شارح الدرس: الزاوية الموجهة الرياضيات

مثال ١: إيجاد أقل قياس موجب يكافئ الزاوية بالدرجات

أوجد أقل قياس موجب يكافئ الزاوية التي قياسها .

الحل

لنفترض أن الزاوية الموجَّهة التي قياسها هي الزاوية المحصورة بين الشعاعين ، حيث هو الضلع الابتدائي، هو الضلع النهائي.

بما أن زاوية موجبة، فسنقيس الزاوية المحصورة بين هذين الشعاعين عكس اتجاه عقارب الساعة. نعلم أن الدورة الكاملة تساوي ؛ ومن ثَمَّ فعلينا إكمال دورة كاملة واحدة على الأقل للوصول إلى الزاوية المطلوبة.

في الواقع، ، وهو ما يزال أقل من ؛ لذا علينا إكمال دورتين كاملتين.

علينا أن نحصل على ، و. هذا يعني أن علينا التحرك عكس اتجاه عقارب الساعة.

إذن أقل قياس موجب يكافئ الزاوية التي قياسها هو .

مثال ٢: إيجاد أقل قياس لزاوية موجبة تكافئ زاوية سالبة

أوجد أقل قياس موجب يكافئ .

الحل

لنفترض أن الزاوية الموجَّهة هي الزاوية المحصورة بين الشعاعين ، ، حيث هو الضلع الابتدائي، هو الضلع النهائي.

بما أن زاوية سالبة، فسنقيس الزاوية بين هذين الشعاعين في اتجاه عقارب الساعة. هذا يعني أن الزاوية التي قياسها ستكون كما هو موضح في الشكل.

علينا إيجاد أقل قياس موجب مكافئ لـ ؛ ومن ثَمَّ فعلينا قياس الزاوية نفسها ولكن في الاتجاه الآخر. فتشير الزاوية الموجَّهة الموجبة إلى أن علينا القياس عكسَ اتجاه عقارب الساعة.

تذكر أن مجموع قياسات الزوايا حول نقطة ما يساوي ؛ ومن ثَمَّ يمكن إيجاد قياس موجب مكافئ لـ بطرح من :

إذن فإن أقل قياس موجب مكافئ لـ هو .

مثال ٣: إيجاد القياسين الموجب والسالب للزوايا المكافئة لزاوية معطاة

أوجد زاوية قياسها موجب وزاوية قياسها سالب مكافئتين لزاوية قياسها .

1. ،
2. ،
3. ،
4. ،
5. ،

الحل

لنتناول الزاوية . يمكننا تحويل هذا القياس إلى الدرجات باستخدام حقيقة أن راديان يساوي :

في = ، إذن .

لكننا سنحتفظ بالزاوية بالراديان لأن الخيارات الخمسة معطاة بهذه الوحدة.

وبما أن الزاوية التي لدينا موجبة، فعلينا قياسها عكس اتجاه عقارب الساعة من الضلع الابتدائي، كما هو موضح.

تذكر أن الزوايا المتكافئة لها نفس الضلعين الابتدائي والنهائي. هذا يعني أن علينا إيجاد طرق بديلة للتعبير عن الزاوية نفسها.

يمكننا إيجاد قياسات الزوايا المكافئة عن طريق جمع أو طرح راديان من الزاوية المعطاة.

لإيجاد زاوية أخرى قياسها موجب علينا الاستمرار في التحرك عكس اتجاه عقارب الساعة. هذا يعني أن علينا جمع إلى الزاوية التي لدينا:

إذن فالزاوية ذات القياس الموجب المكافئة لزاوية قياسها هي راديان.

وبطريقة مشابهة، يمكننا إيجاد زاوية قياسها سالب بالتحرك في اتجاه عقارب الساعة. هذا يعني أن علينا طرح من الزاوية التي لدينا:

إذن فالزاوية ذات القياس السالب المكافئة لزاوية قياسها هي راديان.

الزاويتان هما و.

مثال ٤: إيجاد أصغر زاوية في الوضع القياسي

إذا كانت لدينا الزاوية ، فأوجد أصغر زاوية في الوضع القياسي.

الحل

أصغر زاوية في الوضع القياسي هي الزاوية المقيسة عكس اتجاه عقارب الساعة بين الضلعين الابتدائي والنهائي، وقيمتها تساوي راديان حيث .

هذا يعني أن علينا إيجاد قياس الزاوية المكافئة لـ راديان التي تقع بين ٠ و راديان بما في ذلك هاتين القيمتين. الخطوة الأولى هي محاولة تبسيط الكسر. بما أن ، فإن الزاوية تكافئ راديان.

والدورة الكاملة تساوي راديان؛ لذا علينا حساب عدد الدورات الكاملة التي يمكننا إكمالها:

؛ ومن ثَمَّ يمكننا إكمال ٤٥ دورة كاملة زائد دورة أخرى.

نعلم أن دورة يساوي راديان.

إذن فإن أصغر زاوية في الوضع القياسي لـ تساوي راديان.

مثال ٥: إيجاد أصغر زاوية في الوضع القياسي

إذا كانت لدينا الزاوية ، فأوجد أصغر زاوية في الوضع القياسي.

الحل

أصغر زاوية في الوضع القياسي هي الزاوية المقيسة عكس اتجاه عقارب الساعة، والمحصورة بين الضلعين الابتدائي والنهائي، وقيمتها راديانحيث .

هذا يعني أن علينا إيجاد قياس الزاوية المكافئة لـ راديان التي تقع بين ٠ و راديان.

وبما أن الزاوية راديان قياسها سالب، فستُقاس في اتجاه عقارب الساعة.

وبما أن يساوي والدورة الكاملة تساوي راديان، يمكننا إكمال دورتين كاملتين ثم مواصلة التحرك بمقدار راديان في اتجاه عقارب الساعة. هذا موضح في الشكلين التاليين.

وبما أننا نقيس في اتجاه عقارب الساعة، فإن هذه الزاوية سالبة؛ فهي تساوي راديان. وأصغر زاوية في الوضع القياسي يجب أن تكون موجبة؛ لذا علينا إيجاد قياس الزاوية المكافئة لهذه الزاوية، والتي تُقاس عكس اتجاه عقارب الساعة.

لإيجاد قياس الزاوية المكافئة التي نحتاج إليها، أي إيجاد أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي، نطرح من :

وبناءً عليه، فإن أصغر زاوية في الوضع القياسي لـ هي راديان.