيضًا أنه يُمكن حساب نصْف المحيط باستخدام الصيغة:

لكي نستخدم صيغة هيرون لحساب مساحة الشكل، يجب أن نقسمه إلى مثلثين.

المثلثان اللذان يُمكن تقسيم الشكل إليهما، أحدهما أطوال أضلاعه ١٦ سم، ٢٠ سم، ٢٣ سم. لنبدأ بإيجاد مساحة هذا المثلث باستخدام صيغة هيرون. بالتعويض بأطوال أضلاع المثلث الثلاثة في صيغة نصْف المحيط، نحصل على:

بعد ذلك، بالتعويض بأطوال أضلاع المثلث الثلاثة ونصْف محيطه في صيغة هيرون، نحصل على:

بالنظر إلى المثلث الآخَر، يُمكننا أن نرى أنه مثلث قائم الزاوية، طول أحد ضلعَيِ القائمة فيه يساوي ١٦ سم، وطول وتره يساوي ٢٠ سم. ولكن ليس لدينا طول ضلع القائمة الآخَر في المثلث.

ولكي نُوجِد طوله، يُمكننا استخدام نظرية فيثاغورس التي تنصُّ أنه في المثلث القائم الزاوية، إذا كان ، طولَيْ ضلعَيِ القائمة، وكان ، طول الوتر، فإن:

يُمكننا التعويض بـ ، ، ثم نحلُّ المعادلة للحصول على على النحو الآتي:

لاحِظ أنه علينا اعتبار الجذر الموجب للعدد ١٤٤ فقط؛ لأن الطول لا يُمكن أن يكون سالبًا. ومن ثَمَّ، فإن أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث الثاني هي:

الآن، بعد أن عرفنا أطوال الأضلاع الثلاثة، دعونا نُوجِد مساحة المثلث. أولًا، يُمكننا التعويض بأطوال الأضلاع في صيغة نصْف المحيط لنحصل على:

بعد ذلك، يُمكننا التعويض بأطوال الأضلاع ونصْف المحيط في صيغة هيرون لنحصل على:

لاحِظ أنه كان بإمكاننا أيضًا استخدام الصيغة: لإيجاد مساحة المثلث؛ لأنه مثلث قائم الزاوية قاعدته تساوي ١٢ سم، وارتفاعه يساوي ١٦ سم. هذه الصيغة تُعطينا أيضًا مساحة قيمتها:

وبالجمع بين مساحتَيِ المثلثين، نحصل على مساحة كلية قيمتها: .

إذن مساحة الشكل، لأقرب ثلاث منازل عشرية، هي ٢٥٢٫٨١٨ سم^٢

مثال ٥: استخدام صيغة هيرون لإيجاد نصْف قطر دائرة مرسومة داخل مثلث وتمسُّ أضلاعه

أطوال أضلاع مثلث هي ١٢ سم، ٥ سم، ١١ سم. أوجد نصْف قطر الدائرة الداخلية التي تمسُّ الأضلاع باستخدام الصيغة: ؛ حيث نصْف محيط المثلث.

الحل

وفقًا للصيغة: لحساب نصْف قطر الدائرة الداخلية التي تمسُّ أضلاع المثلث الموصوفة في المسألة، علينا معرفة مساحة المثلث ونصْف محيطه.

بما أن لدينا أطوال أضلاع المثلث، يُمكننا استخدام صيغة هيرون لحساب مساحته. تذكَّر أن صيغة هيرون تنصُّ على أن مساحة المثلث، ؛ حيث ، ، أطوال أضلاعه، نصْف محيطه، هي:

ويُمكن إيجاد نصْف المحيط باستخدام الصيغة:

لنبدأ بإيجاد نصْف محيط المثلث. لاحِظ أن هذا سيكون أيضًا قيمة في الصيغة الآتية: لأنها نصْف محيط المثلث. باستخدام أطوال أضلاع المثلث ١٢ سم، ٥ سم، ١١ سم، فإن نصْف محيطه يساوي:

الآن، يُمكننا التعويض بأطوال أضلاع المثلث في صيغة هيرون عن ، ، ، وبقيمة نصْف محيطه عن ، وهو ما يُعطينا:

بما أنَّنا أوجدنا الآن أن نصْف محيط المثلث الموضَّح في المسألة هو ١٤ سم، وأن مساحته هي سم^٢، يُمكننا استخدام الصيغة: لحساب نصْف قطر الدائرة الداخلية التي تمسُّ أضلاع المثلث. وبالتعويض في الصيغة، نحصل على:

إذن نصْف قطر الدائرة يساوي .