شارح الدرس: الأحداث المكمِّلة الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

مثال ١: إيجاد احتمال حدثٍ مكمِّل لحدثٍ مُعطًى

إذا كان احتمال وقوع حدثٍ هو ، فما احتمال عدم وقوعه؟

الحل

نسترجِع أولًا أن عدم وقوع الحدث يُسمَّى الحدث المكمِّل، وأن احتمال وقوع حدثٍ ما مضافًا إليه احتمال الحدث المكمِّل له يساوي ١. وعلى وجه التحديد، يكون لدينا:

في هذه الحالة، يصبح لدينا:

مثال ٢: إيجاد احتمال حدثٍ مكمِّل في سياق مُعطًى

إذا كان احتمال نجاح طالب في مادة الرياضيات ٠٫٧، فما احتمال رسوبه فيها؟

الحل

نلاحِظ أن حدث عدم النجاح يُكافئ القول برسوب الطالب. أيْ إن «النجاح» و«الرسوب» حدثان مكمِّلان. نتذكَّر أنه يُمكننا إيجاد احتمال أيِّ حدثٍ مكمِّل بطرح احتمال وقوع ذلك الحدث من ١؛ ومن ثَمَّ:

مثال ٣: حلُّ مسألةٍ كلاميةٍ باستِخدام حدثين مكمِّلين

صندوق به ٥٦ كرة. احتمال اختيار كرة حمراء عشوائيًّا . كم كرة غير حمراء في الصندوق؟

الحل

نبدأ بملاحَظة أن لون الكرة لن يؤثِّر على فرصة اختيار الكرة من الحقيبة، وأن اختيار كرة غير حمراء هو الحدث المكمِّل لحدث اختيار كرة حمراء.

وبما أن فرصة اختيار أيِّ كرة من الحقيبة متساوية، يصبح لدينا:

بضرب طرفَيِ المعادلة في ٥٦، نحصل على:

إذن يُمكننا إيجاد عدد الكرات غير الحمراء في الحقيبة من خلال إيجاد احتمال اختيار كرة غير حمراء من الحقيبة.

وبما أنهما حدثان مكمِّلان، يكون لدينا:

بالتعويض بهذه القيمة في المعادلة، نحصل على:

يُمكننا التحقُّق من هذا الناتج بملاحَظة أن:

إذن:

وبما أن هذا يطابق المعلومات المُعطاة، نكون قد تأكَّدنا من أن هناك ١٦ كرة غير حمراء في الحقيبة.

مثال ٤: استخدام جدول تكراري لإيجاد احتمال حدثٍ مكمِّل

يُمثِّل الجدول الآتي البيانات المُجمَّعة عن ٢٠٠ شخص من المُشارِكين في مؤتمر من جنسيات مختلفة.

أوجد احتمال أن يكون مُشارِك اختير عشوائيًّا لا يتحدَّث الإنجليزية.

الحل

نلاحِظ أولًا أن كل شخص من المشاركين يتحدَّث لغة واحدة فقط. هناك طريقتان لإيجاد احتمال أن يكون مُشارِك اختير عشوائيًّا لا يتحدَّث الإنجليزية.

الطريقة الأولى لإيجاد احتمال أن يكون أيُّ مُشارِكٍ لا يتحدَّث الإنجليزية هي ملاحَظة أن تحدُّث الإنجليزية وعدم تحدُّث الإنجليزية في هذه الحالة، حدثان مكمِّلان.

إذن:

ومن ثَمَّ، يكون احتمال اختيار متحدِّث بالإنجليزية يساوي عدد مَن يتحدَّثون الإنجليزية مقسومًا على إجمالي عدد الأشخاص. يُمكننا أن نرى هذين المجموعين في الجدول.

وعليه هناك ٦٥ شخصًا يتحدَّثون الإنجليزية، و٢٠٠ شخص في المجموعة، إذن احتمال أن يكون مُشارِك اختير عشوائيًّا لا يتحدَّث الإنجليزية هو:

والطريقة الثانية هي إيجاد إجمالي عدد المُشارِكين الذين لا يتحدَّثون الإنجليزية، ثم نقسم ذلك على إجمالي عدد المُشارِكين. يُمكننا إيجاد هذه المعلومات من الجدول.

عدد المُشارِكين الذين لا يتحدَّثون الإنجليزية هو . إجمالي عدد المُشارِكين ٢٠٠. إذن:

مثال ٥: إيجاد احتمال حدثٍ مكمِّل باستخدام شكل فن

تُصنَّف الأيام في شهر معيَّن أيامًا مُمطِرة، أو أيامًا حارَّة، أو أيامًا مُمطِرة وحارَّة، أو ليست أيامًا مُمطِرة ولا حارَّة. نفترض أن يرمز إلى الأيام المُمطِرة، يرمز إلى الأيام الحارَّة. استخدِم شكل فن الآتي لحساب احتمال أن يكون أحد الأيام غير مُمطِر.

الحل

هناك طريقتان لحساب هذا الاحتمال.

في الطريقة الأولى، نلاحِظ أن:

يُمكننا إيجاد عدد الأيام في الشهر من خلال جمع كلِّ البيانات، لنحصل على:

بالنسبة إلى أيِّ يوم غير مُمطِر، لا يُمكن أن يندرج هذا اليوم ضمن الحدث . هذا هو الحدث المكمِّل ، ونحصل عليه من شكل فن الآتي.

نلاحِظ أنه كان هناك ١٥ يومًا حارًّا وغير مُمطِر، وكان هناك ٩ أيام ليستْ حارَّة ولا مُمطِرة، إذن:

ومن ثَمَّ:

في الطريقة الثانية، نلاحِظ أن الأيام المُمطِرة وغير المُمطِرة حدثان مكمِّلان، وهكذا يكون:

يُمكننا إيجاد عدد الأيام المُمطِرة من شكل فن.

هناك ٤ أيام كانت مُمطِرة، وليست حارَّة، ويومان مُمطِران وحارَّان، إذن:

ونلاحِظ، كما سبق، أن هناك ٣٠ يومًا في الشهر، إذن:

مثال ٦: إيجاد احتمال حدثٍ مكمِّل باستخدام شكل فن

في إحدى حصص الموسيقى، يتعلَّم الطلاب العزف على البيانو والجيتار والطبلة. يعزف بعض الطلاب على آلتين، وبعضهم يعزف على جميع الآلات الثلاث، وبعضهم لا يعزف على أيٍّ من الآلات الموسيقية. نفترض أن يرمز إلى مَن يعزفون على البيانو، يرمز إلى مَن يعزفون على الجيتار، يرمز إلى مَن يعزفون على الطبلة.

باستخدام الشكل المُعطى، احسب احتمال أن يكون أحد الطلاب لا يعزف على البيانو.

الحل

هناك طريقتان يُمكننا استخدامُهما لإيجاد احتمال أن يكون أحد الطلاب لا يعزف على البيانو.

في الطريقة الأولى، نلاحِظ أن:

بجمع كلِّ البيانات من شكل فن، نحصل على:

يُمكننا إيجاد عدد الطلاب الذين لا يعزفون على البيانو من شكل فن. اختيار طالب لا يعزف على البيانو هو الحدث المكمِّل للحدث ؛ ومن ثَمَّ يُمكننا رسم هذا على شكل فن باعتباره كلَّ شيء لا يندرج ضمن .

يُمكننا بعد ذلك جمع كلِّ البيانات غير الموجودة في ، لنحصل على:

إذن:

في الطريقة الثانية، نلاحِظ أن عدم العزف على البيانو هو الحدث المكمِّل للحدث ، وهكذا يكون:

نلاحِظ أن:

يُمكننا إيجاد عدد الطلاب الذين يعزفون على البيانو من خلال جمع كلِّ البيانات الموجودة في من شكل فن.

هذا يُعطينا:

إذن: