شارح الدرس: رمز التجميع الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نعبِّر عن متسلسلة باستخدام رمز التجميع، وكيف نفكُّ المتسلسلات المُمثَّلة برمز التجميع، ونُوجِد قيمتها.

في الرياضيات، يمكن وصف المتتابعة بصفة عامة على أنها قائمة مُرتَّبة من الأعداد. وفقًا لهذا الوصف المُبهَم غير المُحدَّد، لا بد أن يكون من السهل الاعتقاد بأن هناك متتابعات عديدة غير منتهية. غالبًا ما ستكون المتتابعات المثيرة للاهتمام مرتبطة بالمفاهيم الأساسية في الرياضيات التي يمكن وصفها باستخدام هذه الفكرة. على سبيل المثال، أحد الأنواع الشائعة من المتتابعات هو متتابعة الأعداد المربعة؛ حيث يكون كل عدد صحيح موجب فيها مربعًا ومكتوبًا بالترتيب، وتكون هكذا: ١، ٤، ٩، ١٦، ٢٥ … إلخ. وبما أنه يوجد عدد لا نهائي من الأعداد المربعة، فإن متتابعة هذه الأعداد غير منتهية. لكن يمكننا اختيار مجموعة جزئية منتهية من هذه الأعداد ولتكن ١٦، ٢٥، ٣٦، ٤٩، وحينئذٍ تظل هذه المجموعة تُمثِّل متتابعة من الأعداد المربعة، ولكنها متتابعة منتهية.

بمجرد تعريف متتابعةٍ ما جيدًا، يمكن استخدامها لإنشاء «متسلسلة»، والتي تتكون في الأساس من جمع عناصر المتتابعة معًا بالترتيب الأصلي. على سبيل المثال، إذا كانت لدينا المتتابعة بالأعلى: ١٦، ٢٥، ٣٦، ٤٩؛ فإن المتسلسلة المناظرة لهذه المتتابعة هي ، وفي هذه الحالة، يمكن إيجاد قيمة المتسلسلة لنحصل على الإجمالي ١٢٦. قد يكون إيجاد قيمة متسلسلة أمرًا صعبًا، وقد يكون من المستحيل إجراء ذلك باستخدام مقدار بصيغة مغلقة، ويعتمد ذلك بشكل كبير على صورة المتتابعة التي تتكون منها المتسلسلة.

رمز التجميع هو طريقة مناسبة لتمثيل المتسلسلة حيث يمكن تعريف كل حد من حدود التجميع بواسطة متتابعة أو دالة. هناك العديد من الأنواع المهمة من المتسلسلات في الرياضيات، وبعضها الأكثر شيوعًا يتمثل في المتسلسلة الحسابية والمتسلسلة الهندسية، ويمكن تمثيل كل منهما باختصار باستخدام رمز التجميع. يمكن استخدام رمز التجميع لترميز أي تطبيق أو دالة حيث نحصل على القيمة المخرجة من خلال جمع حدود متتابعة معطاة معًا، ويتَّسِم بكثرة الخواص الجبرية التي يمكن استخدامها لتبسيط العمليات الحسابية من خلال هذا الرمز المُختصَر.

عادةً ما يُشار إلى ، بأنهما «الحد السفلي» و«الحد العلوي» للمتسلسلة. ليس بالضرورة أن يكون دائمًا ، قيمتين منتهيتين، لكن عادةً ما يكون على الأقل أحد هذين الحدين كذلك. ومع ذلك، إذا كان واحد على الأقل من هذين الحدين له قيمة غير منتهية، فإننا نجمع عددًا لا نهائيًّا من الحدود، ومن المفهوم أن هذه الحالة قد تكون أكثر صعوبة بكثير مما يكون عليه الحال عندما يكون هناك عدد منتهٍ من الحدود التي علينا إيجاد قيمتها. في أغلب الأحيان، في المتسلسلة التي تستخدم رمز التجميع، فإن سيساوي ١. ومع ذلك، فمن الممكن جدًّا أن الحد السفلي، ، لا يساوي ١، وتوجد حالات يمكن فيها تعديل الحدين السفلي والعلوي لتحسين اختصار ودقة العمليات الحسابية اللاحقة.

سنوضِّح هذا المفهوم من خلال مثال بسيط. افترض أن علينا إيجاد قيمة التعبير التالي المكتوب باستخدام رمز التجميع:

أولًا، يجب أن نلاحظ أن الحد السفلي يساوي ١، والحد العلوي يساوي ٥. يمكن كتابة المتتابعة المستخدمة لتكوين هذه المتسلسلة على الصورة . بإيجاد قيمة هذه الدالة لكل قيمة صحيحة بين الحدين (ويشمل ذلك هذين الحدين)، سنحصل على ما يلي:

ومن ثَمَّ، يمكن التعبير عن المتسلسلة الكاملة بجمع كل هذه الحدود معًا بالترتيب، مما يعطينا:

في الواقع، من النادر أن يكون مطلوبًا كتابة المتسلسلة بدلالة الدالة ، وعادةً ما نختار حذف السطر الأول من الحل في المعادلات أعلاه. لكن، هذا التعريف يفيد عند التفكير في إجراء العملية بطريقة عكسية؛ أي في حالة وجود متسلسلة مكتوبة في صورة مفكوك، ومحاولة كتابة ذلك باستخدام رمز التجميع المختصر. سنرى عدة أمثلة على ذلك لاحقًا في الشارح، بعد التدريب على بعض الحالات التي نستخدم فيها الطريقة أعلاه.

المثال السابق هو امتداد تبسيطي إلى حدٍّ ما للمثال الأول الذي قدمناه في بداية هذا الشارح؛ حيث احتوت المتتابعة على حد واحد فقط. اختِيرَ هذا المثال عن قصد لنوضح المفهوم الذي يتضمنه، بدلًا من أن يكون مطلوبًا إجراء الكثير من العمليات الحسابية الطويلة أو المملة. من الممكن بالطبع استخدام متتابعات أكثر تعقيدًا لتكوين المتسلسلة باستخدام رمز التجميع. وفي حال استخدام الطريقة نفسها، لا يوجد سبب يذكر يجعل الأمر أصعب من ناحية المفهوم، على الرغم من أن العمليات الحسابية المضمنة من المحتمل أن تستغرق بالطبع وقتًا أطول ويصبح من الأصعب إكمالها بدقة. في السؤال التالي، سنقدم مثالًا أكثر تعقيدًا إلى حَدٍّ ما؛ حيث تتضمن المتتابعة المُستخدَمة حدين.

في المثالين السابقين، كان الحد السفلي هو ١. على الرغم من أن الأكثر شيوعًا هو أن يكون الحد السفلي صفر أو ١، فإن هذا الحد وكذلك الحد العلوي يمكن أن يأخذ أي قيمة صحيحة (بشرط أن يكون الحد السفلى أصغر من أو يساوي الحد العلوي). يشبه المثال الثالث المثالين بالأعلى من حيث إن المتسلسلة بسيطة إلى حَدٍّ ما، على الرغم من أن الحد السفلي لا يساوي ١. وكما سنرى، إذا استخدمنا الطريقة نفسها التي اتبعناها في المثالين السابقين، فلن تكن الإجابة عن هذا النوع من الأسئلة صعبة.

لقد تناولنا في هذا الشارح إلى الآن العديد من الأمثلة حيث كان لدينا تعبير مُعطًى بدلالة رمز التجميع، ومطلوب منا إيجاد قيمته. وقد تعاملنا مع ذلك بكتابة كل حد من حدود المتسلسلة وجمعها معًا بالترتيب. بافتراض أننا نجيد التعامل مع رمز التجميع، والتمثيل بالدالة، ومهارة الجمع التقليدية، وغير ذلك، فعادةً ما تكون صعوبة هذه المسائل محدودة. في الواقع، نختار عادةً إيجاد قيمة هذه المقادير باستخدام أجهزة الكمبيوتر أو الآلات الحاسبة، خاصةً إذا كانت المتسلسلة تحتوي على العديد من الحدود أو كانت صيغتها معقدة.

نستخدم العملية العكسية عندما يكون لدينا المجموع مكتوبًا بالكامل ويُطلب منا تمثيل ذلك باستخدام رمز التجميع المختصر. بشكل عام، يصعب إكمال هذه المهمة، وتكون أكثر عرضة للأخطاء. هذا يعني أن هناك عدة قواعد عامة بديهية يمكن تطبيقها لضمان أن تكون هذه المهمة غير معقدة قدر الإمكان. وبوجه عام، نهدف دائمًا إلى كتابة المتسلسلة برمز التجميع بعد تحليل المقدار أولًا قدر الإمكان؛ ومن ثَمَّ تقليل التعقيد الذي يتضمنه. إذا أكملنا هذه العملية بشكل كامل، فسنجد أن إيجاد المقدار بدلالة رمز التجميع سيكون سريعًا إلى حدٍّ ما. سنبدأ بمثال بسيط جدًّا لا يتطلب أي تحليل.

في المثال السابق، رأينا كيف يمكن تحويل متسلسلة تبدو معقدة إلى مقدار يعبر عن المتتابعة ، وهو يشبه إلى حدٍّ كبير المثال الذي يسبقه. وعادةً ما تتضمن المتسلسلات متتابعات شائعة مثل ، أو غيرها مثل ؛ حيث عدد صحيح. حتى عندما يكون الأمر كذلك، تظل هناك استفادة بوجه عام من محاولة إخراج أي عوامل مشتركة بين حدود المتسلسلة، وهو ما يوضح ما إذا كنا سنحصل على صورة أبسط أم لا. سنتناول مثالًا على ذلك في السؤال التالي.

في بعض الأحيان، عند التعامل مع المتسلسلة المنتهية، توجد عدة طرق لتمثيلها باستخدام رمز التجميع. وفي كثير من الأحيان، تتضمن هذه الطرق إجراء بعض التعديلات على الحدين السفلي والعلوي أو التحليل بطرق مبتكرة. وتتيسر هذه العملية إذا كان لدينا الحد من المتسلسلة على الصورة الجبرية. وكما سنرى في المثال التالي، يمكن أن تكون هناك عدة طرق للتعبير عن حدود مجموع مُعطى، حسب تفضيلنا.

في السؤال السابق كان بإمكاننا بسهولة اختيار التعبير عن المتسلسلة بصورة مختلفة قليلًا. على سبيل المثال، كان يمكننا اختيار التعبير عن الدالة بالصورة المُبسَّطة ، وهو ما كان سيعطينا التعبير:

وكتدريب للقارئ، يمكننا أيضًا تعديل الحدين السفلي والعلوي ليعطينا التعبير المكافئ:

لن نوضح كيف حصلنا على هذا التعبير بالضبط، ولكن يمكن التحقق من التكافؤ مع المتسلسلة الأصلية من خلال فك التجميع حدًّا حدًّا.

إننا نتعامل حتى الآن في هذا الشارح مع متسلسلات تحتوي على عدد منتهٍ من الحدود فقط. في المثال التالي، سنتعامل مع حد علوي غير منتهٍ. في هذا الشارح، لسنا مهتمين بإيجاد قيمة هذه المتسلسلة (في هذه الحالة، لا توجد أي قيمة ممكنة؛ لأن المتسلسلة متباعدة)، لكننا سنركز فقط على كتابة المتسلسلة باستخدام رمز التجميع. علينا أن نستلهم من الأمثلة السابقة، وكما سنرى، أن هناك على الأقل طريقتان يمكننا اختيارهما للتعبير عن المتسلسلة بدلالة رمز التجميع.

كما هو الحال في المثال السابق، يمكن تمثيل المتسلسلة في المثال أعلاه بعدة طرق. بتغيير الحدين السفلي والعلوي في رمز التجميع، كان بإمكاننا أيضًا أن نختار تمثيل هذه المتسلسلة باستخدام رمز التجميع كما يلي:

بدلًا من ذلك، إذا أردنا أن نجازف أكثر، كان بإمكاننا اختيار التعبير المكافئ:

ويعتمد اختيار التعبير إلى حدٍّ كبير على تفضيل كل شخص؛ حيث يفضل بعض الأشخاص الحصول على متتابعة أكثر تنظيمًا وذلك بتغيير الحدين السفلي أو العلوي بخلاف الخيارات التقليدية. عند اختيار تعبير بديل يتغير فيه الحدين، فمن المنطقي دائمًا فك المتسلسلة للتأكد من تطابق كل حد فيها مع حدود التعبير المكافئ.

عند كتابة متسلسلة باستخدام رمز التجميع، قد يفيدنا أن نعرف كيف يمكن أن يرتبط كل حد بالمتتابعات الشائعة مثل متسلسلة القوى والمتسلسلة الأسية وغيرهما. بالنسبة إلى الأسئلة الموضوعة في الاختبارات والكتب المدرسية، قد تبدو فيها المتتابعة معقدة وغير منظَّمة، بينما تكون في حقيقة الأمر مُبسَّطة إلى حدٍّ ما، إذا نظرنا إليها بالنسبة إلى متتابعات أبسط ومعروفة. يوضح المثال التالي هذا المفهوم وكيف يمكن أن تساعدنا بعض المرونة في فهم المتتابعات التي تبدو على نحو مختلف معقَّدة أو صعبة الحل.

ها قد تناولنا الآن مجموعة من الأمثلة في هذا الشارح والتي من المفترض أن توفر أساسًا مبدئيًا عن رمز التجميع. لكننا تغاضَيْنا إلى حدٍّ كبير عن مناقشة القواعد الجبرية التي تحكم رمز التجميع، والتي كان سيتيح الكثير منها حل الأمثلة أعلاه بمزيد من الدقة والسرعة. إن تعلم كيفية التعامل بكفاءة مع تعبيرات باستخدام رمز التجميع له دور بالغ الأهمية في فهم الرياضيات ذات المستوى العالي، والسلاسة في التعامل مع هذا الموضوع ستحقق النفع في مجالات أخرى مثل حساب التفاضل والتكامل والجبر الخطي. ومع ذلك، يظل بإمكاننا التعامل مع رمز التجميع دون فهم هذه الأساليب عالية المستوى، بشرط أن نفعل ذلك بطريقة منهجية، وأن نتحقق من صحة كل حد في المتتابعة. وكما هو موضح في العديد من الأمثلة السابقة، عادةً ما تكون هناك عدة طرق للتعبير عن التجميع باستخدام رمز التجميع، عن طريق تغيير الحدين أو الصورة الجبرية للمتتابعة التي نحصل عليها.