تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: إيجاد قيم المتسلسلات جبريًا الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نوجد قيم المتسلسلات الخطية والتربيعية من خلال تطبيق الطرق الجبرية والصيغ.

سنبدأ بتذكر ما نعنيه بالمتسلسلة باعتبارها مجموع حدود في متتابعة {󰏡}𞸓𞸓=١،،𞸍 وكيفية استخدام رمز التجميع لتمثيلها.

تعريف: المتسلسلة باستخدام رمز التجميع

يمكننا حساب مجموع الحد 󰏡𞸓، الذي يمثل دالة في 𞸓 بدءًا من 𞸓=١ إلى قيمة ما، 𞸍، باستخدام رمز التجميع الذي يشار إليه بالرمز 󰌇:𞸍𞸓=١𞸓١٢٣𞸍١𞸍󰌇󰏡=󰏡+󰏡+󰏡++󰏡+󰏡.

يمكن بدء المتسلسلة أيضًا من قيمة مختلفة، من 𞸓=𞸌 حيث 𞸌<𞸍 إلى قيمة ما، 𞸍، وهو ما يمكن كتابته على الصورة 𞸍𞸓=𞸌𞸓𞸌𞸌+١𞸍١𞸍𞸍𞸓=١𞸓𞸌١𞸓=١𞸓󰌇󰏡=󰏡+󰏡++󰏡+󰏡=󰌇󰏡󰌇󰏡، الذي يمثل الفرق بين متسلسلتين لهما دليل البدء 𞸓=١.

لإيجاد قيمة هذه المتسلسلات جبريًا، سنستخدم بعض الخواص باستخدام الرمز 󰌇. هذه خواص بديهية تذكرنا بكيفية التعامل مع المقادير الجبرية، لكن من المفيد التعرف على ترميز رياضي أكثر تنظيمًا.

تعريف: خواص المتسلسلات

تحقق مجاميع حدود المتسلسلات المكتوبة بدلالة رمز التجميع الخواص التالية:

  • إذا كان لدينا ثابت 𝜆𞹇 يظهر داخل المجموع، فإنه يمكننا أخذه خارج المجموع كما يلي:𞸍𞸓=١𞸓𞸍𞸓=١𞸓󰌇𝜆󰏡=𝜆󰌇󰏡.
  • يمكننا أيضًا تقسيم المجموع للحدود المختلفة في الحدود المجموعة داخل رمز التجميع كما يلي:𞸍𞸓=١𞸓𞸓𞸍𞸓=١𞸓𞸍𞸓=١𞸓󰌇󰁓󰏡+𞸁󰁒=󰌇󰏡+󰌇𞸁.
  • يمكننا أيضًا تقسيم التجميع لقيمة ما بين البداية والنهاية، ١<𞸌<𞸍. إذا بدأنا من 𞸓=١ وجمعنا إلى الرتبة 𞸍 فإنه لكل 𞸌<𞸍 نحصل على 𞸍𞸓=١𞸓𞸌𞸓=١𞸓𞸍𞸓=𞸌+١𞸓󰌇󰏡=󰌇󰏡+󰌇󰏡.

توضح الخاصيتان الأولى والثانية أن عملية التجميع خطية، ويمكننا تجميع الحدود هكذا 𞸍𞸓=١١𞸓٢𞸓١𞸍𞸓=١𞸓٢𞸍𞸓=١𞸓󰌇(𝜆󰏡+𝜆𞸁)=𝜆󰌇󰏡+𝜆󰌇𞸁.

بالنسبة للخاصية الأخيرة، يمكننا أيضًا فهمها باستخدام الخاصية لأي دليل بدء أكبر من ١، كما يلي:𞸌𞸓=١𞸓𞸍𞸓=𞸌+١𞸓𞸌𞸓=١𞸓𞸍𞸓=١𞸓𞸌𞸓=١𞸓𞸍𞸓=١𞸓󰌇󰏡+󰌇󰏡=󰌇󰏡+󰃭󰌇󰏡󰌇󰏡󰃬=󰌇󰏡.

في هذا الشارح، سنتناول المتسلسلة الخطية أو التربيعية، أي، عندما 󰏡𞸓 تكون دالة خطية أو تربيعية في 𞸓.

لنتناول مثالًا نستخدم خلاله الخاصية الأخيرة لإعادة كتابة التجميع.

مثال ١: تبسيط المتسلسلة المنتهية باستخدام خواص التجميع

٢١𞸓=١٥٢𞸓=٣١󰌇(٤𞸓+١)+󰌇(٤𞸓+١)=.

  1. ٥٢𞸓=١󰌇(٨𞸓+٢)
  2. ٥٢𞸓=١٢󰌇(٤𞸓+١)
  3. ٥٢𞸓=١󰌇(٤𞸓+٢)
  4. ٥٢𞸓=١󰌇(٤𞸓+١)

الحل

في هذا المثال، سنبسط المتسلسلة جبريًا.

سنستخدم خاصية دليل البدء الأكبر من ١:𞸍𞸓=𞸌𞸓𞸍𞸓=١𞸓𞸌١𞸓=١𞸓󰌇󰏡=󰌇󰏡󰌇󰏡.

بالنسبة إلى عملية التجميع المعطاة، لدينا ٢١𞸓=١٥٢𞸓=٣١٢١𞸓=١٥٢𞸓=١٣١١𞸓=١٢١𞸓=١٥٢𞸓=١٢١𞸓=١٥٢𞸓=١󰌇(٤𞸓+١)+󰌇(٤𞸓+١)=󰌇(٤𞸓+١)+󰌇(٤𞸓+١)󰌇(٤𞸓+١)=󰌇(٤𞸓+١)+󰌇(٤𞸓+١)󰌇(٤𞸓+١)=󰌇(٤𞸓+١).

وهذا منطقي؛ لأن الحد الأول يمثل المجموع من 𞸓=١ إلى ١٢، بينما المجموع الثاني هو من 𞸓=٣١ إلى ٢٥؛ ومن ثم، سيكون المجموع الكلي من 𞸓=١ إلى ٢٥. إذا طبقنا الخاصية التي يمكننا من خلالها تقسيم المتسلسلة بالنسبة لأي 𞸌<𞸍 على الصورة 𞸍𞸓=١𞸓𞸌𞸓=١𞸓𞸍𞸓=𞸌+١𞸓󰌇󰏡=󰌇󰏡+󰌇󰏡، نحصل على النتيجة نفسها عند التعويض بـ 󰏡=٤𞸓+١𞸓، 𞸌=٢١ وهو ما يعطينا المتسلسلة المعطاة في الطرف الأيسر والناتج في الطرف الأيمن.

الخيار الصحيح هو (د).

والآن، دعونا نحسب تجميع متسلسلة تحتوي على ثابت داخل المجموع، والذي يمكننا أخذه خارج المجموع.𞸢=󰌇𝛼=𝛼󰌇١.𞸍𞸍𞸓=١𞸍𞸓=١

نلاحظ أن 𞸍𞸓=١󰌇١=١+١++١+١󰄲󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄶󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄿=𞸍.دن

ومن ثم، بالنسبة إلى 𞸢𞸍 تجميع أي متسلسلة ثابتة، نحصل على 𞸢=𝛼󰌇١=𝛼𞸍.𞸍𞸍𞸓=١

والآن، دعونا نتناول مثالًا نوجد خلاله قيمة متسلسلة حسابية تحتوي على مجموع ثوابت.

مثال ٢: إيجاد قيمة المتسلسلات الحسابية

أوجد قيمة ٩𞸓=١󰌇٥.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد قيمة متسلسلة حسابية تحتوي على مجموع ثوابت.

سنستخدم التجميع التالي:𞸍𞸓=١󰌇𝛼=𝛼𞸍.

ومن ثم، بالنسبة إلى المجموع المعطى، نحصل على 𝛼=٥، 𞸍=٩ وهكذا٩𞸓=١󰌇٥=٥×٩=٥٤.

والآن دعونا نتناول عملية تجميع حدود خطية على الصورة 𞸢=󰌇(𝛼𞸓+𝛽).𞸍𞸍𞸓=١

باستخدام خاصية جمع المتسلسلات وخاصية الضرب في عدد ثابت، يمكننا إعادة كتابة هذا على الصورة 𞸢=𝛼󰌇𞸓+𝛽󰌇١.𞸍𞸍𞸓=١𞸍𞸓=١

لإيجاد قيمة هذا المجموع، نحتاج أولًا إلى صيغة للمتسلسلة 𞸍𞸓=١󰌇𞸓=١+٢++𞸍.

يمكننا كتابة هذه المتسلسلة بوضوح بطريقتين مختلفتين: بالبدء من ١ وجمع كل الأعداد حتى 𞸍 وبالبدء من 𞸍 وجمع كل الأعداد تنازليًا حتى ١:𞸍𞸓=١𞸍𞸓=١󰌇𞸓=١+٢+٣++(𞸍١)+𞸍،󰌇𞸓=𞸍+(𞸍١)+(𞸍٢)٢+١.

بجمع ذلك معًا نحصل على ٢󰌇𞸓=(𞸍+١)+(𞸍١+٢)+(𞸍٢+٣)(𞸍١+٢)+(𞸍+١)=(𞸍+١)+(𞸍+١)+(𞸍+١)+(𞸍+١)󰄲󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄶󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄳󰄿=𞸍(𞸍+١).𞸍𞸓=١دن

ومن ثم، نحصل على 𞸍𞸓=١󰌇𞸓=𞸍(𞸍+١)٢.

يمكننا أيضًا استنتاج ذلك من مفكوك ذات الحدين لـ (𞸓١)=𞸓٢𞸓+١٢٢، والذي عند إعادة ترتيبه نحصل على 𞸓(𞸓١)=٢𞸓١.٢٢

نلاحظ أولًا أن تجميع الطرف الأيمن من 𞸓=١ إلى 𞸍 يساوي 𞸍𞸓=١٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢󰌇󰁓𞸓(𞸓١)󰁒=󰁓١٠󰁒+󰁓٢١󰁒+󰁓٣٢󰁒++󰁓𞸍(𞸍١)󰁒=󰁓١١󰁒+󰁓٢٢󰁒+󰁓٣٣󰁒+󰁓(𞸍١)(𞸍١)󰁒+𞸍=𞸍، بينما الطرف الأيسر يساوي 𞸍𞸓=١𞸍𞸓=١𞸍𞸓=١𞸍𞸓=١󰌇(٢𞸓١)=󰌇٢𞸓󰌇١=٢󰃭󰌇𞸓󰃬𞸍.

وبذلك، نحصل على ٢󰌇𞸓𞸍=𞸍٢󰌇𞸓=𞸍+𞸍=𞸍(𞸍+١).𞸍𞸓=١٢𞸍𞸓=١٢

وهذا يعطينا الصيغة نفسها كما سبق:𞸍𞸓=١󰌇𞸓=𞸍(𞸍+١)٢.

وباستخدام هذه النتيجة، يمكننا الآن إيجاد قيمة متسلسلة لمقدار خطي معرفة باستخدام 𞸢𞸍:𞸢=𝛼󰌇𞸓+𝛽󰌇١=𝛼𞸍(𞸍+١)٢+𝛽𞸍=𝛼𞸍(𞸍+١)+٢𝛽𞸍٢=𞸍(𝛼(𞸍+١)+٢𝛽)٢.𞸍𞸍𞸓=١𞸍𞸓=١

في المثال التالي، سنتناول كيفية إيجاد قيمة المجموع جبريًا باستخدام خواص التجميع لمتسلسلة تتضمن مجموع حدود خطية.

مثال ٣: إيجاد قيمة مجموع متسلسلة منتهية باستخدام خواص التجميع

أوجد 𞸍𞸓=١󰌇(𞸓٨) إذا كان 𞸍𞸓=١󰌇𞸓=𞸍(𞸍+١)٢.

الحل

في هذا المثال، سنوجد قيمة المتسلسلة الخطية جبريًا باستخدام خواص التجميع.

سنستخدم الخاصية الخطية للتجميع 𞸍𞸓=١١𞸓٢𞸓١𞸍𞸓=١𞸓٢𞸍𞸓=١𞸓󰌇󰁓𝜆󰏡+𝜆𞸁󰁒=𝜆󰌇󰏡+𝜆󰌇𞸁، والتجميعات 𞸍𞸓=١𞸍𞸓=١󰌇١=𞸍،󰌇𞸓=𞸍(𞸍+١)٢.

يمكن كتابة التجميع المعطى على الصورة:𞸍𞸓=١𞸍𞸓=١𞸍𞸓=١𞸍𞸓=١𞸍𞸓=١٢٢󰌇(𞸓٨)=󰌇𞸓󰌇٨=󰌇𞸓٨󰌇١=𞸍(𞸍+١)٢٨𞸍=𞸍+𞸍٦١𞸍٢=𞸍٥١𞸍٢.

والآن، دعونا نلق نظرة على مثال نحدد خلاله قيمة مجهول يظهر في متسلسلة خطية معطى قيمة مجموعها.

مثال ٤: إيجاد مجهول عندما يكون لدينا قيمة متسلسلة حسابية

إذا كان ٩١𞸓=١󰌇(٣+𞸊𞸓)=٠٥١، فأوجد 𞸊.

  1. ٠٩١٣٩
  2. ١٣٩
  3. ١٠٩١
  4. ٣٩٠٩١
  5. ٣٧٦١

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد قيمة مجهول يظهر داخل مجموع متسلسلة حسابية.

سنستخدم الخاصية الخطية للتجميع 𞸍𞸓=١١𞸓٢𞸓١𞸍𞸓=١𞸓٢𞸍𞸓=١𞸓󰌇󰁓𝜆󰏡+𝜆𞸁󰁒=𝜆󰌇󰏡+𝜆󰌇𞸁، والتجميعات 𞸍𞸓=١𞸍𞸓=١󰌇١=𞸍،󰌇𞸓=𞸍(𞸍+١)٢.

دعونا أولًا نحسب قيمة الطرف الأيسر للمجموع المعطى: ٩١𞸓=١٩١𞸓=١٩١𞸓=١٩١𞸓=١٩١𞸓=١󰌇(٣+𞸊𞸓)=󰌇٣+󰌇𞸊𞸓=٣󰌇١+𞸊󰌇𞸓=٣×٩١+𞸊×٩١(٩١+١)٢=٧٥+٠٩١𞸊.

باستخدام هذه الطريقة، يمكننا تحديد قيمة 𞸊 على الصورة ٧٥+٠٩١𞸊=٠٥١٠٩١𞸊=٣٩𞸊=٣٩٠٩١.

الآن دعونا نوجد قيمة متسلسلة خطية دليل البدأ بها أكبر من ١.

مثال ٥: إيجاد قيمة متسلسلة حسابية دليل البدء بها أكبر من 1

أوجد ٢١𞸓=٨󰌇٩(𞸓٧٣) باستخدام خواص التجميع إذا كانت 𞸍𞸓=١󰌇𞸓=𞸍(𞸍+١)٢.

الحل

في هذا المثال، سنوجد قيمة متسلسلة حسابية خطية دليل البدء بها أكبر من ١ باستخدام خواص التجميع.

سنستخدم خاصية دليل البدء الأكبر من ١ والخاصية الخطية للتجميع 𞸍𞸓=𞸌𞸓𞸍𞸓=١𞸓𞸌١𞸓=١𞸓𞸍𞸓=١١𞸓٢𞸓١𞸍𞸓=١𞸓٢𞸍𞸓=١𞸓󰌇󰏡=󰌇󰏡󰌇󰏡،󰌇󰁓𝜆󰏡+𝜆𞸁󰁒=𝜆󰌇󰏡+𝜆󰌇𞸁، والتجميعات 𞸍𞸓=١𞸍𞸓=١󰌇١=𞸍،󰌇𞸓=𞸍(𞸍+١)٢.

باستخدام الخواص، يمكننا إعادة كتابة المجموع المعطى على الصورة ٢١𞸓=٨٢١𞸓=٨٢١𞸓=١٧𞸓=١٢١𞸓=١٢١𞸓=١٧𞸓=١٧𞸓=١󰌇٩(𞸓٧٣)=󰌇(٩𞸓٣٣٣)=󰌇(٩𞸓٣٣٣)󰌇(٩𞸓٣٣٣)=٩󰌇𞸓٣٣٣󰌇١٩󰌇𞸓+٣٣٣󰌇١=٩×٢١(٢١+١)٢٣٣٣×٢١٩×٧(٧+١)٢+٣٣٣×٧=٩×٨٧٣٣٣×٢١٩×٨٢+٣٣٣×٧=٩×٠٥٣٣٣×٥=٥١٢١.

والآن، دعونا نتناول مقدارًا تربيعيًا نريد من خلاله إيجاد قيمة المتسلسلة:𞸢=󰌇󰁓𝛼𞸓+𝛽𞸓+𝛾󰁒.𞸍𞸍𞸓=١٢

باستخدام خاصية جمع المتسلسلات وخاصية الضرب في عدد ثابت، يمكننا إعادة كتابة هذا على الصورة 𞸢=𝛼󰌇𞸓+𝛽󰌇𞸓+𝛾󰌇١.𞸍𞸍𞸓=١٢𞸍𞸓=١𞸍𞸓=١

لإيجاد قيمة هذا المجموع، نحتاج أولًا إلى صيغة للمتسلسلة 𞸍𞸓=١٢٢٢٢󰌇𞸓=١+٢++𞸍.

وكما هو الحال مع الحدود الخطية، سننظر إلى المفكوك ذات الحدين لـ (𞸓١)=𞸓٣𞸓+٣𞸓١٣٣٢، والذي عند إعادة ترتيبه يمكن كتابته على الصورة 𞸓(𞸓١)=٣𞸓٣𞸓+١.٣٣٢

تجميع الطرف الأيمن من 𞸓=١ إلى 𞸍 يعطينا 𞸍𞸓=١٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣󰌇󰁓𞸓(𞸓١)󰁒=󰁓١٠󰁒+󰁓٢١󰁒+󰁓٣٢󰁒++󰁓𞸍(𞸍١)󰁒=󰁓١١󰁒+󰁓٢٢󰁒+󰁓٣٣󰁒+󰁓(𞸍١)(𞸍١)󰁒+𞸍=𞸍، ومن الطرف الأيسر نحصل على 𞸍𞸓=١٢𞸍𞸓=١٢𞸍𞸓=١𞸍𞸓=١𞸍𞸓=١٢󰌇󰁓٣𞸓٣𞸓+١󰁒=٣󰌇𞸓٣󰌇𞸓+󰌇١=٣󰃭󰌇𞸓󰃬٣𞸍(𞸍+١)٢+𞸍.

ومن ثم، يصبح لدينا ٣󰌇𞸓٣𞸍(𞸍+١)٢+𞸍=𞸍،٣󰌇𞸓=𞸍+٣𞸍(𞸍+١)٢𞸍=𞸍(𞸍+١)(٢𞸍+١)٢،𞸍𞸓=١٢٣𞸍𞸓=١٢٣ وعند إعادة الترتيب، نحصل على الصيغة 𞸍𞸓=١٢󰌇𞸓=𞸍(𞸍+١)(٢𞸍+١)٦.

باستخدام هذه النتيجة، يمكننا إيجاد قيمة المتسلسلة𞸢𞸍 كما يلي:𞸢=𝛼󰌇𞸓+𝛽󰌇𞸓+𝛾󰌇١=𝛼𞸍(𞸍+١)(٢𞸍+١)٦+𝛽𞸍(𞸍+١)٢+𝛾𞸍=𞸍(𝛼(𞸍+١)(٢𞸍+١)+٣𝛽(𞸍+١)+٦𝛾)٦.𞸍𞸍𞸓=١٢𞸍𞸓=١𞸍𞸓=١

لنتناول بعض الأمثلة على كيفية إيجاد قيمة متسلسلة تربيعية. في المثال التالي، سنوجد قيمة مجموع يحتوي على حد مربع وثابت باستخدام خواص التجميع.

مثال ٦: إيجاد قيمة مجموع متسلسلة تربيعية منتهية باستخدام خواص التجميع

إذا كانت 𞸍𞸓=١٢󰌇𞸓=𞸍(𞸍+١)(٢𞸍+١)٦، فاستخدم خواص التجميع لإيجاد قيمة ٦𞸓=١٢󰌇󰁓٥𞸓٧٦󰁒.

الحل

في هذا المثال، سنوجد قيمة متسلسلة تربيعية تحتوي على حد مربع وثابت، باستخدام خواص التجميع.

سنستخدم الخاصية الخطية للتجميع 𞸍𞸓=١١𞸓٢𞸓١𞸍𞸓=١𞸓٢𞸍𞸓=١𞸓󰌇󰁓𝜆󰏡+𝜆𞸁󰁒=𝜆󰌇󰏡+𝜆󰌇𞸁، والتجميعات 𞸍𞸓=١𞸍𞸓=١٢󰌇١=𞸍،󰌇𞸓=𞸍(𞸍+١)(٢𞸍+١)٦.

باستخدام هذه الخواص والتجميعات، يمكننا إيجاد قيمة المتسلسلة المعطاة:٦𞸓=١٢٦𞸓=١٢٦𞸓=١󰌇󰁓٥𞸓٧٦󰁒=٥󰌇𞸓٧٦󰌇١=٥×٦(٦+١)(٢١+١)٦٧٦×٦=٥×١٩٧٦×٦=٣٥.

والآن، دعونا نتناول مثالًا سنوجد خلاله قيمة مجموع يحتوي على دالة تربيعية في 𞸓.

مثال ٧: إيجاد قيمة مجموع متسلسلة تربيعية منتهية باستخدام خواص التجميع

إذا كان 𞸍𞸓=١󰌇𞸓=𞸍(𞸍+١)٢ ،𞸍𞸓=١٢󰌇𞸓=𞸍(𞸍+١)(٢𞸍+١)٦، فأوجد باستخدام خواص التجميع 󰌇 قيمة ٤𞸓=١٢󰌇󰁓٧𞸓٧𞸓١٢󰁒.

الحل

في هذا المثال، سنوجد قيمة متسلسلة تربيعية باستخدام خواص التجميع.

سنستخدم الخاصية الخطية للتجميع 𞸍𞸓=١١𞸓٢𞸓١𞸍𞸓=١𞸓٢𞸍𞸓=١𞸓󰌇󰁓𝜆󰏡+𝜆𞸁󰁒=𝜆󰌇󰏡+𝜆󰌇𞸁، والتجميعات 𞸍𞸓=١𞸍𞸓=١𞸍𞸓=١٢󰌇١=𞸍،󰌇𞸓=𞸍(𞸍+١)٢،󰌇𞸓=𞸍(𞸍+١)(٢𞸍+١)٦.

باستخدام هذه الخواص والتجميعات، يمكننا إيجاد قيمة المتسلسلة المعطاة:٤𞸓=١٢٤𞸓=١٢٤𞸓=١٤𞸓=١󰌇󰁓٧𞸓٧𞸓١٢󰁒=٧󰌇𞸓٧󰌇𞸓١٢󰌇١=٧×٤(٤+١)(٨+١)٦٧×٤(٤+١)٢١٢×٤=٧×٠٣٧×٠١١٢×٤=٦٥.

وأخيرًا، دعونا نوجد قيمة متسلسلة تربيعية دليل البدء بها أكبر من ١.

مثال ٨: إيجاد قيمة مجموع متسلسلة تربيعية منتهية دليل البدء بها أكبر من 1 باستخدام خواص التجميع

إذا كان 𞸍𞸓=١󰌇𞸓=𞸍(𞸍+١)٢ ،𞸍𞸓=١٢󰌇𞸓=𞸍(𞸍+١)(٢𞸍+١)٦، فاستخدم خواص رمز التجميع 󰌇 لإيجاد ٨𞸓=٥٢󰌇󰁓٥𞸓٢٢𞸓󰁒.

الحل

سنستخدم خاصية دليل البدء الأكبر من ١ والخاصية الخطية للتجميع 𞸍𞸓=𝑚𞸓𞸍𞸓=١𞸓𞸌١𞸓=١𞸓𞸍𞸓=١١𞸓٢𞸓١𞸍𞸓=١𞸓٢𞸍𞸓=١𞸓󰌇󰏡=󰌇󰏡󰌇󰏡،󰌇󰁓𝜆󰏡+𝜆𞸁󰁒=𝜆󰌇󰏡+𝜆󰌇𞸁، والتجميعات 𞸍𞸓=١𞸍𞸓=١٢󰌇𞸓=𞸍(𞸍+١)٢،󰌇𞸓=𞸍(𞸍+١)(٢𞸍+١)٦.

باستخدام هذه الخواص والتجميعات، يمكننا إيجاد قيمة المتسلسلة المعطاة:٨𞸓=٥٢٨𞸓=١٢٤𞸓=١٢٨𞸓=١٢٨𞸓=١٤𞸓=١٢٤𞸓=١󰌇󰁓٥𞸓٢٢𞸓󰁒=󰌇󰁓٥𞸓٢٢𞸓󰁒󰌇󰁓٥𞸓٢٢𞸓󰁒=٥󰌇𞸓٢٢󰌇𞸓٥󰌇𞸓+٢٢󰌇𞸓=٥×٨(٨+١)(٦١+١)٦٢٢×٨(٨+١)٢٥×٤(٤+١)(٨+١)٦+٢٢×٤(٤+١)٢=٥×٤٠٢٢٢×٦٣٥×٠٣+٢٢×٠١=٨٩٢.

النقاط الرئيسية

  • لقد أوجدنا قيم المتسلسلات المختلفة على الصورة 𞸢=󰌇󰁓𝛼𞸓+𝛽𞸓+𝛾󰁒،𞸍𞸍𞸓=𞸌٢ حيث 𝛼=٠ في المتسلسلة الخطية، بينما 𝛼٠ في المتسلسلة التربيعية.
  • لإيجاد قيمها، نستخدم الخواص 𞸍𞸓=𞸌𞸓𞸍𞸓=١𞸓𞸌١𞸓=١𞸓𞸍𞸓=١١𞸓٢𞸓١𞸍𞸓=١𞸓٢𞸍𞸓=١𞸓󰌇󰏡=󰌇󰏡󰌇󰏡،󰌇󰁓𝜆󰏡+𝜆𞸁󰁒=𝜆󰌇󰏡+𝜆󰌇𞸁. تسمح الخاصية الأولى بإيجاد قيمة متسلسلة دليل البدء بها أكبر من واحد، من خلال كتابتها باعتبارها فرق بين متسلسلتين دليل البدء بهما يساوي واحدًا. الخاصية الثانية هي الخاصية الخطية، التي تسمح لنا بتقسيم التجميع لحدود مختلفة وإخراج الثابت.
  • نستخدم أيضًا المتسلسلات الآتية:𞸍𞸓=١𞸍𞸓=١𞸍𞸓=١٢󰌇١=𞸍،󰌇𞸓=𞸍(𞸍+١)٢،󰌇𞸓=𞸍(𞸍+١)(٢𞸍+١)٦.
  • عندما يكون دليل البدء يساوي ١، أي أن 𞸌=١، نحصل على الناتج التالي للمتسلسلة التربيعية العامة:𞸢=𞸍(𝛼(𞸍+١)(٢𞸍+١)+٣𝛽(𞸍+١)+٦𝛾)٦.𞸍

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.