شارح الدرس: عزم قوة حول نقطة في بُعدين: كمية قياسية الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إيجاد مقدار عزم قوة حول نقطة

إذا كانت هناك قوة مقدارها ٤٩٨ نيوتن تبعُد مسافة ٨ سم عن النقطة ، فأوجد معيار عزم القوة حول النقطة ، بوحدة نيوتن ⋅ متر.

الحل

يخبرنا السؤال بأن هناك قوة مقدارها ٤٩٨ نيوتن تؤثِّر عند نقطة تبعُد مسافة ٨ سم عن النقطة . لم يذكر السؤال أن مسافة الـ ٨ سم وخط عمل القوة متعامدان، لكن يمكن افتراض ذلك ما لم يكن هناك ما يشير إلى غير ذلك. يطلب منا السؤال إيجاد معيار القوة؛ أي مقدارها.

يمكن حساب العزم باستخدام الصيغة:

يجب أن تُعطى الإجابة بوحدة نيوتن ⋅ متر. مقدار القوة هو ٤٩٨ نيوتن.

قيمة ليست ٨؛ لأن المسافة ليست ٨ م، بل ٨ سم. يجب تحويل ٨ سم إلى قيمة بوحدة المتر؛ ومن ثَمَّ، يصبح .

تُستخدَم قيمتا القوة والمسافة الآن في الصيغة لتعطي الحل:

مثال ٢: عزم القوة حول نقطة في بُعدَيْن

أوجد عزم القوة التي مقدارها ١١ نيوتن حول النقطة ، معطيًا إجابتك بوحدة نيوتن ⋅ متر.

الحل

لكي نجيب عن هذا السؤال، علينا افتراض أن القوة التي مقدارها ١١ نيوتن هي القوة الوحيدة المؤثِّرة على الجسم. وبما أنه لا توجد أيُّ قيم أخرى مُعطاة، فسيكون هذا افتراضًا منطقيًّا.

يبدو السؤال معقَّدًا إلى حدٍّ ما؛ لذا من المفيد أن نتذكَّر أن قيمتين فقط هما المطلوبتين لإيجاد قيمة عزم القوة حول النقطة . إحدى القيمتين المطلوبتين هي مقدار القوة التي ذُكِر أنها ١١ نيوتن. أما القيمة الأخرى المطلوبة، فهي المسافة من النقطة إلى خط عمل القوة. وهذه المسافة موضَّحة في الشكل الآتي بالرمز .

العزم الناتج عن القوة التي تؤثِّر على الجسم يكافئ القوة التي تؤثِّر عند نقطة على مسافة أفقية ومسافة رأسية تساوي صفرًا من النقطة . يمكن أن تؤثِّر القوة على الجسم عند أي نقطة على الجسم على طول خط عمل القوة لإنتاج العزم نفسه.

يمكن تحديد النقطة من خلال رسم مثلث قائم الزاوية له ضلع رأسي يصل بين النقطة الموجودة على الجسم التي تبعُد مسافة ٣٦ سم عن النقطة والنقطة التي تقع تحتها رأسيًّا، والتي تقطع خطًّا عموديًّا على خط عمل القوة الذي يمر بالنقطة التي تؤثِّر عندها القوة، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

سيكون طول ضلع المثلث المُتكوِّن والمقابل للزاوية هو ، ويتيح تحديد إيجاد المطلوب إيجاده، باستخدام المعادلة:

لاحظ أن المسافتين ٣٦ سم و٢٦ سم تم تحويلهما إلى ٠٫٣٦ م و٠٫٢٦ م، على الترتيب؛ بحيث يمكن إعطاء الإجابة بوحدة نيوتن ⋅ متر.

يمكن إيجاد قيمة إذا كان قياس الزاوية معلومًا، وبما أن هي زاوية في مثلث قائم الزاوية مقابلة للضلع ؛ حيث طول الوتر في المثلث الذي يحتوي على الضلع الذي طوله يساوي ٢٩ سم. تُحوَّل مسافة الـ ٢٩ سم هذه أيضًا إلى ٠٫٢٩ م؛ بحيث يمكن إعطاء الإجابة بوحدة نيوتن ⋅ متر.

تُستخدَم المعادلة الآتية لإيجاد :

بما أن الزاوية التي قياسها الموضَّحة في الشكل جزء من الزاوية القائمة التي تتكوَّن من الزاوية التي قياسها والزاوية ، إذن سيكون:

وبما أن ، إذن:

بعزل في طرف بمفرده نحصل على:

كنا قد توصَّلنا سابقًا إلى أن: لذا نُوجِد من:

بما أن:

لكن هذا ليس الحل الكامل، فالدوران الناتج عن العزم إما أن يكون في اتجاه دوران عقارب الساعة أو عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. يوضِّح الشكل الآتي أن القوة يجب أن تُحرِّك الجسم لأسفل، وهو ما يؤدِّي إلى دوران الجسم في اتجاه دوران عقارب الساعة.

ونظرًا لأن العزوم في اتجاه دوران عقارب الساعة تأخذ إشارة سالبة، يُعطى العزم بالعلاقة:

مثال ٣: إيجاد مجموع العزوم لقوى تؤثِّر على قضيب

قضيب طوله ١١٤ سم ووزنه مُهمل. تؤثِّر قوى مقاديرها ٨٣ نيوتن، ٢٢٥ نيوتن، ١٦٣ نيوتن، ١٣٦ نيوتن على القضيب، كما هو موضَّح بالشكل التالي. النقطتان ، هما نقطتا تثليث ، والنقطة هي نقطة منتصف القضيب. أوجد المجموع الجبري لعزوم هذه القوى حول النقطة .

الحل

طول القضيب ١١٤ سم، وأطوال كلٍّ من ، ، مُعطاة بالعلاقة:

طول مُعطى بالعلاقة: وهو يساوي طول .

وطول مُعطى بالعلاقة: وهو يساوي طول .

تُنتِج القوى التي تؤثِّر عند النقطة وعند النقطة عزومًا حول النقطة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، وتُنتِج القوى التي تؤثِّر عند النقطة وعند النقطة عزومًا حول النقطة في اتجاه دوران عقارب الساعة. ومن ثَمَّ، يُعطى العزم المحصل حول النقطة بالعلاقة:

مثال ٤: إيجاد مقدار مجموع العزوم لثلاث قوى تؤثِّر على مثلث متساوي الأضلاع

ثلاث قوى، مقيسة بوحدة نيوتن، تؤثِّر على أضلاع مثلث متساوي الأضلاع ، كما في الشكل. إذا كان طول ضلع المثلث ٧ سم، فأوجد المجموع الجبري لعزوم القوى حول نقطة منتصف لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

يطلب منا السؤال إيجاد العزوم حول نقطة منتصف ، الموضَّحة في الشكل الآتي بالنقطة . طول هو ٧ سم. نظرًا لأن هي نقطة منتصف ، فإن .

خط عمل القوة التي مقدارها ٣٠٠ نيوتن في اتجاه ؛ ولذا فهو يمر بالنقطة ويُنتِج عزمًا يساوي صفرًا حول النقطة ، ويمكن تجاهله.

ونظرًا لأن المثلث متساوي الأضلاع، فإن قياس جميع زواياه الداخلية . يوضِّح الشكل الآتي العزوم حول النقطة التي لا تساوي صفرًا.

المثلث مثلث قائم الزاوية، يحتوي على زاوية قياسها ، وطول الضلع المجاور لها ٣٫٥ سم، وطول الضلع المقابل لهذه الزاوية . ومن ثَمَّ، يكون: إذن:

يوضِّح الشكل الآتي مقادير القوى المؤثِّرة، والزوايا التي تؤثِّر عندها، والمسافات التي تبعُدها عن النقطة .

تؤثِّر القوة التي مقدراها ١٥٠ نيوتن والقوة التي مقدارها ١٠٠ نيوتن في اتجاه دوران عقارب الساعة؛ لذا كلتاهما سالبتان.

باستخدام الصيغة: نحصل على العزم حول النقطة الناتج عن القوة التي مقدارها ١٥٠ نيوتن من خلال:

ونحصل على العزم حول النقطة الناتج عن القوة التي مقدارها ١٠٠ نيوتن من خلال:

ويكون مجموع العزمين حول النقطة هو ، ويساوي مجموع ، . يطلب السؤال تقريب هذه القيمة لأقرب منزلتين عشريتين:

مثال ٥: تحديد موقع نقطة على مستطيل بمعلومية مجموع عزوم القوى حولها

مستطيل، فيه ، ، والقوى التي مقاديرها ٢٤، ٣٠، ٨، ٣٠ نيوتن تؤثِّر في اتجاه ، ، ، ، على الترتيب. إذا كانت النقطة ؛ حيث مجموع عزوم القوى حول يساوي ٥٣ نيوتن⋅سم في اتجاه ، فأوجد طول .

الحل

يوضِّح الشكل الآتي القوى التي تؤثِّر على المستطيل والنقاط التي تؤثِّر عندها.

يمكن تحليل القوة عند النقطة التي تؤثِّر في اتجاه امتداد إلى مركبتين عموديتين. يتطلَّب تحليل هذه القوة معرفة قياس الزاوية المحصورة بين امتداد وخط عمل القوة، الموضَّحة بـ في الشكل الآتي، وتساوي قياس الزاوية التي يكوِّنها خط عمل القوة مع .

مثلث قائم الزاوية. طول يُعطى بالعلاقة:

ومن ثَمَّ، نجد أن:

مركبة القوة التي مقدارها ٣٠ نيوتن في اتجاه هي: ومركبة القوة التي مقدارها ٣٠ نيوتن في اتجاه هي:

والقوة التي مقدارها ٢٤ نيوتن التي تؤثِّر عند النقطة تؤثِّر كلٌّ منهما في اتجاه الخط نفسه؛ ومن ثَمَّ، تكون القوة المحصلة التي تؤثِّر عند هي:

يوضِّح الشكل الآتي مركبات القوى التي تؤثِّر عموديًّا على وموازيًا له، والذي يقطع النقطة المعلوم العزم المحصل حولها.

العزم حول النقطة الناتج عن كل مركبة هو المسافة من خط عمل المركبة إلى النقطة ، عموديًّا على اتجاه المركبة.

يوضِّح الشكل الآتي مقادير واتجاهات العزوم حول النقطة الناتجة عن كلٍّ من القوى، والعزم المحصل حول النقطة .

يمكن مساواة العزم المحصل حول النقطة بمجموع العزوم حول النقطة الناتجة عن المركبات كالآتي:

يمكننا إعادة ترتيب هذا التعبير لعزل في طرف بمفرده كالآتي: