تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: الأحداث المكمِّلة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد احتمال الأحداث المُكمِّلة.

نتذكَّر أن الحدث، في سياق الاحتمال، هو مجموعة من النتائج. على سبيل المثال، إذا فكَّرنا في أيام الأسبوع، فسنَجِد أن كلَّ يوم في التقويم يمثِّل يومًا واحدًا من ٧ أيام من أيام الأسبوع. في كثير من الدُّوَل، يُصنَّف يوما السبت، والأحد يومَيْ نهاية الأسبوع، وقد يكون هناك حدث تحت وصْف «الولادة في يومَيْ نهاية الأسبوع». وعليه سنَجِد أن هناك ناتجين مُمكِنين في هذه المجموعة، وهما يوما: {السبت، والأحد}.

إذا افترضنا أن الولادات متساوية من حيث احتمال حدوثها في أيِّ يوم من أيام الأسبوع، فإن احتمال اختيار شخص عشوائيًّا قد وُلد في نهاية الأسبوع هو عدد أيام نهاية الأسبوع مقسومًا على إجمالي عدد أيام الأسبوع: 𞸋󰂔󰂓=٢٧.ادةاع

ربما نتساءل عندئذٍ، ما احتمال عدم الولادة في نهاية الأسبوع؟ نلاحِظ في المخطط السابق أن الأيام من الإثنين إلى الجمعة هي أيام الأسبوع، وهكذا يكون: 𞸋󰂔󰂓=٥٧.مادةاع

نسمِّي هذا الحدث المكمِّل لحدث «الولادة في نهاية الأسبوع»؛ لأنه يُكافئ عدم وقوع الحدث. فالحدث المكمِّل لحدثٍ ما والحدث نفسه لا يُمكن وقوعُهما في الوقت نفسه. في هذا المثال، نعلم أنه لا يُمكن أن يشمل الحدث أحد أيام الأسبوع وأحد يومَيْ نهاية الأسبوع في الوقت نفسه. نتذكَّر أن هذا يعني أن الحدثين «أحد أيام الأسبوع»، «أحد يومَيْ نهاية الأسبوع» متنافيان: لا يُوجَد تداخُل بينهما. وهذا صحيح بوجهٍ عامٍّ؛ أيْ إن الحدث والحدث المكمِّل له حدثان متنافيان دائمًا.

يُمكننا تعريف مفهوم الحدث المكمِّل بصورةٍ رياضية ومنهجية أكثر على النحو الآتي.

تعريف: الحدث المكمِّل

الحدث المُكمِّل للحدث 󰏡 (يُكتب على الصورة: 󰏡󰍱) يُكافئ عدم وقوع الحدث 󰏡.

لنتناول الآن احتمال وقوع الأحداث المكمِّلة. نلاحِظ أن اتِّحاد الحدث والحدث المكمِّل له يمثِّل فضاء العيِّنة بالكامل. وهذا لأن الحدث المكمِّل لحدثٍ ما يُكافئ عدم وقوع الحدث؛ لذلك نقول: إن وقوع الحدث 󰏡 وعدم وقوعه لا بدَّ أن يساوي فضاء العيِّنة بالكامل: 󰏡󰏡=𞸐.󰍱

يُمكننا تجميع هذه النتيجة؛ أيْ حقيقة أن 󰏡، 󰏡󰍱 حدثان متنافيان، وقاعدة الجمع للاحتمالات لإثبات نتيجة مُفيدة.

أولًا: 𞸋(𞸐)=𞸋󰁓󰏡󰏡󰁒.󰍱

نحن نعرف أن 𞸋(𞸐)=١، ويُمكننا إعادة كتابة الطرف الأيسر من المعادلة باستخدام قاعدة الجمع للاحتمالات لنحصل على: ١=𞸋(󰏡)+𞸋󰁓󰏡󰁒𞸋󰁓󰏡󰏡󰁒.󰍱󰍱

وبما أن 󰏡، 󰏡󰍱 حدثان متنافيان، يصبح لدينا: 󰏡󰏡=󰍱، 𞸋(󰏡󰏡)=٠󰍱، وهكذا يكون: ١=𞸋(󰏡)+𞸋󰁓󰏡󰁒.󰍱

يُمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة بالطريقتين الآتيتين: 𞸋(󰏡)=١𞸋󰁓󰏡󰁒،𞸋󰁓󰏡󰁒=١𞸋(󰏡).󰍱󰍱

يُتيح لنا ذلك الاستفادة من احتمال وقوع حدثٍ ما لإيجاد احتمال الحدث المكمِّل له، والعكس.

لقد أوضحنا النتيجة الآتية.

خاصِّية: احتمال الأحداث المُكمِّلة

إذا كان 󰏡، 󰏡󰍱 حدثين مكمِّلين، فإن:

  • 𞸋(󰏡)=١𞸋󰁓󰏡󰁒󰍱،
  • 𞸋󰁓󰏡󰁒=١𞸋(󰏡)󰍱،
  • 𞸋(󰏡󰏡)=١󰍱،
  • 𞸋(󰏡󰏡)=٠󰍱.

دعونا الآن نتناول مثالًا يوضِّح كيفية استخدام هذه الصِّيَغ لإيجاد احتمال حدثٍ مكمِّل.

مثال ١: إيجاد احتمال حدثٍ مكمِّل لحدثٍ مُعطًى

إذا كان احتمال وقوع حدثٍ هو ٣١٦٣، فما احتمال عدم وقوعه؟

الحل

نسترجِع أولًا أن عدم وقوع الحدث يُسمَّى الحدث المكمِّل، وأن احتمال وقوع حدثٍ ما مضافًا إليه احتمال الحدث المكمِّل له يساوي ١. وعلى وجه التحديد، يكون لدينا: 𞸋󰁓󰏡󰁒=١𞸋(󰏡).󰍱

في هذه الحالة، يصبح لدينا: 𞸋󰁓󰏡󰁒=١٣١٦٣=٣٢٦٣.󰍱

في المثال الآتي، سنطبِّق هذه الصيغة على مسألة كلامية تتضمَّن حدثين مكمِّلين.

مثال ٢: إيجاد احتمال حدثٍ مكمِّل في سياق مُعطًى

إذا كان احتمال نجاح طالب في مادة الرياضيات ٠٫٧، فما احتمال رسوبه فيها؟

الحل

نلاحِظ أن حدث عدم النجاح يُكافئ القول برسوب الطالب. أيْ إن «النجاح» و«الرسوب» حدثان مكمِّلان. نتذكَّر أنه يُمكننا إيجاد احتمال أيِّ حدثٍ مكمِّل بطرح احتمال وقوع ذلك الحدث من ١؛ ومن ثَمَّ: 𞸋󰁓󰁒=١𞸋󰁓󰁒=١٧٫٠=٣٫٠.اباح

في المثال الآتي، سنَستخدِم الصِّيَغ التي تتضمَّن احتمال حدثين مكمِّلين، وكذلك تعريف الاحتمال، لتحديد عدد الكرات غير الحمراء في حقيبة، بمعلومية احتمال اختيار كرة حمراء وإجمالي عدد الكرات في الحقيبة.

مثال ٣: حلُّ مسألةٍ كلاميةٍ باستِخدام حدثين مكمِّلين

صندوق به ٥٦ كرة. احتمال اختيار كرة حمراء عشوائيًّا ٥٧. كم كرة غير حمراء في الصندوق؟

الحل

نبدأ بملاحَظة أن لون الكرة لن يؤثِّر على فرصة اختيار الكرة من الحقيبة، وأن اختيار كرة غير حمراء هو الحدث المكمِّل لحدث اختيار كرة حمراء.

وبما أن فرصة اختيار أيِّ كرة من الحقيبة متساوية، يصبح لدينا: 𞸋󰁓󰁒==٦٥.اءدااتااءإدااتدااتااء

بضرب طرفَيِ المعادلة في ٥٦، نحصل على: دااتااءاء=٦٥×𞸋󰁓󰁒.

إذن يُمكننا إيجاد عدد الكرات غير الحمراء في الحقيبة من خلال إيجاد احتمال اختيار كرة غير حمراء من الحقيبة.

وبما أنهما حدثان مكمِّلان، يكون لدينا: 𞸋󰁓󰁒=١𞸋󰁓󰁒=١٥٧=٢٧.اءاء

بالتعويض بهذه القيمة في المعادلة، نحصل على: دااتااء=٦٥×٢٧=٦١.

يُمكننا التحقُّق من هذا الناتج بملاحَظة أن: دااتااءإدااتدااتااء==٦٥٦١=٠٤.

إذن: 𞸋󰁓󰁒==٠٤٦٥=٥٧.اءدااتااءإداات

وبما أن هذا يطابق المعلومات المُعطاة، نكون قد تأكَّدنا من أن هناك ١٦ كرة غير حمراء في الحقيبة.

في المثال الآتي، سنَستخدِم جدولًا تكراريًّا لتوضيح طريقتين مختلفتين لحساب احتمال حدثٍ مكمِّل.

مثال ٤: استخدام جدول تكراري لإيجاد احتمال حدثٍ مكمِّل

يُمثِّل الجدول الآتي البيانات المُجمَّعة عن ٢٠٠ شخص من المُشارِكين في مؤتمر من جنسيات مختلفة.

متحدِّث بالعربية فقطمتحدِّث بالإنجليزية فقطمتحدِّث بالفرنسية فقطالمجموع الكلي
رجل٤٥٣٥٤٥١٢٥
امرأة٤٠٣٠٥٧٥
المجموع٨٥٦٥٥٠٢٠٠

أوجد احتمال أن يكون مُشارِك اختير عشوائيًّا لا يتحدَّث الإنجليزية.

الحل

نلاحِظ أولًا أن كل شخص من المشاركين يتحدَّث لغة واحدة فقط. هناك طريقتان لإيجاد احتمال أن يكون مُشارِك اختير عشوائيًّا لا يتحدَّث الإنجليزية.

الطريقة الأولى لإيجاد احتمال أن يكون أيُّ مُشارِكٍ لا يتحدَّث الإنجليزية هي ملاحَظة أن تحدُّث الإنجليزية وعدم تحدُّث الإنجليزية في هذه الحالة، حدثان مكمِّلان.

إذن: 𞸋󰁓󰁒=١𞸋󰁓󰁒.مثاثا

ومن ثَمَّ، يكون احتمال اختيار متحدِّث بالإنجليزية يساوي عدد مَن يتحدَّثون الإنجليزية مقسومًا على إجمالي عدد الأشخاص. يُمكننا أن نرى هذين المجموعين في الجدول.

وعليه هناك ٦٥ شخصًا يتحدَّثون الإنجليزية، و٢٠٠ شخص في المجموعة، إذن احتمال أن يكون مُشارِك اختير عشوائيًّا لا يتحدَّث الإنجليزية هو: 𞸋󰁓󰁒=١𞸋󰁓󰁒=١٥٦٠٠٢=٥٣١٠٠٢=٥٧٦٫٠.مثاثا

والطريقة الثانية هي إيجاد إجمالي عدد المُشارِكين الذين لا يتحدَّثون الإنجليزية، ثم نقسم ذلك على إجمالي عدد المُشارِكين. يُمكننا إيجاد هذه المعلومات من الجدول.

عدد المُشارِكين الذين لا يتحدَّثون الإنجليزية هو ٥٨+٠٥=٥٣١. إجمالي عدد المُشارِكين ٢٠٠. إذن: 𞸋󰁓󰁒==٥٣١٠٠٢=٥٧٦٫٠.مثادَناداصا

قبل مُواصَلة المزيد من الأمثلة، تجدر الإشارة إلى أن خواصَّ الأحداث المكمِّلة تُتيح لنا تحديد الحدثين المكمِّلين من أشكال فن. نحن نعلم أن الحدثين المكمِّلين هما حدثان متنافيان (أيْ لا يُوجَد تداخُل بينهما)، ونعلم أنهما يكوِّنان معًا فضاء العيِّنة بالكامل.

في المثالين الأخيرين، سنَستخدِم هذه الحقيقة عن الأحداث المكمِّلة في أشكال فن لحلِّ المسائل التي تتضمَّن أحداثًا مكمِّلة.

مثال ٥: إيجاد احتمال حدثٍ مكمِّل باستخدام شكل فن

تُصنَّف الأيام في شهر معيَّن أيامًا مُمطِرة، أو أيامًا حارَّة، أو أيامًا مُمطِرة وحارَّة، أو ليست أيامًا مُمطِرة ولا حارَّة. نفترض أن 𞸌 يرمز إلى الأيام المُمطِرة، 𞸇 يرمز إلى الأيام الحارَّة. استخدِم شكل فن الآتي لحساب احتمال أن يكون أحد الأيام غير مُمطِر.

الحل

هناك طريقتان لحساب هذا الاحتمال.

في الطريقة الأولى، نلاحِظ أن: 𞸋󰁓󰁒=.ُِةداماُِةإداما

يُمكننا إيجاد عدد الأيام في الشهر من خلال جمع كلِّ البيانات، لنحصل على: إداما=٩+٤+٢+٥١=٠٣.

بالنسبة إلى أيِّ يوم غير مُمطِر، لا يُمكن أن يندرج هذا اليوم ضمن الحدث 𞸌. هذا هو الحدث المكمِّل 𞸌󰍱، ونحصل عليه من شكل فن الآتي.

نلاحِظ أنه كان هناك ١٥ يومًا حارًّا وغير مُمطِر، وكان هناك ٩ أيام ليستْ حارَّة ولا مُمطِرة، إذن: داماُِة=٥١+٩=٤٢.

ومن ثَمَّ: 𞸋󰁓󰁒=٤٢٠٣=٤٥.ُِة

في الطريقة الثانية، نلاحِظ أن الأيام المُمطِرة وغير المُمطِرة حدثان مكمِّلان، وهكذا يكون: 𞸋󰁓󰁒=١𞸋󰁓󰁒.ُِةُِة

يُمكننا إيجاد عدد الأيام المُمطِرة من شكل فن.

هناك ٤ أيام كانت مُمطِرة، وليست حارَّة، ويومان مُمطِران وحارَّان، إذن: داماُِة=٤+٢=٦.

ونلاحِظ، كما سبق، أن هناك ٣٠ يومًا في الشهر، إذن: 𞸋󰁓󰁒=١𞸋󰁓󰁒=١=١٦٠٣=٤٥.ُِةُِةداماُِةإداما

في المثال الأخير، سنَستخدِم شكل فن مُعطًى لإيجاد احتمال حدثٍ مكمِّل.

مثال ٦: إيجاد احتمال حدثٍ مكمِّل باستخدام شكل فن

في إحدى حصص الموسيقى، يتعلَّم الطلاب العزف على البيانو والجيتار والطبلة. يعزف بعض الطلاب على آلتين، وبعضهم يعزف على جميع الآلات الثلاث، وبعضهم لا يعزف على أيٍّ من الآلات الموسيقية. نفترض أن 𞸁 يرمز إلى مَن يعزفون على البيانو، 𞸢 يرمز إلى مَن يعزفون على الجيتار، 𞸈 يرمز إلى مَن يعزفون على الطبلة.

باستخدام الشكل المُعطى، احسب احتمال أن يكون أحد الطلاب لا يعزف على البيانو.

الحل

هناك طريقتان يُمكننا استخدامُهما لإيجاد احتمال أن يكون أحد الطلاب لا يعزف على البيانو.

في الطريقة الأولى، نلاحِظ أن: 𞸋󰁓󰁒=.مافاداباناإداب

بجمع كلِّ البيانات من شكل فن، نحصل على: إداب=٢+٣+٢+١+٥+٢+٢+٤١=١٣.

يُمكننا إيجاد عدد الطلاب الذين لا يعزفون على البيانو من شكل فن. اختيار طالب لا يعزف على البيانو هو الحدث المكمِّل للحدث 𞸁؛ ومن ثَمَّ يُمكننا رسم هذا على شكل فن باعتباره كلَّ شيء لا يندرج ضمن 𞸁.

يُمكننا بعد ذلك جمع كلِّ البيانات غير الموجودة في 𞸁، لنحصل على: دابانا=٢+١+٥+٤١=٢٢.

إذن: 𞸋󰁓󰁒=٢٢١٣.مافا

في الطريقة الثانية، نلاحِظ أن عدم العزف على البيانو هو الحدث المكمِّل للحدث 𞸁، وهكذا يكون: 𞸋󰁓󰁒=١𞸋󰁓󰁒.مافاا

نلاحِظ أن: 𞸋󰁓󰁒=.اداباناإداب

يُمكننا إيجاد عدد الطلاب الذين يعزفون على البيانو من خلال جمع كلِّ البيانات الموجودة في 𞸁 من شكل فن.

هذا يُعطينا: دابانا=٣+٢+٢+٢=٩.

إذن: 𞸋󰁓󰁒=١٩١٣=٢٢١٣.مافا

دعونا نختتم الآن بتلخيص بعض النقاط المُهِمَّة في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • الحدث المكمِّل للحدث 󰏡 (يُكتَب على الصورة 󰏡󰍱) يُكافئ عدم وقوع الحدث 󰏡.
  • أيُّ حدثٍ يكون متنافيًا مع الحدث المكمِّل له (أيْ: 󰏡󰏡=󰍱).
  • في فضاء العيِّنة 𞸐، بما أن 󰏡󰍱 يُكافئ عدم وقوع الحدث 󰏡، 󰏡 يُكافئ وقوع الحدث 󰏡، فيجب وقوع أحد هذين الحدثين، إذن 󰏡󰏡=𞸐󰍱، 𞸋󰁓󰏡󰏡󰁒=١󰍱.
  • تطبيق قاعدة الجمع للاحتمالات على حدثين مكمِّلين يوضِّح أن: 𞸋󰁓󰏡󰏡󰁒=𞸋(󰏡)+𞸋󰁓󰏡󰁒𞸋󰁓󰏡󰏡󰁒=𞸋(󰏡)+𞸋󰁓󰏡󰁒.󰍱󰍱󰍱󰍱 إذن: 𞸋(󰏡)+𞸋󰁓󰏡󰁒=١.󰍱
  • احتمال الحدث المكمِّل، 󰏡󰍱، للحدث 󰏡، أو «عدم وقوع 󰏡» يُعطَى بالصيغة: 𞸋󰁓󰏡󰁒=١𞸋(󰏡).󰍱 ويُمكننا إعادة كتابتها بالصورة: 𞸋(󰏡)=١𞸋󰁓󰏡󰁒.󰍱
  • في شكل فن، لا يتداخَل 󰏡، 󰏡󰍱، ومجموعهما يساوي فضاء العيِّنة بالكامل.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.