شارح الدرس: حلُّ المعادلات الأُسِّية باستخدام اللوغاريتمات الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: حلُّ المعادلات الأسية باستخدام اللوغاريتمات

حلَّ: لإيجاد مقرِّبًا إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

الحل

دعونا نبدأ بتذكُّر أن الدالة اللوغاريتمية هي الدالة العكسية للدالة الأسية. إذا كان ، فإن . وبما أن أو على الصورة: ؛ فإننا نعلم أن قيمة تساوي ١١، وأن قيمة تساوي ٣. ومن ثَمَّ، يمكننا كتابة المعادلة:

وبما أن ١١ ليس إحدى قوى العدد ٣، فإن علينا استخدام الآلة الحاسبة العلمية لتبسيط الطرف الأيسر. علينا التأكُّد من استخدام المفاتيح المناسبة، ومراعاة أن الأساس يساوي ٣ لا ١٠. عند القيام بذلك، نحصل على: ، وتطلب منَّا المسألة إيجاد قيمة لأقرب ثلاث منازل عشرية، إذن علينا النظر إلى الرقم الموجود في خانة الجزء من عشرات الألوف، وهو: ٦. ولأن هذا الرقم أكبر من أو يساوي ٥، فعلينا تقريب الرقم ٢ في خانة الجزء من الألف لأعلى لنحصل على الحلِّ: .

هناك طريقة أخرى لحلِّ المعادلة: ؛ وهي أخذ الطرفين. باستخدام الأساس ١٠، نحصل على:

لاحظ أن الأساس غير محدَّد في المعادلة. ثم تسمح لنا قاعدة القوة للوغاريتمات بإعادة كتابة على الصورة: ، وبذلك تصبح المعادلة:

بعد ذلك، يمكننا قسمة الطرفين على لنحصل على: ، ثم نستخدم زرَّ الموجود في الآلة الحاسبة العلمية، لنحصل على: .

كما فعلنا سابقًا، سنقرِّب الرقم ٢ في خانة الجزء من الألف لأعلى، لنحصل على الحلِّ: .

ملاحظة

عند استخدام الآلة الحاسبة العلمية لتقريب قيمة المقدار: ، من المهمِّ أن نكتب كلًّا من: ، لأقرب عدد كافٍ من المنازل العشرية إذا كنا نحسبهما بشكل منفصل. على سبيل المثال، إذا كتبناهما لأقرب ثلاث منازل عشرية فقط، فسنحصل على:

في هذه الحالة، نحتفظ بالعدد ٢ في خانة الجزء من الألف بدلًا من تقريبه لأعلى، وسنحصل على حلٍّ خطأ؛ وهو: . لهذا السبب، من الأفضل إدخال في الآلة الحاسبة على صورة مقدار واحد بدلًا من حساب كلِّ على حدة.

مثال ٢: حلُّ معادلات أسية أسسها ذات حدين باستخدام اللوغاريتمات

أوجد، لأقرب جزء من مائة، قيمة ؛ إذا كان: .

الحل

لحلِّ المعادلة وإيجاد قيمة يمكننا البدء بأخذ الطرفين. إذا استخدمنا الأساس ١٠، فإنه لن يتعيَّن علينا تحديده، وسنحصل على المعادلة:

باستخدام قاعدة القوة للوغاريتمات، فإنه يمكننا إعادة كتابة على الصورة: ، وبذلك تصبح المعادلة:

نقسم طرفَي المعادلة على ، وذلك يعطينا: ثم بطرح ٨ من الطرفين، نحصل على:

يمكننا الآن استخدام زرِّ الموجود في الآلة الحاسبة العلمية لمساعدتنا في تقريب قيمة . عند القيام بذلك، من الأفضل إدخال في الآلة الحاسبة على صورة مقدار واحد بدلًا من إيجاد ، قبل التبسيط، كلٌّ على حدة. بهذه الطريقة، لا خوف من حدوث أخطاء في التقريب. عند القيام بذلك، نحصل على: وهو ما يعطينا الحلَّ: لأقرب جزء من مائة.

مثال ٣: حلُّ معادلات أسية أسسها ذات حدين باستخدام اللوغاريتمات

استخدم الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة ، إذا كان . قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

أولًا، دعونا نحسب طرفَي المعادلة. باستخدام الأساس ١٠، نحصل على:

تسمح لنا قاعدة القوة للوغاريتمات بإعادة كتابة على الصورة: ، على الصورة: ، وهو ما يعطينا المعادلة:

بعد توزيع على الطرف الأيمن من المعادلة، على الطرف الأيسر؛ تصبح المعادلة:

والآن، لجعل المتغيِّر في طرف بمفرده، دعونا ننقل الحدود التي تحتوي على إلى أحد طرفَي المعادلة، والحدود التي لا تحتوي على إلى الطرف الآخَر. أولًا، نضيف إلى الطرفين لنحصل على:

بعد ذلك، نطرح من الطرفين، وبذلك تصبح المعادلة:

يمكننا الآن إخراج العامل المشترَك من الطرف الأيسر للمعادلة، لنحصل على: ثم نقسم طرفَي المعادلة على المقدار: ، لنتوصَّل إلى:

وأخيرًا، يمكننا استخدام زرِّ log في الآلة الحاسبة العلمية لإدخال المقدار الذي يتضمَّن . تعطينا الآلة الحاسبة: وهو ما يعطينا الحلَّ: لأقرب منزلتين عشريتين.

مثال ٤: حلُّ المعادلات الأسية باستخدام اللوغاريتمات

حلَّ: لإيجاد قيمة مقرِّبًا إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

الحل

الخطوة الأولى في حلِّ: لإيجاد قيمة هي نقل الحدود التي تحتوي على الأس إلى أحد طرفَي المعادلة، والحدود التي لا تحتوي على الأس إلى الطرف الآخَر. إذا قسمنا طرفَي المعادلة على نحصل على:

نلاحظ أن لدينا الآن ٢ في كلٍّ من بسط الكسر ومقامه في الطرف الأيمن للمعادلة، ولدينا في كلٍّ من بسط الكسر ومقامه في الطرف الأيسر. سنحذف هذين الحدين معًا، لنحصل على:

تذكَّر أنه إذا كان الثابتان ، كلاهما مرفوع للقوة ، فإن ؛ إذن يمكننا التعويض عن بـ ، لنحصل على:

وبما أن الدالة اللوغاريتمية هي الدالة العكسية للدالة الأسية، فإننا نعرف أنه إذا كان ، فإن . المعادلة: أو تكون على الصورة: ، وهو ما يوضِّح أن قيمة تساوي ، وأن قيمة تساوي . ومن ثَمَّ، يمكننا كتابة المعادلة:

يمكننا الآن استخدام الآلة الحاسبة العلمية لتبسيط الطرف الأيسر، مع مراعاة أن الأساس هو لا ١٠. عند القيام بذلك، نحصل على: ؛ وهو ما يعطينا الحلَّ: لأقرب ثلاث منازل عشرية.

يمكننا أيضًا حساب طرفَي المعادلة: لحلِّها. إذا استخدمنا الأساس ١٠، فإننا نحصل على:

باستخدام قاعدة القوة للوغاريتمات، يمكننا إعادة كتابة على الصورة: ، وبذلك نحصل على المعادلة:

والآن، يمكننا قسمة الطرفين على لنحصل على: ثم نستخدم زرَّ الموجود في الآلة الحاسبة العلمية لإدخال المقدار الذي يتضمَّن ، وهو ما يعطينا:

مرة أخرى، سنحتفظ بالرقم خمسة في خانة الجزء من الألف لنتوصَّل إلى الحلِّ: .

مثال ٥: حلُّ معادلات أسية أسسها ذات حدين باستخدام اللوغاريتمات

استخدم الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة ، إذا كان: . قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

دعونا نبدأ بأخذ لوغاريتم طرفَي المعادلة. باستخدام الأساس ١٠، نحصل على:

تتيح لنا قاعدة الضرب للوغاريتمات إعادة كتابة على الصورة: ، على الصورة: ، وتنتج عن ذلك المعادلة:

يمكننا الآن استخدام قاعدة القوة للوغاريتمات لإعادة كتابة على الصورة: . يمكننا أيضًا استخدامها لإعادة كتابة على الصورة: ، وبذلك نحصل على المعادلة:

بعد أن نوزِّع على الطرف الأيسر، نحصل على:

بعد ذلك، علينا نقل الحدود التي تحتوي على إلى أحد طرفَي المعادلة، والحدود التي لا تحتوي على إلى الطرف الآخَر. بطرح من الطرفين، نحصل على: ثم بطرح من الطرفين، نحصل على:

يمكن الآن تجميع الحدين الأخيرين في الطرف الأيسر للحصول على المعادلة:

يمكننا الآن إخراج العامل المشترَك من الطرف الأيمن للمعادلة: ثم نقسم طرفَي المعادلة على المقدار: ، لنتوصَّل إلى:

وأخيرًا يمكننا استخدام زرِّ الموجود في الآلة الحاسبة العلمية لإدخال المقدار الذي يتضمَّن . الآلة الحاسبة تعطينا: وهو ما يعطينا الحلَّ: لأقرب منزلتين عشريتين.