شارح الدرس: عزم قوة حول نقطة في بُعدين: كمية قياسية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد مجموع العزوم لمجموعة من القوى تؤثِّر على جسم حول نقطة في بُعدَيْن.

تُنتِج القوة المحصلة غير الصفرية التي تؤثِّر على جسم جاسئ عجلة خطية للجسم في اتجاه تأثير القوة المحصلة، وهو ما يؤدِّي إلى انتقال مركز كتلة الجسم في هذا الاتجاه.

قد تتسبَّب أيضًا أي قوة تؤثِّر على جسم في حدوث العجلة الزاوية للجسم حول نقطة ما؛ وهو ما يؤدِّي إلى دوران الجسم. يتناسب مقدار العجلة الزاوية للجسم الناتجة عن تأثير القوة مع عزم القوة حول النقطة.

يوضِّح الشكل التالي قضيبًا رفيعًا معلَّقًا رأسيًّا عند النقطة 𞸌. تؤثِّر القوة 󰄮󰄮𞹟 على القضيب أفقيًّا. يؤدِّي عزم القوة إلى دوران القضيب حول النقطة 𞸌.

يوضِّح الشكل الآتي أن القضيب يدور في اتجاه دوران عقارب الساعة بفعل عزم القوة 󰄮󰄮𞹟 حول النقطة 𞸌.

بفرض أن خط عمل القوة 󰄮󰄮𞹟 يتغيَّر بحيث يمر الخط عبر النقطة 𞸌، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

لن يدور القضيب حول النقطة 𞸌 بفعل عزم القوة 󰄮󰄮𞹟. لكي يكون للقوة 󰄮󰄮𞹟 عزم غير صفري حول النقطة 𞸌، يجب أن تكون هناك مسافة لا تساوي صفرًا بين النقطة 𞸌 وخط عمل القوة 󰄮󰄮𞹟.

عندما يكون الخط الواصل بين النقطة 𞸌 والنقطة التي تؤثِّر عندها القوة 󰄮󰄮𞹟 وخط عمل القوة 󰄮󰄮𞹟 متعامدين، يكون مقدار عزم القوة حول النقطة 𞸌 هو حاصل ضرب مقدار القوة 󰄮󰄮𞹟 والمسافة 𞸐 بين النقطة وخط عمل القوة. ويمكن التعبير عن ذلك بالعلاقة: 𞸂=𞹟×𞸐.

باستخدام النيوتن بوصفه وحدة قياس القوة، والمتر بوصفه وحدة قياس المسافة، تصبح وحدة قياس عزم القوة نيوتن ⋅ متر (نيوتن⋅م).

تبدو وحدة القياس نيوتن ⋅ متر مماثلة لوحدة قياس الشغل المبذول بواسطة قوة، أما وحدة قياس المسافة متر، فلها معنى يختلف تمامًا بالنسبة إلى عزم القوة عن معناها بالنسبة إلى الشغل المبذول بواسطة قوة. بالنسبة إلى الشغل المبذول بواسطة قوة، ستكون 𞸐 هي المسافة التي يتحرَّكها الجسم في اتجاه خط القوة التي تؤثِّر على الجسم لتحريكه. بالنسبة إلى عزم القوة، ستكون 𞸐 هي المسافة بين خط القوة والنقطة التي ينتج حولها العزم.

نلقي نظرة على مثال على حساب العزم حول نقطة.

مثال ١: إيجاد مقدار عزم قوة حول نقطة

إذا كانت هناك قوة مقدارها ٤٩٨ نيوتن تبعُد مسافة ٨ سم عن النقطة 𞸀، فأوجد معيار عزم القوة حول النقطة 𞸀، بوحدة نيوتن ⋅ متر.

الحل

يخبرنا السؤال بأن هناك قوة مقدارها ٤٩٨ نيوتن تؤثِّر عند نقطة تبعُد مسافة ٨ سم عن النقطة 𞸀. لم يذكر السؤال أن مسافة الـ ٨ سم وخط عمل القوة متعامدان، لكن يمكن افتراض ذلك ما لم يكن هناك ما يشير إلى غير ذلك. يطلب منا السؤال إيجاد معيار القوة؛ أي مقدارها.

يمكن حساب العزم باستخدام الصيغة: 𞸂=𞹟×𞸐.

يجب أن تُعطى الإجابة بوحدة نيوتن ⋅ متر. مقدار القوة هو ٤٩٨ نيوتن.

قيمة 𞸐 ليست ٨؛ لأن المسافة ليست ٨ م، بل ٨ سم. يجب تحويل ٨ سم إلى قيمة بوحدة المتر؛ ومن ثَمَّ، يصبح 𞸐=٨٠٫٠م.

تُستخدَم قيمتا القوة والمسافة الآن في الصيغة لتعطي الحل: 𞸂=٨٩٤×٨٠٫٠=٤٨٫٩٣.م

يمكن أن يؤدِّي عزم القوة إلى دوران الجسم في اتجاه دوران عقارب الساعة أو عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، كما هو موضَّح بالشكل.

ينتج عن القوة 󰄮󰄮𞹟١ عزم 𞸂١ في اتجاه دوران عقارب الساعة حول النقطة 𞸌، وينتج عن القوة 󰄮󰄮𞹟٢ عزم 𞸂٢ عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حول النقطة 𞸌. مجموع 𞸂١، 𞸂٢ هو 𞸂ا؛ حيث: 𞸂=𞸂𞸂،ا٢١ لأن العزم عكس اتجاه دوران عقارب الساعة يُفترض أن له قيمة موجبة.

نلقي نظرة الآن على مثال على حساب العزم حول نقطة معلوم فيها اتجاه الدوران الناتج عن العزم، والمسافة من النقطة التي يقع العزم حولها إلى النقطة التي تؤثِّر عندها القوة ليست مُعطاة بشكل مباشر.

مثال ٢: عزم القوة حول نقطة في بُعدَيْن

أوجد عزم القوة التي مقدارها ١١ نيوتن حول النقطة 𞸅. اكتب إجابتك بوحدة نيوتن ⋅ متر.

الحل

لكي نجيب عن هذا السؤال، علينا افتراض أن القوة التي مقدارها ١١ نيوتن هي القوة الوحيدة المؤثِّرة على الجسم. وبما أنه لا توجد أيُّ قيم أخرى مُعطاة، فسيكون هذا افتراضًا منطقيًّا.

يبدو السؤال معقَّدًا إلى حدٍّ ما؛ لذا من المفيد أن نتذكَّر أن قيمتين فقط هما المطلوبتين لإيجاد قيمة عزم القوة حول النقطة 𞸅. إحدى القيمتين المطلوبتين هي مقدار القوة التي ذُكِر أنها ١١ نيوتن. أما القيمة الأخرى المطلوبة، فهي المسافة من النقطة 𞸅 إلى خط عمل القوة. وهذه المسافة موضَّحة في الشكل الآتي بالرمز 𞸐.

العزم الناتج عن القوة التي تؤثِّر على الجسم يكافئ القوة التي تؤثِّر عند نقطة على مسافة أفقية 𞸐 ومسافة رأسية تساوي صفرًا من النقطة 𞸅. يمكن أن تؤثِّر القوة على الجسم عند أي نقطة على الجسم على طول خط عمل القوة لإنتاج العزم نفسه.

يمكن تحديد النقطة 𞸐 من خلال رسم مثلث قائم الزاوية له ضلع رأسي يصل بين النقطة الموجودة على الجسم التي تبعُد مسافة ٣٦ سم عن النقطة 𞸅 والنقطة التي تقع تحتها رأسيًّا، والتي تقطع خطًّا عموديًّا على خط عمل القوة الذي يمر بالنقطة التي تؤثِّر عندها القوة، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

سيكون طول ضلع المثلث المُتكوِّن والمقابل للزاوية 𝜃 هو 𞸃، ويتيح تحديد 𞸃 إيجاد 𞸐 المطلوب إيجاده، باستخدام المعادلة: 𞸐=٦٣٫٠(٦٢٫٠𞸃).

لاحظ أن المسافتين ٣٦ سم و٢٦ سم تم تحويلهما إلى ٠٫٣٦ م و٠٫٢٦ م، على الترتيب؛ بحيث يمكن إعطاء الإجابة بوحدة نيوتن ⋅ متر.

يمكن إيجاد قيمة 𞸃 إذا كان قياس الزاوية 𝜃 معلومًا، وبما أن 𝜃 هي زاوية في مثلث قائم الزاوية مقابلة للضلع 𞸃؛ حيث طول الوتر في المثلث الذي يحتوي على الضلع الذي طوله 𞸃 يساوي ٢٩ سم. تُحوَّل مسافة الـ ٢٩ سم هذه أيضًا إلى ٠٫٢٩ م؛ بحيث يمكن إعطاء الإجابة بوحدة نيوتن ⋅ متر.

تُستخدَم المعادلة الآتية لإيجاد 𞸃: 𝜃=𞸃٩٢٫٠.

بما أن الزاوية التي قياسها ٠٦ الموضَّحة في الشكل جزء من الزاوية القائمة التي تتكوَّن من الزاوية التي قياسها ٠٦ والزاوية 𝜃، إذن سيكون: 𝜃=(٠٩٠٦)=٠٣.

وبما أن (٠٣)=١٢، إذن: ١٢=𞸃٩٢٫٠.

بعزل 𞸃 في طرف بمفرده نحصل على: 𞸃=٩٢٫٠٢=٥٤١٫٠.

كنا قد توصَّلنا سابقًا إلى أن: 𞸐=٦٣٫٠٦٢٫٠+𞸃، لذا نُوجِد 𞸐 من: 𞸐=٦٣٫٠٦٢٫٠+٥٤١٫٠=٥٤٢٫٠.م

بما أن: 𞸂=𞹟×𞸐،𞸂=١١×٥٤٢٫٠=٥٩٦٫٢.م

لكن هذا ليس الحل الكامل، فالدوران الناتج عن العزم 𞸂 إما أن يكون في اتجاه دوران عقارب الساعة أو عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. يوضِّح الشكل الآتي أن القوة يجب أن تُحرِّك الجسم لأسفل، وهو ما يؤدِّي إلى دوران الجسم في اتجاه دوران عقارب الساعة.

ونظرًا لأن العزوم في اتجاه دوران عقارب الساعة تأخذ إشارة سالبة، يُعطى العزم بالعلاقة: 𞸂=٥٩٦٫٢.م

نلقي نظرة الآن على مثال يكون فيه العزم المحصل الناتج عن عدة قوى معلومًا.

مثال ٣: إيجاد مجموع العزوم لقوى تؤثِّر على قضيب

قضيب 𞸀𞸁 طوله ١١٤ سم ووزنه مُهمل. تؤثِّر قوى مقاديرها ٨٣ نيوتن، ٢٢٥ نيوتن، ١٦٣ نيوتن، ١٣٦ نيوتن على القضيب، كما هو موضَّح بالشكل التالي. النقطتان 𞸢، 𞸃 هما نقطتا تثليث 𞸀𞸁، والنقطة 𞸅 هي نقطة منتصف القضيب. أوجد المجموع الجبري لعزوم هذه القوى حول النقطة 𞸅.

الحل

طول القضيب ١١٤ سم، وأطوال كلٍّ من 𞸁𞸃، 𞸃𞸢، 𞸢𞸀 مُعطاة بالعلاقة: 𞸐=٤١١٣=٨٣.

طول 𞸁𞸅 مُعطى بالعلاقة: 𞸁𞸅=٤١١٢=٧٥، وهو يساوي طول 𞸀𞸅.

وطول 𞸃𞸅 مُعطى بالعلاقة: 𞸃𞸅=٨٣󰂔١٢󰂓=٩١، وهو يساوي طول 𞸢𞸅.

تُنتِج القوى التي تؤثِّر عند النقطة 𞸀 وعند النقطة 𞸃 عزومًا حول النقطة 𞸅 عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، وتُنتِج القوى التي تؤثِّر عند النقطة 𞸁 وعند النقطة 𞸢 عزومًا حول النقطة 𞸅 في اتجاه دوران عقارب الساعة. ومن ثَمَّ، يُعطى العزم المحصل حول النقطة 𞸅 بالعلاقة: 𞸂=(٣٨×٧٥)+(٣٦١×٩١)(٦٣١×٧٥)(٥٢٢×٩١)=٩٩١٤.ا

لكي تُنتِج قوة ما عزمًا، لا بد أن يكون للقوة مركبة لا تساوي صفرًا تؤثِّر عموديًّا على الخط الذي يصل بين النقطة التي يُنتَج حولها العزم والنقطة التي تؤثِّر عندها القوة. انظر الشكل الآتي:

إذا كانت 𝜃 تساوي صفرًا، فإن خط القوة 󰄮󰄮𞹟 يجب أن يمر بالنقطة 𞸌؛ ومن ثَمَّ ينتج عن ذلك عزم حول النقطة 𞸌 مقداره صفر. وإذا كانت 𝜃=٠٩، فإن القوة 󰄮󰄮𞹟 تُنتِج أقصى عزم لها حول النقطة 𞸌. ومن ثَمَّ، يجب أن يتضمَّن حساب عزم القوة الزاوية التي تؤثِّر عندها القوة.

تعريف:

عزم القوة حول النقطة 𞸌 هو المسافة 𞸐 من النقطة 𞸌 إلى النقطة التي تؤثِّر عندها القوة، مضروبةً في مركبة القوة العمودية على اتجاه الخط الذي يقطع النقطة 𞸌 والنقطة التي تؤثِّر عندها القوة. ويمكن كتابة هذا على الصورة: 𞸂=𞹟×𞸐𝜃، حيث 𞹟 مقدار القوة، 𝜃 الزاوية المحصورة بين اتجاه القوة واتجاه الخط الذي يقطع النقطة 𞸌 والنقطة التي تؤثِّر عندها القوة.

والآن، نتناول مثالًا يجب فيه مراعاة الزوايا التي تؤثِّر عندها القوى.

مثال ٤: إيجاد مقدار مجموع العزوم لثلاث قوى تؤثِّر على مثلث متساوي الأضلاع

ثلاث قوى، مقيسة بوحدة نيوتن، تؤثِّر على أضلاع مثلث متساوي الأضلاع 𞸀𞸁𞸢، كما في الشكل. إذا كان طول ضلع المثلث ٧ سم، فأوجد المجموع الجبري لعزوم القوى حول نقطة منتصف 𞸀𞸁 لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

يطلب منا السؤال إيجاد العزوم حول نقطة منتصف 𞸀𞸁، الموضَّحة في الشكل الآتي بالنقطة 𞸌. طول 𞸀𞸁 هو ٧ سم. نظرًا لأن 𞸌 هي نقطة منتصف 𞸀𞸁، فإن 𞸀𞸌=𞸁𞸌=٥٫٣.

خط عمل القوة التي مقدارها ٣٠٠ نيوتن في اتجاه 𞸀𞸁؛ ولذا فهو يمر بالنقطة 𞸌 ويُنتِج عزمًا يساوي صفرًا حول النقطة 𞸌، ويمكن تجاهله.

ونظرًا لأن المثلث 𞸀𞸁𞸢 متساوي الأضلاع، فإن قياس جميع زواياه الداخلية ٠٦. يوضِّح الشكل الآتي العزوم حول النقطة 𞸌 التي لا تساوي صفرًا.

المثلث 𞸌𞸁𞸢 مثلث قائم الزاوية، يحتوي على زاوية قياسها ٠٦، وطول الضلع المجاور لها ٣٫٥ سم، وطول الضلع المقابل لهذه الزاوية 𞸌𞸢. ومن ثَمَّ، يكون: ؛(٠٦)=𞸌𞸢٥٫٣ إذن: 𞸌𞸢=٥٫٣󰋴٣.

يوضِّح الشكل الآتي مقادير القوى المؤثِّرة، والزوايا التي تؤثِّر عندها، والمسافات التي تبعُدها عن النقطة 𞸌.

تؤثِّر القوة التي مقدراها ١٥٠ نيوتن والقوة التي مقدارها ١٠٠ نيوتن في اتجاه دوران عقارب الساعة؛ لذا كلتاهما سالبتان.

باستخدام الصيغة: 𞸂=𞹟×𞸐𝜃، نحصل على العزم حول النقطة 𞸌 الناتج عن القوة التي مقدارها ١٥٠ نيوتن من خلال: 𞸂=٠٥١×٥٫٣󰋴٣(٠٣)𞸂=٥٢٥󰋴٣٢.١١

ونحصل على العزم حول النقطة 𞸌 الناتج عن القوة التي مقدارها ١٠٠ نيوتن من خلال: 𞸂=٠٠١×٥٫٣(٠٦)،𞸂=٥٧١󰋴٣.٢٢

ويكون مجموع العزمين حول النقطة 𞸌 هو 𞸂ا، ويساوي مجموع 𞸂١، 𞸂٢. يطلب السؤال تقريب هذه القيمة لأقرب منزلتين عشريتين: 𞸂=󰃭٥٢٥󰋴٣٢+٥٧١󰋴٣󰃬=٥٧٨󰋴٣٢٧٧٫٧٥٧.ا

نتناول مثالًا آخر على ذلك.

مثال ٥: تحديد موقع نقطة على مستطيل بمعلومية مجموع عزوم القوى حولها

𞸀𞸁𞸢𞸃 مستطيل، فيه 𞸀𞸁=٦، 𞸁𞸢=٨، والقوى التي مقاديرها ٢٤، ٣٠، ٨، ٣٠ نيوتن تؤثِّر في اتجاه 󰄮󰄮󰄮𞸁𞸀، 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸢، 󰄮󰄮󰄮𞸢𞸃، 󰄮󰄮󰄮𞸢𞸀، على الترتيب. إذا كانت النقطة 𞸤𞸁𞸢؛ حيث مجموع عزوم القوى حول 𞸤 يساوي ٥٣ نيوتن⋅سم في اتجاه 𞸀𞸁𞸢𞸃، فأوجد طول 𞸁𞸤.

الحل

يوضِّح الشكل الآتي القوى التي تؤثِّر على المستطيل والنقاط التي تؤثِّر عندها.

يمكن تحليل القوة عند النقطة 𞸀 التي تؤثِّر في اتجاه امتداد 𞸢𞸀 إلى مركبتين عموديتين. يتطلَّب تحليل هذه القوة معرفة قياس الزاوية المحصورة بين امتداد 𞸀𞸁 وخط عمل القوة، الموضَّحة بـ 𝜃 في الشكل الآتي، وتساوي قياس الزاوية التي يكوِّنها خط عمل القوة مع 𞸢𞸃.

𞸀𞸃𞸢 مثلث قائم الزاوية. طول 𞸀𞸢 يُعطى بالعلاقة: 𞸀𞸢=󰋴٨+٦=󰋴٠٠١=٠١.٢٢

ومن ثَمَّ، نجد أن: 𝜃=٨٠١=٤٥،𝜃=٦٠١=٣٥.

مركبة القوة التي مقدارها ٣٠ نيوتن في اتجاه 𞸃𞸀 هي: 𞹟=٠٣󰂔٤٥󰂓=٤٢،𞸃𞸀 ومركبة القوة التي مقدارها ٣٠ نيوتن في اتجاه 𞸁𞸀 هي: 𞹟=٠٣󰂔٣٥󰂓=٨١.𞸁𞸀

𞹟𞸁𞸀 والقوة التي مقدارها ٢٤ نيوتن التي تؤثِّر عند النقطة 𞸀 تؤثِّر كلٌّ منهما في اتجاه الخط نفسه؛ ومن ثَمَّ، تكون القوة المحصلة التي تؤثِّر عند 𞸀 هي: 𞹟=٤٢+٨١=٢٤.𞸀

يوضِّح الشكل الآتي مركبات القوى التي تؤثِّر عموديًّا على 𞸁𞸢 وموازيًا له، والذي يقطع النقطة 𞸤 المعلوم العزم المحصل حولها.

العزم حول النقطة 𞸤 الناتج عن كل مركبة هو المسافة من خط عمل المركبة إلى النقطة 𞸤، عموديًّا على اتجاه المركبة.

يوضِّح الشكل الآتي مقادير واتجاهات العزوم حول النقطة 𞸤 الناتجة عن كلٍّ من القوى، والعزم المحصل حول النقطة 𞸤.

يمكن مساواة العزم المحصل حول النقطة 𞸤 بمجموع العزوم حول النقطة 𞸤 الناتجة عن المركبات كالآتي: ٤٤١+٤٦٨𞸐٢٤𞸐=٣٥.

يمكننا إعادة ترتيب هذا التعبير لعزل 𞸐 في طرف بمفرده كالآتي: ٠٥𞸐=٣٥٤٦٤٤١=٥٥١𞸐=٥٥١٠٥=١٫٣.

نلخِّص ما تعلَّمناه من هذه الأمثلة.

النقاط الرئيسية

  • عزم القوة 󰄮󰄮𞹟 حول النقطة 𞸌 هو المسافة 𞸐 من النقطة 𞸌 إلى النقطة التي تؤثِّر عندها القوة، مضروبةً في مركبة القوة العمودية على اتجاه الخط الذي يقطع النقطة 𞸌 والنقطة التي تؤثِّر عندها القوة. ويمكن كتابة هذا على الصورة: 𞸂=𞹟×𞸐𝜃، حيث 𞹟 مقدار القوة، 𝜃 الزاوية المحصورة بين اتجاه القوة واتجاه الخط الذي يقطع النقطة 𞸌 والنقطة التي تؤثِّر عندها القوة.
  • العزم المحصل الناتج عن مجموعة عزوم حول نقطة يساوي مجموع العزوم حول هذه النقطة في اتجاه دوران عقارب الساعة، وعكس اتجاه دوران عقارب الساعة؛ حيث تكون العزوم عكس اتجاه دوران عقارب الساعة موجبة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.