في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نوجد قيم المتسلسلات الخطية والتربيعية من خلال تطبيق الطرق الجبرية والصيغ.
سنبدأ بتذكر ما نعنيه بالمتسلسلة باعتبارها مجموع حدود في متتابعة وكيفية استخدام رمز التجميع لتمثيلها.
تعريف: المتسلسلة باستخدام رمز التجميع
يمكننا حساب مجموع الحد ، الذي يمثل دالة في بدءًا من إلى قيمة ما، ، باستخدام رمز التجميع الذي يشار إليه بالرمز :
يمكن بدء المتسلسلة أيضًا من قيمة مختلفة، من حيث إلى قيمة ما، ، وهو ما يمكن كتابته على الصورة الذي يمثل الفرق بين متسلسلتين لهما دليل البدء .
لإيجاد قيمة هذه المتسلسلات جبريًا، سنستخدم بعض الخواص باستخدام الرمز . هذه خواص بديهية تذكرنا بكيفية التعامل مع المقادير الجبرية، لكن من المفيد التعرف على ترميز رياضي أكثر تنظيمًا.
تعريف: خواص المتسلسلات
تحقق مجاميع حدود المتسلسلات المكتوبة بدلالة رمز التجميع الخواص التالية:
- إذا كان لدينا ثابت يظهر داخل المجموع، فإنه يمكننا أخذه خارج المجموع كما يلي:
- يمكننا أيضًا تقسيم المجموع للحدود المختلفة في الحدود المجموعة داخل رمز التجميع كما يلي:
- يمكننا أيضًا تقسيم التجميع لقيمة ما بين البداية والنهاية، . إذا بدأنا من وجمعنا إلى الرتبة فإنه لكل نحصل على
توضح الخاصيتان الأولى والثانية أن عملية التجميع خطية، ويمكننا تجميع الحدود هكذا
بالنسبة للخاصية الأخيرة، يمكننا أيضًا فهمها باستخدام الخاصية لأي دليل بدء أكبر من ١، كما يلي:
في هذا الشارح، سنتناول المتسلسلة الخطية أو التربيعية، أي، عندما تكون دالة خطية أو تربيعية في .
لنتناول مثالًا نستخدم خلاله الخاصية الأخيرة لإعادة كتابة التجميع.
مثال ١: تبسيط المتسلسلة المنتهية باستخدام خواص التجميع
.
الحل
في هذا المثال، سنبسط المتسلسلة جبريًا.
سنستخدم خاصية دليل البدء الأكبر من ١:
بالنسبة إلى عملية التجميع المعطاة، لدينا
وهذا منطقي؛ لأن الحد الأول يمثل المجموع من إلى ١٢، بينما المجموع الثاني هو من إلى ٢٥؛ ومن ثم، سيكون المجموع الكلي من إلى ٢٥. إذا طبقنا الخاصية التي يمكننا من خلالها تقسيم المتسلسلة بالنسبة لأي على الصورة نحصل على النتيجة نفسها عند التعويض بـ ، وهو ما يعطينا المتسلسلة المعطاة في الطرف الأيسر والناتج في الطرف الأيمن.
الخيار الصحيح هو (د).
والآن، دعونا نحسب تجميع متسلسلة تحتوي على ثابت داخل المجموع، والذي يمكننا أخذه خارج المجموع.
نلاحظ أن
ومن ثم، بالنسبة إلى تجميع أي متسلسلة ثابتة، نحصل على
والآن، دعونا نتناول مثالًا نوجد خلاله قيمة متسلسلة حسابية تحتوي على مجموع ثوابت.
مثال ٢: إيجاد قيمة المتسلسلات الحسابية
أوجد قيمة .
الحل
في هذا المثال، نريد إيجاد قيمة متسلسلة حسابية تحتوي على مجموع ثوابت.
سنستخدم التجميع التالي:
ومن ثم، بالنسبة إلى المجموع المعطى، نحصل على ، وهكذا
والآن دعونا نتناول عملية تجميع حدود خطية على الصورة
باستخدام خاصية جمع المتسلسلات وخاصية الضرب في عدد ثابت، يمكننا إعادة كتابة هذا على الصورة
لإيجاد قيمة هذا المجموع، نحتاج أولًا إلى صيغة للمتسلسلة .
يمكننا كتابة هذه المتسلسلة بوضوح بطريقتين مختلفتين: بالبدء من ١ وجمع كل الأعداد حتى وبالبدء من وجمع كل الأعداد تنازليًا حتى ١:
بجمع ذلك معًا نحصل على
ومن ثم، نحصل على
يمكننا أيضًا استنتاج ذلك من مفكوك ذات الحدين لـ ، والذي عند إعادة ترتيبه نحصل على
نلاحظ أولًا أن تجميع الطرف الأيمن من إلى يساوي بينما الطرف الأيسر يساوي
وبذلك، نحصل على
وهذا يعطينا الصيغة نفسها كما سبق:
وباستخدام هذه النتيجة، يمكننا الآن إيجاد قيمة متسلسلة لمقدار خطي معرفة باستخدام :
في المثال التالي، سنتناول كيفية إيجاد قيمة المجموع جبريًا باستخدام خواص التجميع لمتسلسلة تتضمن مجموع حدود خطية.
مثال ٣: إيجاد قيمة مجموع متسلسلة منتهية باستخدام خواص التجميع
أوجد إذا كان .
الحل
في هذا المثال، سنوجد قيمة المتسلسلة الخطية جبريًا باستخدام خواص التجميع.
سنستخدم الخاصية الخطية للتجميع والتجميعات
يمكن كتابة التجميع المعطى على الصورة:
والآن، دعونا نلق نظرة على مثال نحدد خلاله قيمة مجهول يظهر في متسلسلة خطية معطى قيمة مجموعها.
مثال ٤: إيجاد مجهول عندما يكون لدينا قيمة متسلسلة حسابية
إذا كان ، فأوجد .
الحل
في هذا المثال، نريد إيجاد قيمة مجهول يظهر داخل مجموع متسلسلة حسابية.
سنستخدم الخاصية الخطية للتجميع والتجميعات
دعونا أولًا نحسب قيمة الطرف الأيسر للمجموع المعطى:
باستخدام هذه الطريقة، يمكننا تحديد قيمة على الصورة
الآن دعونا نوجد قيمة متسلسلة خطية دليل البدأ بها أكبر من ١.
مثال ٥: إيجاد قيمة متسلسلة حسابية دليل البدء بها أكبر من 1
أوجد باستخدام خواص التجميع إذا كانت .
الحل
في هذا المثال، سنوجد قيمة متسلسلة حسابية خطية دليل البدء بها أكبر من ١ باستخدام خواص التجميع.
سنستخدم خاصية دليل البدء الأكبر من ١ والخاصية الخطية للتجميع والتجميعات
باستخدام الخواص، يمكننا إعادة كتابة المجموع المعطى على الصورة
والآن، دعونا نتناول مقدارًا تربيعيًا نريد من خلاله إيجاد قيمة المتسلسلة:
باستخدام خاصية جمع المتسلسلات وخاصية الضرب في عدد ثابت، يمكننا إعادة كتابة هذا على الصورة
لإيجاد قيمة هذا المجموع، نحتاج أولًا إلى صيغة للمتسلسلة .
وكما هو الحال مع الحدود الخطية، سننظر إلى المفكوك ذات الحدين لـ ، والذي عند إعادة ترتيبه يمكن كتابته على الصورة
تجميع الطرف الأيمن من إلى يعطينا ومن الطرف الأيسر نحصل على
ومن ثم، يصبح لدينا وعند إعادة الترتيب، نحصل على الصيغة
باستخدام هذه النتيجة، يمكننا إيجاد قيمة المتسلسلة كما يلي:
لنتناول بعض الأمثلة على كيفية إيجاد قيمة متسلسلة تربيعية. في المثال التالي، سنوجد قيمة مجموع يحتوي على حد مربع وثابت باستخدام خواص التجميع.
مثال ٦: إيجاد قيمة مجموع متسلسلة تربيعية منتهية باستخدام خواص التجميع
إذا كانت ، فاستخدم خواص التجميع لإيجاد قيمة .
الحل
في هذا المثال، سنوجد قيمة متسلسلة تربيعية تحتوي على حد مربع وثابت، باستخدام خواص التجميع.
سنستخدم الخاصية الخطية للتجميع والتجميعات
باستخدام هذه الخواص والتجميعات، يمكننا إيجاد قيمة المتسلسلة المعطاة:
والآن، دعونا نتناول مثالًا سنوجد خلاله قيمة مجموع يحتوي على دالة تربيعية في .
مثال ٧: إيجاد قيمة مجموع متسلسلة تربيعية منتهية باستخدام خواص التجميع
إذا كان ،، فأوجد باستخدام خواص التجميع قيمة .
الحل
في هذا المثال، سنوجد قيمة متسلسلة تربيعية باستخدام خواص التجميع.
سنستخدم الخاصية الخطية للتجميع والتجميعات
باستخدام هذه الخواص والتجميعات، يمكننا إيجاد قيمة المتسلسلة المعطاة:
وأخيرًا، دعونا نوجد قيمة متسلسلة تربيعية دليل البدء بها أكبر من ١.
مثال ٨: إيجاد قيمة مجموع متسلسلة تربيعية منتهية دليل البدء بها أكبر من 1 باستخدام خواص التجميع
إذا كان ،، فاستخدم خواص رمز التجميع لإيجاد .
الحل
سنستخدم خاصية دليل البدء الأكبر من ١ والخاصية الخطية للتجميع والتجميعات
باستخدام هذه الخواص والتجميعات، يمكننا إيجاد قيمة المتسلسلة المعطاة:
النقاط الرئيسية
- لقد أوجدنا قيم المتسلسلات المختلفة على الصورة حيث في المتسلسلة الخطية، بينما في المتسلسلة التربيعية.
- لإيجاد قيمها، نستخدم الخواص تسمح الخاصية الأولى بإيجاد قيمة متسلسلة دليل البدء بها أكبر من واحد، من خلال كتابتها باعتبارها فرق بين متسلسلتين دليل البدء بهما يساوي واحدًا. الخاصية الثانية هي الخاصية الخطية، التي تسمح لنا بتقسيم التجميع لحدود مختلفة وإخراج الثابت.
- نستخدم أيضًا المتسلسلات الآتية:
- عندما يكون دليل البدء يساوي ١، أي أن ، نحصل على الناتج التالي للمتسلسلة التربيعية العامة:
