شارح الدرس: الزاوية الموجهة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نتعرَّف على الزاوية الموجَّهة، ونقيسها، وكذلك كيف نُوجِد قياسات الزوايا المكافئة لها.

لكي نتمكن من التعامل مع الزوايا الموجَّهة، سنسترجع بعض الحقائق الأساسية عن الزوايا.

تعريف: الزوايا حول نقطة ما

مجموع قياسات الزوايا حول نقطة يساوي ٠٦٣. بعبارة أخرى، الدورة الكاملة تساوي ٠٦٣. ويمكن توضيح ذلك على مخطط الأرباع، حيث ١٤ الدورة يساوي ٠٩ و ١٢ الدورة يساوي ٠٨١.

يمكننا أيضًا قياس الزوايا بالـراديان: ٢𝜋=٠٦٣.رادن

بقسمة الطرفين على اثنين، نحصل على: 𝜋=٠٨١.رادن

سنشرح الآن ما نعنيه بمصطلح «الزاوية الموجَّهة».

تعريف: الزوايا الموجَّهة

الزاوية الموجَّهة هي الزاوية التي لها اتجاه. إذا قيست الزاوية عكس اتجاه عقارب الساعة، نقول إنها زاوية موجبة، وإذا قيست في اتجاه عقارب الساعة، فتكون زاوية سالبة.

دعونا نتناول الشعاعين 󰄮󰄮𞸅󰏡، 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁 الموضحين في الشكل. لهذين الشعاعين نقطة الأصل نفسها، 𞸅، وقيست الزاوية الموجَّهة المحصورة بين 󰄮󰄮𞸅󰏡، 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁 عكس اتجاه عقارب الساعة؛ ومن ثَمَّ فهي زاوية موجبة.

إذا قِسنا الزاوية في اتجاه عقارب الساعة، فستكون زاوية سالبة.

في كلا هذين الشكلين، 󰄮󰄮𞸅󰏡 هو الضلع الابتدائي (الضلع الذي نبدأ القياس منه)، 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁 هو الضلع النهائي (الضلع الذي ينتهي عنده قياس الزاوية).

وبما أنه يمكننا الاستمرار في التحرك في أي من الاتجاهين قدر ما نريد، فسيترتب على ذلك وجود عدد لانهائي من القياسات للزاوية نفسها.

ملحوظة:

تختلف الزاوية الموجَّهة عن الزاوية القياسية التي يجب قياسها من محور 𞹎 الموجب. أما الضلع الابتدائي للزاوية الموجَّهة، فيمكن أن يكون له أي اتجاه.

في المثال الأول، سنتناول كيفية إيجاد هذه الزوايا المكافئة، مقيسةً بالـدرجات.

مثال ١: إيجاد أقل قياس موجب يكافئ الزاوية بالدرجات

أوجد أقل قياس موجب يكافئ الزاوية التي قياسها ٨٨٧.

الحل

لنفترض أن الزاوية الموجَّهة التي قياسها ٨٨٧ هي الزاوية المحصورة بين الشعاعين 󰄮󰄮𞸅󰏡، 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁 حيث 󰄮󰄮𞸅󰏡 هو الضلع الابتدائي، 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁 هو الضلع النهائي.

بما أن ٨٨٧ زاوية موجبة، فسنقيس الزاوية المحصورة بين هذين الشعاعين عكس اتجاه عقارب الساعة. نعلم أن الدورة الكاملة تساوي ٠٦٣؛ ومن ثَمَّ فعلينا إكمال دورة كاملة واحدة على الأقل للوصول إلى الزاوية المطلوبة.

في الواقع، ٠٦٣+٠٦٣=٠٢٧، وهو ما يزال أقل من ٨٨٧؛ لذا علينا إكمال دورتين كاملتين.

علينا أن نحصل على ٨٨٧، و٨٨٧٠٢٧=٨٦. هذا يعني أن علينا التحرك ٨٦ عكس اتجاه عقارب الساعة.

إذن أقل قياس موجب يكافئ الزاوية التي قياسها ٨٨٧ هو ٨٦.

الحل: ٨٦.

سنتناول الآن كيفية إيجاد قياسات الزواية الموجبة المكافئة عندما يكون لدينا زاوية سالبة مقيسة بالـدرجات.

مثال ٢: إيجاد أقل قياس لزاوية موجبة تكافئ زاوية سالبة

أوجد أقل قياس موجب يكافئ ٠٤.

الحل

لنفترض أن الزاوية الموجَّهة ٠٤ هي الزاوية المحصورة بين الشعاعين 󰄮󰄮𞸅󰏡، 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁، حيث 󰄮󰄮𞸅󰏡 هو الضلع الابتدائي، 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁 هو الضلع النهائي.

بما أن ٠٤ زاوية سالبة، فسنقيس الزاوية بين هذين الشعاعين في اتجاه عقارب الساعة. هذا يعني أن الزاوية التي قياسها ٠٤ ستكون كما هو موضح في الشكل.

علينا إيجاد أقل قياس موجب مكافئ لـ ٠٤؛ ومن ثَمَّ فعلينا قياس الزاوية نفسها ولكن في الاتجاه الآخر. فتشير الزاوية الموجَّهة الموجبة إلى أن علينا القياس عكسَ اتجاه عقارب الساعة.

تذكر أن مجموع قياسات الزوايا حول نقطة ما يساوي ٠٦٣؛ ومن ثَمَّ يمكن إيجاد قياس موجب مكافئ لـ ٠٤ بطرح ٠٤ من ٠٦٣: ٠٦٣٠٤=٠٢٣.

إذن فإن أقل قياس موجب مكافئ لـ ٠٤ هو ٠٢٣.

الحل: ٠٢٣.

قبل أن نتناول المثال التالي، سنقدم تعبيرًا جديدًا هو «الزوايا المتكافئة». في السؤال السابق، كانت ٠٤ و ٠٢٣ مثالًا على زاويتين متكافئتين لأن لهما نفس الضلعين الابتدائي والنهائي.

تعريف: الزوايا المتكافئة

الزوايا المتكافئة لها نفس الضلعين الابتدائي والنهائي.

لإيجاد الزاوية المكافئة، يمكننا جمع أو طرح ٠٦٣ (أو ٢𝜋 راديان) من الزاوية المعطاة.

لاحظ أنه بما أنه يمكننا جمع أو طرح أكبر عدد ممكن من مضاعفات ٠٦٣ قدر ما نريد، فيوجد عدد لانهائي من الزوايا المكافئة لأي زاوية موجَّهة معطاة.

والآن سنوجِد قياس الزاوية المكافئة الموجبة أو السالبة عندما تكون الزاوية الأصلية معطاة بالراديان.

مثال ٣: إيجاد القياسين الموجب والسالب للزوايا المكافئة لزاوية معطاة

أوجد زاوية قياسها موجب وزاوية قياسها سالب مكافئتين لزاوية قياسها ٢𝜋٣.

  1. ٨𝜋٣، ٤𝜋٣
  2. ٥𝜋٣، 𝜋٣
  3. ٨𝜋٣، ٤𝜋٣
  4. ٨𝜋٣، ٤𝜋٣
  5. ٤𝜋٣، ٤𝜋٣

الحل

لنتناول الزاوية ٢𝜋٣رادن. يمكننا تحويل هذا القياس إلى الدرجات باستخدام حقيقة أن 𝜋 راديان يساوي ٠٨١:

٢٣ في ٠٨١ = ٠٢١، إذن ٢𝜋٣=٠٢١رادن.

لكننا سنحتفظ بالزاوية بالراديان لأن الخيارات الخمسة معطاة بهذه الوحدة.

وبما أن الزاوية التي لدينا موجبة، فعلينا قياسها عكس اتجاه عقارب الساعة من الضلع الابتدائي، كما هو موضح.

تذكر أن الزوايا المتكافئة لها نفس الضلعين الابتدائي والنهائي. هذا يعني أن علينا إيجاد طرق بديلة للتعبير عن الزاوية نفسها.

يمكننا إيجاد قياسات الزوايا المكافئة عن طريق جمع أو طرح ٢𝜋 راديان من الزاوية المعطاة.

لإيجاد زاوية أخرى قياسها موجب علينا الاستمرار في التحرك عكس اتجاه عقارب الساعة. هذا يعني أن علينا جمع ٢𝜋 إلى الزاوية التي لدينا:

٢𝜋٣+٢𝜋=٢𝜋٣+٦𝜋٣=٨𝜋٣.

إذن فالزاوية ذات القياس الموجب المكافئة لزاوية قياسها ٢𝜋٣ هي ٨𝜋٣ راديان.

وبطريقة مشابهة، يمكننا إيجاد زاوية قياسها سالب بالتحرك في اتجاه عقارب الساعة. هذا يعني أن علينا طرح ٢𝜋 من الزاوية التي لدينا: ٢𝜋٣٢𝜋=٢𝜋٣٦𝜋٣=٤𝜋٣.

إذن فالزاوية ذات القياس السالب المكافئة لزاوية قياسها ٢𝜋٣ هي ٤𝜋٣ راديان.

الزاويتان هما ٨𝜋٣ و٤𝜋٣.

الحل: الخيار أ: ٨𝜋٣، ٤𝜋٣

في الأمثلة الثلاثة الأولى، رأينا أن هناك عددًا لانهائيًّا من الطرق لوصف زاوية معطاة. وفي بعض الأحيان نحتاج إلى حصر قياس الزاوية المعطاة. في هذه الحالة، نستخدم أصغر زاوية في الوضع القياسي.

تعريف: أصغر زاوية في الوضع القياسي

أصغر زاوية في الوضع القياسي هي الزاوية المحصورة بين الضلعين الابتدائي والنهائي، وتُقاس عكس اتجاه عقارب الساعة، وقيمتها بالـدرجات تكون في [٠،٠٦٣] وبالـراديان تكون في [٠،٢𝜋].

إذا كانت الزاوية 𝜃 هي أصغر زاوية في الوضع القياسي، فإن ٠𝜃٠٦٣ أو ٠𝜃٢𝜋.

في المثالين الأخيرين، سنوضح كيفية إيجاد أصغر زاوية في الوضع القياسي بالـراديان.

مثال ٤: إيجاد أصغر زاوية في الوضع القياسي

أوجد أصغر قياس موجب للزاوية ٣٧٢𝜋٣.

الحل

أصغر زاوية في الوضع القياسي هي الزاوية المقيسة عكس اتجاه عقارب الساعة بين الضلعين الابتدائي والنهائي، وقيمتها تساوي 𝜃 راديان حيث ٠𝜃٢𝜋.

هذا يعني أن علينا إيجاد قياس الزاوية المكافئة لـ ٣٧٢𝜋٣ راديان التي تقع بين ٠ و٢𝜋 راديان بما في ذلك هاتين القيمتين. الخطوة الأولى هي محاولة تبسيط الكسر. بما أن ٣٧٢÷٣=١٩، فإن الزاوية ٣٧٢𝜋٣ تكافئ ١٩𝜋 راديان.

والدورة الكاملة تساوي ٢𝜋 راديان؛ لذا علينا حساب عدد الدورات الكاملة التي يمكننا إكمالها:

١٩𝜋٢𝜋=١٩٢=١٢٥٤؛ ومن ثَمَّ يمكننا إكمال ٤٥ دورة كاملة زائد ١٢ دورة أخرى.

نعلم أن ١٢ دورة يساوي 𝜋 راديان.

إذن فإن أصغر زاوية في الوضع القياسي لـ ٣٧٢𝜋٣ تساوي 𝜋 راديان.

الحل: 𝜋 راديان

مثال ٥: إيجاد أصغر زاوية في الوضع القياسي

إذا كانت لدينا الزاوية ٣٢𝜋٥، فأوجد أصغر زاوية في الوضع القياسي.

الحل

أصغر زاوية في الوضع القياسي هي الزاوية المقيسة عكس اتجاه عقارب الساعة، والمحصورة بين الضلعين الابتدائي والنهائي، وقيمتها 𝜃 راديانحيث ٠𝜃٢𝜋.

هذا يعني أن علينا إيجاد قياس الزاوية المكافئة لـ ٣٢𝜋٥ راديان التي تقع بين ٠ و٢𝜋 راديان.

وبما أن الزاوية ٣٢𝜋٥ راديان قياسها سالب، فستُقاس في اتجاه عقارب الساعة.

وبما أن ٣٢𝜋٥ يساوي ٣𝜋٥٤ والدورة الكاملة تساوي ٢𝜋 راديان، يمكننا إكمال دورتين كاملتين ثم مواصلة التحرك بمقدار ٣𝜋٥ راديان في اتجاه عقارب الساعة. هذا موضح في الشكلين التاليين.

وبما أننا نقيس في اتجاه عقارب الساعة، فإن هذه الزاوية سالبة؛ فهي تساوي ٣𝜋٥ راديان. وأصغر زاوية في الوضع القياسي يجب أن تكون موجبة؛ لذا علينا إيجاد قياس الزاوية المكافئة لهذه الزاوية، والتي تُقاس عكس اتجاه عقارب الساعة.

لإيجاد قياس الزاوية المكافئة التي نحتاج إليها، أي إيجاد أصغر زاوية موجبة في الوضع القياسي، نطرح ٣𝜋٥ من ٢𝜋: ٢𝜋٣𝜋٥=٠١𝜋٥٣𝜋٥=٧𝜋٥.

وبناءً عليه، فإن أصغر زاوية في الوضع القياسي لـ ٣٢𝜋٥ هي ٧𝜋٥ راديان.

الحل: ٧𝜋٥ راديان.

سنختم هذا الشارح بتلخيص بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها.

النقاط الرئيسية

  • الزاوية الموجَّهة هي زاوية ذات اتجاه؛ الزاوية التي تقاس عكس اتجاه عقارب الساعة تكون موجبة، والزاوية التي تقاس في اتجاه عقارب الساعة تكون سالبة.
  • الزوايا المتكافئة لها نفس الضلعين الابتدائي والنهائي. يوجد عدد لانهائي من الزوايا المكافئة.
  • أصغر زاوية في الوضع القياسي هي الزاوية التي تُقاس عكس اتجاه عقارب الساعة بين الضلعين الابتدائي والنهائي، وتكون قيمتها 𝜃 حيث ٠𝜃٠٦٣ أو ٠𝜃٢𝜋.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.