تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: صيغة هيرون الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم صيغة هيرون لإيجاد مساحة المثلث.

قبل دراسة صيغة هيرون بالتفصيل، لنُلقِ نظرةً على صيغتين أخريَيْن يُمكننا استخدامهما لإيجاد مساحة المثلث 𞸌. تعتمد الصيغة التي سنختارها على المُعطيات المتوفِّرة لدينا عن المثلث.

تذكَّر أنه لحساب مساحة مثلث معلوم طول قاعدته وارتفاعه العمودي، يُمكننا استخدام الصيغة الآتية: 𞸌=١٢𞸒𞸏، حيث 𞸒 طول القاعدة، 𞸏 الارتفاع العمودي. ولإيجاد مساحة المثلث الآتي، يُمكننا التعويض بـ ١٢ سم في الصيغة عن 𞸒 وبـ ٤ سم عن 𞸏:

𞸌=١٢(٤)(٢١)=٤٢.٢

تذكَّر أيضًا أن: 𞸌=١٢󰏡𞸁𞸢 صيغة أخرى يُمكننا استخدامها لحساب مساحة المثلث. وفيها يكون 󰏡، 𞸁 طولَيْ ضلعَيْن في المثلث، 𞸢 قياس الزاوية المحصورة بينهما، أو الزاوية التي كوَّنها الضلعان اللذان طولاهما 󰏡، 𞸁.

يُمكننا استخدام هذه الصيغة لإيجاد مساحة أيِّ مثلث معلوم فيه قياس زاوية تكوَّنت بواسطة ضلعَيْن معلوم طولاهما. لإيجاد مساحة المثلث الآتي، يُمكننا التعويض بـ ١٥ سم، و ١٨ سم في الصيغة عن 󰏡، 𞸁، وبالقيمة ٠٣ عن 𞸢:

𞸌=١٢(٥١)(٨١)(٠٣)=١٢(٥١)(٨١)󰂔١٢󰂓=٥٫٧٦.٢

والآن، لنفترض أنَّنا نعلم أطوال الأضلاع الثلاثة في مثلث، لكنَّنا لا نعلم قياسات أيٍّ من زواياه. باستخدام هذه المُعطيات فقط، لا يُمكننا استخدام الصيغة: 𞸌=١٢𞸁𞸏 ولا الصيغة: 𞸌=١٢󰏡𞸁𞸢 لحساب مساحة المثلث. لكن يُمكننا استخدام صيغة هيرون.

تعريف: صيغة هيرون

تنصُّ صيغة هيرون على أن مساحة المثلث 𞸌؛ حيث 󰏡، 𞸁، 𞸢 أطوال أضلاعه هي: 𞸌=󰋷𞸇󰁓𞸇󰏡󰁒󰁓𞸇𞸁󰁒󰁓𞸇𞸢󰁒، حيث 𞸇 نصْف محيط المثلث، أو نصْف مجموع أطوال أضلاعه. يُعطَى نصْف محيط المثلث بالصيغة:

𞸇=󰏡+𞸁+𞸢٢.

هيَّا نختبر صيغة هيرون للتأكُّد من أنَّنا نحصل على نفس المساحة، 𞸌، لمثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه يساوي ٢ سم، والتي نحصل عليها باستخدام الصيغة الآتية: 𞸌=󰋴٣٤󰏡.٢

في هذه الصيغة، المتغيِّر 󰏡 طول ضلع المثلث. بالتعويض بـ 󰏡=٢ في هذه الصيغة، نحصل على: 𞸌=󰋴٣٤(٢)=󰋴٣٤(٤)=󰋴٣.٢٢

حصلنا على 󰋴٣ سم٢ لمساحة المثلث. لإجراء المقارنة، سنستخدم الآن صيغة هيرون لإيجاد المساحة. للقيام بذلك، علينا أولًا حساب نصْف المحيط: 𞸇=٢+٢+٢٢=٦٢=٣.

ومن ثَمَّ، فإن صيغة هيرون تُعطينا: 𞸌=󰋴٣(٣٢)(٣٢)(٣٢)=󰋴٣(١)(١)(١)=󰋴٣.٢

نلاحِظ أن مساحة المثلث تساوي 󰋴٣ سم٢، وهي نفس الإجابة التي توصَّلْنا إليها سابقًا. وهذا هو ما نتوقَّعه.

في الأمثلة الآتية، سنتناول بعض الحالات الأخرى التي تُستخدَم فيها صيغة هيرون، ليس فقط لحساب مساحة المثلثات، بل أيضًا لحساب مساحات الأشكال المكوَّنة من مثلثات.

مثال ١: إيجاد مساحة مثلث باستخدام صيغة هيرون

مساحة المثلث الذي أطوال أضلاعه ٣ سم، ٦ سم، ٧ سم تساوي سم٢.

الحل

في هذه المسألة، لدينا فقط أطوال الأضلاع الثلاثة لمثلث. وبما أنه ليس لدينا ارتفاع المثلث، ولا قياس أيٍّ من زواياه، علينا استخدام صيغة هيرون لإيجاد مساحته. نتذكَّر أن صيغة هيرون تنصُّ على أن مساحة المثلث، 𞸌؛ حيث 󰏡، 𞸁، 𞸢 أطوال أضلاعه، هي: 𞸌=󰋷𞸇󰁓𞸇󰏡󰁒󰁓𞸇𞸁󰁒󰁓𞸇𞸢󰁒،حيث 𞸇 نصْف محيط المثلث، أو نصْف مجموع أطوال أضلاعه. ويُمكن إيجاد نصْف المحيط باستخدام الصيغة الآتية: 𞸇=󰏡+𞸁+𞸢٢.

لنبدأ بإيجاد نصْف محيط المثلث. علينا أن نعوِّض بجميع أطوال أضلاع المثلث في صيغة نصْف المحيط عن كلٍّ من 󰏡، 𞸁، 𞸢. لا يُهِمُّ أيُّ طول ضلع نعوِّض به عن أيِّ متغيِّر. هنا، سنعوِّض بـ 󰏡=٣، 𞸁=٦، 𞸢=٧، ثم نبسِّط لنحصل على نصْف المحيط: 𞸇=٣+٦+٧٢=٦١٢=٨.

والآن، يُمكننا التعويض بالقِيَم في صيغة هيرون لإيجاد مساحة المثلث.

بما أن 󰏡=٣، 𞸁=٦، 𞸢=٧، 𞸇=٨، فإن صيغة هيرون تُعطينا: 𞸌=󰋴٨(٨٣)(٨٦)(٨٧)=󰋴٨(٥)(٢)(١)=󰋴٠٨=٤󰋴٥.٢

ومن ثَمَّ، يُمكننا القول إن مساحة المثلث الذي أطوال أضلاعه ٣ سم، ٦ سم، ٧ سم تساوي ٤󰋴٥٢.

في المثال الآتي، سنحسب أيضًا مساحة مثلث مُعطًى أطوال أضلاعه الثلاثة باستخدام صيغة هيرون.

مثال ٢: إيجاد مساحة مثلث باستخدام صيغة هيرون

𞸌𞸁𞸢 مثلث؛ حيث 𞸁𞸢=٨٢، 𞸌𞸢=٠٢، 𞸌𞸁=٤٢. أوجد مساحة 𞸌𞸁𞸢، لأقرب سنتيمتر مربع.

الحل

أولًا، دعونا نرسم المثلث 𞸌𞸁𞸢. نعلم أن 𞸁𞸢=٨٢، 𞸌𞸢=٠٢، 𞸌𞸁=٤٢.

بما أنَّنا نعرف أطوال أضلاع المثلث الثلاثة، يُمكننا استخدام صيغة هيرون لإيجاد مساحته. وفقًا لصيغة هيرون، فإن مساحة المثلث، 𞸌؛ حيث 󰏡، 𞸁، 𞸢 أطوال أضلاعه، هي: 𞸌=󰋷𞸇󰁓𞸇󰏡󰁒󰁓𞸇𞸁󰁒󰁓𞸇𞸢󰁒، حيث 𞸇 نصْف محيط المثلث. يُمكن حساب نصْف المحيط باستخدام الصيغة: 𞸇=󰏡+𞸁+𞸢٢.

بالتعويض بـ 󰏡=٨٢، 𞸁=٠٢، 𞸢=٤٢ في صيغة نصْف المحيط، نحصل على: 𞸇=٨٢+٠٢+٤٢٢=٢٧٢=٦٣.

الآن، بما أن 󰏡=٨٢، 𞸁=٠٢، 𞸢=٤٢، 𞸇=٦٣، تُخبرنا صيغة هيرون أن مساحة المثلث تساوي: 𞸌=󰋴٦٣(٦٣٨٢)(٦٣٠٢)(٦٣٤٢)=󰋴٦٣(٨)(٦١)(٢١)=󰋴٦٩٢٥٥=٥١٠١٥١٫٥٣٢.٢

إذن مساحة المثلث 𞸌𞸁𞸢، لأقرب سنتيمتر مربع سنتيمتر مربع تساوي ٢٣٥ سم٢.

بعد ذلك، سنستخدم صيغة هيرون لحساب مساحة معيَّن. تذكَّر أن أضلاع المعيَّن جميعها لها نفس الطول.

مثال ٣: إيجاد مساحة معيَّن باستخدام صيغة هيرون

محيط المعيَّن الآتي ٢٩٢ سم، وطول 𞸌𞸢 يساوي ١١٦ سم. استخدم صيغة هيرون لحساب مساحته، لأقرب ثلاث منازل عشرية.

الحل

تذكَّر أن صيغة هيرون هي: 𞸌=󰋷𞸇󰁓𞸇󰏡󰁒󰁓𞸇𞸁󰁒󰁓𞸇𞸢󰁒، حيث 𞸌 مساحة المثلث الذي أطوال أضلاعه 󰏡، 𞸁، 𞸢، ونصْف محيطه 𞸇. ويُعطَى نصْف المحيط بالصيغة: 𞸇=󰏡+𞸁+𞸢٢.

ولكي نستخدم صيغة هيرون لحساب مساحة المعيَّن المُعطى، علينا تقسيم المعيَّن إلى مثلثين: المثلث 𞸌𞸁𞸢، والمثلث 𞸌𞸃𞸢. وبما أن المعيَّن شكل رباعي له أربعة أضلاع متساوية في الطول، فإن كلَّ ضلع من أضلاع المعيَّن 𞸌𞸁𞸢𞸃 يجب أن يكون طوله: ٢٩٢٤=٣٧.

وبذلك نعرف أن أطوال أضلاع المثلث 𞸌𞸁𞸢 هي: 𞸌𞸁=٣٧،𞸁𞸢=٣٧𞸌𞸢=٦١١.

بناء على هذه المعلومات، يُمكننا استخدام صيغة هيرون لحساب مساحة المثلث. يُمكننا البدء بإيجاد نصْف محيطه: 𞸇=٣٧+٦١١+٣٧٢=٢٦٢٢=١٣١.

بعد ذلك، يُمكننا التعويض بـ 󰏡=٣٧، 𞸁=٦١١، 𞸢=٣٧، 𞸇=١٣١ في صيغة هيرون للحصول على المساحة: 𞸌=󰋴١٣١(١٣١٣٧)(١٣١٦١١)(١٣١٣٧)=󰋴١٣١(٨٥)(٥١)(٨٥)=󰋴٠٦٢٠١٦٦.٢

نعلم أن مساحة المثلث 𞸌𞸃𞸢 يجب أن تساوي مساحة المثلث 𞸌𞸁𞸢؛ لأن المثلثين أضلاعهما متساوية في الطول. ولذلك، بما أن المعيَّن 𞸌𞸁𞸢𞸃 يتكوَّن من المثلثين، فإن مساحة المعيَّن لا بدَّ أن تساوي: ٢󰋴٠٦٢٠١٦٦=٠٨١٥٨٠٫٢٤١٥.٢

إذن مساحة المعيَّن لأقرب ثلاث منازل عشرية تساوي ٥‎ ‎١٤٢٫٠٨٥ سم٢.

في المثال الآتي، سنحسب مساحة شكلٍ مكوَّن من مثلثين باستخدام صيغة هيرون. أحد المثلثين قائم الزاوية، وسيكون علينا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول أحد ضلعَيِ القائمة.

مثال ٤: إيجاد مساحة شكل رباعي باستخدام صيغة هيرون

أوجد مساحة الشكل الآتي، لأقرب ثلاث منازل عشرية باستخدام صيغة هيرون.

الحل

نعلم أن صيغة هيرون هي: 𞸌=󰋷𞸇󰁓𞸇󰏡󰁒󰁓𞸇𞸁󰁒󰁓𞸇𞸢󰁒، حيث 𞸌 مساحة المثلث الذي أطوال أضلاعه 󰏡، 𞸁، 𞸢، ونصْف محيطه 𞸇. كما نعلم أيضًا أنه يُمكن حساب نصْف المحيط باستخدام الصيغة: 𞸇=󰏡+𞸁+𞸢٢.

لكي نستخدم صيغة هيرون لحساب مساحة الشكل، يجب أن نقسمه إلى مثلثين.

المثلثان اللذان يُمكن تقسيم الشكل إليهما، أحدهما أطوال أضلاعه ١٦ سم، ٢٠ سم، ٢٣ سم. لنبدأ بإيجاد مساحة هذا المثلث باستخدام صيغة هيرون. بالتعويض بأطوال أضلاع المثلث الثلاثة في صيغة نصْف المحيط، نحصل على: 𞸇=٦١+٠٢+٣٢٢=٩٥٢=٥٫٩٢.

بعد ذلك، بالتعويض بأطوال أضلاع المثلث الثلاثة ونصْف محيطه في صيغة هيرون، نحصل على: 𞸌=󰋴٥٫٩٢(٥٫٩٢٦١)(٥٫٩٢٠٢)(٥٫٩٢٣٢)=󰋴٥٫٩٢(٥٫٣١)(٥٫٩)(٥٫٦)=󰋴٥٧٣٩٫١٩٥٤٢=٦٦١٨١٨٫٦٥١.٢

بالنظر إلى المثلث الآخَر، يُمكننا أن نرى أنه مثلث قائم الزاوية، طول أحد ضلعَيِ القائمة فيه يساوي ١٦ سم، وطول وتره يساوي ٢٠ سم. ولكن ليس لدينا طول ضلع القائمة الآخَر في المثلث.

ولكي نُوجِد طوله، يُمكننا استخدام نظرية فيثاغورس التي تنصُّ أنه في المثلث القائم الزاوية، إذا كان 󰏡، 𞸁 طولَيْ ضلعَيِ القائمة، وكان 𞸢، طول الوتر، فإن: 󰏡+𞸁=𞸢.٢٢٢

يُمكننا التعويض بـ 󰏡=٦١، 𞸢=٠٢، ثم نحلُّ المعادلة للحصول على 𞸁 على النحو الآتي: ٦١+𞸁=٠٢،٦٥٢+𞸁=٠٠٤،𞸁=٤٤١،𞸁=٢١.٢٢٢٢٢

لاحِظ أنه علينا اعتبار الجذر الموجب للعدد ١٤٤ فقط؛ لأن الطول لا يُمكن أن يكون سالبًا. ومن ثَمَّ، فإن أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث الثاني هي: ٢١،٦١،٠٢.،

الآن، بعد أن عرفنا أطوال الأضلاع الثلاثة، دعونا نُوجِد مساحة المثلث. أولًا، يُمكننا التعويض بأطوال الأضلاع في صيغة نصْف المحيط لنحصل على: 𞸇=٢١+٦١+٠٢٢=٨٤٢=٤٢.

بعد ذلك، يُمكننا التعويض بأطوال الأضلاع ونصْف المحيط في صيغة هيرون لنحصل على: 𞸌=󰋴٤٢(٤٢٢١)(٤٢٦١)(٤٢٠٢)=󰋴٤٢(٢١)(٨)(٤)=󰋴٦١٢٩=٦٩.٢

لاحِظ أنه كان بإمكاننا أيضًا استخدام الصيغة: 𞸌=١٢𞸁𞸏 لإيجاد مساحة المثلث؛ لأنه مثلث قائم الزاوية قاعدته تساوي ١٢ سم، وارتفاعه يساوي ١٦ سم. هذه الصيغة تُعطينا أيضًا مساحة قيمتها: 𞸌=١٢(٢١)(٦١)=٦٩.٢

وبالجمع بين مساحتَيِ المثلثين، نحصل على مساحة كلية قيمتها: ٦٦١٨١٨٫٦٥١+٦٩=٦٦١٨١٨٫٢٥٢٢.

إذن مساحة الشكل، لأقرب ثلاث منازل عشرية، هي ٢٥٢٫٨١٨ سم٢

في المثال الأخير، نستخدم صيغة هيرون لتساعدنا على إيجاد نصْف قطر دائرة مرسومة داخل مثلث وتمسُّ أضلاعه.

مثال ٥: استخدام صيغة هيرون لإيجاد نصْف قطر دائرة مرسومة داخل مثلث وتمسُّ أضلاعه

أطوال أضلاع مثلث هي ١٢ سم، ٥ سم، ١١ سم. أوجد نصْف قطر الدائرة الداخلية التي تمسُّ الأضلاع باستخدام الصيغة: ؈=󰁓𞸌𞸁𞸢󰁒𞸋؛ حيث 𞸋 نصْف محيط المثلث.

الحل

وفقًا للصيغة: ؈=󰁓𞸌𞸁𞸢󰁒𞸋، لحساب نصْف قطر الدائرة الداخلية التي تمسُّ أضلاع المثلث الموصوفة في المسألة، علينا معرفة مساحة المثلث ونصْف محيطه.

بما أن لدينا أطوال أضلاع المثلث، يُمكننا استخدام صيغة هيرون لحساب مساحته. تذكَّر أن صيغة هيرون تنصُّ على أن مساحة المثلث، 𞸌؛ حيث 󰏡، 𞸁، 𞸢 أطوال أضلاعه، 𞸇 نصْف محيطه، هي: 𞸌=󰋷𞸇󰁓𞸇󰏡󰁒󰁓𞸇𞸁󰁒󰁓𞸇𞸢󰁒.

ويُمكن إيجاد نصْف المحيط باستخدام الصيغة: 𞸇=󰏡+𞸁+𞸢٢.

لنبدأ بإيجاد نصْف محيط المثلث. لاحِظ أن هذا سيكون أيضًا قيمة 𞸋 في الصيغة الآتية: ؈=󰁓𞸌𞸁𞸢󰁒𞸋، لأنها نصْف محيط المثلث. باستخدام أطوال أضلاع المثلث ١٢ سم، ٥ سم، ١١ سم، فإن نصْف محيطه يساوي: 𞸇=٢١+٥+١١٢=٨٢٢=٤١.

الآن، يُمكننا التعويض بأطوال أضلاع المثلث في صيغة هيرون عن 󰏡، 𞸁، 𞸢، وبقيمة نصْف محيطه عن 𞸇، وهو ما يُعطينا: 𞸌=󰋴٤١(٤١٢١)(٤١٥)(٤١١١)=󰋴٤١(٢)(٩)(٣)=󰋴٦٥٧=٦󰋴١٢.٢

بما أنَّنا أوجدنا الآن أن نصْف محيط المثلث الموضَّح في المسألة هو ١٤ سم، وأن مساحته هي ٦󰋴١٢ سم٢، يُمكننا استخدام الصيغة: ؈=󰁓𞸌𞸁𞸢󰁒𞸋 لحساب نصْف قطر الدائرة الداخلية التي تمسُّ أضلاع المثلث. وبالتعويض في الصيغة، نحصل على: ؈=٦󰋴١٢٤١=٣٧󰋴١٢.

إذن نصْف قطر الدائرة يساوي ٣٧󰋴١٢.

والآن هيَّا نختم بتلخيص بعض النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • تنصُّ صيغة هيرون على أن مساحة المثلث، 𞸌؛ حيث 󰏡، 𞸁، 𞸢 أطوال أضلاعه، هي: 𞸌=󰋷𞸇󰁓𞸇󰏡󰁒󰁓𞸇𞸁󰁒󰁓𞸇𞸢󰁒، حيث 𞸇 نصْف محيط المثلث، أو نصْف مجموع أطوال أضلاعه.
  • يُعطَى نصْف محيط المثلث بالصيغة: 𞸇=󰏡+𞸁+𞸢٢، حيث 󰏡، 𞸁، 𞸢 أطوال أضلاعه.
  • يُمكن حساب نصْف قطر الدائرة الداخلية التي تمسُّ أضلاع مثلث باستخدام الصيغة: ؈=󰁓𞸌𞸁𞸢󰁒𞸋، حيث 𞸋 نصْف محيط المثلث.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.